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2019年北京市顺义区高考数学一模试卷(文科)含答案解析

1、2019 年北京市顺义区高考数学一模试卷(文科)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1 (5 分)已知集合 Ax| 3x2,Bx|x4 或 x1,则 AB( )A x| 4x3 Bx|3x1 C x|1x2 D x|x3 或x12 (5 分)若复数(1+i) (a+i )在复平面内对应的点在第三象限,则实数 a 的取值范围是( )A (,1) B (1,+) C (1,+) D (,1)3 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )A2 B C D4 (5 分)若 x,y 满足 ,则 2yx 的最小值是(

2、 )A2 B3 C5 D95 (5 分) “ab 是“直线 yx+ 与圆(x a) 2+(y b) 21 相切的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件6 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 若 c2,sinA2sin C,cosB,则ABC 的面积 S( )A1 B2 C D7 (5 分)给定下列四个命题若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直,那么这条直线一定平行于另一个平面;若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直,那么这条直线也和一个平面垂直;若两个平

3、面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,其中,真命题的个数是( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个8 (5 分)设函数 f(x )的定义城为 A,如果对于任意的 x1A 都,存在 x2A,使得f(x 1)+ f(x 2)2m(其中 m 为常数)成立,则称函数 f(x)在 A 上“与常数 m 相关联“”给定函数y ;yx 3;y( ) x; ylnx;ycosx+1,则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是( )A B C D二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)9 (5 分)已知 为锐角,且 cos(+ ) ,则 tan 10 (

4、5 分)已知向量 、 的夹角为 30,且| |1,| | ,则|2 | 11 (5 分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,且抛物线上一点 M(m ,2)到焦点的距离为 4,则抛物线的方程是 12 (5 分)一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积为 13 (5 分)满足关于 x 的不等式(axb) (x 2)0 的解集为 x| ,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是 14 (5 分)已知 F1,F 2 分别是双曲线 1(a0,b0)的左、右焦点,P 是以F1,F 2 为直径的圆与该双曲线的一个交点,且PF 1F22PF 2F1,则双曲线的离心率是 三、解答題(本大题共

5、6 小题,共 80 分,解答应写出文字说叨讦明讨程或演算步骤).15 (13 分)设a n是各项均为正数的等比等列,且 a1+a24,a 39()求a n的通项公式;()log 3a1+log3a2+log3an16 (13 分)已知函数 f(x )sinxcosx+cos 2x()求 f(x)的最小正周期;()若 f(x)在区间 上单调递增,求实数 m 的最大值17 (13 分)高一年级某个班分成 7 个小组,利用假期参加社会公益服务活动(每个小组必须全员参加) ,参加活动的次数记录如下:组别 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7参加活动次数3 2 4 3 3 4 2()求该班的 7 个

6、小组参加社会公益服务活动数的中位数及与平均数 v;()从这 7 个小组中随机选出 2 个小组在全校进行活动汇报,求“选出的 2 个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率()D 1 至 D6 小组每组有 4 名同学,D 7 小组有 5 名同学,记“该班学参加社会公益服务活动的平均次数”为 ,写出 与 v 的大小关系(结论不要求证明) 18 (14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,等边三角形 PCD 所在的平面垂直于底面ABCD, ABAD CD 1BADADC90,M 是棱 PD 的中点()求证:AD平面 PCD;()求三棱锥 CADM 的体积;()过 B 做平面 与平面 PAD 平行,设

7、平面 截四棱锥 PABCD 所得截面面积为S,试求 S 的值19 (14 分)已知椭圆 C: 1(ab0)的离心率为 ,长轴长为 2 ()求椭圆 C 的方程;()斜率为 1 的直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F,交椭圆 C 于 A,B 两点,设 M 为椭圆 C上任意一点,且 + ( , R) ,其中 O 为原点求证: 2+2120 (13 分)已知函数 f(x )lnx+ax 2+(a+2)x,a R()讨论 f(x )的单调性;()当 a0 时,若关于 x 的不等式 f(x) +b 恒成立,求实数 b 的取值范围2019 年北京市顺义区高考数学一模试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题(本

