1、2019 年上海市金山区高考数学二模试卷一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1 （4 分）函数 的定义域是 2 （4 分）函数 y（sinx+cosx） 2 的最小正周期是 3 （4 分）若关于 x、y 的线性方程组的增广矩阵为 ，该方程组的解为，则 m+n 的值是 4 （4 分）二项式（x+1） 7 的展开式中含 x3 项的系数值为 5 （4 分）已知全集 UR，集合 ，则 UP 6 （4 分）若 z11+ i，z 2ai ，其中 i 为虚数单位，且 R，则|z 2| 7 （5 分）方程 （t 为参数，t R）所对应曲线的普通方程为 8
2、 （5 分）在 RtABC 中，C90，AC4，则 9 （5 分）若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别 0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是 （结果用小数表示）10 （5 分）已知函数 f（x ）sinx 和 的定义域都是， ，则它们的图象围成的区域面积是 11 （5 分）若集合 Ax| x2（a+2）x +2a0，x Z中有且只有一个元素，则正实数 a的取值范围是 12 （5 分）正方形 ABCD 的边长为 2，对角线 AC、BD 相交于点 O，动点 P 满足，若 ，其中 m、nR ，则 的最大值是 二.选
3、择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，下列计算结果一定不等于 0 的是（ ）A BC D14 （5 分）在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异” 其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等根据祖暅原理， “两几何体 A、B的体积不相等”是“A、B 在等高处的截面面积不恒相等”的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分C充要 D既不充分也不必要15 （5 分）设 F1、F 2 是双曲线 C： （a0，b0）的两个焦点，P 是
4、 C 上一点，若| PF1|+|PF2|6a，PF 1F2 是PF 1F2 的最小内角，且PF 1F230，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）Ax y0 B xy0 Cx2y0 D2x y016 （5 分）若实数 a、b 满足 ，则 的取值范围是（ ）A2，0 B C D三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+1876 分）17 （14 分）已知ABC 中， ， ， 求：（1）角 C 的大小；（2）ABC 中最小边的边长18 （14 分）如图，已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上，AB 为圆 O 的直径，圆柱 OO1 的侧面积为 16，OA2，AOP120（1）求三棱锥
5、 A1APB 的体积；（2）求直线 A1P 与底面 PAB 所成角的大小19 （14 分）从金山区走出去的陈驰博士，在自然可持续性杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位已知某种树木的高度 f（t） （单位：米）与生长年限 t（单位：年，tN *）满足如下的逻辑斯蒂函数： ，其中 e 为自然对数的底数设该树栽下的时刻为 0（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过 5 米？（精确到个位）（2）在第几年内，该树长高最快？20 （16 分）已知椭圆 ： ，过点 D（1，0）的直线 l：yk（x+1）与椭圆 交于 M、N 两点（M 点在 N 点的上方）
6、 ，与 y 轴交于点 E（1）当 m1 且 k1 时，求点 M、N 的坐标；（2）当 m2 时，设 ， ，求证： + 为定值，并求出该值；（3）当 m3 时，点 D 和点 F 关于坐标原点对称，若 MNF 的内切圆面积等于 ，求直线 l 的方程21 （18 分）若数列a n、b n满足| an+1a n|b n（nN*） ，则称 bn为数列a n的“偏差数列” （1）若b n为常数列，且为a n的“偏差数列” ，试判断a n是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列a n是各项均为正整数的等比数列，且 a3a 26，b n为数列a n的“偏差数列” ，求 的值；（3）设 ，b n为数列a
