1、2019 年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 AxN|0x6，B2，4，6，8，则 AB（ ）A0 ，1，3，5 B0 ，2，4，6 C1 ，3，5 D2 ，42 （5 分）已知复数 zm（3+i ）（2+i）在复平面内对应的点在第三象限，则实数 m 的取值范围是（ ）A （，1） B （， ）C （ ） D （， ）（1，+）3 （5 分）某公司生产 A，B，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个
2、容量为 n 的样本，若样本中 A 种型号的轿车比 B 种型号的轿车少 8 辆，则 n（ ）A96 B72 C48 D364 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 z 的值是（ ）A21 B22 C23 D245 （5 分）从某班 5 名学生（其中男生 3 人，女生 2 人）中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动，则所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为（ ）A B C D6 （5 分）函数 y2sin（ x+） （ 0，| | ）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）Ay2sin （ ） By2sin（ ）Cy 2cos（ ） Dy2cos（ ）7 （5 分）设等比数列a n的前
3、n 项和为 Sn，则下列等式中一定成立的是（ ）AS n+S2nS 3nBS 22nS nS3nCS 22nS n+S2nS 3nDS 2n+S22n Sn （S 2n+S3n）8 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的渐近线方程为 5x3y0，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D9 （5 分）一个圆锥的体积为 ，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（ ）A B C D10 （5 分）设 abc，且 1 是一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个实根，则 的取值范围为（ ）A2，0 B ，0 C 2， D 1， 11 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PAPBPC2，A
4、BAC1，BC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A8 B C D12 （5 分）已知函数 f（x ）e xex+ a 与 g（x ）lnx+ 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围为（ ）Ae，+ ） B1，+） C （，1 D （，e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 （1，1） ，b（2，1） ，向量 2 + ，则| | 14 （5 分） 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小一份的量为 15
5、 （5 分）若函数 f（x ）x 2x+l +alnx 在（0，+ ）上单调递增，则实数 a 的取值范围是 16 （5 分）已知点 P 在直线 x+2y10 上，点 Q 在直线 x+2y+30，PQ 的中点为M（x 0，y 0） ，且1y 0x 0 7，则的取值范围是 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）ABC 中角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2（tanA+tanB）（1）求 的值；（2）若 c2，C ，求AB
6、C 的面积18 （12 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，APD90，且 PAPD，ADPB（1）求证：ADPB ；（2）求点 A 到平面 PBC 的距离19 （12 分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表：x（年龄/岁）26 27 39 41 49 53 56 58 60 61y（脂肪含量/%）14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6根据上表的数据得到如下的散点图（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求 ；（ii）计
7、算样本相关系数（精确到 0.01） ，并刻画它们的相关程度（2）若 y 关于 x 的线性回归方程为 ，求 的值（精确到 0.01） ，并根据回归方程估计年龄为 50 岁时人体的脂肪含量附：参考数据： 27， ， ， 7759.6，参考公式：相关系数 r 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，20 （12 分）从抛物线 y236x 上任意一点 P 向 x 轴作垂线段，垂足为 Q，点 M 是线段 PQ上的一点，且满足 （1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（2）设直线 xmy+1（mR ）与轨迹 c 交于 A，B 两点，T 为 C 上异于 A，B 的任意一点，直线 AT，BT 分别与直线
