1、2019 年北京市平谷区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分；在每个小题列出的四个选项中只有一项是符合要求的.）1 （5 分）已知集合 Ax|0x2，B0，1，2，3 ，则 AB（ ）A0 B0 ，1 C0 ，2 D0 ，1，22 （5 分）下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（ ）Ay Bylnx Cysinx Dy 2 x3 （5 分）若实数 x，y 满足 ，则 zy x 的最小值为（ ）A2 B2 C4 D44 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为（ ） A B C D5 （5 分）在极坐标系中，点（2， ）到直线 （cos
2、 + sin）6 的距离为（ ）A1 B3 C +3 D56 （5 分）设 ， 是非零向量，则“| | |+| |”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为（ ）A1 B2 C3 D48 （5 分）放射性物质的半衰期 T 定义为每经过时间 T，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质 A，B，开始记录是容器中物质 A 的质量是物质 B 的质量的 2 倍，而 120 小时后两种物质的质量相等，已知物质 A 的半衰期为 7.5 个小时，则物质 B 的半衰期
3、为（ ）A10 小时 B8 小时 C12 小时 D15 小时二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9 （5 分）复数 10 （5 分） 的展开式中含 x4 项的系数是 11 （5 分）中国古代数学著作算数统宗中有这样一个问题：“三百七十八里米，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的 1 一半，共走了六天到达关口”那么该人第一天走得路程为 12 （5 分）设双曲线 C 经过点（ 4，3） ，且与 1 具有相同渐近线，则 C 的方程为 ，离心率为 13 （5
4、分）已知函数 f（x ）sin（2x+ ） （其中 为实数） ，若 f（x）|f （ ）|对 xR恒成立，则满足条件的 值为 （写出满足条件的一个 值即可）14 （5 分）如图，在菱形 ABCD 中，B ，AB4，（1）若 P 为 BC 的中点，则 ；（2）点 P 在线段 BC 上运动，则| + |的最小值为 三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分; 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15 （13 分）已知 f（x ）sinx cosx，A，B，C 为ABC 的三个内角，BC 2，f（A）0（）求 A 角；（）求ABC 面积的最大值16 （13 分）随着社会的进步，经济的发展，道
5、路上的汽车越开越多，随之而来的交通事故也增多据有关部门调查，发生车祸的驾驶员尤其是 21 岁以下年轻人所占的比例居高，因此交通管理有关部门，对 2018 年参加驾照考试的 21 岁以下的学员随机抽取 10名学员，对他们参加的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明驾驶相关知识）进行两轮现场测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该学员的抽测成绩记录数据如下：学员编号1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 6 号 7 号 8 号 9 号 10 号科目三测试成绩92 90 92 91 92 90 89 93 92 91科目四测试成绩94 88 86 90 90 87 94 89 89 91（1）从 2018
6、 年参加驾照考试的 21 岁以下学员中随机选取一名学员，试估计这名学员抽测成绩大于或等于 90 分的概率；（2）根据规定，科目三和科目四测试成绩均达到 90 分以上（含 90 分）才算测试合格（i）从抽测的 1 号到 5 号学员中任取两名学员，记 X 为学员测试合格的人数，求 X 得分布列和数学期望 E（X） ；（ii）记抽取的 10 名学员科目三和科目四测试成绩分别为 s1，s 2，试比较 s1 与 s2 的大小17 （14 分）如图，四棱锥 PABCD 中底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 上的一点，PB 平面 AEC；（）求证：E 为 PD 的中点；（）求证：CDA
