1、01 数与式的运算高中必备知识点 1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即： ,0,|,.a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的绝对值的几何意义： ba表示在数轴上，数 a和数 b之间的距离典型考题【典型例题】阅读下列材料：我们知道 x的几何意义是在数轴上数 x对应的点与原点的距离，即 x= 0，也就是说，表示在数轴上数 与数 0 对应的点之间的距离；这个结论可以推广为 21表示在数轴上数 1x与数 2对应的点之间的距离；例 1 解方程| |=2因为在数轴上到原点的距离为 2 的点对应的数为 ，所以
2、方程| x|=2的解为 例 2 解不等式| x1|2在数轴上找出| x1|=2 的解（如图） ，因为在数轴上到 1 对应的点的距离等于 2 的点对应的数为 1 或 3，所以方程| x1|=2 的解为 x=1 或 =3，因此不等式| 1|2 的解集为 1 或 3 例 3 解方程| x1|+| +2|=5由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到 1 和2 对应的点的距离之和等于 5 的点对应的 x的值因为在数轴上 1 和2 对应的点的距离为 3（如图） ，满足方程的 x对应的点在 1 的右边或2 的左边若 x对应的点在 1 的右边，可得 x=2；若 对应的点在2 的左边，可得 =3，因此方程|
3、 1|+| +2|=5 的解是=2 或 =3参考阅读材料，解答下列问题：（1 ）方程| x+2|=3 的解为 ；（2 ）解不等式：| 2|6；（3 ）解不等式：| 3|+| x+4|9；（4 ）解方程: | x-2|+| +2|+| -5|=15.【变式训练】实数 在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .【能力提升】已知方程组 的解 的值的符号相同.+=5+4=106 (1)求 的取值范围；(2)化简： .|2+2|2|3|高中必备知识点 2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 2()abab；（2）完全平方公式 2我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）
4、立方和公式 223()abab；（2）立方差公式 223()abab；（3）三数和平方公式 2()ccca；（4）两数和立方公式 33()；（5）两数差立方公式 22abab典型考题【典型例题】（1 ）计算：203216()（2 ）化简：2()abab【变式训练】计算：（1 ）021(3.4)()3（2 ）2xx【能力提升】已知 10xa ，5 xb，求：（1 ） 50x 的值；（2 ） 2x 的值；（3 ） 20x 的值 （结果用含 a、b 的代数式表示）高中必备知识点 3：二次根式一般地，形如 (0)a的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如 23ab，
5、2ab等是无理式，而21x， 22xy， 等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 2与2， 3a与 ， 36与 ， 23与 23，等等一般地， x与 ， xby与 axby， axb与 互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运
6、算中要运用公式 (0,)abb；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式 2a的意义2a,0,.典型考题【典型例题】计算下面各题 （1） 2163)1526(;（2 ）14284xx【变式训练】小颖计算153时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：解：原式15 153 她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程【能力提升】先化简，再求值：(2ab- )a2b，其中 a= 2+ 3，b= - 高中必备知识点 4：分式1分式的意义形如 AB的式子，若 B 中含有字母，且
7、 0B，则称 A为分式当 M0 时，分式 AB具有下列性质： M；AB上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像abcd， 2mnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式典型考题【典型例题】先化简，再求值21()1xx，其中 x 满足 x2+x10【变式训练】化简：224xy（4x y 2）【能力提升】已知：12ab，则 ab7的值等于多少？专题验收测试题1下列计算结果为 a2 的是（ ）Aa 8a4（a0） Ba 2aC 3a2+（ 2a） 2 Da 4a22如图，将图 1 中阴影部分拼成图 2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ）A （a+b） （ab）a 2b2