8、大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1 (5 分)已知集合 Ax| 3x2,Bx|x4 或 x1,则 AB( )A x| 4x3 Bx|3x1 C x|1x2 D x|x3 或x1【分析】进行交集的运算即可【解答】解:Ax| 3x2,Bx|x4 或 x1;ABx|1 x2故选:C【点评】考查描述法的定义,以及交集的运算2 (5 分)若复数(1+i) (a+i )在复平面内对应的点在第三象限,则实数 a 的取值范围是( )A (,1) B (1,+) C (1,+) D (,1)【分析】利用复数代数形式的乘除运算变形,再由实部与虚部均

9、小于 0 求解 a 的取值范围【解答】解:复数(1+i) ( a+i)(a1)+ (a+1)i 在复平面内对应的点在第三象限, ,即 a1实数 a 的取值范围是(,1) 故选:D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题3 (5 分)执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( )A2 B C D【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案【解答】解:第一次执行循环体后,k1,S2,不满足退出循环的条件;第二次执行循环体后,k2,S ,不满足退出循环的条件

10、;第三次执行循环体后,k3,S ,满足退出循环的条件;故输出 S 值为 ,故选:C【点评】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题4 (5 分)若 x,y 满足 ,则 2yx 的最小值是( )A2 B3 C5 D9【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:由 x,y 满足 作出可行域如图,A(1,2) ,化 z2yx 为 y x+ ,由图可知,当直线 y x+ 过 A 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最小值为:413故选:B【点评】本题考查简单

11、的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题5 (5 分) “ab 是“直线 yx+ 与圆(x a) 2+(y b) 21 相切的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件【分析】根据直线和圆相切的等价条件求出 a,b 的关系,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解:若直线 yx + 与圆(x a) 2+(y b) 21,则圆心(a,b)到直线 xy + 0 得距离 d 1,即|a b + | ,即 ab+ 或 ab+ ,即 ab0 或 ab2 ,即 ab 是“直线 yx + 与圆(x a) 2+(y b) 21 相切的充分不必要条件,故选:A【

12、点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键6 (5 分)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 若 c2,sinA2sin C,cosB,则ABC 的面积 S( )A1 B2 C D【分析】由已知利用正弦定理可得 a2c4,利用同角三角函数基本关系式可求 sinB的值,根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】解:c2,sinA2sinC,由正弦定理可得 a2c 4,cosB ,sinB ,ABC 的面积 S acsinB 故选:C【点评】本题主要考查了正弦定理,同角三角函数基本关系式,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了计算和转

13、化思想,属于基础题7 (5 分)给定下列四个命题若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行;若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直,那么这条直线一定平行于另一个平面;若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直,那么这条直线也和一个平面垂直;若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直,其中,真命题的个数是( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据空间中的直线与平面以及平面与平面的平行与垂直关系,对题目中的命题判断正误即可【解答】解:对于,若一个平面内的两条(相交)直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行,错误;对于

14、,若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直,那么这条直线平行于另一个平面(或在这个平面内) ,错误;对于 ,若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直,那么这条直线也和一个平面垂直, 正确;对于 ,若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直, 正确;综上所述,真命题的序号是,共 2 个故选:B【点评】本题考查了空间中的直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直关系的应用问题,是基础题8 (5 分)设函数 f(x )的定义城为 A,如果对于任意的 x1A 都,存在 x2A,使得f(x 1)+ f(x 2)2m(其中 m 为常数)成立,则称函数 f(x)在 A 上“

