1、2019 年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共 8 小题每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中选出符合题目要求的一项）1 （5 分）已知集合 Ax| 3x2，Bx|x4 或 x1，则 AB（ ）A x| 4x3 Bx|3x1 C x|1x2 Dx|x3 或 x12 （5 分）若复数（1+i） （a+i ）在复平面内对应的点在第三象限，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1） B （1，+） C （1，+） D （，1）3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A2 B C D4 （5 分）若 x，y 满足 ，则 2yx 的最小值是（ ）
2、A2 B3 C5 D95 （5 分）已知函数 f（x ）2 x 2 x，则 f（x） （ ）A是偶函数，且在 R 上是增函数B是奇函数，且在 R 上是增函数C是偶函数，且在 R 上是减函数D是奇函数，且在 R 上是减函数6 （5 分）设 ， 是非零向量，则“ ”是“| +2 | 2 |的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件7 （5 分）4 种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有 1 种其它产品，则不同排列方法的种数是（ ）A12 B10 C8 D68 （5 分）设函数 f（x ）的定义城为 A，如果对于任意的 x1A 都，存在 x2A，使
3、得f（x 1）+ f（x 2）2m（其中 m 为常数）成立，则称函数 f（x）在 A 上“与常数 m 相关联“”给定函数y ；yx 3；y（ ） x； ylnx；ycosx+1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分）已知 锐角，且 cos（ ） ，则 tan 10 （5 分）在（2x+1） 5 的二项展开式中，x 3 的系数是 11 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若c2，sinA2sin C，cosB ，则 a ，ABC 的面积 S 12 （5 分）在极坐
4、标系中，直线 cos+sin2 与圆 4sin 交于 A，B 两点，则|AB| 13 （5 分）能够说明“存在两个不相等的正数 a，b，使得 abab 是真命题”的一组有序数对（a，b）为 14 （5 分）过抛物线 y28x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点交抛物线的准线于点C，满足： （0）若 |AF|6，则 ；若| |6，则 的取值范围为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15 （13 分）设a n是各项均为正数的等比数列，且 a1+a24，a 39（）求a n的通项公式；（）lga 1+lga2+lgan16 （13 分）已知
5、函数 f（x ）sinxcosx+cos 2x（）求 f（x）的最小正周期；（）若 f（x）在区间 m，m 上单调递增，求实数 m 的最大值17 （13 分）高一年级某个班分成 8 个小组，利用假期参加社会公益服务活动（每个小组必须全，员参加） ，参加活动的次数记录如下：组别 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8参加活动次数3 2 4 3 2 4 1 3（）从这 8 个小组中随机选出 2 个小组在全校进行活动汇报求“选出的 2 个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率；（）记每个小组参加社会公益服务活动的次数为 X求 X 的分布列和数学期望 EX；D1 至 D7 几小组每组有 4
6、名同学， D8 小组有 5 名同学记 “该班学生参加社会公益服务活动的平均次数”为 ，写出 与 EX 的大小关系（结论不要求证明） 18 （13 分）已知函数 f（x ）lnx+ax 2+（a+2）x，a R（）讨论 f（x ）的单调性；（）当 a0，证明：f（x ） 219 （14 分）已知椭圆 M： 1（ab0）的离心率为 ，长轴长为 2 （）求椭圆 M 的方程；（）直线 l：x my + 交椭圆 M 于 A，B 两点F 为椭圆 M 的右焦点，自点 A，B 分别向直线 x 作垂线，垂足分别为 A1，B 1，记FA 1B1 的面积为 S，求 S 的最大值及此时直线 l 的方程20 （14 分
7、）在如图所示的数阵中每一行从左到右均是首项为 1，项数为 n 的等差数列，设第 m（mn，mN*）行的等差数列中的第 k 项为 amk（k1，2，3，n） ，公差为dm，若 d11，d 23，且 a1n，a 2n，a 3n，a nn 也成等差数列（）求 a3n；（）求 dm（3mn）关于 m 的表达式；（）若数阵中第 i 行所有数之和 ai1+ai2+ai3+ainS 1，第 j 列所有数之和为a1j+a2j+a3j+anjS 2，是否存在 i，j 满足 3i j，使得 S1S 2 成立？若存在，请求出i，j 的一组值；若不存在，请说明理由2019 年北京市顺义区高考数学一模试卷（理科）参考答