7、 n的“偏差数列” ，a 11，a 2na 2n1 且a2na 2n+1，若|a n|M 对任意 nN*恒成立，求实数 M 的最小值2019 年上海市金山区高考数学二模试卷参考答案与试题解析一.填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1 （4 分）函数 的定义域是 x|x4 【分析】函数关系中主要有二次根式根据二次根式的意义，被开方数是非负数，进行求解；【解答】解：函数 ，x40，可得 x4，函数 的定义域为：x|x4，故答案为：x|x 4；【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表
8、达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数2 （4 分）函数 y（sinx+cosx） 2 的最小正周期是 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数 y1+sin2x，根据最小正周期等于 求出结果【解答】解：函数 y（sinx+cosx） 21+2sinx cosx1+sin2x，故它的最小正周期等于 ，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，正弦函数的周期性及其求法，属于基础题3 （4 分）若关于 x、y 的线性方程组的增广矩阵为 ，该方程组的解为，则 m+n 的值是 10 【分析】本题可先根据增广矩
9、阵的定义还原成线性方程组，然后将方程组的解为代入方程组得到 m、n 的值，即可得到 m+n 的值【解答】解：由题意，可根据增广矩阵的定义还原成线性方程组为：方程组的解为 ，m2，n12m+ n 10故答案为：10【点评】本题主要考查增广矩阵的定义，根据方程组的解得出参数的值本题属基础题4 （4 分）二项式（x+1） 7 的展开式中含 x3 项的系数值为 35 【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令 x 的幂指数等于 3，求得 r 的值，即可求得含 x3 项的系数值【解答】解：二项式（x+1） 7 的展开式的通项公式为 Tr+1 x7r ，令 7r3，求得 r4，可得展开式中含 x3 项的系
10、数值为 35，故答案为：35【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题5 （4 分）已知全集 UR，集合 ，则 UP （，1 【分析】求出 P 中 y 的范围确定出 P，根据全集 UR，求出 P 的补集即可【解答】解：由 P 中 y ，0x 1，得到 y1，即 P（ 1，+） ，全集 UR， UP（，1故答案为：（，1【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键6 （4 分）若 z11+ i，z 2ai ，其中 i 为虚数单位，且 R，则|z 2| 【分析】根据复数的运算法则结合复数为实数求出 a 的值，结合复数模长的公式
11、进行计算即可【解答】解： a+i，则 z1 （1+ i） （a+i）a1+（a+1）i ，若 R，则 a+10，即 a1，则 z2ai1i ，则|z 2| ，故答案为：【点评】本题主要考查复数模长的计算，结合复数的运算法则进行化简是解决本题的关键7 （5 分）方程 （t 为参数，t R）所对应曲线的普通方程为 y x 2+2x+2 【分析】由方程 消去参数 t 可得 y3（x1） ，再化简可得【解答】解：由方程 消去参数 t 可得 y3（x1） 2，化简得yx 2+2x+2，故意答案为：yx 2+2x+2【点评】本题考查了参数方程化成普通方程，属基础题8 （5 分）在 RtABC 中，C90，
12、AC4，则 16 【分析】由题意可得 | | |cosA| | |，由此可得结果【解答】解：RtABC 中，C90，AC4，则 | | |cosA| | | 16，故答案为 16【点评】本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的投影，属于中档题9 （5 分）若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别 0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是 0.9702 （结果用小数表示）【分析】利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到的零件不是废品的概率【解答】解：生产某种零件需要