8、 x1 交于 D，E 两点，以 DE 为直径的圆是否过 x 轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由21 （12 分）已知函数 f（x ）（x+2）lnx+ax 24x+7a（1）若 a ，求函数 f（x ）的所有零点；（2）若 a ，证明函数 f（ x）不存在极值（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 22p
9、cos+8（1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|AB |4 ，求直线 l 的倾斜角选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x 1|a（1）当 a1 时，解不等式 f（x ）x+1；（2）若存在实数 x，使得 f（x） f（x +1）成立，求实数 a 的取值范围2019 年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 AxN|0x6，B2，4，6，8，则 AB（ ）A0 ，
10、1，3，5 B0 ，2，4，6 C1 ，3，5 D2 ，4【分析】求出集合 A，结合集合交集的定义进行求解即可【解答】解：AxN|0 x61，2，3，4，5 ，AB2，4，故选：D【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合集合交集的定义是解决本题的关键，比较基础2 （5 分）已知复数 zm（3+i ）（2+i）在复平面内对应的点在第三象限，则实数 m 的取值范围是（ ）A （，1） B （， ）C （ ） D （， ）（1，+）【分析】根据复数的运算法则先进行化简，结合复数的几何意义求出点的坐标，根据点的象限建立不等式组关系进行求解即可【解答】解：zm（3+ i）（2+i）（3m2）+ （m1）
11、i，复数对应点的坐标为（3m 2，m 1） ，若对应点的坐标在第三象限，则 得 得 m ，即实数 m 的取值范围是（ ， ） ，故选：B【点评】本题主要考查复数的几何意义的应用，结合复数的运算求出复数以及对应点的坐标，结合点在坐标系中的位置建立不等式关系是解决本题的关键3 （5 分）某公司生产 A，B，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为 n 的样本，若样本中 A 种型号的轿车比 B 种型号的轿车少 8 辆，则 n（ ）A96 B72 C48 D36【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【解答】解：设样本中 A
12、型号车为 x 辆，则 B 型号为（x+8）辆，则 ，解得 x16，即 A 型号车 16 辆，则 ，解得 n72故选：B【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键，是基础题4 （5 分）执行如图所示的程序框图，则输出 z 的值是（ ）A21 B22 C23 D24【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：x1，y 2，则 zx +y1+2 3，z20 是，x2，y3，zx+y2+35，z20 是，x3，y5，zx+y3+58，z20 是，x5，y8，zx+y5+813，z20 是，x8，y13，zx+y8+1321，z20 否，输出 z21，故选：A【点评】本
13、题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键5 （5 分）从某班 5 名学生（其中男生 3 人，女生 2 人）中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动，则所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为（ ）A B C D【分析】基本事件总数 n 10，所选 3 人中至少有 1 名女生包含的基本事件个数m 9，由此能求出所选 3 人中至少有 1 名女生的概率【解答】解：从某班 5 名学生（其中男生 3 人，女生 2 人）中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动，基本事件总数 n 10，所选 3 人中至少有 1 名女生包含的基本事件个数 m 9，所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为
14、 p 故选：A【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题6 （5 分）函数 y2sin（ x+） （ 0，| | ）的部分图象如图所示，则函数的解析式为（ ）Ay2sin （ ） By2sin（ ）Cy 2cos（ ） Dy2cos（ ）【分析】由图象得到函数的周期 T，然后求出 ，再由 f（2）2 求 的值，则解析式可求【解答】解：由图象可知，得函数的周期 T4（3.52 ）6，T6则 函数解析式为 f（x ）2sin（ x+） 由 f（2）2，得 2sin（ + ）2，可得：+ 2k + ，k Z，可得：2k ，k Z，又| ，当 k0 时，
