1、2019 年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1 （5 分）已知集合 Ax| 3x2，Bx|x4 或 x1，则 AB（ ）A x| 4x3 Bx|3x1 C x|1x2 D x|x3 或x12 （5 分）若复数（1+i） （a+i ）在复平面内对应的点在第三象限，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1） B （1，+） C （1，+） D （，1）3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A2 B C D4 （5 分）若 x，y 满足 ，则 2yx 的最小值是（
2、 ）A2 B3 C5 D95 （5 分） “ab 是“直线 yx+ 与圆（x a） 2+（y b） 21 相切的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件6 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 若 c2，sinA2sin C，cosB，则ABC 的面积 S（ ）A1 B2 C D7 （5 分）给定下列四个命题若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和一个平面垂直；若两个平
3、面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，其中，真命题的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个8 （5 分）设函数 f（x ）的定义城为 A，如果对于任意的 x1A 都，存在 x2A，使得f（x 1）+ f（x 2）2m（其中 m 为常数）成立，则称函数 f（x）在 A 上“与常数 m 相关联“”给定函数y ；yx 3；y（ ） x； ylnx；ycosx+1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是（ ）A B C D二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分）已知 为锐角，且 cos（+ ） ，则 tan 10 （
4、5 分）已知向量 、 的夹角为 30，且| |1，| | ，则|2 | 11 （5 分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，且抛物线上一点 M（m ，2）到焦点的距离为 4，则抛物线的方程是 12 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积为 13 （5 分）满足关于 x 的不等式（axb） （x 2）0 的解集为 x| ，则满足条件的一组有序实数对（a，b）的值可以是 14 （5 分）已知 F1，F 2 分别是双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点，P 是以F1，F 2 为直径的圆与该双曲线的一个交点，且PF 1F22PF 2F1，则双曲线的离心率是 三、解答題（本大题共
5、6 小题，共 80 分，解答应写出文字说叨讦明讨程或演算步骤）.15 （13 分）设a n是各项均为正数的等比等列，且 a1+a24，a 39（）求a n的通项公式；（）log 3a1+log3a2+log3an16 （13 分）已知函数 f（x ）sinxcosx+cos 2x（）求 f（x）的最小正周期；（）若 f（x）在区间 上单调递增，求实数 m 的最大值17 （13 分）高一年级某个班分成 7 个小组，利用假期参加社会公益服务活动（每个小组必须全员参加） ，参加活动的次数记录如下：组别 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7参加活动次数3 2 4 3 3 4 2（）求该班的 7 个
6、小组参加社会公益服务活动数的中位数及与平均数 v；（）从这 7 个小组中随机选出 2 个小组在全校进行活动汇报，求“选出的 2 个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率（）D 1 至 D6 小组每组有 4 名同学，D 7 小组有 5 名同学，记“该班学参加社会公益服务活动的平均次数”为 ，写出 与 v 的大小关系（结论不要求证明） 18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，等边三角形 PCD 所在的平面垂直于底面ABCD， ABAD CD 1BADADC90，M 是棱 PD 的中点（）求证：AD平面 PCD；（）求三棱锥 CADM 的体积；（）过 B 做平面 与平面 PAD 平行，设
7、平面 截四棱锥 PABCD 所得截面面积为S，试求 S 的值19 （14 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，长轴长为 2 （）求椭圆 C 的方程；（）斜率为 1 的直线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，交椭圆 C 于 A，B 两点，设 M 为椭圆 C上任意一点，且 + （ ， R） ，其中 O 为原点求证： 2+2120 （13 分）已知函数 f（x ）lnx+ax 2+（a+2）x，a R（）讨论 f（x ）的单调性；（）当 a0 时，若关于 x 的不等式 f（x） +b 恒成立，求实数 b 的取值范围2019 年北京市顺义区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本
8、大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1 （5 分）已知集合 Ax| 3x2，Bx|x4 或 x1，则 AB（ ）A x| 4x3 Bx|3x1 C x|1x2 D x|x3 或x1【分析】进行交集的运算即可【解答】解：Ax| 3x2，Bx|x4 或 x1；ABx|1 x2故选：C【点评】考查描述法的定义，以及交集的运算2 （5 分）若复数（1+i） （a+i ）在复平面内对应的点在第三象限，则实数 a 的取值范围是（ ）A （，1） B （1，+） C （1，+） D （，1）【分析】利用复数代数形式的乘除运算变形，再由实部与虚部均
