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2019年上海市崇明区高考数学三模试卷(含答案解析)

1、2019 年上海市崇明区高考数学三模试卷一.填空题1 (3 分)设集合 A1,2, 3,Bx|x 1 ,则 AB 2 (3 分)若 0,则 x 3 (3 分)已知复数 z 满足 z(2i)5(i 为虚数单位) ,则 z 的模为 4 (3 分)函数 的单调递增区间为 5 (3 分)若一个球的体积为 36,则它的表面积为 6 (3 分)某校三个年级中,高一年级有学生 400 人,高二年级有学生 360 人,现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取 55 人,其中从高一年级学生中抽出 20 人,则从高三年级学生中抽取的人数为 7 (3 分)一名工人维护 3 台独立的游戏机,一天内这 3 台需要维护的概率

2、分别为 0.9、08和 0.6,则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为 (结果用小数表示)8 (3 分)已知不等式组 表示的平面区域为 ,点 M 坐标为(x,y) ,对任意点M,则 xy 的最大值为 9 (3 分)已知定义在 R 上的增函数 yf(x)满足 f(x)+f(4x)0,若实数 a、b 满足不等式 f(a)+f(b) 0,则 a2+b2 的最小值是 10 (3 分)若 an 是二项式(1+x) n 展开式中 x2 项的系数,则 11 (3 分)已知 F 是抛物线 y2x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, 2(其中 O 为坐标原点) ,则ABO 与AFO 面积

3、之和的最小值是 12 (3 分)在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,如果对任意的实数 ,| |恒成立,则 的取值范围是 二.选择题13 (3 分)已知 a,bR,则“ab0”是“a 2+b20”的( )条件A充分不必要 B必要不充分C充要 D既不充分又不必要14 (3 分)将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得图象的解析式为( )A BC D15 (3 分)已知关于 x 的方程 ,其中 、 、 都是非零向量,且 、 不共线,则该方程的解的情况是( )A至少有一个解 B至多有一个解C至多有两个解 D可

4、能有无数个解16 (3 分)如图为正方体 ABCDA 1B1C1D1,动点 M 从 B1 点出发,在正方体表面沿逆时针方向运动一周后,再回到 B1 的运动过程中,点 M 与平面 A1DC1 的距离保持不变,运动的路程 x 与 lMA 1+MC1+MD 之间满足函数关系 lf ( x) ,则此函数图象大致是( )A BC D三.解答题17在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中,ABC90,AB BC1,BB 12(1)求异面直线 B1C1 与 A1C 所成角的大小;(2)求直线 B1C1 与平面 A1BC 的距离18已知向量 和向量 ,且 (1)求函数 f(x )的最小正周期和最大值;(2)已知A

5、BC 的三个内角分别为 A、B、C,若有 , ,求 AC 的长度19某地拟建造一座体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图所示:曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分,其中 E(0,t ) (0t25) ,GF 是圆的切线,且 GFAD,曲线BC 是抛物线 yax 2+50(a0)的一部分,CDAD,且 CD 恰好等于圆 E 的半径(1)若 CD30 米, 米,求 t 与 a 的值;(2)若体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围20已知点 F1、F 2 为双曲线 (b0)的左、右焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线,在 x 轴上方交双曲线 C 于点 M,且MF 1F

6、230 ,圆 O 的方程是 x2+y2b 2(1)求双曲线 C 的方程;(2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为 P1、P 2,求的值;(3)过圆 O 上任意一点 Q 作圆 O 的切线 l 交双曲线 C 于 A、B 两点,AB 中点为 M,求证:|AB|2|OM |21如果存在常数 a,使得数列a n满足:若 x 是数列a n中的一项,则 ax 也是数列 an中的一项,称数列a n为“兑换数列 ”,常数 a 是它的“ 兑换系数 ”(1)若数列:2,3,6,m( m6)是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” ,求 m 和 a 的值;(2)已知有穷等差数列b n的项

7、数是 n0(n 03) ,所有项之和是 B,求证:数列b n是“兑换数列” ,并用 n0 和 B 表示它的“兑换系数” ;(3)对于一个不少于 3 项,且各项皆为正整数的递增数列c n,是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数列”?给出你的结论,并说明理由2019 年上海市崇明区高考数学三模试卷参考答案与试题解析一.填空题1 (3 分)设集合 A1,2, 3,Bx|x 1 ,则 AB 2,3 【分析】进行交集的运算即可【解答】解:A1,2,3,Bx|x 1 ;AB2,3故答案为:2,3【点评】考查列举法、描述法的定义,以及交集的运算2 (3 分)若 0,则 x 4 【分析】由二阶行列式展开式性质

