1、04 二次函数 yax 2bx c 的图像和性质高中必备知识点 1：二次函数图像的伸缩变换问题 函数 yax 2与 yx 2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x 2，y 1x2，y 2x 2 的图象，通过这些函数图象与函数 yx 2 的图象之间的关系，推导出函数 yax 2 与 yx 2 的图象之间所存在的关系先画出函数 yx 2，y 2x 2 的图象先列表：x 3 2 1 0 1 2 3 x2 9 4 1 0 1 4 9 2x2 18 8 2 0 2 8 18从表中不难看出，要得到 2x2 的值，只要把相应的 x2 的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了
2、函数 yx 2，y 2x 2 的图象（如图 21 所示） ，从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y2x 2 的图象可以由函数 yx 2 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y 1x2，y2x 2 的图象，并研究这两个函数图象与函数 yx 2 的图象之间的关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 yax 2(a0)的图象可以由 yx 2的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到在二次函数 yax 2(a0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小典型考题【典型例题】二次函数 的图象如图所示，有下列结
3、论： ；=2+(鈮 ?) 0； ； ，其中正确的结论个数是 +=212 1A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【变式训练】下列说法错误的是( )A二次函数 y=2x 2 中，当 x=0 时，y 有最大值是 0B二次函数 y=4x2 中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大C在三条抛物线 y=2x2，y=0.5x 2，y=x 2 中，y=2x 2 的图象开口最大，y=x 2 的图象开口最小D不论 a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2(a0)的顶点一定是坐标原点【能力提升】抛物线 y= x2，y=3x 2，y=x 2，y=2x 2 的图象开口最大的是（ ）13Ay= x2 By=3x 2 C
4、y=x 2 Dy=2x 213高中必备知识点 2：二次函数图像的平移变换函数 ya(xh) 2k 与 yax 2 的图象之间存在怎样的关系？同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系同学们可以作出函数 y2( x1) 21 与 y2x 2 的图象（如图 22 所示） ，从函数的同学我们不难发现，只要把函数 y2x 2 的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y2(x1) 21 的图象这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点类似地，还可以通过画函数 y3x 2，y 3( x1) 21 的图象，研究它们图象之间的相互关系通过上面的研究，我们可以
5、得到以下结论：二次函数 ya( xh )2k( a0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 yax 2bx c(a0)的图象的方法：由于 yax 2bx ca(x 2 b)ca(x 2 b 24)c 2b24()b，所以，yax 2bx c(a0)的图象可以看作是将函数 yax 2 的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数 yax 2bx c(a0)具有下列性质：（1 ）当 a0 时，函数 yax 2bxc 图象
