1、第 1 页（共 31 页）2019 年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，满分 30 分）1 （3 分）9 的平方根是（ ）A3 B3 C D812 （3 分）下面四个图案中，是中心对称图形的是（ ）A BC D3 （3 分）下列计算正确的是（ ）Aa 4a2a 8 Ba 4+a2a 8 C （a 2） 4a 8 Da 4a22a4 （3 分）代数式 3x24x 5 的值为 7，则 x2 x5 的值为（ ）A4 B1 C5 D75 （3 分）在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个，红球 2 个，摸出一个球不放回，再摸出一
2、个球，两次都摸到红球的概率是（ ）A B C D6 （3 分）学校开展为贫困地区捐书活动，以下是 5 名同学捐书的册数：2，2，x ，4，9 已知这组数据的平均数是 4，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A2 和 2 B4 和 2 C2 和 3 D3 和 27 （3 分）时钟在正常运行时，分针每分钟转动 6，时针每分钟转动 0.5在运行过程中，时针与分针的夹角会随时间的变化而变化设时针与分针的夹角为 y（度） ，运行时间为 t（分） ，当时间从 12：00 开始到 12：30 止，y 与 t 之间的函数图象是（ ）第 2 页（共 31 页）ABCD8 （3 分）某校九年级（1）班为了筹备演讲
3、比赛，准备用 200 元钱购买日记本和钢笔两种奖品（两种都要买） ，其中日记本 10 元/本，钢笔 15 元/支，在钱全部用完的条件下，购买的方案共有（ ）A4 种 B5 种 C6 种 D7 种9 （3 分）如图，过 y 轴上任意一点 P，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数 y 和y 的图象交于 A 点和 B 点，若 C 为 x 轴上任意一点，连接 AC，BC，则ABC 的面积为（ ）第 3 页（共 31 页）A3 B4 C5 D610 （3 分）如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（3，0） ，其部分图象如图所示，现有下列结论：abc0
4、：b 24ac 0； a+b0；当 x0 时， y 随 x 的增大而减小；3a+c0；c4b其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个二、填空题（每小题 3 分，满分 21 分）11 （3 分）近年来日本发生的一次地震及海啸给日本带来 16 万亿日元到 25 万亿日元的经济损失，25 万亿日元用科学记数法表示为 日元12 （3 分）如图是由几个相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体至少为 个13 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，按图中所示方法将BCD 沿 BD 折叠，使点 C 落在边 AB 上的点 C处，则
5、折痕 BD 的长为 第 4 页（共 31 页）14 （3 分）若一个圆锥的底面圆半径为 3cm，其侧面展开图的圆心角为 120，则圆锥的母线长是 cm 15 （3 分）关于 x 的分式方程 的解是正数，则 a 的取值范围是 16 （3 分）矩形 ABCD 的边 AB6，BC12，点 P 为矩形 ABCD 边上一点，连接 AP，若线段 AP、BD 交点为点 H，PAB 为等腰三角形，则 AH 的长为 17 （3 分）在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，O 为坐标原点，OAOB1，过点 O 作 OM1AB 于点 M1：过点 M1 作 M1A1OA 于点 A1
6、：过点 A 作 M1A2AB 于点 M2；过点 M2 作 M2A2OA 于点 A2以类推，点 M2019 的坐标为 三、解答题（本题共 8 道大题，共 69 分）18 （6 分）计算：19 （4 分）因式分解：a 243（a+2）20 （5 分）解方程：x 24x 9021 （8 分）RtABC 中，C90，点 E 在 AB 上，BE AE2，以 AE 为直径作O交 AC 于点 F，交 BC 于点 D，且点 D 为切点，连接 AD、EF（1）求证：AD 平分BAC；（2）求阴影部分面积 （结果保留 ）第 5 页（共 31 页）22 （10 分）某中学为了解学生业余时间的活动情况，从看电视、看书