15、与常数 m 相关联“”给定函数y ;yx 3;y( ) x; ylnx;ycosx+1,则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是( )A B C D【分析】根据常数 1 相关联的定义得 f(x 1)+f(x 2)2,判断对于任意的 x1A 都,x2A 是否存在即可【解答】解:若在其定义域上与常数 1 相关联,则满足 f(x 1)+f(x 2)2,y 的定义域为x |x0,由 f(x 1)+ f(x 2)2 得 + 2,即 2 ,当 x1 时,2 220,此时 0 无解,不满足条件;yx 3 的定义域为 R,由 f(x 1)+f (x 2)2 得由(x 1) 3+(x 2) 32,即 x2

16、唯一,满足条件;y( ) x 定义域为 R,由 f(x 1)+f(x 2)2 得由( ) +( ) 2;即( ) 2( ) ,当 x12 时, ( ) 2( ) 242 无解,不满足条件ylnx 定义域为x| x0,由 f(x 1)+f(x 2)2 得 lnx1+lnx22 得 lnx1x22,即 x1x2e 2;x 2 ,满足唯一性,满足条件;ycosx+1 的定义域为 R,由 f(x 1)+f(x 2)2 得 cosx1+cosx22,得cosx2 2cosx 1,当 x1 时,cos x22cosx 1202,无解,不满足条件故满足条件的函数是 ,故选:D【点评】本题主要考查与函数方程有

17、关的命题的真假判断,结合常数 1 相关联的定义得f(x 1)+f(x 2) 2,判断 x2A 是否存在是解决本题的关键二、填空题(本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分)9 (5 分)已知 为锐角,且 cos(+ ) ,则 tan 【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用求出结果【解答】解: 为锐角,且 cos(+ ) ,则:cos ,所以 sin ,则:tan 答案为:【点评】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,同角三角函数关系式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型10 (5 分)已知向量 、 的夹角为 30,且| |1,| | ,则|2 | 1

18、【分析】先求(2 ) 2,再求|2 |【解答】解: 4441,|2 |1故答案为:1【点评】此题考查了向量的数量积和模,难度不大11 (5 分)已知抛物线的顶点在原点,焦点在 y 轴上,且抛物线上一点 M(m ,2)到焦点的距离为 4,则抛物线的方程是 x 28y 【分析】先根据题意设出抛物线的标准方程,进而得到 p 的值确定抛物线的方程【解答】解:据题意知,抛物线的开口向下,设标准方程为 x22py(p0) ,由定义知 P 到准线距离为 4,故 +24,p4,方程为 x28y ,故答案为:x 28y ,【点评】本题主要考查利用抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,属基础

19、题12 (5 分)一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积为 2 【分析】首先把几何体的三视图心转换为几何体,进一步利用体积公式求出结果【解答】解:根据几何体的三视图,把几何体的三视图转换为几何体,如图所示:几何体的体积为:V 2故答案为:2【点评】本题考查的知识要点:三视图和几何体的转换,几何体的体积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型13 (5 分)满足关于 x 的不等式(axb) (x 2)0 的解集为 x| ,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是 (2,1) 【分析】根据题意知,不等式对应方程的实数根,由此求出 a2b0,写出满足条件的一组有序实数

20、对即可【解答】解:不等式(axb) (x2)0 的解集为x| ,方程(axb) (x 2)0 的实数根为 和 2,且 ,即 a2b0,则满足条件的一组有序实数对(a,b)的值可以是(2,1) 故答案为:(2,1) 【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题,是基础题14 (5 分)已知 F1,F 2 分别是双曲线 1(a0,b0)的左、右焦点,P 是以F1,F 2 为直径的圆与该双曲线的一个交点,且PF 1F22PF 2F1,则双曲线的离心率是 +1 【分析】先设|F 1F2|2c,由题意知F 1F2P 是直角三角形,利用 PF 1F260,求出|PF1|、|PF 2|,根据双曲

21、线的定义求得 a,c 之间的关系,则双曲线的离心率可得【解答】解:设|F 1F2|2c,由于 P 是以 F1F2 为直径的圆与该双曲线的一个交点则F 1F2P 是直角三角形, F 1PF290,由PF 1F22 PF2F1,则 PF1F260,|PF 2| c,|PF 1|c,|PF 2| |PF1| cc2a,e +1故答案为: +1【点评】本题主要考查了双曲线的方程、定义和简单性质考查了解直角三角形的知识,考查运算能力,属于中档题三、解答題(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说叨讦明讨程或演算步骤).15 (13 分)设a n是各项均为正数的等比等列,且 a1+a24,a 3

