1、2019 年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，Bx|2 x1，则（ ）AAB BABR CBA DA B2 （5 分）已知 a 为实数，若复数（a+i） （12i ）为纯虚数，则 a（ ）A2 B C D23 （5 分）已知双曲线 的一条渐近线过圆 P：（x2） 2+（y+4） 21 的圆心，则 C 的离心率为（ ）A B C D34 （5 分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的九章算术注中首创“割圆术” ，所谓“割圆术” ，是用圆
2、内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心 O，圆 O 的半径为 2，现随机向圆 O 内段放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正十二边形内（a，bN *，ba） ，则圆固率的近似值为（ ）A B C D5 （5 分）若等边三角形 ABC 的边长为 1，点 M 满足 ，则 （ ）A B2 C D36 （5 分）设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，若 m 为大于 1 的正整数，且am1 a m2+am+11，S 2m1 11，则 m（ ）A11 B10 C6 D57 （5 分）如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小
3、孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 T若鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间为 t，则函数 hf（t）的图象大致是（ ）A BC D8 （5 分） （2x 3） （x +a） 5 的展开式的各项系数和为 32，则该展开式中 x4 的系数是（ ）A5 B10 C15 D209 （5 分）已知函数 f（x ）cos （x+） （0，0）是奇函数，且在上单调递减，则 的最大值是（ ）A B C D210 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A B7 C D811 （5 分）已知以 F 为焦点的抛物线 C：y 24
4、x 上的两点 A，B，满足，则弦 AB 的中点到 C 的准线的距离的最大值是（ ）A2 B C D412 （5 分）已知函数 ，的图象上存在关于直线 x1 对称的不同两点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （e 21，+） B （e 2+1，+） C （，e 21） D （，e 2+1）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）设 Sn 是等比数列a n的前 n 项和，若 S36， S654，则 a1 14 （5 分）若函数 的图象在点（1，f（1） ）处的切线过点（2，4） ，则 a 15 （5 分）已知关于 x，y 的不等式组 ，表示的平面区域内存在点P（x
5、 0，y 0） ，满足 x02y 02，则 m 的取值范围是 16 （5 分）已知直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1，的所有棱长都是 1，ABC60，ACBDO，A 1C1B 1D1 O1，点 H 在线段 OB1 上，OH 3HB 1，点 M 是线段 BD 上的动点，则三棱锥 MC 1O1H 的体积的最小值为 三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ccosB（3ab）cos
6、C（1）求 sinC 的值；（2）若 ，ba2，求ABC 的面积18 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，ABC 是等边三角形，BADBCD90，点 P 是AC 的中点，连接 BP，DP （1）证明：平面 ACD平面 BDP；（2）若 BD ，且二面角 ABD C 为 120，求直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值19 （12 分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数 的分布列为 2 3 4P 0.4 a b其中 0a1，0b1（1）求购买该商品的 3 位顾客中，恰有 2 位选择分 2 期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分
7、 2 期付款，则商场获得的利润为 200 元；若顾客选择分 3 期付款，则商场获得的利润为 250 元；若顾客选择分 4 期付款，则商场获得的利润为 300 元商场销售两件该商品所获得的利润记为 X（单位：元）（1）求 X 的分布列；（2）若 P（X 500）0.8，求 X 的数学期望 EX 的最大值20 （12 分）已知椭圆 的两个焦点和两个顶点在图O：x 2+y21 上（1）求椭圆 C 的方程（2）若点 F 是 C 的左焦点，过点 P（m，0） （m 1）作圆 O 的切线 l，l 交 C 于 A，B两点求ABF 的面积的最大值21 （12 分）已知函数 f（x ）e 2xax 2，a R（