13、经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别 0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率：p（10.01） （10.02）0.9702故答案为：0.9702【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题10 （5 分）已知函数 f（x ）sinx 和 的定义域都是， ，则它们的图象围成的区域面积是 【分析】作出 f（x ）与 g（x）的图象，结合图象的对称性进行求解即可【解答】解： 的图象为圆心为 O 半径为 的圆的上半部分，ysin x 是奇函数，f（x）在，0 上与 x
14、 轴围成的面积与在 0， 上与 x 轴围成面积相同，则两个函数图象之间围成的面积等价为圆的上半部分的面积 S ，故答案为：【点评】本题主要考查区域面积的计算，作出两个函数的图象，利用图象的对称性，利用割补法是解决本题的关键比较基础11 （5 分）若集合 Ax| x2（a+2）x +2a0，x Z中有且只有一个元素，则正实数 a的取值范围是 【分析】因为集合 A 中的条件是含参数的一元二次不等式，首先想到的是十字相乘法，但此题行不通；应该把此不等式等价转化为 f（x ）g（x）的形式，然后数形结合来解答，需要注意的是尽可能让其中一个函数不含参数【解答】解：x 2（a+2）x+2a0 且 a0x
15、22x+2a （x +1）令 f（x）x 22x+2；g（x ）a（x+1）Ax|f（x）g（x） ，x Zyf（x）是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线；而 yg（x）一次函数，图象是过一定点（1，0）的动直线又xZ ，a0数形结合，可得： 故答案为：（ ， 【点评】此题主要考查集合 A 的几何意义的灵活运用，利用数形结合的数学思想来解决参数取值范围问题12 （5 分）正方形 ABCD 的边长为 2，对角线 AC、BD 相交于点 O，动点 P 满足，若 ，其中 m、nR ，则 的最大值是 1 【分析】由平面向量的坐标运算得：则 A（1，1） ，B（1，1） ，D（1，1） ，P（ ， ）
16、，所以 （ +1， sin+1） ， （2，0） ，（0，2） ，又 ，所以 ，则 ，其几何意义为过点 E（3 ，2 ）与点 P（cos，sin ）的直线的斜率，由点到直线的距离得：设直线方程为 y+2 k（x +3 ） ，点 P 的轨迹方程为x2+y21，由点到直线的距离有： ，解得： ，即 的最大值是 1，得解【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则 A（1，1） ，B（1，1） ，D（1，1） ，P（ ， ） ，所以 （ +1， sin+1） ， （2，0） ， （0，2） ，又 ，所以 ，则 ，其几何意义为过点 E（3 ，2 ）与点 P（cos， sin）的直线的斜率，设直线方程为 y
17、+2 k （x +3 ） ，点 P 的轨迹方程为 x2+y21，由直线与圆的位置关系有：，解得： ，即 的最大值是 1，故答案为：1【点评】本题考查了平面向量的坐标运算、直线与圆的位置关系及点到直线的距离，属难度较大的题型二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）在长方体 ABCDA 1B1C1D1 中，下列计算结果一定不等于 0 的是（ ）A BC D【分析】以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD 1 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，根据向量的运算和向量的数量积的关系即可判断【解答】解：如图，以 D 为原点，分别以 DA，DC，DD 1 所在直
18、线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设长方体的长宽高分别为 a，b，c则 A（a，0，0） ，B（a，b，0） ，C （0，b，0） ，D（0，0，0） ，B 1（a，b，c） ，C1（0，b，c） ， D1（0，0，c） ， （a，0，c） ， （a，0，c） ， （a，b，c） ，（a，b，0） ， （0，b，0） ， （a，0，0） ， a 2c 2，当 ac 时， 0， a 2b 2，当 ab 时， 0， 0， a 20，故选：D【点评】本题考查了向量的数量积，建立坐标系是关键，属于基础题14 （5 分）在我国南北朝时期，数学家祖暅在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则