6、开口向上；顶点坐标为24(,)bac，对称轴为直线 x 2ba；当 x 2ba时，y 随着 x 的增大而减小；当 x 2ba时，y 随着x 的增大而增大；当 x 时，函数取最小值 y24acb（2 ） 当 a0 时，函数 yax 2bxc 图象开口向下；顶点坐标为24(,)bca，对称轴为直线 x b；当 x ba时，y 随着 x 的增大而增大；当 x 时，y 随着x 的增大而减小；当 x 2时，函数取最大值 y24acb 典型考题【典型例题】如图，已知抛物线 C1：yx 2+4，将抛物线 C1 沿 x 轴翻折，得到抛物线 C2（1 ）求出抛物线 C2 的函数表达式；（2 ）现将抛物线 C1
7、向左平移 m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 M，与 x 轴的交点从左到右依次为 A，B；将抛物线 C2 向右也平移 m 个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 N，与 x 轴交点从左到右依次为 D，E在平移过程中，是否存在以点A，N，E，M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时 m 的值；若不存在，请说明理由【变式训练】如图，抛物线 轴的负半轴相交于点 ，将抛物线 平移得到抛物线1相交于点 ，直线 于点 ，且 . =(1)求点 的坐标；(2)写出一种将抛物线 平移到抛物线 的方法；1 2(3)在 轴上找点 ，使得 的值最小，求点 的坐标. + 【能力提升】已知抛物线 y
8、 x2+bx+c 经过点 B（1 ，0）和点 C（2，3 ） （1 ）求此抛物线的函数表达式；（2 ）如果此抛物线上下平移后过点（ 2，1 ） ，试确定平移的方向和平移的距离专题验收测试题1抛物线 y=ax2+bx+c 上部分点的横坐标 x，纵坐标 y 的对应值如下表：x 3 2 1 0 1 y 6 0 4 6 6 从上表可知，下列说法正确的有多少个抛物线与 x 轴的一个交点为（ 2，0） ；抛物线与 y 轴的交点为（0，6） ；抛物线的对称轴是直线 x= ；12抛物线与 x 轴的另一个交点为（3 ，0） ；在对称轴左侧，y 随 x 增大而减少A2 B3 C4 D52如图，一条抛物线与 x 轴
9、相交于 A（x 1，0） 、B（x 2，0）两点（点 B 在点 A 的右侧） ，其顶点 P 在线段 MN 上移动，M、N 的坐标分别为（ 1，2 ） 、 （1 ，2） ，x 1 的最小值为4，则 x2的最大值为（ ）A6 B4 C2 D23如图，已知抛物线 yx 2+bx+c 与直线 yx 交于（1 ，1）和（3 ，3）两点，现有以下结论：b 24c0；3 b+c+60；当 x2+bx+c 时，x 2 ；当 1x3 时，x 2+（b1 ）x+c0 ，其中正确的序号是（ ）A B C D4定义运算“”为：ab= ，如：1（ 2）=1（ 2） 2=4则函数 y=2x 的图象大致是（ ）A BC D
10、5若抛物线 yax 2+2ax+4a(a0)上有 A(32，y 1)、B(2，y 2)、C(3，y 3)三点，则y1、 y2、 y3 的大小关系为( ).Ay 1y 2y 3 By 1y 3y 2 Cy 3y 1y 2 Dy 2y 3y 16下列函数是二次函数的是( ).Ay 2x By= x+xC yx+5 Dy(x+1)(x3)7下列对二次函数2yx的图象的描述，正确的是（ ）A经过原点B对称轴是 y 轴C开口向下D在对称右侧部分是向下的8已知函数 y（x a） （x b） （其中 ab）的图象如图所示，则函数 yax+b 的图象大致是（ ）A BC D9如图，已知抛物线 yax 2+bx
11、+c 经过点(1 ，0)，以下结论：2a+b0；a+c0 ；4a+2b+c0 ；b 25a22ac 其中正确的是( )A B C D10二次函数 yax 2+bx+c(a0)的大致图象如图所示，顶点坐标为 (2， 9a)，下列结论：abc0；4a+2b+c0；5a b+c0 ；若方程 a(x+5)(x1) 1 有两个根 x1 和 x2，且x1x 2，则 5x 1x 21；若方程|ax 2+bx+c|2 有四个根，则这四个根的和为 4其中正确的结论有( )A2 个 B3 个 C4 个 D5 个11如图，与抛物线 yx 22x3 关于直线 x2 成轴对称的函数表达式为_12已知关于 x 的一元二次