8、 B （a b） 2 a22ab+b2C （ a+b） 2a 2+2ab+b2 D （a+b） 2（a b） 2+4ab3下列计算正确的是（ ）Ax 2+x3=x5 Bx 2x3=x5 C （x 2） 3=x8 Dx 6x2=x34下列计算正确的是（ ）Aa 3+a4a 7 Ba 4a5a 9 C4 m5m9 m Da 3+a32a 65下列几道题目是小明同学在黑板上完成的作业，他做错的题目有（ ）a 3a1a 2（2a 3） 24a 5（1ab2） 3 6a3b62 51（a +b） 2a 2+b2A2 道 B3 道 C4 道 D5 道6如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃若它
9、停在奇数点上时，则一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点若这只跳蚤从 1 这点开始跳，则经过 2019 次跳后它所停在的点对应的数为（ ）A1 B2 C4 D57下列计算中，正确的是A 4B aC 236aD 218下列从左到右的恒等变形中，变形依据与其它三项不同的是（ ）A118366B2（x y）2x 2yC0.13Da（b 1）ab a9下列运算正确的是（ ）Aa 5a3a 2 B6x 3y2（3x） 22xy 2C21aD （2 a） 3 8a310下列运算：其中结果正确的个数为（ ）a 2a3a 6 （a 3） 2a 6 （ab ） 3a 3b3 a
10、 5a5aA1 B2 C3 D411当 a，b 互为相反数，则代数式 a2+ab2 的值为_12已知 a2+2a=-2，则 (1)(4的值为_ 13计算：（2） 20190.52018_14已知 3xy是方程组23axby的解，则 a2b2_ 15已知关于 x、y 的方程组1xy，则代数式 32x9y_ 16计算：（xy） 2（y x） 3+（yx ） 4（x y）_17张老师在黑板上布置了一道题：化简：2(x1) 2(4x5)，并分别求出当 x 和 x 时代数式的值12 12小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说得对？并说明理由18先化简，再求值：( x+2)(x2)+(2x1)24
11、x(x1)，其中 x2 319已知 a+1a3（a1） ，求42211()()()aaa的值20请你将下式化简，再求值：（x+2） （x2 ）+（x 2） 2+（x4 ） （x1） ，其中 x23x1 21已知一组有规律的等式，它的前三项依次为：234,123+4，（1 ）写出第 5 个等式；（2 ）写出第 n 个等式，并证明该等式成立22老师在黑板上写出三个算式:3 2-1=81，9 2-52=87，13 2-72=815。李刚接着也写了两个具有同样规律的算式:11 2-32=814，15 2-112=813，(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式(2)用文字写出反映上述算
12、式的规律(3)证明这个规律的正确性01 数与式的运算高中必备知识点 1：绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即： ,0,|,.a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的绝对值的几何意义： ba表示在数轴上，数 a和数 b之间的距离典型考题【典型例题】阅读下列材料：我们知道 x的几何意义是在数轴上数 x对应的点与原点的距离，即 x= 0，也就是说，表示在数轴上数 与数 0 对应的点之间的距离；这个结论可以推广为 21表示在数轴上数 1x与数 2对应的点之间的距离；例 1 解方程| |=2因为在数轴上到原点的
13、距离为 2 的点对应的数为 ，所以方程| x|=2的解为 例 2 解不等式| x1|2在数轴上找出| x1|=2 的解（如图） ，因为在数轴上到 1 对应的点的距离等于 2 的点对应的数为 1 或 3，所以方程| x1|=2 的解为 x=1 或 =3，因此不等式| 1|2 的解集为 1 或 3 例 3 解方程| x1|+| +2|=5由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到 1 和2 对应的点的距离之和等于 5 的点对应的 x的值因为在数轴上 1 和2 对应的点的距离为 3（如图） ，满足方程的 x对应的点在 1 的右边或2 的左边若 x对应的点在 1 的右边，可得 x=2；若 对应的点在