8、案与试题解析一、选择题（本大题共 8 小题每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中选出符合题目要求的一项）1 （5 分）已知集合 Ax| 3x2，Bx|x4 或 x1，则 AB（ ）A x| 4x3 Bx|3x1 C x|1x2 D x|x3 或x1【分析】进行交集的运算即可【解答】解：Ax| 3x2，Bx|x4 或 x1；ABx|1 x2故选：C【点评】考查描述法的定义，以及交集的运算2 （5 分）若复数（1+i） （a+i ）在复平面内对应的点在第三象限，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1） B （1，+） C （1，+） D （，1）【分析】利用复数代数形式的乘除运算
9、变形，再由实部与虚部均小于 0 求解 a 的取值范围【解答】解：复数（1+i） （ a+i）（a1）+ （a+1）i 在复平面内对应的点在第三象限， ，即 a1实数 a 的取值范围是（，1） 故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A2 B C D【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，k1，S2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，k2，S
10、，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，k3，S ，满足退出循环的条件；故输出 S 值为 ，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题4 （5 分）若 x，y 满足 ，则 2yx 的最小值是（ ）A2 B3 C5 D9【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由 x，y 满足 作出可行域如图，A（1，2） ，化 z2yx 为 y x+ ，由图可知，当直线 y x+ 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为：413故选：
11、B【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题5 （5 分）已知函数 f（x ）2 x 2 x，则 f（x） （ ）A是偶函数，且在 R 上是增函数B是奇函数，且在 R 上是增函数C是偶函数，且在 R 上是减函数D是奇函数，且在 R 上是减函数【分析】根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，根据常见函数的单调性判断函数的单调性即可【解答】解： ，f（x）为奇函数，又函数 与 y2 x 都是减函数，两个减函数之和仍为减函数故选：D【点评】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，是一道基础题6 （5 分）设 ， 是非零向量，则“ ”是“| +2 | 2 |的（ ）A充分不必要条
12、件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若“| +2 | 2 |，则平方得| |2+4| |2+4 | |2+4| |24 ，即 4 4 ，得 0，即 ，则“ ”是“| +2 | 2 |的充要条件，故选：C【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合向量数量积的应用利用平方法是解决本题的关键7 （5 分）4 种不同产品排成一排参加展览，要求甲、乙两种产品之间至少有 1 种其它产品，则不同排列方法的种数是（ ）A12 B10 C8 D6【分析】先求出所有的排法，再排除甲乙相邻的排法，即得甲、乙两
13、种产品之间至少有1 种其它产品，则不同排列方法的种数【解答】解：4 种不同产品排成一排所有的排法共有 A4424 种，其中甲、乙两种产品相邻的排法有 A22A3312 种，故甲、乙两种产品之间至少有 1 种其它产品，则不同排列方法的种数是排法有241212 种故选：A【点评】本题主要考查排列与组合及两个基本原理的应用，相邻的问题用捆绑法，属于中档题8 （5 分）设函数 f（x ）的定义城为 A，如果对于任意的 x1A 都，存在 x2A，使得f（x 1）+ f（x 2）2m（其中 m 为常数）成立，则称函数 f（x）在 A 上“与常数 m 相关联“”给定函数y ；yx 3；y（ ） x； yln
14、x；ycosx+1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是（ ）A B C D【分析】根据常数 1 相关联的定义得 f（x 1）+f（x 2）2，判断对于任意的 x1A 都，x2A 是否存在即可【解答】解：若在其定义域上与常数 1 相关联，则满足 f（x 1）+f（x 2）2，y 的定义域为x |x0，由 f（x 1）+ f（x 2）2 得 + 2，即 2 ，当 x1 时，2 220，此时 0 无解，不满足条件；yx 3 的定义域为 R，由 f（x 1）+f （x 2）2 得由（x 1） 3+（x 2） 32，即 x2 唯一，满足条件；y（ ） x 定义域为 R，由 f（x 1）+f（x