7、、上网、运动四个方面进行了统计调查，随机调查了某班所有同学（每名同学必选且只能选一项最喜欢的活动） ，并将调查结果绘成了如下两个不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：（1）被调查的班级学生共有 名（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中“上网”的学生所对应的圆心角是 度；（4）该校一共有 1200 名学生，根据抽样调查结果，请你计算出该校大约有多少名学生喜欢“运动”？23 （10 分）周末，小明从家步行去书店看书，出发 小时后距家 1.8 千米时，爸爸驾车从家沿相同路线追赶小明，在 A 地追上小明后，二人驾车继续前行到达书店，小明在书店B 看书，爸爸去单位 C 地办事如图是小明与爸爸两人
8、之间距离 S（千米）与小明出发的时 t（小时）之间的函数图象， （小明步行速度与爸爸驾车速度始终保持不变，彼此交流时间忽略不计） ，请根据图象回答下列问题（1）小明步行速度是 千米/小时，爸爸驾车速度是 千米/ 小时；（2）图中点 A 的坐标是 ；（3）求书店与家的路程；（4）求爸爸出发多长时间，两人相距 3 千米第 6 页（共 31 页）24 （12 分）旋转是图形变化的方法之一，借助旋转知识可以解决线段长、角的大小、取值范围、判断三角形形状等问题，在实际生活中也有十分重要的地位和作用问题背景：一块等边三角形建筑材料内一点到三角形三个顶点的距离满足一定条件时，我们可以用所学的知识帮助工人师傅
9、在没有刻度尺的情况下求出等边三角形的边长数学建模如图 1，等边三角形 ABC 内有一点 P，已知 PA2 ，PB4，PC2 问题解决（1）如图 2，将ABP 绕点 B 顺时针旋转 60得到CBP，连接 PP，易证BPP ， 为等边三角形， 90，BPA ：（2）点 H 为直线 BP上的一个动点，则 CH 的最小值为 ；（3）求 AB 长；拓展延伸已知：点 P 在正方形 ABCD 内，点 Q 在平面，BPBQ1，BPBQ（4）在图 3 中，连接 PA、PC、PQ 、QC，AP ，若点 A、P、Q 在一条直线上，则cosPCQ ；（5）若 AB2，连接 DP，则 DP ；连接 PQ，当 D、P 、
10、Q 三点同一条直线上时，BDQ 的面积为 第 7 页（共 31 页）25 （14 分）综合与探究：如图，抛物线 yax 2+bx4 与 x 轴交于 A（3，0） 、B（4，0）两点，与 y 轴交于点C（1）求抛物线解析式；（2）抛物线对称轴上存在一点 H，连接 AH、CH，当|AHCH|值最大时，求点 H 坐标；（3）若抛物线上存在一点 P（m ，n） ，mn 0，当 SABC S ABp 时，求点 P 坐标；（4）若点 M 是BAC 平分线上的一点，点 N 是平面内一点，若以 A、B、M、N 为顶点的四边形是矩形，请直接写出点 N 坐标第 8 页（共 31 页）2019 年黑龙江省齐齐哈尔市
11、中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，满分 30 分）1 （3 分）9 的平方根是（ ）A3 B3 C D81【分析】根据平方与开平方互为逆运算，可得一个正数的平方根【解答】解： 3，故选：B【点评】本题考查了平方根，根据平方求出平方根，注意一个正数的平方跟有两个2 （3 分）下面四个图案中，是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解【解答】解：A此图案是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；B此图案是中心对称图形，符合题意；C此图案是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；D此图案是轴对称图形，不是中心对称
12、图形，不合题意；故选：B【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3 （3 分）下列计算正确的是（ ）Aa 4a2a 8 Ba 4+a2a 8 C （a 2） 4a 8 Da 4a22a【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、合并同类项法则分第 9 页（共 31 页）别计算得出答案【解答】解：A、a 4a2a 6，故此选项错误；B、a 4+a2，无法计算，故此选项错误；C、 （a 2） 4a 8，正确；D、a 4a2a 2，故此选项错误；故选：C【点评】此