22、9()求a n的通项公式;()log 3a1+log3a2+log3an【分析】 ()首项利用已知条件求出数列的通项公式,()利用()的结论,进一步对数关系式的变换求出数列的和【解答】解:()设首项为 a1,公比为 q 的各项均为正数的等比等列,且 a1+a24,a 39则: ,解得: , (负值舍去) ,所以:a 11,则: 3 n1 (2)由于: ,所以:log 3a1+log3a2+log3anlog 3(a 1a2an) ,1+2+ +(n1) , , 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,对数关系式的应用,等差数列的前 n 项和的应用,主要考查学生的运算能力和转化能

23、力,属于基础题型16 (13 分)已知函数 f(x )sinxcosx+cos 2x()求 f(x)的最小正周期;()若 f(x)在区间 上单调递增,求实数 m 的最大值【分析】 ()首先利用三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的最小正周期()利用()的函数的关系式,进一步利用整体思想和函数的区间的子集关系求出结果【解答】解:()函数 f( x)sinxcosx+cos 2x, , ,所以:函数的最小正周期为 T ()由于:f(x ) ,令: (kZ) ,解得: (kZ) ,当 k0 时, ,f(x)在区间 上单调递增,故: ,所以:m 的最大值为 【点评】

24、1 题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变变换,正弦型函数性质的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型17 (13 分)高一年级某个班分成 7 个小组,利用假期参加社会公益服务活动(每个小组必须全员参加) ,参加活动的次数记录如下:组别 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7参加活动次数3 2 4 3 3 4 2()求该班的 7 个小组参加社会公益服务活动数的中位数及与平均数 v;()从这 7 个小组中随机选出 2 个小组在全校进行活动汇报,求“选出的 2 个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率()D 1 至 D6 小组每组有 4 名同学,D 7 小组有 5 名同学,记“

25、该班学参加社会公益服务活动的平均次数”为 ,写出 与 v 的大小关系(结论不要求证明) 【分析】 ()由参加活动的次数统计表能求出该班的 7 个小组参加社会公益服务活动数的中位数和平均数()基本事件总数 n 21,选出的 2 个小组参加社会公益服务活动次数相等包含的基本事件个数 m 5,由此能求出“选出的 2 个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率() v【解答】解:()该班的 7 个小组参加社会公益服务活动数的中位数为:3,平均数 v (3+2+4+3+3+4+2)3()从这 7 个小组中随机选出 2 个小组在全校进行活动汇报,基本事件总数 n 21,选出的 2 个小组参加社会公益服务活

26、动次数相等包含的基本事件个数m 5,“选出的 2 个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率 p () v【点评】本题考查中位数、平均数、概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题18 (14 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,等边三角形 PCD 所在的平面垂直于底面ABCD, ABAD CD 1BADADC90,M 是棱 PD 的中点()求证:AD平面 PCD;()求三棱锥 CADM 的体积;()过 B 做平面 与平面 PAD 平行,设平面 截四棱锥 PABCD 所得截面面积为S,试求 S 的值【分析】 ()由已知可得 ADDC,再由面面垂直的性质可得 AD平

27、面 PCD;()由()知,AD平面 PCD,由已知求出三角形 DMC 的面积,再由等积法求三棱锥 CADM 的体积;()在平面 ABCD 中,过 B 作 BEAD,交 CD 于 E,则 E 为 CD 中点,在平面 PCD中,过 E 作 EFPD,交 PC 于 F,连接 BF,由面面平行的判定可得平面 BEF 为过 B与平面 PAD 平行的平面 ,证明三角形 BEF 为直角三角形,则面积可求【解答】 ()证明:ADC90,ADDC,又平面 PCD平面 ABCD,且平面 PCD平面 ABCDCD,AD平面 PCD;()解:由()知,AD平面 PCD,PCD 是边长为 2 的等边三角形,且 M 为