8、1）若 f（x）在（ 0，+）上单调递增，求 a 的取值范围；（2）若 f（x）在（ 0，+）上存在极大值 M，证明： （二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2 的极坐标方程为（a R） （1）写出曲线 C1 的普通方程和直线 C2 的直角坐标方程；（2）若直线 C2 与曲线 C1 有两个不同交点，求 a 的取值范围选修 4-5：不等式选讲 （10 分
9、）23已知函数 f（x ）|x +a|2 x1|（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）0 的解集；（2）若 a0，不等式 f（x ）1 对 xR 都成立，求 a 的取值范围2019 年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| x22x 0 ，Bx|2 x1，则（ ）AAB BABR CBA DA B【分析】首先化简集合，再求交集，并集即可【解答】解：集合 Ax| x22x 0 x|0x 2 ，集合 Bx |2x1 x|x0，A、ABx|0x
10、 2，故本选项错误；B、ABx| x0，故本选项错误；C、AB，故本选项错误；D、AB，故本选项正确；故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础2 （5 分）已知 a 为实数，若复数（a+i） （12i ）为纯虚数，则 a（ ）A2 B C D2【分析】根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可【解答】解：（a+i） （12i）a+2+（12a）i，复数是纯虚数，a+20 且 12a0，得 a2 且 a ，即 a2，故选：A【点评】本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键3 （5 分）已知双曲线 的一条渐近线过圆 P：（x2）
11、 2+（y+4） 21 的圆心，则 C 的离心率为（ ）A B C D3【分析】求出圆心坐标，代入渐近线方程没去成 b，然后求解双曲线的离心率【解答】解：圆 P：（x 2） 2+（y+4） 21 的圆心（2，4） ，双曲线的一条渐近线为：ybx，双曲线 的一条渐近线过圆 P：（x2） 2+（y+4） 21 的圆心，可得 2b4，所以 b2，a1，则 c ，则 C 的离心率为： 故选：C【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查4 （5 分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的九章算术注中首创“割圆术” ，所谓“割圆术” ，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率
12、的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心 O，圆 O 的半径为 2，现随机向圆 O 内段放 a 粒豆子，其中有 b 粒豆子落在正十二边形内（a，bN *，ba） ，则圆固率的近似值为（ ）A B C D【分析】由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得： ，所以 ，即 ，得解【解答】解：由几何概型中的面积型可得： ，所以 ，即 ，故选：C【点评】本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题5 （5 分）若等边三角形 ABC 的边长为 1，点 M 满足 ，则 （ ）A B2 C D3【分析】本题可根据平行四边形法则画出图形找到 M 点的位置，然后根据两个向量的数
13、量积的性质进行计算【解答】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知： ， 12 +1213故选：D【点评】本题主要考查两个向量的数量积的计算，属基础题6 （5 分）设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，若 m 为大于 1 的正整数，且am1 a m2+am+11，S 2m1 11，则 m（ ）A11 B10 C6 D5【分析】直接利用等差数列的性质的应用和等差数列的前 n 项和公式的应用求出结果【解答】解：S n 是等差数列a n的前 n 项和，若 m 为大于 1 的正整数，且 am1 a m2+am+11，则： ，解得：a m1S2m1 11，解得：m6故选：C【点评】本题
14、考查的知识要点：等差数列的通项公式的性质的应用，等差数列的前 n 项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型7 （5 分）如图，一高为 H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 T若鱼缸水深为 h 时，水流出所用时间为 t，则函数 hf（t）的图象大致是（ ）A BC D【分析】根据时间和 h 的对应关系分别进行排除即可【解答】解：函数 hf（t）是关于 t 的减函数，故排除 C，D，则一开始，h 随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h 随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为 B，故选：B【点评】本题主要考查函数与图