19、积不容异” 其意思是，用一组平行平面截两个几何体，若在任意等高处的截面面积都对应相等，则两个几何体的体积必然相等根据祖暅原理， “两几何体 A、B的体积不相等”是“A、B 在等高处的截面面积不恒相等”的（ ）条件A充分不必要 B必要不充分C充要 D既不充分也不必要【分析】先阅读题意，再由原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件可得解【解答】解：由已知有”在任意等高处的截面面积都对应相等”是“两个几何体的体积必然相等“的充分条件不必要条件，结合原命题与其逆否命题的真假可得：“两几何体 A、B 的体积不相等”是“A、B 在等高处的截面面积不恒相等”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题考查了阅读能力
20、、原命题与其逆否命题的真假及充分必要条件，属中档题15 （5 分）设 F1、F 2 是双曲线 C： （a0，b0）的两个焦点，P 是 C 上一点，若| PF1|+|PF2|6a，PF 1F2 是PF 1F2 的最小内角，且PF 1F230，则双曲线C 的渐近线方程是（ ）Ax y0 B xy0 Cx2y0 D2x y0【分析】设|PF 1| PF2|，由已知条件求出|PF 1|4a，|PF 2|2a，e ，进而求出 b，由此能求出双曲线 C： 1 的渐近线方程【解答】解：设|PF 1| PF2|，则|PF 1|PF 2|2a，又|PF 1|+|PF2|6a，解得|PF 1|4a，| PF2|2
21、a则PF 1F2 是 PF1F2 的最小内角为 30，|PF2| 2| PF1|2+|F1F2|22|PF1| F1F2|cos30，（2a） 2（4a） 2+（2c） 224a2c ，同时除以 a2，化简 e22 e+30，解得 e ，c ，b ，双曲线 C： 1 的渐近线方程为 y ，即 0故选：B【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质16 （5 分）若实数 a、b 满足 ，则 的取值范围是（ ）A2，0 B C D【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用 的几何意义即可求出 的取值范围【解答】解：作出不等式组对应
22、的平面区域如图：（阴影部分）：则 ， 的几何意义为阴影部分的动点（a，b）到定点原点连线的斜率的取值范围由图象可知当点位于 B 时，直线的斜率最大，当点位于 A 时，直线的斜率最小，由 ，解得 B（ ， ） ，BO 的斜率 k3，由 可得 A（1，1） ，OA 的斜率 k1，1z3，则 （k ） 2 故选：D【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法三.解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+1876 分）17 （14 分）已知ABC 中， ， ， 求：（1）角 C 的大小；（2）ABC 中最小边的边长【分
23、析】 （1）利用 tanCtan（A+B） ，求出内角 C 的大小；（2）先求出 sinA ，再利用 ，求出最小边的边长【解答】解：（1）C（A+B） ，tanA ，tanB ，tanCtan （A+ B） 1，又0C ，C ；（2）由 tanA ，sin 2A+cos2A1 且 A（0， ） ，得 sinA ，BCAB 即最小边的边长为 【点评】本题考查正弦定理的应用，考查和角的正切公式，考查学生的计算能力，比较基础18 （14 分）如图，已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上，AB 为圆 O 的直径，圆柱 OO1 的侧面积为 16，OA2，AOP120（1）求三棱锥 A1APB 的体
24、积；（2）求直线 A1P 与底面 PAB 所成角的大小【分析】 （1）根据侧面积公式计算圆柱的高，在底面中，根据等腰三角形知识求出AP，BP，带入棱锥的体积公式计算体积；（2）在 RtAA 1P 中计算A 1PA【解答】解：（1）由题意，S 侧 22AA 116，解得 AA14，在AOP 中，OA OP2， AOP 120，所以 ，在BOP 中，OB OP2， BOP 60，所以 BP2，AB 是圆 O 的直径， AP BP （2）因为 AA1底面 PAB，所以APA 1 是直线 A1P 与底面 PAB 所成的角，在 Rt APA1 中， ， ，即直线 A1P 与底面 PAB 所成角的大小为