15、 2）2 得由（ ） +（ ） 2；即（ ） 2（ ） ，当 x12 时， （ ） 2（ ） 242 无解，不满足条件ylnx 定义域为x| x0，由 f（x 1）+f（x 2）2 得 lnx1+lnx22 得 lnx1x22，即 x1x2e 2；x 2 ，满足唯一性，满足条件；ycosx+1 的定义域为 R，由 f（x 1）+f（x 2）2 得 cosx1+cosx22，得cosx2 2cosx 1，当 x1 时，cos x22cosx 1202，无解，不满足条件故满足条件的函数是 ，故选：D【点评】本题主要考查与函数方程有关的命题的真假判断，结合常数 1 相关联的定义得f（x 1）+f（x
16、 2） 2，判断 x2A 是否存在是解决本题的关键二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分）已知 锐角，且 cos（ ） ，则 tan 【分析】由已知利用诱导公式求得 ，进一步得到 tan的值【解答】解：由 cos（ ） ，得 sin ， 是锐角，60，则 tan 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查由已知三角函数值求角，是基础题10 （5 分）在（2x+1） 5 的二项展开式中，x 3 的系数是 80 【分析】利用二项展开式的通项公式写出第 r+1 项，令 x 的指数为 3 求出展开式中 x3 的系数【解答】解：设求的项为 Tr+1C 5r
17、（2x） 5r ，今 r2，T 32 3C52x380x 3x 3 的系数是 80故答案为：80【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具11 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若c2，sinA2sin C，cosB ，则 a 4 ，ABC 的面积 S 【分析】由正弦定理求得 a 的值，再根据同角的三角函数关系和三角形面积公式求出结果【解答】解：ABC 中，c2，sinA2sin C，由正弦定理得 ，解得 a 4；又 cosB ，所以 sinB ，所以ABC 的面积为S acsinB 42 故答案为：4， 【点评】本题考查了正弦定理与
18、三角形面积计算问题，是基础题12 （5 分）在极坐标系中，直线 cos+sin2 与圆 4sin 交于 A，B 两点，则|AB| 4 【分析】首先把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，进一步判断直线与圆的位置关系，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果【解答】解：直线 cos+sin2 转换为直角坐标方程为： ，圆 4sin 转换为直角坐标方程为： x2+y24y，转换为标准式为：x 2+（y 2） 24，则：圆心（0，2）到直线 的距离 d ，故直线经过圆心，则：|AB|4，故答案为：4【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线与圆的位置关系的
19、应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型13 （5 分）能够说明“存在两个不相等的正数 a，b，使得 abab 是真命题”的一组有序数对（a，b）为 （ ， ） 【分析】直接利用探索法求出结果【解答】解：当 a ，b 时，存在两个不相等的正数 a，b，使得 a+bab 是真命题故答案为：a ，b 【点评】本题考查的知识要点：合情推理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型14 （5 分）过抛物线 y28x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点交抛物线的准线于点C，满足： （0）若 |AF|6，则 2 ；若| |6，则 的取值范围为 2 【分析】由题意，抛物线 y
20、28x 的准线为 x2，|AF| 6，求出 A 的坐标，可得 AB的方程，代入抛物线方程，求出 B 的坐标，利用 3，求出 的值，设直线 AB 的方程为 yk （x2） ，根据韦达定理，求出点 A 的坐标，根据抛物线的性质可得| |x 1+ 6+ 6，解得即可【解答】解：由题意，抛物线 y28x 的准线为 x2， |AF|6，所以 A（4，4 ）（另一种情况同理） 所以 AF 的斜率为 2 ，方程为 y2 （x 2） ，代入抛物线方程可得 x25x +40，所以可得 B（1，2 ） ，因为： （0） ，所以 3，设直线 AB 的方程为 yk （x2） ，代入到 y28x，可得 k2x2（4k