15、则 f（x）的解析式是： f（x ） 2sin（ x ） 故选：B【点评】本题考查了由函数 yAsin （ x+）的部分图象求函数解析式，正弦函数的图象和性质，解决此类问题的方法是先由图象看出振幅和周期，由周期求出 ，然后利用五点作图的某一点求 ，属于中档题7 （5 分）设等比数列a n的前 n 项和为 Sn，则下列等式中一定成立的是（ ）AS n+S2nS 3nBS 22nS nS3nCS 22nS n+S2nS 3nDS 2n+S22n Sn （S 2n+S3n）【分析】举出反例能说明 A，B，C 都错误，利用等比数列前 n 项和公式直接证明 D 正确【解答】解：等比数列a n的前 n 项
16、和为 Sn，在 A 中，等比数列2 n中，S n 2 n+12，S 2n 2 2n2，2 3n2，Sn+S2nS 3n，故 A 错误；在 B 中，等比数列2 n中，S n 2 n+12，S 2n 2 2n2，2 3n2，S22nS nS3n，故 B 错误；在 C 中，等比数列2 n中，S n 2 n+12，S 2n 2 2n2，2 3n2，S22nS n+S2nS 3n，故 C 错误在 D 中，S 2n+S22n + （2+2q n+q2n） ，Sn （S 2n+S3n） + （2+2q n+q2n） ，S 2n+S22nS n （S 2n+S3n） 故选：D【点评】本题考查命题真假的判断，考
17、查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题8 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的渐近线方程为 5x3y0，则此双曲线的离心率为（ ）A B C D【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到 ab 的关系式，然后求解双曲线的离心率即可【解答】解：双曲线 1（a0，b0）的渐近线方程为 5x3y0，可得 ，可得： ，即 ，e ，所以 e 故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查9 （5 分）一个圆锥的体积为 ，当这个圆锥的侧面积最小时，其母线与底面所成角的正切值为（ ）A B C D【分析】根据体积得出底面半径 r 和高 h 的关系，根据基本不等式得出侧面积最小
18、的条件，计算半径和高即可得出答案【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，高为 h，则母线长为 l ，则 V ，r 2h ，即 h ，S 侧 rl r ，r 4+ r 4+ + 3 ，当且仅当 r4 即 r2 时取等号，此时，h 1母线与底面所成角的真切值为 故选：D【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，考查基本不等式的应用，属于中档题10 （5 分）设 abc，且 1 是一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个实根，则 的取值范围为（ ）A2，0 B ，0 C 2， D 1， 【分析】利用 1 是一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个实根，得到 a+b+c0，得bac，利用条件不等
19、式进行求解即可【解答】解：1 是一元二次方程 ax2+bx+c0 的一个实根，a+b+c0，得 bac，abc，即 aacc ，即 得 ，若 a0，则不等式等价为 ，即 得2 ，若 a0，则不等式等价为 ，即 ，此时不等式无解，综上 的取值范围为2 ，故选：C【点评】本题主要考查不等式的应用，结合根与方程的关系得到 bac，然后代入不等式进行求解是解决本题的关键11 （5 分）在三棱锥 PABC 中，PAPBPC2，ABAC1，BC ，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）A8 B C D【分析】由题意画出图形，结合已知求出底面三角形外接圆的圆心，进一步找出三棱锥外接球的球心，由三角形相似求得外接
20、球的半径，则答案可求【解答】解：如图，由 PAPBPC2，过 P 作 PG平面 ABC，垂足为 G，则 G 为三角形 ABC 的外心，在ABC 中，由 ABAC1 ，BC ，可得BAC 120，则由正弦定理可得： 2AG，即 AG1PG 取 PA 中点 H，作 HOPA 交 PG 于 O，则 O 为该三棱锥外接球的球心由PHO PGA，可得 ，则 PO 即该棱锥外接球半径为 该三棱锥外接球的表面积为 ，故选：B【点评】本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查多面体外接球体积的求法，考查运算求解能力，是中档题12 （5 分）已知函数 f（x ）e xex+ a 与 g（x ）l
21、nx+ 的图象上存在关于 x 轴对称的点，则实数 a 的取值范围为（ ）Ae，+ ） B1，+） C （，1 D （，e 【分析】先求出 g（x）关于 x 轴对称的函数图象，则条件等价为 f（x）e xex+ a lnx ，在（0，+）上有解，利用参数分离法进行转化，利用数形结合进行求解即可【解答】解：g（x）lnx + 的定义域为（0，+） ，则 g（x）关于 x 对称的曲线为y lnx+ ，即 ylnx ，则条件等价为 f（x ）e xex +alnx ，在（0，+ ）上有解，得 alnx e x+ex，设 h（x）lnx e x+ex，则函数的导数 h（x） + e x+e （e xe）