9、小于 0 求解 a 的取值范围【解答】解：复数（1+i） （ a+i）（a1）+ （a+1）i 在复平面内对应的点在第三象限， ，即 a1实数 a 的取值范围是（，1） 故选：D【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分）执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ）A2 B C D【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案【解答】解：第一次执行循环体后，k1，S2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，k2，S ，不满足退出循环的条件
10、；第三次执行循环体后，k3，S ，满足退出循环的条件；故输出 S 值为 ，故选：C【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题4 （5 分）若 x，y 满足 ，则 2yx 的最小值是（ ）A2 B3 C5 D9【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由 x，y 满足 作出可行域如图，A（1，2） ，化 z2yx 为 y x+ ，由图可知，当直线 y x+ 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最小，z 有最小值为：413故选：B【点评】本题考查简单
11、的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题5 （5 分） “ab 是“直线 yx+ 与圆（x a） 2+（y b） 21 相切的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D即不充分也不必要条件【分析】根据直线和圆相切的等价条件求出 a，b 的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若直线 yx + 与圆（x a） 2+（y b） 21，则圆心（a，b）到直线 xy + 0 得距离 d 1，即|a b + | ，即 ab+ 或 ab+ ，即 ab0 或 ab2 ，即 ab 是“直线 yx + 与圆（x a） 2+（y b） 21 相切的充分不必要条件，故选：A【
12、点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和圆相切的等价条件是解决本题的关键6 （5 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c 若 c2，sinA2sin C，cosB，则ABC 的面积 S（ ）A1 B2 C D【分析】由已知利用正弦定理可得 a2c4，利用同角三角函数基本关系式可求 sinB的值，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】解：c2，sinA2sinC，由正弦定理可得 a2c 4，cosB ，sinB ，ABC 的面积 S acsinB 故选：C【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算和转
13、化思想，属于基础题7 （5 分）给定下列四个命题若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和一个平面垂直；若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，其中，真命题的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】根据空间中的直线与平面以及平面与平面的平行与垂直关系，对题目中的命题判断正误即可【解答】解：对于，若一个平面内的两条（相交）直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行，错误；对于
14、，若一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线平行于另一个平面（或在这个平面内） ，错误；对于 ，若一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和一个平面垂直， 正确；对于 ，若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直， 正确；综上所述，真命题的序号是，共 2 个故选：B【点评】本题考查了空间中的直线与平面、平面与平面之间的平行与垂直关系的应用问题，是基础题8 （5 分）设函数 f（x ）的定义城为 A，如果对于任意的 x1A 都，存在 x2A，使得f（x 1）+ f（x 2）2m（其中 m 为常数）成立，则称函数 f（x）在 A 上“
15、与常数 m 相关联“”给定函数y ；yx 3；y（ ） x； ylnx；ycosx+1，则在其定义域上与常数 1 相关联的所有函数是（ ）A B C D【分析】根据常数 1 相关联的定义得 f（x 1）+f（x 2）2，判断对于任意的 x1A 都，x2A 是否存在即可【解答】解：若在其定义域上与常数 1 相关联，则满足 f（x 1）+f（x 2）2，y 的定义域为x |x0，由 f（x 1）+ f（x 2）2 得 + 2，即 2 ，当 x1 时，2 220，此时 0 无解，不满足条件；yx 3 的定义域为 R，由 f（x 1）+f （x 2）2 得由（x 1） 3+（x 2） 32，即 x2
16、唯一，满足条件；y（ ） x 定义域为 R，由 f（x 1）+f（x 2）2 得由（ ） +（ ） 2；即（ ） 2（ ） ，当 x12 时， （ ） 2（ ） 242 无解，不满足条件ylnx 定义域为x| x0，由 f（x 1）+f（x 2）2 得 lnx1+lnx22 得 lnx1x22，即 x1x2e 2；x 2 ，满足唯一性，满足条件；ycosx+1 的定义域为 R，由 f（x 1）+f（x 2）2 得 cosx1+cosx22，得cosx2 2cosx 1，当 x1 时，cos x22cosx 1202，无解，不满足条件故满足条件的函数是 ，故选：D【点评】本题主要考查与函数方程有