12、方程 ax2+bx+c5 的一个根是 2，且二次函数 yax 2+bx+c 的对称轴是直线 x 2，则抛物线 yax 2+bx+c 的顶点坐标为_13二次函数1yx中，二次项系数为_，一次项是_，常数项是_14如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0） 图象的顶点为 D，其图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为1 、3，与 y 轴负半轴交于点 C下面三个结论： 2a+b0；a+b+c0；只有当 2a时，ABD 是等腰直角三角形；那么，其中正确的结论是_ （只填你认为正确结论的序号）15把二次函数 y=x2+2x+3 的图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，就得到二次
13、函数_的图象16已知当 2x3 时，关于 x 的多项式 x22kx+k2 k1（k 为大于 2 的常数）有最小值 2，则常数 k 的值为 _17已知二次函数 y=a（x-m） 2-a（x-m） （a，m 为常数，且 a0） （1 ）求证：不论 a 与 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有两个公共点；（2 ）设该函数的图象与 x 轴的两个交点为 A（x 1，0） ，B（x 2，0） ，且 x12+x22=25，求 m 的值；（3 ）设该函数的图象的顶点为 C，与 x 轴交于 A，B 两点，且ABC 的面积为 1，求 a 的值18如图，抛物线 y x2+bx+c 经过 A（1，0 ） ，B（3，
14、0）两点，且与 y 轴交于点 C，点 D是抛物线的顶点，抛物线对称轴 DE 交 x 轴于点 E，连接 BD（1 ）求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式；（2 ）点 P 是线段 BD 上一点，当 PEPC 时，求点 P 的坐标19如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴交于点 A（ 2，0） ，B（4，0） ，与直线 y32x3 交于点 C（0， 3） ，直线 y x3 与 x 轴交于点 D（1 ）求该抛物线的解析式（2 ）点 P 是抛物线上第四象限上的一个动点连接 PC，PD，当PCD 的面积最大时，求点P 的坐标；（3 ）将抛物线的对称轴向左平移 3
15、个长度单位得到直线 l，点 E 是直线 l 上一点，连接OE，BE，若直线 l 上存在使 sinBEO 最大的点 E，请直接写出满足条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由20已知抛物线 yax 2+bx+2 经过 A（1，0 ） ，B（2，0 ） ，C 三点直线 ymx+12交抛物线于 A，Q 两点，点 P 是抛物线上直线 AQ 上方的一个动点，作 PFx 轴，垂足为 F，交AQ 于点 N（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）如图，当点 P 运动到什么位置时，线段 PN2 NF，求出此时点 P 的坐标；（3 ）如图，线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，点 M 为抛物线的顶点
16、，在直线 DE 上是否存在一点 G，使CMG 的周长最小？若存在，请求出点 G 的坐标；若不存在，请说明理由21现有一次函数 ymx +n 和二次函数 ymx 2+nx+1，其中 m0，（1 ）若二次函数 ymx 2+nx+1 经过点（2 ，0） ， （3 ，1） ，试分别求出两个函数的解析式（2 ）若一次函数 ymx +n 经过点（2，0） ，且图象经过第一、三象限二次函数ymx 2+nx+1 经过点（a，y 1）和（a+1，y 2） ，且 y1y 2，请求出 a 的取值范围（3 ）若二次函数 ymx 2+nx+1 的顶点坐标为 A（h，k） （h0 ） ，同时二次函数 yx 2+x+1 也
17、经过 A 点，已知 1h1，请求出 m 的取值范围22如图，在直角坐标系中，直线 y13x+1 与 x 轴、y 轴的交点分别为 A、B，以 x 1 为对称轴的抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴分别交于点 A、C（1 ）求抛物线的解析式；（2 ）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，设抛物线的对称轴 l 与 x 轴交于一点 D，连接PD，交 AB 于 E，求出当以 A、D 、E 为顶点的三角形与 AOB 相似时点 P 的坐标；（3 ）若点 Q 在第二象限内，且 tanAQD2 ，线段 CQ 是否存在最小值？如果存在直接写出最小值，如果不存在，请说明理由专题 04 二次函数 yax 2bx c