22、 ，当 x1 时，h（x ）0，当 x1 时，h（x ） （e xe ）0，此时函数为减函数，当 0x1 时，h（x ） （e xe ）0，此时函数 f（x）为增函数，即当 x1 时，函数 h（x ）lnx e x+ex 取得极大值同时也是最大值，最大值为 h（1）ln11 e+e1，作出 h（x）lnx e x+ex 的图象如图：即要使 ah（x）在（0，+）上有解，则 a1，即实数 a 的取值范围是（，1，故选：C【点评】本题主要考查函数与方程的应用，根据对称性求出关于 x 对称的函数，利用函数与方程之间的关系转化为图象交点问题，利用参数分离法利用数形结合是解决本题的关键综合性较强，有一定
23、的难度二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13 （5 分）已知向量 （1，1） ，b（2，1） ，向量 2 + ，则| | 【分析】可求出向量 的坐标，从而得出 的值【解答】解： ； 故答案为： 【点评】考查向量坐标的加法和数乘运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法14 （5 分） 莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一书中有一道这样的题目：把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小一份的量为 【分析】由题意设等差数列a n的公差是 d0，首项是 a1，根据等差数列的前 n 项和公式、通项公式列出方程组，求出
24、公差 d 和首项 a1，即可得到答案【解答】解：设等差数列a n的公差是 d0，首项是 a1，由题意得， ，则 ，解得 ，所以 a1 ，所以最小的一份为 ，故答案为： 【点评】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前 n 项和公式，以及方程思想，是数列在实际生活中的应用，属于基础题15 （5 分）若函数 f（x ）x 2x+l +alnx 在（0，+ ）上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ） 【分析】由函数 f（x ）x 2x+l +alnx 在（0，+ ）上单调递增可知 f（x ）2x1+0 在（0，+）上恒成立，结合恒成立与最值的相互转化可求【解答】解：函数 f（x ）x 2x+l +a
25、lnx 在（0，+ ）上单调递增f（x）2 x1+ 0 在（0，+）上恒成立，ax2x 2 在（0，+）上恒成立，令 g（x）x2x 2，x0根据二次函数的性质可知，当 x 时，g（x）取得最大值故答案为： ）【点评】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成立问题，属于中档题16 （5 分）已知点 P 在直线 x+2y10 上，点 Q 在直线 x+2y+30，PQ 的中点为M（x 0，y 0） ，且1y 0x 0 7，则的取值范围是 （，2 ，+） 【分析】根据直线平行的性质求出 M 的轨迹方程，结合直线斜率的几何意义进行求解即可【解答】解：直线 x+2y10 与 x+2y+30 平行，点
26、M 的轨迹为与两直线距离相等且平行于两直线的直线，其方程为 x+2y+10，即点 M（x 0，y 0）满足 x0+2y0+10，而满足不等式1 y0x 07，如图，联立 ，解得 A（ ， ） ，联立 ，解得 B（5，2） ，的几何意义为线段 AB 上的点与原点连线的斜率，k AO 2， ， 的取值范围是（，2 ，+） 故答案为：（，2 ，+） 【点评】本题考查轨迹方程的求法，考查简单线性规划知识的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答
27、 （一）必考题：共 60 分17 （12 分）ABC 中角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2（tanA+tanB）（1）求 的值；（2）若 c2，C ，求ABC 的面积【分析】 （1）由已知及三角函数恒等变换的应用化简可得 2sin（A+B）sin A+sinB，又结合三角形内角和定理，正弦定理得 2ca+b 即可得解；（2）由（1）知可求 a+b4由余弦定理可得 ab4，利用三角形的面积公式即可计算得解【解答】 （本题满分为 12 分）解：（1）因为 2（tanA +tanB） ，所以 2（ ） + （1 分）化简得：2（sinAcosB+cosAsin B）sinA+sinB
28、（ 2 分）即 2sin（A+B ）sinA+sinB （3 分）因在ABC 中，A+B+C ，则 sin（A+ B）sin（C）sinC（4 分）从而sinA+sinB2sinC（5 分）由正弦定理，得 a+b2c所以2（6 分）（2）由（1）知 c ，且 c2，所以a+b4（7 分）因为 C ，所以 cosC （9 分）即 cos 所以ab4（10 分）所以 SABC absinC 所以ABC 的面积为 （12 分）【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18 （12 分）如图，在四棱锥