14、2 的左边，可得 =3，因此方程| 1|+| +2|=5 的解是=2 或 =3参考阅读材料，解答下列问题：（1 ）方程| x+2|=3 的解为 ；（2 ）解不等式：| 2|6；（3 ）解不等式：| 3|+| x+4|9；（4 ）解方程: | x-2|+| +2|+| -5|=15.【答案】 （1） x或 x=5；（2 ）4x8 ；（3）x 4或 x5；（4）103x或203x.【解析】（1 ）由已知可得 x+2=3 或 x+2=-3解得 x或 x=5 （2 ）在数轴上找出| 2|=6 的解在数轴上到 2 对应的点的距离等于 6 的点对应的数为4 或 8，方程| x2|=6 的解为 x=4 或
15、x=8，不等式| x2|6 的解集为4 x 8 （3 ）在数轴上找出| 3|+| +4|=9 的解由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到 3 和 4 对应的点的距离之和等于 15 的点对应的 x 的值在数轴上 3 和4 对应的点的距离为 7，满足方程的 x 对应的点在 3 的右边或4 的左边若 x对应的点在 3 的右边，可得 x=4；若 对应的点在4 的左边，可得 x=5，方程| 3|+| x+4|=9 的解是 x= 或 x=5 ，不等式| 3|+| +4|9 的解集为 x 或 x5 （4 ）在数轴上找出| -2|+| +2|+| -5|=15 的解由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数
16、轴上到 2 和 2 和 5 对应的点的距离之和等于9 的点对应的 x 的值在数轴上-2 和 5 对应的点的距离为 7，满足方程的 x 对应的点在-2 的左边或 5 的右边若 x对应的点在 5 的右边，可得203x；若 x对应的点在2 的左边，可得103x，方程| -2|+| x+2|+| -5|=15 的解是1或03.【变式训练】实数 在数轴上所对应的点的位置如图所示：化简 .2+|【答案】a-2b【解析】解：由数轴知：a0，b0，|a|b| ，所以 b-a0，a-b0原式=|a|- （b-a）-(b-a)=-a-b+a-b+a=a-2b【能力提升】已知方程组 的解 的值的符号相同.+=5+4
17、=106 (1)求 的取值范围；(2)化简： .|2+2|2|3|【答案】(1) 10，解得1a3；(2)1a 3，当1a3 时，高中必备知识点 2：乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 2()abab；（2）完全平方公式 2我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 223()abab；（2）立方差公式 ；（3）三数和平方公式 22()()ccca；（4）两数和立方公式 33abab；（5）两数差立方公式 22()典型考题【典型例题】（1 ）计算：203216()（2 ）化简：2()abab【答案】 （1）3（2 ） 4ab-8b2【解析】解：（1）
18、原式=4+1+（-8）4=5-2=3（2 ）原式=a 2-4b2-(a2-4ab+4b2)=a2-4b2-a2+4ab-4b2=4ab-8b2【变式训练】计算：（1 ）021(3.4)()3（2 ）2xx【答案】 （1）8 （2 ）6x+13【解析】(1)原式=1+16-9=8 ；(2)原式=x 2-6x+9-(x2-4)=x2-6x+9-x2+4=-6x+13.【能力提升】已知 10xa ，5 xb，求：（1 ） 50x 的值；（2 ） 2x 的值；（3 ） 20x 的值 （结果用含 a、b 的代数式表示）【答案】(1)ab;(2) ;(3)2.【解析】解：（1）50 x10 x5xab；（
19、2 ） 2xx01a5b；（3 ） 20x2x0高中必备知识点 3：二次根式一般地，形如 (0)a的代数式叫做二次根式根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如 23ab， 2ab等是无理式，而21x， 22xy， 等是有理式1分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 2与2， 3a与 ， 36与 ， 23与 23，等等一般地， x与 ， xby与 axby， axb与 互为有理化因式分母有理化的方法是分母和分子都