7、E；（）设二面角 DAEC 为 60，AP1，AD ，求 AB 长18 （13 分）已知函数 f（x ）x （a+1）lnx（）若函数 f（x ）在点（3，f（3） ）处切线斜率为 0，求 a 的值；（）求函数 yf（x）的单调区间；（）若 f（x）在 x1 处取得极大值，求 a 的取值范围19 （14 分）已知椭圆 + 1（ab0）的离心率为 ，短轴长为 2；（）求椭圆的标准方程；（）设椭圆上顶点 A，左、右顶点分别为 B、C 直线 lAB 且交椭圆于 E、F 两点，点 E 关于 y 轴的对称点 G，求证：CFAG20 （13 分）给定数列 a1，a 2，a 3an，对于 i1，2，3，n1
8、，该数列前 i 项的最大值记为 Ai，后 ni 项 ai+1，a i+2，a i+3，a n 的最小值记为 Bi，d iA iB i（）若a n为 3，4，7，5，2，写出 d1，d 2，d 3，d 4 的值；（）设 a1，a 2，a 3an（n4）是 a10，公比 q1 的等比数列，证明：d1，d 2，d 3，d n1 成等比数列2019 年北京市平谷区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分；在每个小题列出的四个选项中只有一项是符合要求的.）1 （5 分）已知集合 Ax|0x2，B0，1，2，3 ，则 AB（ ）A0 B0 ，1 C0
9、 ，2 D0 ，1，2【分析】利用交集定义直接求解【解答】解：集合 Ax|0x2，B0，1，2，3，AB0，1，2故选：D【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（ ）Ay Bylnx Cysinx Dy 2 x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于 A，y ，为反比例函数，在（0，+）上为减函数，不符合题意；对于 B，ylnx，为指数函数，在区间（ 0，+ ）上为增函数，符合题意；对于 C，ysinx ，为正弦函数，在（ 0，
10、+）上不是单调函数，不符合题意；对于 D，y2 x （ ） x，是指数函数，在（0，+）上为减函数，不符合题意；故选：B【点评】本题考查函数的单调性的判断，关键掌握常见函数的单调性，属于基础题3 （5 分）若实数 x，y 满足 ，则 zy x 的最小值为（ ）A2 B2 C4 D4【分析】首先画出不等式组表示的平面区域，再根据目标函数的几何意义求最小值【解答】解：实数 x，y 满足 表示的区域如图：设 zy x，则 yx+ z，所以 z 的最小值是过 A（4，0）与直线 yx 平行的直线在 y 轴的截距，为 044故选：C【点评】本题考查了简单线性规划的问题，首先正确画出平面区域，然后根据目标
11、函数的几何意义求最值4 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 的值为（ ） A B C D【分析】根据条件，进行模拟运行，k5 时，退出循环，即可得出结论【解答】解：由题意，k5 时，退出循环，Scos ，故选：A故选：A【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据程序条件进行模拟是解决本题的关键5 （5 分）在极坐标系中，点（2， ）到直线 （cos + sin）6 的距离为（ ）A1 B3 C +3 D5【分析】把点的坐标与极坐标方程分别化为直角坐标及其方程，利用点到直线的距离公式即可得出【解答】解：点 P（2， ）化为：P ，即 P 直线 （ cos+ sin）6 化为直角坐标
12、方程：x+ y60，点 P 到直线的距离 d 1故选：A【点评】本题考查了极坐标方程分别化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题6 （5 分）设 ， 是非零向量，则“| | |+| |”是“ ”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据向量模长与数量积的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由“| | |+| |”平方得| |22 +| |2| |2+2| | |+| |2，即 | | |，则| | |cos ， | | |，即 cos ， 1，即 ， 180，此时 成立，充分性成立，若
13、， 0时，满足 ，但 | | |不成立，即必要性不成立，即“| | |+| |”是“ ”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的关系进行转化是解决本题的关键7 （5 分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中直角三角形的个数为（ ）A1 B2 C3 D4【分析】由已知中的三视图，画出几何体的直观图，进而可分析出该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数【解答】解：由三视图知几何体为一四棱锥，其直观图如图：是正方体的一部分，由图得：该棱锥的四个侧面均为直角三角形，故该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 4 个，故选：D【点评】本题考查的知识点是简单几