28、PD 的中点, 则 ;()解:如图,在平面 ABCD 中,过 B 作 BEAD,交 CD 于 E,则 E 为 CD 中点,在平面 PCD 中,过 E 作 EFPD,交 PC 于 F,连接 BF,则 BEF 为过 B 与平面 PAD 平行的平面 ,AD平面 PCD,BE AD,则 BE平面 PCD,得 BEEFBEAD 1,EF ,截面 的面积为 S 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定,平面与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,是中档题19 (14 分)已知椭圆 C: 1(ab0)的离心率为 ,长轴长为 2 ()求椭圆 C 的方程;()斜率为 1 的直线

29、 l 过椭圆 C 的右焦点 F,交椭圆 C 于 A,B 两点,设 M 为椭圆 C上任意一点,且 + ( , R) ,其中 O 为原点求证: 2+21【分析】 ()利用椭圆的离心率,长轴长,即可得椭圆的方程;()确定坐标之间的关系,利用 M,A,B 在椭圆上,结合韦达定理,即可证明结论【解答】 ()解:设椭圆的焦距为 2c,因为 ,所以有 ,故有 a23b 2a ,b1从而椭圆 C 的方程可化为: ()设 M(x,y) ,A(x 1, y1) ,B(x 2,y 2) , + (,R) ,(x,y ) (x 1,y 1)+(x 2,y 2) ,故 xx 1+x2,yy 1+y2又因为点 M 在椭圆

30、 C 上,所以有(x 1+x2) 2+3(y 1+y2) 23整理可得: 2(x 12+3y12)+ 2(x 22+3y22)+2 (x 1x2+3y1y2)3又焦点 F 的坐标为( ,0) ,AB 所在的直线方程为 yx ;得 4x26 x+30x ,x所以 x1x2+3y1y24x 1x23 (x 1+x2)+6 39+60;又点 A,B 在椭圆 C 上,故有 x12+3y12x 22+3y223将, 代入 可得: 2+21【点评】本题考查了向量与圆锥曲线的应用问题,也考查了直线与椭圆的综合应用问题,是难题20 (13 分)已知函数 f(x )lnx+ax 2+(a+2)x,a R()讨论

31、 f(x )的单调性;()当 a0 时,若关于 x 的不等式 f(x) +b 恒成立,求实数 b 的取值范围【分析】 ()求出原函数的导函数,可得当 a0 时,f(x)0,f(x)在(0,+)上是单调增函数;当 a0 时,求出导函数的零点,把定义域分段,由导函数在各区间段的符号确定原函数的单调区间;()由()可得,当 a0 时,求出函数的最大值 f( ) ,把不等式 f(x ) +b 恒成立,转化为 在 a0 时恒成立,换元后利用导数求最值得答案【解答】解:()f(x )lnx+ax 2+(a+2)x,f(x) (x0) 当 a0 时,f(x )0,f(x)在(0,+)上是单调增函数;当 a0

32、 时,f(x ) 当 x(0, )时,f(x)0,当 x( ,+)时,f(x)0,f(x)在(0 , )上单调递增,在( ,+)上单调递减综上,当 a0 时,f(x )在(0,+)上是单调增函数,当 a0 时,f(x )在(0, )上单调递增,在( ,+)上单调递减;()由()可得,当 a0 时, 由不等式 f(x) +b 恒成立,得 恒成立,即 在 a0 时恒成立令 t ,g(t)lntt( t0) ,则 g(t) ,当 t(0,1)时,g(t)0,g(t )单调递增,当 t(1,+)时,g(t)0,g(t)单调递减g(t)的最大值为 g(1) 1由 b+11,得 b2实数 b 的取值范围是2, +) 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,考查利用导数求最值,考查数学转化思想方法,是中档题