13、题主要考查了直接利用同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键4 （3 分）代数式 3x24x 5 的值为 7，则 x2 x5 的值为（ ）A4 B1 C5 D7【分析】根据题意列出等式，变形后求出 x2 x 的值，代入原式计算即可得到结果【解答】解：3x 24x 5 的值为 7，3x24x12，代入 x2 x5，得 （3x 24x）5451故选：B【点评】此题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键5 （3 分）在一个不透明的袋子中装有 4 个除颜色外完全相同的小球，其中白球 1 个，黄球 1 个，红球 2 个，摸出一个球不放
14、回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（ ）A B C D【分析】列举出所有情况，看两次都摸到红球的情况占总情况的多少即可【解答】解：一共有 12 种情况，有 2 种情况两次都摸到红球，第 10 页（共 31 页）两次都摸到红球的概率是 故选：C【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比6 （3 分）学校开展为贫困地区捐书活动，以下是 5 名同学捐书的册数：2，2，x ，4，9 已知这组数据的平均数是 4，则这组数据的中位数和众数分别是（ ）A2 和 2 B4 和 2 C2 和 3 D3 和 2【分析】根据平均数的定义
15、得到关于 x 的方程，求 x，再根据中位数和众数的定义求解【解答】解：根据平均数的含义得： 4，所以 x3；将这组数据从小到大的顺序排列（2，2，3，4，9） ，处于中间位置的数是 3，那么这组数据的中位数是 3；在这一组数据中 2 是出现次数最多的，故众数是 2故选：D【点评】本题为统计题，考查平均数、众数与中位数的意义，解题要细心7 （3 分）时钟在正常运行时，分针每分钟转动 6，时针每分钟转动 0.5在运行过程中，时针与分针的夹角会随时间的变化而变化设时针与分针的夹角为 y（度） ，运行时间为 t（分） ，当时间从 12：00 开始到 12：30 止，y 与 t 之间的函数图象是（ ）A
16、B第 11 页（共 31 页）CD【分析】由于从 12：00 开始时针与分针的夹角为 0，而分针每分钟转动 6，时针每分钟转动 0.5，由此得到时针与分针的夹角越来越大，可以根据已知条件计算夹角的大小【解答】解：从 12：00 开始时针与分针的夹角为 0，而分针每分钟转动 6，时针每分钟转动 0.5，y 越来越大，而分针每分钟转动 6，时针每分钟转动 0.5，从 12：00 开始到 12：30 止，y（60.5）30165故选：A【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决需注意计算单位的统一8 （3 分）
17、某校九年级（1）班为了筹备演讲比赛，准备用 200 元钱购买日记本和钢笔两种奖品（两种都要买） ，其中日记本 10 元/本，钢笔 15 元/支，在钱全部用完的条件下，购买的方案共有（ ）A4 种 B5 种 C6 种 D7 种【分析】设购买了日记本 x 本，钢笔 y 支，根据准备用 200 元钱购买日记本和钢笔两种奖品（两种都要买） ，其中日记本 10 元/本，钢笔 15 元/ 支，钱全部用完可列出方程，再根据 x，y 为正整数可求出解【解答】解：设购买了日记本 x 本，钢笔 y 支，第 12 页（共 31 页）根据题意得：10x+15y 200，化简整理得：2x+3y 40，得 x20 y，x
18、，y 为正整数， ， ， ， ， ， ，有 6 种购买方案：方案 1：购买了日记本 17 本，钢笔 2 支；方案 2：购买了日记本 14 本，钢笔 4 支；方案 3：购买了日记本 11 本，钢笔 6 支；方案 4：购买了日记本 8 本，钢笔 8 支；方案 5：购买了日记本 5 本，钢笔 10 支；方案 6：购买了日记本 2 本，钢笔 12 支故选：C【点评】本题考查了二元一次方程的应用，关键是读懂题意，根据题意列出二元一次方程，然后根据解为正整数确定出 x，y 的值9 （3 分）如图，过 y 轴上任意一点 P，作 x 轴的平行线，分别与反比例函数 y 和y 的图象交于 A 点和 B 点，若 C
19、 为 x 轴上任意一点，连接 AC，BC，则ABC 的面积为（ ）A3 B4 C5 D6【分析】连接 OA、OB，如图，由于 ABx 轴，根据反比例函数 k 的几何意义得到 SOAP 2， SOBP 1，则 SOAB 3，然后利用 ABOC，根据三角形面积公式即可得到SCAB S OAB 3【解答】解：连接 OA、OB，如图，第 13 页（共 31 页）ABx 轴，S OAP |4|2，S OBP |2|1，S OAB 3，ABOC，S CAB S OAB 3故选：A【点评】本题考查了反比例函数 y （k0）系数 k 的几何意义：从反比例函数y （k0）图象上任意一点向 x 轴和 y 轴作垂线