25、【点评】本题考查了棱锥的体积计算，直线与平面所成角的计算，属于中档题19 （14 分）从金山区走出去的陈驰博士，在自然可持续性杂志上发表的论文中指出：地球正在变绿，中国通过植树造林和提高农业效率，在其中起到了主导地位已知某种树木的高度 f（t） （单位：米）与生长年限 t（单位：年，tN *）满足如下的逻辑斯蒂函数： ，其中 e 为自然对数的底数设该树栽下的时刻为 0（1）需要经过多少年，该树的高度才能超过 5 米？（精确到个位）（2）在第几年内，该树长高最快？【分析】 （1）解不等式 f（t）5，即可（2）利用作差法求出 f（t）f（t 1）的表达式，判断函数的单调性和最值即可【解答】解：（
26、1）令 5，解得t4+2ln57.2，（5 分）即需要经过 8 年，该树的高度才能超过 5 米；（7 分）（2）当 tN*时， （9 分）设 e0.5t+2 u，则 u（0，e 2， 令 ，则 上式当且仅当 时，g（u）取得最大值（11 分）此时，ue 0.25 ，即 e0.5t+2 e 0.25 ，解得 t4.5由于要求 t 为正整数，故树木长高最快的 t 可能值为 4 或 5，（13 分）又 ， ，所以，该树在第四年内或第五年内长高最快（14 分）【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用作差法判断函数的最值是解决本题的关键考查学生的计算能力20 （16 分）已知椭圆 ： ，过点 D（1，0
27、）的直线 l：yk（x+1）与椭圆 交于 M、N 两点（M 点在 N 点的上方） ，与 y 轴交于点 E（1）当 m1 且 k1 时，求点 M、N 的坐标；（2）当 m2 时，设 ， ，求证： + 为定值，并求出该值；（3）当 m3 时，点 D 和点 F 关于坐标原点对称，若 MNF 的内切圆面积等于 ，求直线 l 的方程【分析】 （1）代值联立方程组解得即可求出，（2）联立方程，利用韦达定理，以及向量的知识可得从而 ，化简整理即可证明，（3）假设存在直线 l：y k（x+1）满足题意，则MNF 的内切圆的半径为 ，根据韦达定理，弦长公式，三角形的面积公式，即可求出 k 的值【解答】解：（1）
28、当 mk1 时，联立 ，解之得： 或 ，即 M（0，1） ，N （ ， ） ；证明：（2）当 m2 时联立 ，消去 y 得：（ 3k2+2）x 2+6k2x+3k260，设 M（x 1，y 1） ，N （x 2，y 2） ，则 ，由 ， ，且点 E 的横坐标为 0，得 x1（x 1+1） 、x 2 （x 2+1） 从而 ，则 ，即 + 为定值 3；解：（3）当 m3 时，椭圆 ： ，假设存在直线 l：y k（x+1）满足题意，则MNF 的内切圆的半径为 ，又 D（1，0） 、F（1，0）为椭圆 的焦点，故MNF 的周长为 8，从而 ，消去 y，得（4k 2+3）x 2+8k2x+4k2120，
29、设 M（x 1，y 1） 、N（x 2，y 2） ，则 故 ，即 由（2） ，得 ，化简，得 17k4+k2180，解得 k1，故存在直线 l：y （x+1）满足题意【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、韦达定理、三角形面积计算公式、考查了推理能力与计算能力，属于难题21 （18 分）若数列a n、b n满足| an+1a n|b n（nN*） ，则称 bn为数列a n的“偏差数列” （1）若b n为常数列，且为a n的“偏差数列” ，试判断a n是否一定为等差数列，并说明理由；（2）若无穷数列a n是各项均为正整数的等比数列，且 a3a 26，b n为数列a n的
30、“偏差数列” ，求 的值；（3）设 ，b n为数列a n的“偏差数列” ，a 11，a 2na 2n1 且a2na 2n+1，若|a n|M 对任意 nN*恒成立，求实数 M 的最小值【分析】 （1）a n不一定为等差数列，如 ；（2）设数列a n的公比为 q，解方程可得首项和公比，由等比数列的通项公式和求和公式，计算可得所求值；（3）由累加法可得数列a n的通项公式，讨论 n 为奇数或偶数，求得极限，由不等式恒成立思想可得 M 的最小值【解答】解：（1）a n不一定为等差数列，如 ，则 bn2 为常数列，但a n不是等差数列，（2）设数列a n的公比为 q，则由题意，a 1、q 均为正整数，因为 a3a 26，所以 a1q（q1）6123，解得 或 ，故 或 （n N*） ，当 时， ， ， ；当 时， ， ， ；综上， 的值为 或 ；（3）由 a2na 2n1 且 a2na 2n+1 得， 故有： ， ， ，累加得： ，又 a11，所以 ，当 n 为奇数时，a n单调递增，a n0， ，当 n 为偶数时，a n单调递减，a n0， ，从而|a n| ，所以 M ，即 M 的最小值为 【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，考查分类讨论思想方法，化简运算能力，属于难题