14、何体的三视图，解决本题的关键是得到该几何体的形状8 （5 分）放射性物质的半衰期 T 定义为每经过时间 T，该物质的质量会衰退原来的一半，铅制容器中有两种放射性物质 A，B，开始记录是容器中物质 A 的质量是物质 B 的质量的 2 倍，而 120 小时后两种物质的质量相等，已知物质 A 的半衰期为 7.5 个小时，则物质 B 的半衰期为（ ）A10 小时 B8 小时 C12 小时 D15 小时【分析】 16设 mB1则 mA2设物质 B 的半衰期为 t由题意可得：2 ，解得 t【解答】解： 16设 mB1则 mA2设物质 B 的半衰期为 t由题意可得：2 ，解得 t8故选：B【点评】本题考查了
15、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9 （5 分）复数 12i 【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以 i，分子变化成实数，写成最简形式，得到结果【解答】解：复数 故答案为：12i【点评】本题考查复数的除法运算，本题解题的关键是熟练应用复数除法的法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，本题是一个基础题10 （5 分） 的展开式中含 x4 项的系数是 405 【分析】在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 4，求出 r 的值，即可求得开式中含 x4 项的系数【解答】解： 的展开式的通项公式为 Tr+1
16、3rx103r ，令 103r4，可得 r2，故展开式中含 x4 项的系数为 32405，故答案为：405【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题11 （5 分）中国古代数学著作算数统宗中有这样一个问题：“三百七十八里米，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的 1 一半，共走了六天到达关口”那么该人第一天走得路程为 192 里 【分析】根据题意，记每天走的路程里数为a n，可知a n是公比为 的等比数列，又由 6 天走完 378
17、 里，利用求和公式即可得出【解答】解：根据题意，记每天走的路程里数为a n，可知 an是公比为 的等比数列，又由 6 天走完 378 里，则 S6 378，解可得：a 1192，即该人第一天走的路程为 192 里故答案为：192 里【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12 （5 分）设双曲线 C 经过点（ 4，3） ，且与 1 具有相同渐近线，则 C 的方程为 ，离心率为 【分析】由已知设双曲线 C 的方程为 ， （0） ，由此利用待定系数法能求出双曲线 C 的方程然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线 C 经过点（ 4，3） ，且与 1
18、具有相同渐近线，设双曲线 C 的方程为 ， （0） ，把点（4，3）代入，得：41，解得 3，双曲线 C 的方程为： 双曲线的离心率为： 故答案为： ； 【点评】本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用13 （5 分）已知函数 f（x ）sin（2x+ ） （其中 为实数） ，若 f（x）|f （ ）|对 xR恒成立，则满足条件的 值为 （写出满足条件的一个 值即可）【分析】根据 f（x ）|f（ ）|，可得 x 时，f （x）取得最大值或最小值即写出答案；【解答】解：由题意，f（x ）|f （ ）|对 xR 恒成立，可得 x 时，f（x）取得最大值或最小
19、值若 x 时，f（x）取得最大值，可得 +2k，kZ若 x 时，f（x）取得最小值，可得 +2k，kZ故答案为：【点评】本题考查了三角形函数的性质的应用属于基础题14 （5 分）如图，在菱形 ABCD 中，B ，AB4，（1）若 P 为 BC 的中点，则 0 ；（2）点 P 在线段 BC 上运动，则| + |的最小值为 4 【分析】 （1）菱形 ABCD 中，B ，AB4，P 为 BC 的中点，可判断 APBP 可求（2）可设 BPx ，M 为 AB 中点，结合向量加法的平行四边形法则可知| + |2| |，然后结合余弦定理及二次函数的性质可求【解答】解：（1）菱形 ABCD 中，B ，AB4
20、，P 为 BC 的中点，BP2，AP2 ，AP 2+BP2AB 2，即 APBP则 0（2）点 P 在线段 BC 上运动，可设 BPx，M 为 AB 中点则| + |2| |BPM 中，PM 2 x 2+2x+4，0x4，当 x0 时，PM 有最小值 2，即| + |2| |的最小值 4故答案为：0，4【点评】本题主要 考查了向量数量积的运算性质及向量的基本运算，二次函数性质的应用，属于中档试题三、解答题:(本大题共 6 小题,共 80 分; 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）15 （13 分）已知 f（x ）sinx cosx，A，B，C 为ABC 的三个内角，BC 2，f（A）0（）