8、得 2log2x40,由此利用对数运算法则和性质能求出 x【解答】解: 0,2log 2x4 0,log 2x2,解得 x4故答案为:4【点评】本题考查对数性质及行列式性质的应用,是基础题,解题时要认真审题,注意行列式展开法则及对数性质、运算法则的合理运用3 (3 分)已知复数 z 满足 z(2i)5(i 为虚数单位) ,则 z 的模为 【分析】先利用两个复数相除的法则求出复数 z,再依据复数的模的定义求出复数的模【解答】解:复数 z 满足(2i)z5(i 是虚数单位) ,z 2+i|z| 故答案为 【点评】本题考查两个复数乘除法法则,复数的模的定义及求法4 (3 分)函数 的单调递增区间为

9、【分析】利用辅助角公式化简,结合三角函数的性质可得单调递增区间【解答】解:函数 2sin(x + ) ,令 ,kZ,得: ,函数 f(x)的单调递增区为: 故答案为: 【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质,单调区间的求法5 (3 分)若一个球的体积为 36,则它的表面积为 36 【分析】求出球的半径,直接利用表面积公式求解即可【解答】解:因为球的体积为 36,所以球的半径: 3,球的表面积:43 236,故答案为:36【点评】本题考查球的表面积与体积的计算,考查计算能力6 (3 分)某校三个年级中,高一年级有学生 400 人,高二年级有学生 360 人,现采用分层抽样的方法从全校学生中抽取

10、 55 人,其中从高一年级学生中抽出 20 人,则从高三年级学生中抽取的人数为 17 【分析】根据学生的人数比,利用分层抽样的定义即可得到结论【解答】解:设从高一年级学生中抽出 x 人,由题意得 ,解得 x18,则从高三年级学生中抽取的人数为 55201817 人,故答案为:17【点评】本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系是解决本题的关键,比较基础7 (3 分)一名工人维护 3 台独立的游戏机,一天内这 3 台需要维护的概率分别为 0.9、08和 0.6,则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为 0.568 (结果用小数表示)【分析】利用对立事件和相互独立事件概率乘法公式能求出一

11、天内至少有一台游戏机不需要维护的概率【解答】解:一名工人维护 3 台独立的游戏机,一天内这 3 台需要维护的概率分别为0.9、08 和 0.6,则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为:p10.90.80.60.568故答案为:0.568【点评】本题考查概率的求法,考查对立事件和相互独立事件概率乘法公式等基础知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力8 (3 分)已知不等式组 表示的平面区域为 ,点 M 坐标为(x,y) ,对任意点M,则 xy 的最大值为 6 【分析】由约束条件作出可行域,令 zxy,化为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,把最优解的坐标代入求得 xy 的最值【解答】解:

12、由不等式组 作出平面区域为 ,令 zx y,化为 yxz,由图可知,当直线 yxz 过 A(2,4)时,z 有最小值为6,故答案为:6【点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是中档题9 (3 分)已知定义在 R 上的增函数 yf(x)满足 f(x)+f(4x)0,若实数 a、b 满足不等式 f(a)+f(b)0,则 a2+b2 的最小值是 8 【分析】根据函数的单调性将不等式组进行转化,结合线性规划的知识进行求解即可【解答】解:f(x )f(4x) ,f (x)f (4x) ,f(a)+f(b)0 可化为 f(a)f (b)f(4b) ,又f(x)在 R 上单调递增,a4b

13、,即 a+b40,a2+b2 表示点(0,0)到点(a,b)的距离平方,a 2+b2 的最小值是点(0,0)到直线 a+b40 的距离平方 故答案为:8【点评】本题考查函数恒成立问题,考查数形结合思想,考查学生分析问题解决问题的能力,属中档题10 (3 分)若 an 是二项式(1+x) n 展开式中 x2 项的系数,则 2 【分析】首先求出展开式中含 x2 项的系数,然后求出 ,根据式子特点,采用裂项求和得到 + + ,然后求极限【解答】解:由题意,a n 是(1+x) n 展开式中含 x2 项的系数,所以 ,所以 ,所以 ( + + ) 2(1 + ) 2(1 )2;故答案为:2【点评】本题