20、乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 (0,)abb；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式2二次根式 2a的意义2a,0,.典型考题【典型例题】计算下面各题 （1） 2163)1526(;（2 ）484xx【答案】(1) 56;(2) 2【解析】（1 ） （ 6215） 36123 6 36 ；（2 ） x4+2 218
21、x42 +2 4 x2 【变式训练】小颖计算153时，想起分配律，于是她按分配律完成了下列计算：解：原式15 153 她的解法正确吗？若不正确，请给出正确的解答过程【答案】不正确，见解析【解析】解：不正确，正确解答过程为：原式 15+3 +3 15-2.【能力提升】先化简，再求值：(ab- )a2b，其中 a= 2+ 3，b= - 【答案】2ab；63【解析】解：(2ab- )2ab=2abab2=22231abab=2=2ab，当 a= + 3，b= 2- 时，原式=3=23=6高中必备知识点 4：分式1分式的意义形如 AB的式子，若 B 中含有字母，且 0B，则称 A为分式当 M0 时，分
22、式 AB具有下列性质： M；AB上述性质被称为分式的基本性质2繁分式像abcd， 2mnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式典型考题【典型例题】先化简，再求值21()1xx，其中 x 满足 x2+x10【答案】 2x,1.【解析】解：原式 21-xxA210x ， ，原式1.【变式训练】化简：224xy（4x y 2）【答案】 yx21【解析】 224xy（4x y 2）=2()1()x= yx21.【能力提升】已知：12ab，则 ab7的值等于多少？【答案】43.【解析】解：12ab，a-b=-2ab，则44a73专题验收测试题1下列计算结果为 a2 的是（ ）Aa 8a4（a0）
23、 Ba 2aC 3a2+（ 2a） 2 Da 4a2【答案】C【解析】A、a 8a4a 4，故此选项错误；B、a 2aa 3，故此选项错误；C、 3a2+(2a)2a 2，故此选项正确；D、a 4 与 a2 不是同类项，不能合并，故此选项错误，故选 C2 如图，将图 1 中阴影部分拼成图 2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（ ）A （a+b） （ab）a 2b2 B （a b） 2 a22ab+b2C （ a+b） 2a 2+2ab+b2 D （a+b） 2（a b） 2+4ab【答案】B【解析】图 1 中阴影部分的面积为：（a b） 2；图 2 中阴影部分的面积为：a
24、 22ab+b2；（ab ） 2a 22ab+b2，故选 B3 下列计算正确的是（ ）Ax 2+x3=x5 Bx 2x3=x5 C （x 2） 3=x8 Dx 6x2=x3【答案】B【解析】A、不是同类项，无法计算，故此选项错误；B、 正确；C、 故此选项错误；D、 故此选项错误；故选：B4 下列计算正确的是（ ）Aa 3+a4a 7 Ba 4a5a 9 C4 m5m9 m Da 3+a32a 6【答案】B【解析】解：A、a 3+a4，无法计算，故此选项错误；B、a 4a5a 9，正确；C、 4m5m20 m，故此选项错误；D、a 3+a32a 3，故此选项错误故选：B5 下列几道题目是小明同
25、学在黑板上完成的作业，他做错的题目有（ ）a 3a1a 2（2a 3） 24a 5（1ab2） 3 6a3b62 51（a +b） 2a 2+b2A2 道 B3 道 C4 道 D5 道【答案】C【解析】a 3a1a 4，故此选项错误；（2a 3） 24a 6，故此选项错误；（1ab2） 3 8a3b6，故此选项错误；2 5 ，正确；（a+b） 2a 2+2ab+b2，故此选项错误；则错误的一共有 4 道故选：C6 如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃若它停在奇数点上时，则一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点若这只跳蚤从 1 这点开始跳，则经过
26、2019 次跳后它所停在的点对应的数为（ ）A1 B2 C4 D5【答案】B【解析】设第 n 次跳到的点为 an（n 为自然数） ，观察，发现规律：a 0=1，a 1=3，a 2=5，a 3=2，a 4=1，a 5=3，a 6=5，a 7=2，a 4n=1，a 4n+1=3，a 4+2=5，a 4n+3=22019=5044+3，经 2019 次跳后它停的点所对应的数为 2故答案为：27 下列计算中，正确的是A 4B aC 236aD 21【答案】B【解析】解：A. 42，故 A 错误；B. a，正确；C. 235A，故 C 错误；D. 1，故 D 错误；故选：B8 下列从左到右的恒等变形中，