21、2+8）x+4k 20，x 1x24由 ，可得 C（ 2，4k ） ， （2x 2，4k y 2） ， （x 22，y2） ， （0）2x 2（x 22） ，x 2 ，x 1 ，| | x1+ +26+ 6，解得 2故答案为：2，2【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15 （13 分）设a n是各项均为正数的等比数列，且 a1+a24，a 39（）求a n的通项公式；（）lga 1+lga2+lgan【分析】 （）利用已知条件求出数列的通项公式（）利用
22、（）的结论和等差数列的性质及对数的运算求出结果【解答】解：（）数列a n是各项均为正数的等比等列，且 a1+a24，a 39设首项为 a1，公比为 q，则： ，整理得：4q 29q90，解得：q3 或 （负值舍去） ，故：a 11，所以： ，（）由于 ，则：lga 1+lga2+lganlg（13 1323n1 ） ，lg3 1+2+（n 1） ， 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，对数的运算的应用，等比数列的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型16 （13 分）已知函数 f（x ）sinxcosx+cos 2x（）求 f（x）的最小正周期；（）若
23、f（x）在区间 m，m 上单调递增，求实数 m 的最大值【分析】 （）由三角恒等变换、三角函数的周期得：f（x）sinxcosx+cos 2x+ sin（2x+ ）+ ，则周期 T ，（）由三角函数的单调性及集合的包含关系得：m，m ， ，即0m ，即实数 m 的最大值为 ，得解【解答】解：（）f（x ）sinxcosx+cos 2x + sin（2x+ ）+，则周期 T ，故答案为：（）令 2k ，解得 k （kZ） ，由 f（x）在区间 m，m上单调递增，得：m，m ， ，即 0m ，即实数 m 的最大值为 ，故答案为：【点评】本题考查了三角恒等变换、三角函数的周期及三角函数的单调性及集合
24、的包含关系，属中档题17 （13 分）高一年级某个班分成 8 个小组，利用假期参加社会公益服务活动（每个小组必须全，员参加） ，参加活动的次数记录如下：组别 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8参加活动次数3 2 4 3 2 4 1 3（）从这 8 个小组中随机选出 2 个小组在全校进行活动汇报求“选出的 2 个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率；（）记每个小组参加社会公益服务活动的次数为 X求 X 的分布列和数学期望 EX；D1 至 D7 几小组每组有 4 名同学， D8 小组有 5 名同学记 “该班学生参加社会公益服务活动的平均次数”为 ，写出 与 EX 的大小关系（结论不
25、要求证明） 【分析】 （）根据题意知从 8 个小组中随机选出 2 个小组的基本事件数，计算所求的概率值；（） 由题意知随机变量 X 的可能取值，计算对应的频率值，写出 X 的分布列，求出数学期望值；由 D1 至 D8 几小组每组的同学数，结合题意得出 EX 【解答】解：（）从这 8 个小组中随机选出 2 个小组在全校进行活动汇报，基本事件总数为 n 28，选出的 2 个小组参加社会公益服务活动次数相等包含的基本事件个数为m + + 5，“选出的 2 个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率为 p ；（） 由题意知，随机变量 X 的可能取值为 1，2，3，4；则 P（X1） ，P （X2） ，
26、P（X3） ，P （X4） ，所以 X 的分布列为：X 1 2 3 4P数学期望为 E（X）1 +2 +3 +4 ；由 D1 至 D7 几小组每组有 4 名同学，D 8 小组有 5 名同学，且每一组对应的数据知，EX【点评】本题考查了古典概型的概率求法问题，也考查了组合知识的应用问题，是中档题18 （13 分）已知函数 f（x ）lnx+ax 2+（a+2）x，a R（）讨论 f（x ）的单调性；（）当 a0，证明：f（x ） 2【分析】 （）求出原函数的导函数，可得当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上是单调增函数；当 a0 时，求出导函数的零点，把定义域分段，由导函数在各区间段的
27、符号确定原函数的单调区间；（）由（）可得，当 a0 时，求出函数的最大值 f（ ） ，问题转化为ln（ ）+ +10 在 a0 时恒成立，换元后利用导数求最值得答案【解答】解：（）f（x ）lnx+ax 2+（a+2）x，f（x） +2ax+a+2 （x 0） 当 a0 时，f（x ）0，f（x）在（0，+）上是单调增函数；当 a0 时，f（x ） ，当 x（0， ）时，f（x）0，当 x（ ，+）时，f（x）0，f（x）在（0 ， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减综上，当 a0 时，f（x ）在（0，+）上是单调增函数，当 a0 时，f（x ）在（0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递