21、求 A 角；（）求ABC 面积的最大值【分析】 （）化简 f（x ） ，根据 f（A）0即可求 A 角；（）利用余弦定理建立关系，结合基本不等式的性质即可求解ABC 面积的最大值【解答】解：（）由 f（x ）sinx cosx2sin （x60） ，f（A）0即 2sin（A60）0，0A180，可得：A60；（）由（）可得 A60，BCa2，根据余弦定理 cosA ，可得 bcb 2+c24，b 2+c22bc（当且仅当 bc 时取等号） ，bc+42bc，可得 bc4那么ABC 面积 S bcsinA ，故得ABC 面积的最大值为 【点评】本题考查了三角函数的化简和余弦定理与不等式的结合求
22、解最值问题属于基础题16 （13 分）随着社会的进步，经济的发展，道路上的汽车越开越多，随之而来的交通事故也增多据有关部门调查，发生车祸的驾驶员尤其是 21 岁以下年轻人所占的比例居高，因此交通管理有关部门，对 2018 年参加驾照考试的 21 岁以下的学员随机抽取 10名学员，对他们参加的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明驾驶相关知识）进行两轮现场测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该学员的抽测成绩记录数据如下：学员编号1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 6 号 7 号 8 号 9 号 10 号科目三测试成绩92 90 92 91 92 90 89 93 92 91科目四测试成绩94 8
23、8 86 90 90 87 94 89 89 91（1）从 2018 年参加驾照考试的 21 岁以下学员中随机选取一名学员，试估计这名学员抽测成绩大于或等于 90 分的概率；（2）根据规定，科目三和科目四测试成绩均达到 90 分以上（含 90 分）才算测试合格（i）从抽测的 1 号到 5 号学员中任取两名学员，记 X 为学员测试合格的人数，求 X 得分布列和数学期望 E（X） ；（ii）记抽取的 10 名学员科目三和科目四测试成绩分别为 s1，s 2，试比较 s1 与 s2 的大小【分析】 （1）求出这 10 名学生的考核成绩，其中大于等于 90 分的有 7 人，由此能求出样本中学生考核成绩大
24、于 90 分的概率（2） （i）从抽测的 1 号到 5 号学员中任取两名学员，记 X 为学员测试合格的人数，则X 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望E（X） （ii）由表中的数据得到科目三的测试成绩比科目四的测试成绩更集中，从而 s1s 2【解答】解：（1）这 10 名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89，89，90.5，91，88.5，91.5，91，90.5，91，其中大于 90 分的有 1 号、4 号、5 号、7 号、8 号、9 号、10 号，共 7 人所以样本中学生考核成绩大于 90 分的频率为：P 0.7（2） （i）从抽测的 1
25、 号到 5 号学员中任取两名学员，记 X 为学员测试合格的人数，则 X 的可能取值为 0，1，2，P（X0） 0.1，P（X1） 0.6，P（X2） 0.3，X 的分布列为：X 0 1 2P 0.1 0.6 0.3数学期望 E（X）00.1+10.6+20.31.2（ii）由表中的数据得到科目三的测试成绩比科目四的测试成绩更集中，s 1s 2【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方差的比较，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17 （14 分）如图，四棱锥 PABCD 中底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD，E 为 PD 上的
26、一点，PB 平面 AEC；（）求证：E 为 PD 的中点；（）求证：CDAE；（）设二面角 DAEC 为 60，AP1，AD ，求 AB 长【分析】 （I）连接 BD 交 AC 于 F，连接 EF由线面平行的性质可得 PBEF，故而得出 E 为 PD 的中点；（II）证明 CD平面 PAD 得出 CDAE；（III）建立空间坐标系，求出两平面的法向量，计算法向量的夹角得出 AB 的长【解答】 （I）证明：连接 BD 交 AC 于 F，连接 EFPB平面 AEC，PB平面 PBD，平面 PBD平面 ACEEF，PBEF， ，底面 ABCD 是矩形，F 是 BD 的中点， ，E 是 PD 的中点（
27、II）证明：PA平面 ABCD，CD平面 ABCD，PACD，底面 ABCD 是矩形，CDAD，又 PAAD A，CD平面 PAD，又 AE平面 PADCDAE （III）解：以 A 为原点，以 AB，AD ，AP 为坐标轴建立空间坐标系如图所示，设 ABa，则 A（0，0，0） ，C （a， ，0） ，D（0， ，0） ，P（0，0，1） ，E（0， ） ， （a， ，0） ， （0， ， ） ， （0，0，1） ，显然 （1，0，0）为平面 AED 的一个法向量，设平面 ACE 的法向量为 （x，y，z） ，则 ，即 ，令 z 得 （ ，1， ） ，二面角 DAEC 为 60，|cos |