17、关的命题的真假判断，结合常数 1 相关联的定义得f（x 1）+f（x 2） 2，判断 x2A 是否存在是解决本题的关键二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）9 （5 分）已知 为锐角，且 cos（+ ） ，则 tan 【分析】直接利用三角函数关系式的变换的应用求出结果【解答】解： 为锐角，且 cos（+ ） ，则：cos ，所以 sin ，则：tan 答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型10 （5 分）已知向量 、 的夹角为 30，且| |1，| | ，则|2 | 1
18、【分析】先求（2 ） 2，再求|2 |【解答】解： 4441，|2 |1故答案为：1【点评】此题考查了向量的数量积和模，难度不大11 （5 分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在 y 轴上，且抛物线上一点 M（m ，2）到焦点的距离为 4，则抛物线的方程是 x 28y 【分析】先根据题意设出抛物线的标准方程，进而得到 p 的值确定抛物线的方程【解答】解：据题意知，抛物线的开口向下，设标准方程为 x22py（p0） ，由定义知 P 到准线距离为 4，故 +24，p4，方程为 x28y ，故答案为：x 28y ，【点评】本题主要考查利用抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，属基础
19、题12 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积为 2 【分析】首先把几何体的三视图心转换为几何体，进一步利用体积公式求出结果【解答】解：根据几何体的三视图，把几何体的三视图转换为几何体，如图所示：几何体的体积为：V 2故答案为：2【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型13 （5 分）满足关于 x 的不等式（axb） （x 2）0 的解集为 x| ，则满足条件的一组有序实数对（a，b）的值可以是 （2，1） 【分析】根据题意知，不等式对应方程的实数根，由此求出 a2b0，写出满足条件的一组有序实数
20、对即可【解答】解：不等式（axb） （x2）0 的解集为x| ，方程（axb） （x 2）0 的实数根为 和 2，且 ，即 a2b0，则满足条件的一组有序实数对（a，b）的值可以是（2，1） 故答案为：（2，1） 【点评】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题14 （5 分）已知 F1，F 2 分别是双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点，P 是以F1，F 2 为直径的圆与该双曲线的一个交点，且PF 1F22PF 2F1，则双曲线的离心率是 +1 【分析】先设|F 1F2|2c，由题意知F 1F2P 是直角三角形，利用 PF 1F260，求出|PF1|、|PF 2|，根据双曲
21、线的定义求得 a，c 之间的关系，则双曲线的离心率可得【解答】解：设|F 1F2|2c，由于 P 是以 F1F2 为直径的圆与该双曲线的一个交点则F 1F2P 是直角三角形， F 1PF290，由PF 1F22 PF2F1，则 PF1F260，|PF 2| c，|PF 1|c，|PF 2| |PF1| cc2a，e +1故答案为： +1【点评】本题主要考查了双曲线的方程、定义和简单性质考查了解直角三角形的知识，考查运算能力，属于中档题三、解答題（本大题共 6 小题，共 80 分，解答应写出文字说叨讦明讨程或演算步骤）.15 （13 分）设a n是各项均为正数的等比等列，且 a1+a24，a 3
22、9（）求a n的通项公式；（）log 3a1+log3a2+log3an【分析】 （）首项利用已知条件求出数列的通项公式，（）利用（）的结论，进一步对数关系式的变换求出数列的和【解答】解：（）设首项为 a1，公比为 q 的各项均为正数的等比等列，且 a1+a24，a 39则： ，解得： ， （负值舍去） ，所以：a 11，则： 3 n1 （2）由于： ，所以：log 3a1+log3a2+log3anlog 3（a 1a2an） ，1+2+ +（n1） ， ， 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，对数关系式的应用，等差数列的前 n 项和的应用，主要考查学生的运算能力和转化能
23、力，属于基础题型16 （13 分）已知函数 f（x ）sinxcosx+cos 2x（）求 f（x）的最小正周期；（）若 f（x）在区间 上单调递增，求实数 m 的最大值【分析】 （）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期（）利用（）的函数的关系式，进一步利用整体思想和函数的区间的子集关系求出结果【解答】解：（）函数 f（ x）sinxcosx+cos 2x， ， ，所以：函数的最小正周期为 T （）由于：f（x ） ，令： （kZ） ，解得： （kZ） ，当 k0 时， ，f（x）在区间 上单调递增，故： ，所以：m 的最大值为 【点评】
24、1 题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型17 （13 分）高一年级某个班分成 7 个小组，利用假期参加社会公益服务活动（每个小组必须全员参加） ，参加活动的次数记录如下：组别 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7参加活动次数3 2 4 3 3 4 2（）求该班的 7 个小组参加社会公益服务活动数的中位数及与平均数 v；（）从这 7 个小组中随机选出 2 个小组在全校进行活动汇报，求“选出的 2 个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率（）D 1 至 D6 小组每组有 4 名同学，D 7 小组有 5 名同学，记“