15、象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键8 （5 分） （2x 3） （x +a） 5 的展开式的各项系数和为 32，则该展开式中 x4 的系数是（ ）A5 B10 C15 D20【分析】令 x1，可得展开式的各项系数和，再根据展开式的各项系数和为 32，求得a 的值，再利用通项公式可得该展开式中 x4 的系数【解答】解：（2x 3） （x+a） 5 的展开式的各项系数和为 32，则（21） （1+a）532，a1，该展开式中 x4 的系数是 2 a1 a410a5a 45，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的 x 赋值，求展开式
16、的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题9 （5 分）已知函数 f（x ）cos （x+） （0，0）是奇函数，且在上单调递减，则 的最大值是（ ）A B C D2【分析】直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值【解答】解：函数 f（x ）cos（x+） （0，0）是奇函数，则： 所以：f（x） cos（x+ ） ，令： （kZ） ，解得： （kZ） ，由于函数在 上单调递减，故： ，当 k0 时，整理得： ，故： ，所以最大值为 故选：C【点评】本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10 （5
17、分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为 2 的正方形，则该几何体的表面积为（ ）A B7 C D8【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可【解答】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个 的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为 2，可得：该几何体的表面积为： +212+227故选：B【点评】本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力11 （5 分）已知以 F 为焦点的抛物线 C：y 24x 上的两点 A，B，满足，则弦 AB 的中点到 C 的准线的距离的最大值是（ ）A2 B C D4【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物
18、线的定义即条件，求出 A，B 的中点横坐标，即可求出线段 AB 的中点到抛物线准线的距离【解答】解：抛物线 y24x 的焦点坐标为（1，0） ，准线方程为 x1设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则|AF| |BF|， x 1+1（x 2+1） ，x 1x 2+1|y 1|y 2|，x 1 2x2，当 1 时，弦 AB 的中点到 C 的准线的距离 2当 1 时，x 1，x 2 ，|AB|（ x1+1）+ （x 2+1） ，（+ +2） max 则弦 AB 的中点到 C 的准线的距离 d ，d 最大值是 ，弦 AB 的中点到 C 的准线的距离的最大值是 故选：B【点评】本题考查解
19、决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义得到中点到准线的距离，属于中档题 12 （5 分）已知函数 ，的图象上存在关于直线 x1 对称的不同两点，则实数 a 的取值范围是（ ）A （e 21，+） B （e 2+1，+） C （，e 21） D （，e 2+1）【分析】求出 f（x ）关于直线 x1 对称的函数 g（x） ，则 g（x）与 f（x）在（，1）上有公共解，根据两函数的单调性列出不等式即可得出 a 的范围【解答】解：当 x1 时，f（x） x+ ，设 f（x）在（1 ，+）上的图象关于 x1 的对称图象为 g（x） ，则 g（x）f（ 2x）2x+ （x1） ，由题意可知
20、f（x ）与 g（x）在（，1）上有公共点g（x）1+ 0，g（x）在（，1）上单调递减，又 f（x）ln（x +a）在（ ，1）上单调递增，g（1）f（1） ，即 2ln（1+a） ，解得 ae 21故选：A【点评】本题考查了函数零点与单调性的关系，属于中档题二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）设 Sn 是等比数列a n的前 n 项和，若 S36， S654，则 a1 【分析】先利用等比数列的求和公式分别表示出 S3 及 S6，代入已知的等式，两者相除并利用平方差公式化简后，得到关于 q 的方程，求出方程的解得到 q 的值即可求出首项【解答】解：S 3