29、PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，APD90，且 PAPD，ADPB（1）求证：ADPB ；（2）求点 A 到平面 PBC 的距离【分析】 （1）取 AD 的中点 O，连结 OP，OB ，BD，证明 AD平面 POB 得出ADPB；（2）根据 VA PBCV PABC 计算点 A 到平面 PBC 的距离【解答】 （1）证明：取 AD 的中点 O，连结 OP，OB ，BD，因为底面 ABCD 为菱形，BAD60，所以 ADABBD因为 O 为 AD 的中点，所以 BOAD 在PAD 中，PA PD，O 为 AD 的中点，所以 POAD 因为 BOOP O，所以 A
30、D平面 POB因为 PB平面 POB，所以 ADPB（2）在 RtPAD 中，AD2，所以 PO1因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，BAD60，所以 OB 在PBO 中，PO 1，OB ，PB BC 2，因为 PO2+OB2PB 2，所以 POOB 由（1）有 POAD，且 ADOB O ，AD 平面 ABCD，OB平面 ABCD，所以 OP平面 ABCD在PBC 中，由（1）证得 ADPB，且 BCAD ，所以 BCPB因为 PBBC 2，所以 SPBC 2在ABC 中，AB BC2， ABC120，所以 SABC 设点 A 到平面 PBC 的距离为 h，因为 VAPBC V PAB
31、C ，即 SPBC h SABC PO所以 h 所以点 A 到平面 PBC 的距离为 【点评】本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间距离的计算，属于中档题19 （12 分）科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表：x（年龄/岁）26 27 39 41 49 53 56 58 60 61y（脂肪含量/%）14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6根据上表的数据得到如下的散点图（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求 ；（ii）计算样本相关系数（精确到 0.01） ，并刻画它们的
32、相关程度（2）若 y 关于 x 的线性回归方程为 ，求 的值（精确到 0.01） ，并根据回归方程估计年龄为 50 岁时人体的脂肪含量附：参考数据： 27， ， ， 7759.6，参考公式：相关系数 r 回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，【分析】 （1）根据上表中的样本数据计算（）平均数 ，求出（）相关系数 r，由此得出结论；（2）利用回归方程求出回归系数，写出线性回归方程，计算 x50 时 y 的值即可【解答】解：（1）根据上表中的样本数据及其散点图知，（） ；（2分）（）回归系数 r （3 分） （4 分） ；（5 分）因为 ， ，所以 r0.98；（6 分）由样本相关系数
33、 r0.98，可以推断人体脂肪含量和年龄的相关程度很强；（7 分）（2）因为回归方程为 ，即 ，所以 ；【或利用 】（10 分）所以 y 关于 x 的线性回归方程为 ，将 x50 代入线性回归方程得 ；（11 分）所以根据回归方程预测年龄为 50 岁时人的脂肪含量为28.56% （12 分）【点评】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，是中档题20 （12 分）从抛物线 y236x 上任意一点 P 向 x 轴作垂线段，垂足为 Q，点 M 是线段 PQ上的一点，且满足 （1）求点 M 的轨迹 C 的方程；（2）设直线 xmy+1（mR ）与轨迹 c 交于 A，B 两点，T 为 C 上异于 A，
34、B 的任意一点，直线 AT，BT 分别与直线 x1 交于 D，E 两点，以 DE 为直径的圆是否过 x 轴上的定点？若过定点，求出符合条件的定点坐标；若不过定点，请说明理由【分析】 （1）利用已知条件转化为抛物线的定义，即可求点 M 的轨迹 C 的方程（2）设直线 xmy+1 与曲线 C 的交点坐标为 A（ ，y 1） ，B（ ，y 2） ，T（ ，y 0） ，由韦达定理和直线的斜率，可得直线 AT 的方程，即可求出点 D，E 的坐标，根据向量的数量积即可求出【解答】解：（1）设 M（x，y） ，P（x 0，y 0） ，则点 Q 的坐标为（x 0，0） 因为足 所以（xx 0，y y 0）2（
35、x 0x，y ） 即 因为点 P 在抛物线 y236x 上所以 y0236x 0，即（3y ） 2 36x所以点 M 的轨迹 C 的方程为 y24x（2）设直线 xmy+1 与曲线 C 的交点坐标为 A（ ，y 1） ，B（ ，y 2） ，由 得 y24my40由韦达定理得 y1+y24m，y 1y24设点 T（ ，y 0） ，则 kAT 所以直线 AT 的方程为 yy 0 （x ） 令 x1，得点 D 的坐标为（1， ） 同理可得点 E 的坐标为（1， ） 如果以 DE 为直径的圆过 x 轴某一定点 N（n，0） ，则满足 0因为 （1n， ）（1n， ）（1+n） 2+所以（1+n） 2+