28、 | ，解得 a ，即 AB 【点评】本题考查了线面平行的性质，线面垂直的判定，空间向量与空间角的计算，属于中档题18 （13 分）已知函数 f（x ）x （a+1）lnx（）若函数 f（x ）在点（3，f（3） ）处切线斜率为 0，求 a 的值；（）求函数 yf（x）的单调区间；（）若 f（x）在 x1 处取得极大值，求 a 的取值范围【分析】 （I）f（x ）1+ ，由题意可得：f （3）0，解得 a（II）f（x）1+ ， （x 0） 对 a 分类讨论即可得出单调性（）由 f（x）在 x1 处取得极大值，可得 f（1）0由（II）可得：a1 时满足条件【解答】解：（I）f（x ）1+ ，
29、由题意可得：f（3）1+ 0，解得 a3（II）f（x）1+ ， （x 0） 当 a 1 时，可得：函数 f（x）在（0，1）上单调递增；在（ 1，a）上单调递减；在（a，+）上单调递增当 a 1 时，可得：函数 f（x）在（0，+）上单调递增当 0 a1 时，可得：函数 f（x）在（0，a）上单调递增；在（ a，1）上单调递减；在（1，+）上单调递增当 a 0 时，可得：函数 f（x）在（0，1）上单调递减；在（ 1，+）上单调递增（）f（x）在 x1 处取得极大值，f（1）1+a（a+1）0由（II）可得：只有 a1 时满足条件，a 的取值范围是（1，+） 【点评】本题考查了利用导数研究函
30、数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题19 （14 分）已知椭圆 + 1（ab0）的离心率为 ，短轴长为 2；（）求椭圆的标准方程；（）设椭圆上顶点 A，左、右顶点分别为 B、C 直线 lAB 且交椭圆于 E、F 两点，点 E 关于 y 轴的对称点 G，求证：CFAG【分析】 （）由已知可得关于 a，b，c 的方程组，求解可得 a，b，c 的值，则椭圆方程可求；（）求出 AB 的斜率，得到直线 l 的斜率，设直线 l 的方程为 y x+m，E（x 1，y 1） ，F（x 2， y2） ，则 G（x 1，y 1） ，联立直线方程与椭圆方程，然后
31、利用根与系数的关系结合斜率公式证明 CFAG【解答】解：（）由题意可得 ，解得 a24，b 21，c 23，椭圆的标准方程为 +y21，证明：（）由（）可得 A（0，1） ，B（2，0） ，C （2，0） ，直线 lAB， k lk AB ，不妨设直线 l 的方程为 y x+m，设 E（x 1，y 1） ，F（x 2，y 2） ，则 G（x 1，y 1） ，联立 ，消 y 可得 x2+2mx+2（m 21）0由4m 28（m 21）84m 20，得 m x 1+x22m，x 1x22（m 21） ，则 k CF ，kAG ，若 kCFk AG，则 ，即 （ ） （2m 2x 1） ，即 ，即则
32、 此时成立CFAG【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题20 （13 分）给定数列 a1，a 2，a 3an，对于 i1，2，3，n1，该数列前 i 项的最大值记为 Ai，后 ni 项 ai+1，a i+2，a i+3，a n 的最小值记为 Bi，d iA iB i（）若a n为 3，4，7，5，2，写出 d1，d 2，d 3，d 4 的值；（）设 a1，a 2，a 3an（n4）是 a10，公比 q1 的等比数列，证明：d1，d 2，d 3，d n1 成等比数列【分析】本题第（）题可根据题意来逐步代入计算；第（）题根据 a10，公比q1 可判断出
33、数列a n是一个单调递增的等比数列，则可逐步代入 Ai 与 Bi 的值进行计算，最终证明出 d1，d 2，d 3，d n1 成等比数列【解答】 （）解：由题意，可知：当 i 1 时，A 13，B 12 ，d 1A 1B 1321；当 i 2 时，A 24，B 22 ，d 2A 2B 2422；当 i 3 时，A 37，B 32 ，d 3A 3B 3725；当 i 4 时，A 47，B 42 ，d 4A 4B 4725（）证明：由题意，可知：a 10，公比 q1，数列a n是一个单调递增的等比数列当 i1 时，A 1a 1，B 1a 2，d 1A 1B 1a 1a 2a 1（1q） ；当 i 2 时，A 2a 2，B 2 a3，d 2A 2B 2a 2a 3a 1（1q）q；当 i 3 时，A 3a 3，B 3 a4，d 3A 3B 3a 3a 4a 1（1q）q 2；当 i 时，A ia i，B ia i+1，d iA iB ia ia i+1a 1（1q）q i1 d 1，d 2，d 3，d n1 成首项为 a1（1q） ，公比为 q 的等比数列【点评】本题第（）题主要考查对新定义的理解应用能力；第（）题主要考查对等比数列单调性的判断以及新定义进行代入计算本题属中档题