21、6，S 6 54， 1+q 39，解得 q38，则 q2， 6，解得 a1故答案为：【点评】此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前 n 项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键14 （5 分）若函数 的图象在点（1，f（1） ）处的切线过点（2，4） ，则 a 2 【分析】求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可【解答】解：函数 的导数为：f（x ）a+ ，f（1）a+3 ，而f（1）a3，切线方程为：ya+3（a+3） （x1） ，因为切线方程经过（2，4） ，所以 4a+3（a+3 ） （21） ，解得 a2故答案为：2【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力1
22、5 （5 分）已知关于 x，y 的不等式组 ，表示的平面区域内存在点P（x 0，y 0） ，满足 x02y 02，则 m 的取值范围是 （ 【分析】作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点 P（x 0，y 0）满足x02y 02，则平面区域内必存在一个 C 点在直线 x2y2 的下方，A 在直线是上方，由图象可得 m 的取值范围【解答】解：作出 x，y 的不等式组 对应的平面如图：交点 C 的坐标为（m，2） ，直线 x2y2 的斜率为 ，斜截式方程为 y x1，要使平面区域内存在点 P（x 0，y 0）满足 x02y 02，则点 C（m，2）必在直线 x2y2 的下方，即2 m1，
23、解得 m2，并且 A 在直线的上方；A（m，12m） ，可得 12m 1，解得 m ，故 m 的取值范围是：（ ， 故答案为：（， 【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强16 （5 分）已知直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1，的所有棱长都是 1，ABC60，ACBDO，A 1C1B 1D1 O1，点 H 在线段 OB1 上，OH 3HB 1，点 M 是线段 BD 上的动点，则三棱锥 MC 1O1H 的体积的最小值为 【分析】当 M 与 B 重合时 O1HM 的面积最小，故三棱锥 MC 1O1H 的体积最小，求出O 1BH 的面积，代入棱锥的体积公式计
24、算即可【解答】解：因为直四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面是菱形，ABC60，边长为1，O 1C1平面 BB1D1D，且 O1C1 ，O 1B1 ，C 1 到平面 BB1D1D 的距离为 O1C1 ，OH3HB 1，点 M 是线段 BD 上的动点，当 M 在 B 处时 O 1MH 的面积取得最小值连接 O1B，则 O1BOB 1 ，B 1 到 O1B 的距离 d ，OH3HB 1，H 到直线 O1B 的距离为 d S ，V S O1C1 故答案为： 【点评】考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题三、解答题：共 70 分解答应
25、写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 ccosB（3ab）cosC（1）求 sinC 的值；（2）若 ，ba2，求ABC 的面积【分析】 （1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出 cosC 的值，利用同角三角函数基本关系式可求 sinC 的值；（2）利用余弦定理及已知可求 ab 的值，利用三角形的面积公式即可计算得解【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）ccosB（3ab）cosC，
26、由正弦定理可知，sinCcosB 3sin AcosCsinBcosC，1 分即 sinCcosB+cosCsinB3sin AcosC，sin（C +B） 3sinAcosC，2 分A+ B+C ，sinA3sinAcosC，3 分sinA0，cosC ，4 分0C ，sinC ；6 分（2） ，cosC ，由余弦定理：c 2a 2+b22abcosC，可得：24a 2+b2 ab，8 分（ab） 2+ ab24，9 分ba2，解得：ab15，10 分S ABC absinC 5 12 分【点评】此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于
27、基础题18 （12 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，ABC 是等边三角形，BADBCD90，点 P 是AC 的中点，连接 BP，DP （1）证明：平面 ACD平面 BDP；（2）若 BD ，且二面角 ABD C 为 120，求直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值【分析】 （1）推导出 ADCD ，PD AC ，PBAC，从而 AC平面 PBD，由此能证明平面 ACD平面 BDP（2）作 CEBD，垂足为 E，连结 AE，则 AEBD ，AECE ，AEC 为二面角ABDC 的平面角，由二面角 ABDC 为 120，得AEC120，由余弦定理得AC ，推导出 BD平面 AEC，则平面 A