18、 的图像和性质高中必备知识点 1：二次函数图像的伸缩变换问题 函数 yax 2与 yx 2的图象之间存在怎样的关系？为了研究这一问题，我们可以先画出 y2x 2，y 1x2，y 2x 2 的图象，通过这些函数图象与函数 yx 2 的图象之间的关系，推导出函数 yax 2 与 yx 2 的图象之间所存在的关系先画出函数 yx 2，y 2x 2 的图象先列表：x 3 2 1 0 1 2 3 x2 9 4 1 0 1 4 9 2x2 18 8 2 0 2 8 18从表中不难看出，要得到 2x2 的值，只要把相应的 x2 的值扩大两倍就可以了再描点、连线，就分别得到了函数 yx 2，y 2x 2 的图
19、象（如图 21 所示） ，从图 21 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y2x 2 的图象可以由函数 yx 2 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y 1x2，y2x 2 的图象，并研究这两个函数图象与函数 yx 2 的图象之间的关系通过上面的研究，我们可以得到以下结论：二次函数 yax 2(a0)的图象可以由 yx 2的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到在二次函数 yax 2(a0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小典型考题【典型例题】二次函数 的图象如图所示，有下列结论： ；=2+(鈮 ?) 0； ；
20、 ，其中正确的结论个数是 +=212 1 ( )A1 个 B2 个 C3 个 D4 个【答案】C【解析】由图象可得，故 错误，当 时， ，故 正确，=1 =+=2当 时， ，=1 =+1，得 ，故 正确，212故选：C【变式训练】下列说法错误的是( )A二次函数 y=2x 2 中，当 x=0 时，y 有最大值是 0B二次函数 y=4x2 中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大C在三条抛物线 y=2x2，y=0.5x 2，y=x 2 中，y=2x 2 的图象开口最大，y=x 2 的图象开口最小D不论 a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2(a0)的顶点一定是坐标原点【答案】C【解析】A、a=
21、-2 0 ，抛物线开口向下，当 x=0 时，y 有最大值是 0，故该选项正确；B、二次函数 y=4x2 中，当 x0 时，y 随 x 的增大而增大，故该选正确；C、因为|2|-1|-0.5|，所以，y=2x 2 的图象开口最小，y=-0.5x 2 的图象开口最大，故该选错误；D、不论 a 是正数还是负数，抛物线 y=ax2（a0）的顶点一定是坐标原点，故该选正确故选 C【能力提升】抛物线 y= x2，y=3x 2，y=x 2，y=2x 2 的图象开口最大的是（ ）13Ay= x2 By=3x 2 Cy=x 2 Dy=2x 213【答案】A【解析】二次函数中|a|的值越小，则函数图象的开口也越大
22、，又 ，|13|0 时, 图象是 y= 对称轴右侧的部分 ;22当 x0 时, 图象是 y= 对称轴左侧的部分，22所以 C 选项是正确的.5 若抛物线 yax 2+2ax+4a(a0)上有 A(32，y 1)、B(2，y 2)、C(3，y 3)三点，则y1、 y2、 y3 的大小关系为( ).Ay 1y 2y 3 By 1y 3y 2 Cy 3y 1y 2 Dy 2y 3y 1【答案】B【解析】解：抛物线的对称轴是 x 1，开口向上，且与 x 轴无交点，与对称轴距离越近的点对应的纵坐标越小A、B 、C 三点与对称轴距离按从小到大顺序是 A、C、B，y 1y 3y 2，故选：B6 下列函数是二
23、次函数的是( ).Ay 2x By=1x+xC yx+5 Dy(x+1)(x3)【答案】D【解析】解：A、y2x，是一次函数，故此选项错误；B、y1x+x，不是整式，故此选项错误；C、 yx+5，是一次函数，故此选项错误；D、y (x+1)(x3)，是二次函数，故此选项正确故选：D7 下列对二次函数2yx的图象的描述，正确的是（ ）A经过原点B对称轴是 y 轴C开口向下D在对称右侧部分是向下的【答案】A【解析】解：A、当 x0 时，yx 2x0，抛物线经过原点，选项 A 正确；B、12ba,抛物线的对称轴为直线12x，选项 B 不正确；C、a 10，抛物线开口向上，选项 C 不正确；D、a0，