14、考查了二项展开式的特征项系数的求法以及数列的极限;关键是由已知正确求出数列的通项公式,正确利用裂项求和,然后求极限11 (3 分)已知 F 是抛物线 y2x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, 2(其中 O 为坐标原点) ,则ABO 与AFO 面积之和的最小值是 3 【分析】先设直线方程和点的坐标,联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程,再利用韦达定理及 2 消元,最后将面积之和表示出来,探求最值问题【解答】解:设直线 AB 的方程为:xty +m,点 A(x 1, y1) ,B(x 2,y 2) ,直线 AB 与x 轴的交点为 M(m,0) ,xty +m 代入 y2

15、x,可得 y2ty m0,根据韦达定理有 y1y2m , 2,x 1x2+y1y22,从而(y 1y2) 2+y1y220,点 A,B 位于 x 轴的两侧,y 1y22,故 m2不妨令点 A 在 x 轴上方,则 y10,又 F( ,0) ,S ABO +SAFO 2(y 1y 2)+ y1 y1+ 3当且仅当 y1 ,即 y1 时,取“”号,ABO 与AFO 面积之和的最小值是 3,故答案为:3【点评】求解本题时,应考虑以下几个要点:1、联立直线与抛物线的方程,消 x 或 y 后建立一元二次方程,利用韦达定理与已知条件消元,这是处理此类问题的常见模式2、求三角形面积时,为使面积的表达式简单,常

16、根据图形的特征选择适当的底与高3、利用基本不等式时,应注意“一正,二定,三相等” 12 (3 分)在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,如果对任意的实数 ,| |恒成立,则 的取值范围是 【分析】由| |min| |,可知| |min 即为 BC 边上的高,设为 h,然后结合三角形的面积公式及余弦定理,基本不等式即可求解【解答】解:由余弦定理可知,cosA ,b 2+c2a 2+2bccosA,由于对任意的实数 , 恒成立,| |min| |,| |min 即为 BC 边上的高,设为 h,ha,S ABC ,sinA则 sinA+2cos A其中 sin ,cos , ,故

17、答案为:2, 【点评】本题主要考查了向量的几何意义的应用,余弦定理及三角形的面积公式,辅助角公式等知识的应用,属于中档试题二.选择题13 (3 分)已知 a,bR,则“ab0”是“a 2+b20”的( )条件A充分不必要 B必要不充分C充要 D既不充分又不必要【分析】先化简 p 为 a0 或 b0;q 为 ab0;判断出 p 成立 q 不一定成立,反之 q成立 p 一定成立,利用充要条件的有关定义得到结论【解答】解:p:ab0 即为 a0 或 b0;q:a 2+b20 即为 ab0;所以 p 成立 q 不一定成立,反之 q 成立 p 一定成立,所以 p 是 q 的必要不充分条件,故选:B【点评

18、】本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件,应该先化简各个命题,然后两边互推一下,利用充要条件的定义进行判断,属于基础题14 (3 分)将函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,则所得图象的解析式为( )A BC D【分析】根据三角函数图象平移法则,即可写出平移变换后的函数解析式【解答】解:函数 的图象上所有的点向右平移 个单位长度,得 ysin(x ) sin(x )的图象,再把图象上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,得 ysin ( x )的图象;函数的解析式为 ysin( ) 故选:C【点评】本题考查了三角

19、函数图象平移法则的应用问题,是基础题15 (3 分)已知关于 x 的方程 ,其中 、 、 都是非零向量,且 、 不共线,则该方程的解的情况是( )A至少有一个解 B至多有一个解C至多有两个解 D可能有无数个解【分析】先将向量 移到另一侧得到关于向量 x2 x,再由平面向量的基本定理判断即可【解答】解: (x 2) x 、 这不共线向量故存在唯一一对实数 , 使, +若 满足 2,则方程有一个解, 不满足 2,则方程无解所以至多一个解故选:B【点评】本题主要考查平面向量的基本定理,即平面内任意向量都可由两不共线的非零向量唯一表示出来16 (3 分)如图为正方体 ABCDA 1B1C1D1,动点

20、M 从 B1 点出发,在正方体表面沿逆时针方向运动一周后,再回到 B1 的运动过程中,点 M 与平面 A1DC1 的距离保持不变,运动的路程 x 与 lMA 1+MC1+MD 之间满足函数关系 lf ( x) ,则此函数图象大致是( )A BC D【分析】分析 M 由 P 到 C,由 C 到 A,由 A 到 B1 的过程,lMA 1+MC1+MD 之间满足函数关系 lf(x) ,的变化情况,判断函数的图象即可【解答】解:设点 P 为 B1C 的中点,由题意可知 M 由 B1 到 B1,lMA 1+MC1+MD 中,MA 1+MD 是定值,MC1 由小变大,PC 1 是定值,MC1 ,函数是增函