20、，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|10 （3 分）如图，抛物线 yax 2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，与 x 轴的一个交点坐标为（3，0） ，其部分图象如图所示，现有下列结论：abc0：b 24ac 0； a+b0；当 x0 时， y 随 x 的增大而减小；3a+c0；c4b其中正确的结论有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解答】解：由抛物线开口方向向下知，a0第 14 页（共 31 页）由抛物
21、线对称轴位于 y 轴右侧知，a、b 异号，即 ab0，抛物线与 y 轴交于正半轴，则 c0则 abc0故错误；由抛物线与 x 轴有两个不同的交点知，b 24ac0故错误；由对称轴 x 1 知 b2a，则 a+ba2aa0，即 a+b0故正确；如图所示，当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故错误；如图所示，根据抛物线的对称性知，抛物线与 x 轴的另一交点坐标是（1，0） 所以当 x1 时，y ab+c a+2 a+c3a+c0，即 3a+c0，故正确；3a +c0c3ac4b3a4b3a+8a5a0故正确综上所述，其中正确的结论有 3 个故选：C第 15 页（共 31 页）【点评】本题考查了
22、二次函数的图象与系数的关系，还考查了同学们从函数图象中获取信息的能力，以及考查二次函数的图象和性质二、填空题（每小题 3 分，满分 21 分）11 （3 分）近年来日本发生的一次地震及海啸给日本带来 16 万亿日元到 25 万亿日元的经济损失，25 万亿日元用科学记数法表示为 2.510 13 日元【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：25 万亿2.510 13故答案为：2.510
23、 13【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数12 （3 分）如图是由几个相同的小正方体搭建而成的几何体的主视图和俯视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体至少为 8 个【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有 5 个小立方体，第二层最少有 2 个小立方体，第三层至少有 1 个，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是 8 个故答案为：8【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视
24、图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数13 （3 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC8，BC6，按图中所示方法将BCD 沿 BD 折叠，使点 C 落在边 AB 上的点 C处，则折痕 BD 的长为 3 第 16 页（共 31 页）【分析】根据勾股定理易求 AB10根据折叠的性质有BCBC，CDDC，CACD90在ACD 中，设 DCx，则 AD8x，AC1064根据勾股定理可求 x在BCD 中，运用勾股定理求 BD【解答】解：C90， AC8，BC6，AB10根据折叠的性质，BCBC，CDDC，CACD90AC1064在ACD 中，设 DCx，则 AD8x，根据
25、勾股定理得（8x） 2x 2+42解得 x3CD3BD 3 【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等14 （3 分）若一个圆锥的底面圆半径为 3cm，其侧面展开图的圆心角为 120，则圆锥的母线长是 9 cm 【分析】利用圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长即可求解【解答】解：设母线长为 l，则 2 3 解得：l9 故答案为：9【点评】考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧
26、长第 17 页（共 31 页）15 （3 分）关于 x 的分式方程 的解是正数，则 a 的取值范围是 a0 且 a1 【分析】关于 x 的分式方程 的解是正数，首先表明分式方程有解，不能让分母等于 0，所以 x2；再考虑解是正数，才能求出正确结果【解答】解：去分母得：22aax2a得 ax2即：x关于 x 的分式方程 的解是正数 0 即 a0又原分式方程有解，x2 2 即 a1故答案为 a0 且 a1【点评】本题考查的是解分式方程，并把握分式方程有解的条件，本题中往往容易遗漏对方程有解的检验，导致范围不正确16 （3 分）矩形 ABCD 的边 AB6，BC12，点 P 为矩形 ABCD 边上一
27、点，连接 AP，若线段 AP、BD 交点为点 H，PAB 为等腰三角形，则 AH 的长为 4 或 2 【分析】根据题意画出图形，分两种情况：当 P 在 BC 上时； 当 P 在 CD 上时，P为 CD 的中点；由矩形的性质和勾股定理以及相似三角形的性质即可得出结果【解答】解：分两种情况：当 P 在 BC 上时，如图 1 所示四边形 ABCD 是矩形，ABP 90，ADBC4，ADBC，CDAB2，ADEPBE， ，ABP 是等腰三角形，PBAB6，第 18 页（共 31 页） 2， ，由勾股定理得：AP 6 ，AE4 ；当 P 在 CD 上时，P 为 CD 的中点，如图 2 所示：则 PD C
28、D3，AP 3 ，ABCD，ABE DPE， 2，AE2PE ，AE AP2 ；综上所述，AE 的长为 4 或 2 ；故答案为：4 或 2 【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、比例的性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键17 （3 分）在平面直角坐标系中，点 A 在 x 轴正半轴上，点 B 在 y 轴正半轴上，O 为坐标原点，OAOB1，过点 O 作 OM1AB 于点 M1：过点 M1 作 M1A1OA 于点 A1：过点 A 作 M1A2AB 于点 M2；过点 M2 作 M2A2OA 于点 A2以类推，点 M2019 的坐标为 （
29、1 ， ） 第 19 页（共 31 页）【分析】根据等腰三角形的性质得到点 M1 是 AB 的中点，根据三角形中位线定理求出点 M1 的坐标，总结规律，根据规律解答即可【解答】解：OAOB，OM 1AB，点 M1 是 AB 的中点，M 1A1OA ，A 1 是 OA 的中点，点 M1 的坐标为（ ， ） ，同理，点 M2 的坐标为（1 ， ） ，点 M3 的坐标为（1 ， ） ，点 M2019 的坐标为（1 ， ） ，故答案为：（1 ， ） 【点评】本题考查的是点的坐标规律，掌握等腰直角三角形的性质、点的坐标性质是解题的关键三、解答题（本题共 8 道大题，共 69 分）18 （6 分）计算：【
30、分析】先分别计算二次根式、绝对值、三角函数值、负整数指数幂，然后算加减法【解答】解：原式2 第 20 页（共 31 页）【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握二次根式、绝对值、三角函数值、负整数指数幂的运算是解题的关键19 （4 分）因式分解：a 243（a+2）【分析】利用平方差公式和提取公因式法进行因式分解【解答】解：原式（a+2） （a2）3（a+2）（a+2） （a5） 【点评】考查了公式法和提取公因式法进行因式分解，能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反20 （5 分）解方程：x 24x 90【分析】方程移项配方后，开方即可求出解【解答】解
31、：配方得：x 24x+413，即（x 2） 213，开方得：x2 ，解得：x 12+ ，x 22 【点评】考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为 1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的系数是 2的倍数21 （8 分）RtABC 中，C90，点 E 在 AB 上，BE AE2，以 AE 为直径作O交 AC 于点 F，交 BC 于点 D，且点 D 为切点，连接 AD、EF（1）求证：AD 平分BAC；（2）求阴影部分面积 （结果保留 ）【分析】 （1）欲证明
32、AD 平分 BAC ，只要证明DAO DAC 即可（2）根据 S 阴S 扇形 OEFSOEF，计算即可【解答】 （1）证明：连接 OD 交 EF 于 M第 21 页（共 31 页）BC 切O 于 D，ODBC，ODB 90 ，C90，ODB C，ODAC，DACODA，ODOA ，OAD ODA，OAD DAC ，AD 平分ABC（2）连接 OFAE 是直径，AFE 90，EFBC， ，CAFE ODC90，四边形 DMFC 是矩形，DM CF AF，OM DM OD OE，OEM30，EOF120，BE AE2，OE2，OM 1，EM ，EF2 ，S 阴 S 扇形 OEFS OEF 2 1