28、EC平面 BCD，过点 A 作 AOCE，垂足为 O，则 AO平面 BCD，连结 OD，则ADO 是直线 AD 与平面 BCD 所成角，由此能求出直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值【解答】证明：（1）ABC 是等边三角形，BADBCD90，RtABDRtBCD，ADCD ，点 P 是 AC 的中点，则 PDAC，PBAC ，PDPBP，AC平面 PBD，AC平面 ACD，平面 ACD平面 BDP解：（2）作 CEBD，垂足为 E，连结 AE，RtABDRtBCD，AEBD ，AECE，AEC 为二面角 ABDC 的平面角，由已知二面角 ABDC 为 120，AEC120，在等腰AEC
29、中，由余弦定理得 AC ，ABC 是等边三角形，ACAB，AB ，在 Rt ABD 中， ，BD ，BD ，AD ，BD 2AB 2+AD2，AB 2 ，AE ， ，由上述可知 BD平面 AEC，则平面 AEC平面 BCD，过点 A 作 AO CE，垂足为 O，则 AO平面 BCD，连结 OD，则ADO 是直线 AD 与平面 BCD 所成角，在 Rt AEO 中，AEO60，AO ，AE 1，sin ，直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值为 【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （12
30、分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数 的分布列为 2 3 4P 0.4 a b其中 0a1，0b1（1）求购买该商品的 3 位顾客中，恰有 2 位选择分 2 期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分 2 期付款，则商场获得的利润为 200 元；若顾客选择分 3 期付款，则商场获得的利润为 250 元；若顾客选择分 4 期付款，则商场获得的利润为 300 元商场销售两件该商品所获得的利润记为 X（单位：元）（1）求 X 的分布列；（2）若 P（X 500）0.8，求 X 的数学期望 EX 的最大值【分析】 （1）设购买该商品的 3 位顾
31、客中，选择分 2 期付款的人数为 ，依题意得B（ 3，0.4） ，由此能求出购买该商品的 3 位顾客中，恰有 2 位选择分 2 期付款的概率（2） （i）依题意 X 的取值分别为 400，450，500，550，600，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列（2）P（X 500）P （X400）+P（X450）+P（X500）0.16+0.8（a+b）+a 2，根据 0.4+a+b1，得 b0.6a，由 P（X500）0.8，得 a0.4，由 b0，得a0.6，由此能求出 X 的数学期望 E（X）的最大值【解答】角：（1）设购买该商品的 3 位顾客中，选择分 2 期付款的人数为 ，依题意
32、得 B（3，0.4） ，则 P（ 2） ，购买该商品的 3 位顾客中，恰有 2 位选择分 2 期付款的概率为 0.288（2） （i）依题意 X 的取值分别为 400，450，500，550，600，P（X400）0.40.40.16，P（X450）20.4a0.8a，P（X500）20.4b+a 20.8b+a 2，P（X550）2ab，P（X600）b 2，X 的分布列为：X 400 450 500 550 600P 0.16 0.8a 0.8b+a2 2ab b2（2）P（X 500）P （X400）+P（X450）+P（X500）0.16+0.8（a+b）+a 2，根据 0.4+a+b
33、1，得 a+b0.6 ，b0.6a，P（X500）0.8，0.16+0.48+a 20.8，解得 a0.4 或 a0.4，a0，a0.4，b0，0.6a0，解得 a0.6，a0.4，0.6） ，E（X）4000.16+4500.8a+500（0.8b+a 2）+1100 ab+600b2520100a，当 a0.4 时，E（X）的最大值为 480，X 的数学期望 E（X ）的最大值为 480【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题20 （12 分）已知椭圆 的两个焦点和两个顶点在图O：x 2+y21 上（1）求椭圆 C 的
34、方程（2）若点 F 是 C 的左焦点，过点 P（m，0） （m 1）作圆 O 的切线 l，l 交 C 于 A，B两点求ABF 的面积的最大值【分析】 （1）根据根据题意可得 bc1，故 a2b 2+c22，即可求出椭圆方程，（2）过点 P（m，0） （m1）作圆 O 的切线 l 的方程为 xty+m，可得 m2t 2+1，设A（x 1， y1） ，B（x 2，y 2） ，由 ，消 x 可得（t 2+2）y 2+2tmy+m220，根据韦达定理和三角形面积即可表示出 S ，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出面积的最大值【解答】解：（1）由椭圆 可知焦点在 x 轴上，圆 O：x 2+y21