24、抛物线的对称轴为直线12x，当12x时，y 随 x 值的增大而增大，选项 D 不正确故选：A8 已知函数 y（x a） （x b） （其中 ab）的图象如图所示，则函数 yax+b 的图象大致是（ ）A BC D【答案】C【解析】解：y（xa） （x b）x 2（a+b）x+ab，抛物线的开口向上知二次项系数0，与 y 轴的交点为在 y 轴负半轴上，ab0 ，对称轴在 y 轴的右侧，二次项系数大于 0，（ a+b）0a+b 0，a b，a 0， b0 ，yax+b 的图象是 C 选项，故选：C9 如图，已知抛物线 yax 2+bx+c 经过点(1 ，0)，以下结论：2a+b0；a+c0 ；4a
25、+2b+c0 ；b 25a22ac 其中正确的是( )A B C D【答案】B【解析】解：由图象可知 a0，0 2b1，b2a，2a+b0，所以错误； 2a 0，a 0，b0，当 x1 时，y 1ab+c 0，a+c b0，所以 错误；当 x2 时， y0，4a+2b+c0，所以正确；过(1，0) ，代入得 ab+c0 ，b 22ac5a2(a+c) 22ac5a2c 24a2(c+2a)(c2a)又4a+2b+c 04a+2(a+c)+c0即 2a+c0a 0，c 0则 c2a 0由知(c+2a)(c2a)0，所以 b22ac5a20，即 b25a22ac ，所以 正确故选：B10 二次函数
26、 yax 2+bx+c(a0)的大致图象如图所示，顶点坐标为 (2， 9a)，下列结论：abc0；4a+2b+c0；5a b+c0 ；若方程 a(x+5)(x1) 1 有两个根 x1 和 x2，且x1x 2，则 5x 1x 21；若方程|ax 2+bx+c|2 有四个根，则这四个根的和为 4其中正确的结论有( )A2 个 B3 个 C4 个 D5 个【答案】A【解析】解：抛物线的开口向上，则 a0，对称轴在 y 轴的左侧，则 b0，交 y 轴的负半轴，则c 0，abc0，所以结论错误；抛物线的顶点坐标( 2，9a)，b2a2，4cb 9a，b4a，c 5a，抛物线的解析式为 yax 2+4ax
27、5a，4a+2b+c4a+8a 5a7a0，所以结论正确，5ab+c5a 4a5a4a0，故 结论错误，抛物线 yax 2+4ax5a 交 x 轴于( 5，0)，(1，0)，若方程 a(x+5)(x1) 1 有两个根 x1 和 x2，且 x1x 2，则 5x 1x 21，正确，故结论正确，若方程|ax 2+bx+c|1 有四个根，设方程 ax2+bx+c1 的两根分别为 x1，x 2，则1x 2，可得 x1+x2 4，设方程 ax2+bx+c1 的两根分别为 x3，x 4，则342x2，可得 x3+x4 4，所以这四个根的和为8 ，故结论 错误，故选：A11如图，与抛物线 yx 22x3 关于
28、直线 x2 成轴对称的函数表达式为_【答案】y(x3) 24【解析】解：yx 22x3 的顶点是（1， 4） ，（1 ， 4）关于 x2 的对称点是（3， 4） ，yx 22x3 关于直线 x2 成轴对称的函数表达式为 y（x3） 24，故答案为：y（x 3） 2412 已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c5 的一个根是 2，且二次函数 yax 2+bx+c 的对称轴是直线 x 2，则抛物线 yax 2+bx+c 的顶点坐标为_【答案】 （2，5）【解析】解：二次函数 yax 2+bx+c 的对称轴是直线 x2 ，方程 ax2+bx+c5 的一个根是 2，当 x2 时， yax 2+
29、bx+c5，抛物线的顶点坐标是（2， 5） 故答案为：（2，5） 13 二次函数21yx中，二次项系数为_，一次项是_，常数项是_【答案】 -2x , 1 【解析】y=ax 2+bx+c（a，b，c 是常数且 a0） 在一般形式中 ax2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项其中 a，b，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项21yx中，二次项系数为12，一次项是-2x ，常数项是 1.故答案是： ; -2x;1.14 如图，二次函数 yax 2+bx+c（a0） 图象的顶点为 D，其图象与 x 轴的交点 A、B 的横坐标分别为1 、3，与 y 轴负半轴交于点 C下面三个结论： 2a+b0；a+b+c0；只有当 2a时，ABD 是等腰直角三角形；那么，其中正确的结论是_ （只填你认