33、第 22 页（共 31 页）【点评】本题考查扇形的面积，角平分线的定义，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题22 （10 分）某中学为了解学生业余时间的活动情况，从看电视、看书、上网、运动四个方面进行了统计调查，随机调查了某班所有同学（每名同学必选且只能选一项最喜欢的活动） ，并将调查结果绘成了如下两个不完整的统计图，请根据图中信息回答下列问题：（1）被调查的班级学生共有 50 名（2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中“上网”的学生所对应的圆心角是 72 度；（4）该校一共有 1200 名学生，根据抽样调查结果，请你计算出该校大约有多少
34、名学生喜欢“运动”？【分析】 （1）由看电视的人数及其所占百分比可得总人数；（2）总人数乘以看书对应的百分比求得其人数，再根据各情况人数之和等于总人数求得运动的人数，从而补全图形；（3）用 360乘以上网人数所占比例；（4）用总人数乘以样本中运动人数所占比例即可得【解答】解：（1）被调查的班级学生共有 1836%50（人） ，故答案为：50；第 23 页（共 31 页）（2）看书的人数为 5028%14（人） ，运动的人数为 50（18+14+10）8（人） ，补全图形如下：（3）扇形统计图中“上网”的学生所对应的圆心角是 360 72，故答案为：72；（4）该校喜欢“运动”的学生约有 120
35、0 192（人） 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答23 （10 分）周末，小明从家步行去书店看书，出发 小时后距家 1.8 千米时，爸爸驾车从家沿相同路线追赶小明，在 A 地追上小明后，二人驾车继续前行到达书店，小明在书店B 看书，爸爸去单位 C 地办事如图是小明与爸爸两人之间距离 S（千米）与小明出发的时 t（小时）之间的函数图象， （小明步行速度与爸爸驾车速度始终保持不变，彼此交流时间忽略不计） ，请根据图象回答下列问题（1）小明步行速度是 7.2 千米/小时，爸爸驾车速度是 48 千米/ 小时；（2）图中点 A 的坐
36、标是 （ ，0） ；（3）求书店与家的路程；（4）求爸爸出发多长时间，两人相距 3 千米第 24 页（共 31 页）【分析】 （1）根据“速度路程时间”即可解答；（2）根据（1）中爸爸驾车速度以及行驶的路程即可求出行驶时间，进而求出点 A 的坐标；（3）用“爸爸驾车速度时间”即可求出书店与家的路程；（4）求出直线 BC 的解析式，再把相应数据代入解析式即可解答【解答】解：（1）小明步行速度为 （千米/小时） ；爸爸驾车速度为 （千米/小时） ；故答案为：7.2；48；（2）设点 A 的横坐标为 x，根据题意得，7.2x48（x ） ，解得 ，故点 A 的坐标是（ ，0） ，故答案为：（ ，0）
37、 ；（3）48 （千米） ；（4） ，C（ ，8 ） ，故直线 BC 的解析式为 y 48x24，第 25 页（共 31 页）当 48x243 时，x ，（小时） 答：爸爸出发 小时后，两人相距 3 千米【点评】本题主要考查了一次函数图象上的点所表示的意义，结合实际求出问题24 （12 分）旋转是图形变化的方法之一，借助旋转知识可以解决线段长、角的大小、取值范围、判断三角形形状等问题，在实际生活中也有十分重要的地位和作用问题背景：一块等边三角形建筑材料内一点到三角形三个顶点的距离满足一定条件时，我们可以用所学的知识帮助工人师傅在没有刻度尺的情况下求出等边三角形的边长数学建模如图 1，等边三角形
38、 ABC 内有一点 P，已知 PA2 ，PB4，PC2 问题解决（1）如图 2，将ABP 绕点 B 顺时针旋转 60得到CBP，连接 PP，易证BPP 60 ， BPP 为等边三角形， PPC 90， BPA 150 ：（2）点 H 为直线 BP上的一个动点，则 CH 的最小值为 ；（3）求 AB 长；拓展延伸已知：点 P 在正方形 ABCD 内，点 Q 在平面，BPBQ1，BPBQ（4）在图 3 中，连接 PA、PC、PQ 、QC，AP ，若点 A、P、Q 在一条直线上，则cosPCQ ；（5）若 AB2，连接 DP，则 1 DP ；连接 PQ，当 D、P、Q 三点同一条直线上时，BDQ 的
39、面积为 【分析】 （1）根据题目给的填空提示，先证明BPP是等边三角形，再用勾股定理逆定第 26 页（共 31 页）理证明PP C90，求得 BPC 即得到APB 的度数（2）由点到直线的距离垂线段最短可知，当 CHBP时，CH 最小，用特殊三角函数值即求得 CH 的长（3）由（2）的结论，可利用 CHBP构造直角三角形，用勾股定理求 BC，即求得 AB的长（4）由点 A、P、Q 在一条直线上，可得关键条件 APB135，易证CBQABP即有BQCBPA135，进而得到PQC90，所以 cosPCQ 即为 CQ 与 PC的比（5）由 BP1 可知点 P 在以 B 为圆心、BP 长为半径且在正方