21、数,排除 A,C,类似双曲线形式,所以 C 正确;(类似讨论由 C 到 A,由 A 到 B1 的过程,lMA 1+MC1+MD 之间满足函数关系 lf (x) 故选:C【点评】本题考查函数的图象,考查数形结合,双曲线的简单性质的应用,考查空间几何体的形状,是中档题三.解答题17在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中,ABC90,AB BC1,BB 12(1)求异面直线 B1C1 与 A1C 所成角的大小;(2)求直线 B1C1 与平面 A1BC 的距离【分析】 (1)由题意可得A 1CB(或其补角)即为异面直线 B1C1 与 A1C 所成的角,解三角形可得;(2)可证 B1C1平面 A1BC,则

22、 B1 到平面 A1BC 的距离 h 即为所求,由等体积法可得 ,代入数据计算可得【解答】解:(1)由题意可得 BCB 1C1,A 1CB(或其补角)即为异面直线 B1C1 与 A1C 所成的角,由题意可知 BC平面 ABB1A1,BC A 1B,A 1BC 为直角三角形,tanA 1CB ,异面直线 B1C1 与 A1C 所成的角为 arctan ;(2)BCB 1C1,BC平面 A1BC,B 1C1平面 A1BC,B 1C1平面 A1BC,直线 B1C1 上任意一点到平面 A1BC 的距离均为直线 B1C1 到平面 A1BC 的距离,不妨取 B1,且设 B1 到平面 A1BC 的距离为 h

23、,由等体积法可得 ,即 h BC代入数据可得 1 h 211,解得 h直线 B1C1 到平面 A1BC 的距离为【点评】本题考查异面直线所成的角,涉及直线到平面的距离,等体积是解决问题的关键,属中档题18已知向量 和向量 ,且 (1)求函数 f(x )的最小正周期和最大值;(2)已知ABC 的三个内角分别为 A、B、C,若有 , ,求 AC 的长度【分析】 (1)利用向量共线定理、两角和差的正弦公式、三角函数的性质即可得出;(2)利用正弦定理即可得出【解答】解:(1) , 0,化为 f(x)2 函数 f(x)的周期为 2,最大值为 2(2) 得 2sinA ,即 sinA ,由正弦定理得 ,又

24、 BC ,sin B ,则 2【点评】本题考查了向量共线定理、两角和差的正弦公式、三角函数的性质、正弦定理,属于中档题19某地拟建造一座体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图所示:曲线 AB 是以点 E 为圆心的圆的一部分,其中 E(0,t ) (0t25) ,GF 是圆的切线,且 GFAD,曲线BC 是抛物线 yax 2+50(a0)的一部分,CDAD,且 CD 恰好等于圆 E 的半径(1)若 CD30 米, 米,求 t 与 a 的值;(2)若体育馆侧面的最大宽度 DF 不超过 75 米,求 a 的取值范围【分析】 (1)由 CD30 米,AD24 米,代入抛物线的方程,结合圆的方程,即可解得

25、答案;(2)问题转化为 + 恒成立,根据基本不等式的性质解出即可【解答】解:(1)因为圆 E 的半径为 OBOE 50t ,所以 CD50t30,t20,令 yax 2+5050t,得圆 E:x 2+(y20) 230 2,令 y0,得 ,所以 ,即 ,又 t20,得 (2)由题意得: 对 t(0,25恒成立,所以 恒成立,当 ,即 t25 时, ,所以 ,解得 ,故 a 的取值范围为 )【点评】本题考查了直线和圆的位置关系,考查三角函数问题,考查函数恒成立问题,属于中档题20已知点 F1、F 2 为双曲线 (b0)的左、右焦点,过 F2 作垂直于 x 轴的直线,在 x 轴上方交双曲线 C 于

26、点 M,且MF 1F230 ,圆 O 的方程是 x2+y2b 2(1)求双曲线 C 的方程;(2)过双曲线 C 上任意一点 P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为 P1、P 2,求的值;(3)过圆 O 上任意一点 Q 作圆 O 的切线 l 交双曲线 C 于 A、B 两点,AB 中点为 M,求证:|AB|2|OM |【分析】 (1)确定|MF 2|b 2,|MF 1|2b 2,由双曲线的定义可知:|MF1|MF 2|b 22,从而可得双曲线 C 的方程;(2)确定两条渐近线方程,设双曲线 C 上的点 P(x 0,y 0) ,求出点 P 到两条渐近线的距离,利用 P(x 0,y 0)在双曲线