25、该班学参加社会公益服务活动的平均次数”为 ，写出 与 v 的大小关系（结论不要求证明） 【分析】 （）由参加活动的次数统计表能求出该班的 7 个小组参加社会公益服务活动数的中位数和平均数（）基本事件总数 n 21，选出的 2 个小组参加社会公益服务活动次数相等包含的基本事件个数 m 5，由此能求出“选出的 2 个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率（） v【解答】解：（）该班的 7 个小组参加社会公益服务活动数的中位数为：3，平均数 v （3+2+4+3+3+4+2）3（）从这 7 个小组中随机选出 2 个小组在全校进行活动汇报，基本事件总数 n 21，选出的 2 个小组参加社会公益服务活
26、动次数相等包含的基本事件个数m 5，“选出的 2 个小组参加社会公益服务活动次数相等”的概率 p （） v【点评】本题考查中位数、平均数、概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题18 （14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，等边三角形 PCD 所在的平面垂直于底面ABCD， ABAD CD 1BADADC90，M 是棱 PD 的中点（）求证：AD平面 PCD；（）求三棱锥 CADM 的体积；（）过 B 做平面 与平面 PAD 平行，设平面 截四棱锥 PABCD 所得截面面积为S，试求 S 的值【分析】 （）由已知可得 ADDC，再由面面垂直的性质可得 AD平
27、面 PCD；（）由（）知，AD平面 PCD，由已知求出三角形 DMC 的面积，再由等积法求三棱锥 CADM 的体积；（）在平面 ABCD 中，过 B 作 BEAD，交 CD 于 E，则 E 为 CD 中点，在平面 PCD中，过 E 作 EFPD，交 PC 于 F，连接 BF，由面面平行的判定可得平面 BEF 为过 B与平面 PAD 平行的平面 ，证明三角形 BEF 为直角三角形，则面积可求【解答】 （）证明：ADC90，ADDC，又平面 PCD平面 ABCD，且平面 PCD平面 ABCDCD，AD平面 PCD；（）解：由（）知，AD平面 PCD，PCD 是边长为 2 的等边三角形，且 M 为
28、PD 的中点， 则 ；（）解：如图，在平面 ABCD 中，过 B 作 BEAD，交 CD 于 E，则 E 为 CD 中点，在平面 PCD 中，过 E 作 EFPD，交 PC 于 F，连接 BF，则 BEF 为过 B 与平面 PAD 平行的平面 ，AD平面 PCD，BE AD，则 BE平面 PCD，得 BEEFBEAD 1，EF ，截面 的面积为 S 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题19 （14 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，长轴长为 2 （）求椭圆 C 的方程；（）斜率为 1 的直线
29、 l 过椭圆 C 的右焦点 F，交椭圆 C 于 A，B 两点，设 M 为椭圆 C上任意一点，且 + （ ， R） ，其中 O 为原点求证： 2+21【分析】 （）利用椭圆的离心率，长轴长，即可得椭圆的方程；（）确定坐标之间的关系，利用 M，A，B 在椭圆上，结合韦达定理，即可证明结论【解答】 （）解：设椭圆的焦距为 2c，因为 ，所以有 ，故有 a23b 2a ，b1从而椭圆 C 的方程可化为： （）设 M（x，y） ，A（x 1， y1） ，B（x 2，y 2） ， + （，R） ，（x，y ） （x 1，y 1）+（x 2，y 2） ，故 xx 1+x2，yy 1+y2又因为点 M 在椭圆
30、 C 上，所以有（x 1+x2） 2+3（y 1+y2） 23整理可得： 2（x 12+3y12）+ 2（x 22+3y22）+2 （x 1x2+3y1y2）3又焦点 F 的坐标为（ ，0） ，AB 所在的直线方程为 yx ；得 4x26 x+30x ，x所以 x1x2+3y1y24x 1x23 （x 1+x2）+6 39+60；又点 A，B 在椭圆 C 上，故有 x12+3y12x 22+3y223将， 代入 可得： 2+21【点评】本题考查了向量与圆锥曲线的应用问题，也考查了直线与椭圆的综合应用问题，是难题20 （13 分）已知函数 f（x ）lnx+ax 2+（a+2）x，a R（）讨论
31、 f（x ）的单调性；（）当 a0 时，若关于 x 的不等式 f（x） +b 恒成立，求实数 b 的取值范围【分析】 （）求出原函数的导函数，可得当 a0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）上是单调增函数；当 a0 时，求出导函数的零点，把定义域分段，由导函数在各区间段的符号确定原函数的单调区间；（）由（）可得，当 a0 时，求出函数的最大值 f（ ） ，把不等式 f（x ） +b 恒成立，转化为 在 a0 时恒成立，换元后利用导数求最值得答案【解答】解：（）f（x ）lnx+ax 2+（a+2）x，f（x） （x0） 当 a0 时，f（x ）0，f（x）在（0，+）上是单调增函数；当 a0
32、 时，f（x ） 当 x（0， ）时，f（x）0，当 x（ ，+）时，f（x）0，f（x）在（0 ， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减综上，当 a0 时，f（x ）在（0，+）上是单调增函数，当 a0 时，f（x ）在（0， ）上单调递增，在（ ，+）上单调递减；（）由（）可得，当 a0 时， 由不等式 f（x） +b 恒成立，得 恒成立，即 在 a0 时恒成立令 t ，g（t）lntt（ t0） ，则 g（t） ，当 t（0，1）时，g（t）0，g（t ）单调递增，当 t（1，+）时，g（t）0，g（t）单调递减g（t）的最大值为 g（1） 1由 b+11，得 b2实数 b 的取值范围是2， +） 【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求最值，考查数学转化思想方法，是中档题