36、 0即（1+n） 2 40，解得 n1 或 n3故以 DE 为直径的圆过 x 轴上的定点（1，0）和（3，0 ） 【点评】本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力21 （12 分）已知函数 f（x ）（x+2）lnx+ax 24x+7a（1）若 a ，求函数 f（x ）的所有零点；（2）若 a ，证明函数 f（ x）不存在极值【分析】 （1）若 a ，求出 f（x ）的解析式，求出的导数，结合函数零点进行求解即可（2）求函数的导数，结合函数极值和导数的关系进行证明即可【解答】 （1）解：当 a 时，f（x ）（x+2）lnx+ x24x+ ，函数 f（x）
37、的定义域为（ 0，+） ，（1 分）且 f（x）lnx+ +x3（2 分）设 g（x）lnx+ +x3，则 g（x） +1 ， （x0） 当 0x1 时，g（x ）0；当 x1 时，g（x）0，即函数 g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增，（3 分）所以当 x0 时，g（x ）g（1）0（当且仅当 x1 时取等号） （4 分）即当 x0 时，f（x）0（当且仅当 x1 时取等号） 所以函数 f（x）在（ 0，+）单调递增，至多有一个零点（5 分）因为 f（1）0，x 1 是函数 f（x）唯一的零点所以若 a ，则函数 f（x ）的所有零点只有 x1（6 分）（2）证法 1：因
38、为 f（x ）（x+2）lnx+ax 24x+7a，函数 f（x）的定义域为（ 0，+） ，且 f（x）lnx+ +2ax4（7 分）当 a 时，f（x ）lnx + +x3，（9 分）由（1）知 lnx+ +x30（10 分）即当 x0 时，f（x）0，所以 f（x）在（ 0，+）上单调递增（11 分）所以 f（x）不存在极值 （12 分）证法 2：因为 f（x ）（x+2）lnx+ax 24x+7a，函数 f（x）的定义域为（ 0，+） ，且 f（x）lnx+ +2ax4（7分）设 m（x）lnx+ +2ax4，则 m（x） +2a ， （x0） 设 h（x）2ax 2+x2， （x0）
39、，则 m（x ）与 h（x）同号当 a 时，由 h（x）2ax 2+x20，解得 x1 0，x 2 0（8 分）可知当 0xx 2 时，h（x ） 0，即 m（x）0，当 xx 2 时，h（x）0，即m（x）0，所以 f（x）在（ 0，x 2）上单调递减，在（x 2，+）上单调递增（9 分）由（1）知 lnx+ +x30（10 分）则 f（x 2） lnx2+ +x23+（2a1）x 2（2a1）x 20所以 f（x） f（x 2）0 ，即 f（x）在定义域上单调递增（11 分）所以 f（x）不存在极值 （12 分）【点评】本题主要考查导数的综合应用，结合函数零点，函数极值与导数之间的关系是解
40、决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度（二）选考题：共 10 分请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分）在直角坐标系 xOy 中，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为（t 为参数） 在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 22pcos+8（1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，且|AB |4 ，求直线 l 的倾斜角【分析】 （1）因为直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，当 时，直线 l 的直角坐标方
41、程为 x2，当 时，直线 l 的直角坐标方程为y tan（x2，因为 2x 2+y2，cosx，因为 22cos +8，所以x2+y22x+8所以 C 的直角坐标方程为 x2+y22x80，（2）利用直线参数方程中参数的几何意义可得【解答】解：（1）因为直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，当 时，直线 l 的直角坐标方程为 x2 （1 分）当 时，直线 l 的直角坐标方程为 y tan（ x2） （3 分）因为 2x 2+y2，cosx， （4 分）因为 22 cos+8，所以 x2+y22x+8所以 C 的直角坐标方程为 x2+y22x80（5 分）（2）曲线 C 的直角坐标方程为 x
42、2+y22x80，将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的方程整理，得 t2+（2 +2cos）t50（6 分）因为（2 +2cos） 2+200，可设该方程的两个根为 t1，t 2，则，t 1+t2（2 +2cos） ，t 1t25（7 分）所以|AB| t1 t2| 4 （8 分）整理得（ +cos） 23，故 2sin（ + ） （9 分）因为 0 ，所以 或，+ 解得或 或 综上所述，直线 l 的倾斜角为 或 （10 分）【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数 f（x ）|2x 1|a（1）当 a1 时，解不等式 f（x ）x+1；（2）若存在实数 x，使得 f（x） f（x +1）成立，求实数 a 的取值范围【分析】 （1）根据绝对值的定义，分 2 种情况去绝对值解不等式可得；（2）根据绝对值不等式的性质求出最值，再将不等式转化为最值可解得【解答】解（1）当 a1 时，由 f（x ）x，得|2x 1|1x +1（1 分）当 x 时，2x 11x +1，解得 x3当 x 时，12x 1x +1，解得 x