35、与 x 轴的两个交点坐标为（1，0） ， （1，0） ，与 y 轴的两个交点的坐标分别为（0，1） ， （0，1） ，根据题意可得 bc1，故 a2b 2+c22，故椭圆方程为 +y21（2）设过点 P（m，0） （m1）作圆 O 的切线 l 的方程为 xty+m，则 1，即 m2t 2+1设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，由 ，消 x 可得（t 2+2）y 2+2tmy+m220，则（2tm） 24（t 2+2） （ m22）80，y 1+y2 ，y 1y2 ，|y 1y 2| ，ABF 的面积 S |PF|y1y 2| ，令 f（m） ，m 1f（m） ，当 m1 时，f
36、（m）0，f（m）在1，+）上单调递减，f（m）f（1） ，故ABF 的面积的最大值为【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、韦达定理、三角形面积计算公式、导数和函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题21 （12 分）已知函数 f（x ）e 2xax 2，a R（1）若 f（x）在（ 0，+）上单调递增，求 a 的取值范围；（2）若 f（x）在（ 0，+）上存在极大值 M，证明： 【分析】 （1）求函数的导数，利用函数的单调性转化为 f（x）0 恒成立进行求解（2）求函数的导数，结合函数极大值的定义，讨论 a 范围，进行证明即可【解答】解
37、：（1）函数的导数 f（x ）2e 2x2ax，若 f（x）在（0 ，+）上单调递增，即 f（x）0 恒成立，即 2e2x2ax0，得 a 在（0，+）上恒成立，设 h（x） ，则 h（x） ，当 0x 时，h（x ）0，此时函数为减函数，由 x 时，h（x ）0，此时函数为增函数，即当 x 时，函数 h（x ）取得极小值同时也是最小值，h（ ）2e，则 a2e，即实数 a 的取值范围是（，2e（2）由（1）知，当 a2e 时，f （x）在（0，+）上单调递增，则不存在极大值，当 a2e 时， ln ，lna ln ，又 f（0）20，f（ ）2ea0，f（lna）2e 2lna2alna2a
38、（alna）0， （易证明 alna0） ，故存在 x1（0 ， ） ，使得 f（x 1） 0，存在 x2（ ， lna） ，使得 f （x 2）0，则 x（0，x 1）时，f（x ）0，x （x 1，x 2）时，f（x）0，x（x 2，+）时，f（x ）0，故 f（x）在（0 ，x 1）上单调递增，在（x 1，x 2）上单调递减，在（x 2，+）上单调递增，即当 xx 1 时，f（x）取得极大值，即 M ，由 0x 1 时，得 1x 10，x 11x 1，由 2 2ax 10，得 ax 1，故 M ax 1ax 12ax 1（1x 1）a（ ） 2 ，即 成立【点评】本题主要考查导数的应用，
39、结合函数单调性，极值和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键考查学生的运算和推导能力，综合性较强，难度较大（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数） 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 C2 的极坐标方程为（a R） （1）写出曲线 C1 的普通方程和直线 C2 的直角坐标方程；（2）若直线 C2 与曲线 C1 有两个不同交点，求 a 的取值范围【分析】 （1）利用平方关系消去参数 t 可得
40、C1 的普通方程，利用 xcos，y sin可得 C2 的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得【解答】解：（1）曲线 C1 的普通方程为 y1x 2（1x1） ，把 xcos ，ysin 代入 （cos asin ） ，得直线 C2 的直角坐标方程为 yax ，即 axy+ 0，（2）由直线 C2：ax y+ 0，知 C2 恒过点 M（0， ） ，由 y1x 2（1x 1） ，当 时，得 x1，所以曲线 C1 过点 P（1，0 ） ，Q（1，0） ，则直线 MP 的斜率为 k1 ，直线 MQ 的斜率 k2 ，因为直线 C2 的斜率为 a，且直线 C2 与曲线 C1 有两个不同的交点，所以 k
41、2ak 1，即 ，所以 a 的取值范围为 ， 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲 （10 分）23已知函数 f（x ）|x +a|2 x1|（1）当 a1 时，求不等式 f（x ）0 的解集；（2）若 a0，不等式 f（x ）1 对 xR 都成立，求 a 的取值范围【分析】 （1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得 1f（x ） max，由绝对值不等式的性质可得 f（x）的最大值，解不等式可得所求范围【解答】解：（1）函数 f（x）|x+1|2 x1|，f（x）0 即为 |x+1|2x1|，可得（x+1+2x 1） （x+1 2x+1）0，即 3x（x2）0，解得 0x 2，则原不等式的解集为（0，2） ；（2）若 a0，不等式 f（x ）1 对 xR 都成立，即有 1f（x） max，由 f（x）|x+a|2x1| x+a|x |x |x +ax + |0| a+ |，可得 f（x）的最大值为 |a+ |a+ ， （a0） ，则 a+ 1，解得 0a 【点评】本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题