28、减；（）证明：由（）可得，当 a0 时，f（x） maxf（ ）ln（ ）+ ln（ ） 1由 f（x） 2，得 ln（ ）+ +10 恒成立，令 t ，g（t）lntt+1（t 0） ，则 g（t） 1 ，当 t（0，1）时，g（t）0，g（t ）单调递增，当 t（1，+）时，g（t）0，g（t ）单调递减g（t）的最大值为 g（1） 0，故当 a0，f（x ） 2【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法19 （14 分）已知椭圆 M： 1（ab0）的离心率为 ，长轴长为 2 （）求椭圆 M 的方程；（）直线 l：x my + 交椭圆 M 于 A，B
29、 两点F 为椭圆 M 的右焦点，自点 A，B 分别向直线 x 作垂线，垂足分别为 A1，B 1，记FA 1B1 的面积为 S，求 S 的最大值及此时直线 l 的方程【分析】 （）由题意可得 2a2 ，则 a ，由 e ，可得 c ，可得b2a 2c 21，即可求出椭圆方程，（）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 ，消 x 可得（m 2+3）y2+2 my10，根据韦达定理和三角形的面积，结合基本不等式即可求出【解答】解：（）由题意可得 2a2 ，则 a ，e ，c ，b 2a 2c 21，椭圆 M 的方程为 +y2 1；（）由（）可得 F（ ，0） ，设 A（x 1，y 1
30、） ，B（x 2，y 2） ，由题意可得A1（ ，y 1） ，B1（ ，y 2） ，由 ，消 x 可得（m 2+3）y 2+2 my10，y 1+y2 ，y 1y2 ，|A 1B1| y1y 2| ，点 F 为到直线 x 的距离 d ，FA 1B1 的面积为 S |A1B1|d ，令 t，则 t1，S ，当且仅当 t 时，即 m1 时取等号，故 S 的最大值为 及此时直线 l 的方程 x+y 0 或 xy 0【点评】本题重点考查了椭圆的概念和基本性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系，基本不等式，韦达定理等知识，属于中档题20 （14 分）在如图所示的数阵中每一行从左到右均是首项为 1，项数为
31、n 的等差数列，设第 m（mn，mN*）行的等差数列中的第 k 项为 amk（k1，2，3，n） ，公差为dm，若 d11，d 23，且 a1n，a 2n，a 3n，a nn 也成等差数列（）求 a3n；（）求 dm（3mn）关于 m 的表达式；（）若数阵中第 i 行所有数之和 ai1+ai2+ai3+ainS 1，第 j 列所有数之和为a1j+a2j+a3j+anjS 2，是否存在 i，j 满足 3i j，使得 S1S 2 成立？若存在，请求出i，j 的一组值；若不存在，请说明理由【分析】本题的数阵中蕴涵着很多个等差数列，包括每一行都成等差数列，最后一列也成等差数列，每一行的公差也成等差数列
32、，把握住这些，然后细心运算【解答】解：（）由题意，可知：数阵中的第 1 行是以 a111 为首相，d 11 为公差的等差数列，数阵中的第 1 行的最后一项 a1na 11+（n1）d 11+（n1）1n又数阵中的第 2 行是以 a211 为首相，d 23 为公差的等差数列，数阵中的第 2 行的最后一项 a2na 21+（n1）d 21+（n1）33n2数阵中的每行的最后一项 a1n，a 2n，a 3n，a nn 也成等差数列a 3n2a 2na 1n2（3n2）n5n4（）由（）可知：a1nn，a 2na 1n（3n2）n2（n1） 数阵中的每行的最后一项 a1n，a 2n，a 3n，a nn
33、 是以 a1nn 为首项，d2（n1）为公差的等差数列等差数列 a1n，a 2n，a 3n，a nn 中的第 m 项 amna 1n+（m 1）dn+（m1）2（n1）n+2（n1） （m1） 数阵第 m 行中第 1 项 am11，最后一项第 n 项 amnn+2（n1） （m1） ，而数阵第m 行也是等差数列数阵第 m 行的公差 dm（a mna m1）（n1） 2m1d m2m1， （其中 3mn） （）由题意及（） （） ，可知：数阵中第 i 行是以 ai11 为首项，d i2i 1 为公差的等差数列S 1n+ （2i1） 由（）可知：dm是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列d 1+
34、d2+dnn1+ 2n 2a 1ja 11+（j 1）d 11+ （ j1）d 1a2ja 21+（j1）d 21+ （j1）d 2a3ja 31+（j1）d 31+ （j1）d 3anja n1+（j1）d n1+ （j1）d n等差数列S21n+（j1 ）（d 1+d2+dn）n+（j1）n 2假设 S1S2 成立，即 n+ （2i1）n+（j 1） n2整理，得：（2i1）n（ 2i1）2（j1）n要使此式成立，必须有：，解得：i ，j1很明显，这与题中条件 3ij 相矛盾不存在 i，j 的一组值，使得 S1S 2 成立【点评】本题借助一个数阵来考查等差数列的知识，本题比较繁杂，需要一定的细心程度，第（）题采用了先假设成立，再证明矛盾这样的一种反证法来思考，本题属较难题