27、C 上,及向量的数量积公式,即可求得结论;(3)分类讨论:当切线 l 的斜率存在,设切线 l 的方程代入双曲线 C 中,利用韦达定理,结合直线 l 与圆 O 相切,可得|AB |2|OM|成立;当切线 l 的斜率不存在时,求出 A,B 的坐标,即可得到结论【解答】 (1)解:设 F2,M 的坐标分别为因为点 M 在双曲线 C 上,所以 ,即 ,所以在 Rt MF2F1 中, , ,所以 (2 分)由双曲线的定义可知:故双曲线 C 的方程为: (4 分)(2)解:由条件可知:两条渐近线分别为 (5 分)设双曲线 C 上的点 P(x 0,y 0) ,设两渐近线的夹角为 ,则则点 P 到两条渐近线的

28、距离分别为 (7 分)因为 P(x 0,y 0)在双曲线 C: 上,所以又 ,所以 cos() (10 分)(3)证明:由题意,即证:OAOB 设 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2) ,切线 l 的方程为:x 0x+y0y 2(11 分)当 y00 时,切线 l 的方程代入双曲线 C 中,化简得:所以: ,又(13 分)所以 (15分)当 y00 时,易知上述结论也成立 所以 (16 分)综上,OAOB,所以 【点评】本题考查双曲线的标准方程,考查直线与双曲线的位置关系,考查韦达定理的运用,考查向量知识,考查学生的计算能力,属于中档题21如果存在常数 a,使得数列a n满足:若 x

29、是数列a n中的一项,则 ax 也是数列 an中的一项,称数列a n为“兑换数列 ”,常数 a 是它的“ 兑换系数 ”(1)若数列:2,3,6,m( m6)是“兑换系数”为 a 的“兑换数列” ,求 m 和 a 的值;(2)已知有穷等差数列b n的项数是 n0(n 03) ,所有项之和是 B,求证:数列b n是“兑换数列” ,并用 n0 和 B 表示它的“兑换系数” ;(3)对于一个不少于 3 项,且各项皆为正整数的递增数列c n,是否有可能它既是等比数列,又是“兑换数列”?给出你的结论,并说明理由【分析】 (1)根据数列:2,3,6,m (m 6)是“兑换系数 ”为 a 的“兑换数列”所以

30、am,a6,a3,a2 也是该数列的项,且 am a6a3a2,由此可求m 和 a 的值;(2)由“兑换数列”的定义证明数列b n是“兑换数列” ,即证对数列b n中的任意一项 bi(1in 0) ,ab ib 1+(n 0i )db n0+1i bn,从而可求数列 bn所有项之和;(3)假设存在这样的等比数列c n,设它的公比为 q(q1) ,可知数列c n必为有穷数列,不妨设项数为 n 项,则 ci+cn+1i a(1in) ,再分类讨论,即可得到结论【解答】 (1)解:因为 2,3,6,m (m 6)是“兑换系数 ”为 a 的“兑换数列”所以 am,a6,a3,a 2 也是该数列的项,且

31、 am a6a3a2,故 am2,a63,即 a9,m 7(2)证明:设数列b n的公差为 d,因为数列b n是项数为 n0 项的有穷等差数列若 b1b 2b 3 ,则 ab 1ab 2ab 3a ,即对数列b n中的任意一项 bi(1in 0) ,ab ib 1+(n 0i )d +1i bn同理可得:b 1b 2b 3 ,ab ib 1+(n 0i )d +1i bn也成立,由“兑换数列”的定义可知,数列b n是“兑换数列” ;又因为数列b n所有项之和是 B,所以 B ,即 a ;(3)解:假设存在这样的等比数列c n,设它的公比为 q(q1) ,因为数列c n为递增数列,所以 c1c 2c 3c n,则ac 1ac 2ac 3a c n,又因为数列c n为“兑换数列 ”,则 ac icn,所以 ac i 是正整数故数列c n必为有穷数列,不妨设项数为 n 项,则 ci+cn+1i a(1in)若 n 3,则有 c1+c3a,c 2 ,又 c22c 1c3,由此得 q1,与 q1 矛盾若 n 4,由 c1+cnc 2+cn1 ,得 c1c 1q+c1qn1 c 1qn2 0即(q1) (1q n2 )0,故 q1,与 q1 矛盾;综合得,不存在满足条件的数列c n【点评】本题考查新定义,考查学生的阅读能力,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题