40、形内的圆周上运动，所以 P 在 AB 上时 DP 最大，B、P、D 在一条直线上时，DP 最短，画出具体图形即求出DP 的最值；当 D、P、Q 三点同一条直线上时，BDQ 的面积可用 DQ 为底来求，故作 BEDQ，利用等腰 RtBPQ 的性质和勾股定理求 BE 和 DQ 的长，即求得面积【解答】解：（1）ABC 是等边三角形ABBC， ABC60ABP 绕点 B 顺时针旋转 60得到CBPABP CBP，PBP ABC60，BPBP，CP AP ，BPCBPABPP 是等边三角形BP P60，PP BP4PCCP 2+PP2（ ） 2+4228PC 2PP C90BP CBPP+PPC60+
41、90150BPA BPC150故答案为：60；BPP ；PP C；150（2）如图 1，当 CHBP时，CH 最小BP C150，CP2 ，CHP90CPH180BPC 30第 27 页（共 31 页）CH CP故答案为：（3）如图 1，过点 C 作 CH BP于点 HRtCP H 中，CH ，CP PHBPBP4BHBP+P H7RtBCH 中， BCABBC（4）四边形 ABCD 是正方形ABBC， ABC90BPBQ 1，BPBQPBQ90BPQBQP45，PQ ，PBQABCAPB 180BPQ135，PBQPBCABCPBC即CBQABP在CBQ 与ABP 中，CBQABP（SAS）
42、CQAP ，BQCBPA135PQCBQCBQP90PCcosPCQ故答案为：第 28 页（共 31 页）（5） BP 1，点 P 在正方形 ABCD 内点 P 在以 B 为圆心、BP 长为半径且在正方形内的圆周上如图 2，当 B、P、D 在一条直线上时， PD 最短PDBDBP BP 2 1如图 3，当 P 很接近 AB 或 BC 时，PD 取极大值PD2 1DP如图 4，过点 B 作 BEPQ 于点 EBED90BPBQ 1，PBQ90BEPEEQ PQDEDQDE +EQS BDQ DQBE故答案为： 1； ； 第 29 页（共 31 页）【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和
43、性质，勾股定理和勾股定理逆定理，点到直线距离，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数解题关键由等边三角形的解题方法转化到正方形的运用动点题要发挥想象，把极值情况画出再进行思考25 （14 分）综合与探究：如图，抛物线 yax 2+bx4 与 x 轴交于 A（3，0） 、B（4，0）两点，与 y 轴交于点C（1）求抛物线解析式；（2）抛物线对称轴上存在一点 H，连接 AH、CH，当|AHCH|值最大时，求点 H 坐标；（3）若抛物线上存在一点 P（m ，n） ，mn 0，当 SABC S ABp 时，求点 P 坐标；（4）若点 M 是BAC 平分线上的一点，点 N 是平面内一点，若以 A
44、、B、M、N 为顶点的四边形是矩形，请直接写出点 N 坐标第 30 页（共 31 页）【分析】 （1）把点 A 和点 B 坐标代入抛物线解析式解出 a 和 b 即可；（2）由三角形任意两边之差小于第三边，可知抛物线对称轴上存在一点 H，连接AH、CH，当|AHCH| 值最大时，点 H 为 AC 直线与对称轴的交点，从而可解；（3）由 mn0，当 SABC S ABp ，可知点 P 位于第一象限，且其纵坐标与点 C 的纵坐标为相反数，从而可解；（4）画图，利用角平分线的性质定理，用面积法解出点 OQ，从而利用同角的三角函数值相等可解【解答】解：（1）抛物线与 y 轴交于点 C，点 C 坐标为（0
45、，4） ，把 A（3，0） 、B （4，0）坐标代入 yax 2+bx4 得解得抛物线解析式为： （2）抛物线的对称轴为：x ，由三角形任意两边之差小于第三边，可知抛物线对称轴上存在一点 H，连接 AH、CH，当|AH CH |值最大时，点 H 为 AC 直线与对称轴的交点，由 A（3，0） 、C（0，4）易得直线 AC 解析式为：，当 x 时，y ，故点 H 的坐标为：（ ， ） （3）抛物线上存在一点 P（m ，n） ，mn 0，当 SABC S ABp 时，点 P（m，n）只能位于第一象限， C（0，4）n4由 4 4 解得 x 或 x （舍）故点 P 坐标为（ ，4） （4）若以 A、B、M 、N 为顶点的四边形是矩形，则点 M 和点 N 的位置有两种如图所示