27、变形依据与其它三项不同的是（ ）A118366B2（x y）2x 2yC0.13Da（b 1）ab a【答案】C【解析】解：A、1188366，单项式乘多项式；B、2（x y）2x 2y，单项式乘多项式；C、0.13，根据分式的性质；D、a（b 1）ab a，单项式乘多项式；则变形依据与其它三项不同的是 C，故选：C9 下列运算正确的是（ ）Aa 5a3a 2 B6x 3y2（3x） 22xy 2C 21D （2 a） 3 8a3【答案】D【解析】A、a 5a3，无法计算，故此选项错误；B、6x 3y2（ 3x） 26x 3y29x2 xy2，故此选项错误；C、2a 2 ，故此选项错误；D、
28、（ 2a） 3 8a3，正确故选 D10 下列运算：其中结果正确的个数为（ ）a 2a3a 6 （a 3） 2a 6 （ab ） 3a 3b3 a 5a5aA1 B2 C3 D4【答案】B【解析】解：a 2a3a 5，错误；（a 3） 2a 6，正确；（ab） 3a 3b3，正确；a 5a51，错误故选：B11 当 a，b 互为相反数，则代数式 a2+ab2 的值为_【答案】2【解析】a 与 b 互为相反数，a+b=0，a 2+ab-2=a(a+b)-2=0-2=-2.故答案为：-2.12 已知 a2+2a=-2，则2(21)(4a的值为_ 【答案】6【解析】解：2222481650165()
29、162(1)(aaa aa，a 2+2a=-2，原式=25()165(2)16a，故答案为：6.13 计算：（ 2） 20190.52018_【答案】-2【解析】解：（2） 20190.52018（20.5） 2018（ 2）2故答案为：214 已知23xy是方程组 3axby的解，则 a2b2_ 【答案】1【解析】解：23xy是方程组23axby的解， 2ab，解得，得ab15，+，得a+b 5，a 2b2（ a+b） （ab）（5 ）（15）1 ，故答案为：115 已知关于 x、y 的方程组32xya，则代数式 32x9y_ 【答案】19.【解析】解：将两方程相加可得 2x+2y 2，则
30、32x9y3 2x32y3 2x+2y3 219，故答案为： 16 计算：（ xy） 2（y x） 3+（yx ） 4（x y）_【答案】0【解析】原式（x y） 5+（x y） 50，故答案为：017 张老师在黑板上布置了一道题：化简：2(x1) 2(4x5)，并分别求出当 x 和 x 时代数式的值12 12小亮和小新展开了下面的讨论，你认为他们两人谁说得对？并说明理由【答案】小亮说的对,理由见解析【解析】2（ x+1） 2（4x5）=2x2+4x+24x+5，=2x2+7，当 x= 时，原式= +7=7 ；当 x= 时，原式= +7=7 12 12故小亮说的对18 先化简，再求值：( x+
31、2)(x2)+(2x1)24x(x1)，其中 x2 3【答案】x 23， 9.【解析】(x+2)(x2)+(2x1)24x(x1)，x 24+4x24x+14x2+4x，x 23，当 时，原式 2313919 已知 a+1a3（a1） ，求2421()()()()aaa的值【答案】1645 5【解析】解：13a（a1） ，29，化简得21a7， 两边平方，可得4a49247，21a 22725 ，且 a1，5，24211()()()()aaa 574751645 20 请你将下式化简，再求值：（x+2） （x2 ）+（x 2） 2+（x4 ） （x1） ，其中 x23x1 【答案】3x 29x
32、+4，7【解析】(x+2)(x2)+(x2)2+(x4)(x1)，x 24+x24x+x25x+4，3 x29x+4，当 x23x1 时，原式3x 29x+4，3(x 23x)+4，31+4，7 21 已知一组有规律的等式，它的前三项依次为：234,123+4，（1 ）写出第 5 个等式；（2 ）写出第 n 个等式，并证明该等式成立【答案】 （1）第 5 个等式为：65；（2 ）第 n 个等式为：11()()nn【解析】解：（1）第 1 个等式为：2=1+2，第 2 个等式为：3+3，第 3 个等式为：4=+4，第 4 个等式为：55 +5，第 5 个等式为：66 +6；（2 ）第 n 个等式
33、为：+1n（n +1）+1+（n+1） 证明如下：+1n（n+1）21n2+1n +（n+1） ， （n+1）+（n+1 ） 化类，通过观察得出第 n 个等式为：1（n+1）+1+（n +1）是解题的关键22 老师在黑板上写出三个算式:3 2-1=81，9 2-52=87，13 2-72=815。李刚接着也写了两个具有同样规律的算式:11 2-32=814，15 2-112=813，(1)请你再写出两个(不同于上面算式)具有上述规律的算式(2)用文字写出反映上述算式的规律(3)证明这个规律的正确性【答案】 （1）11 2-92=85，13 2-112=86；（2）规律：任意两个奇数的平方差等于
34、 8 的倍数；（3 ）见解析.【解析】解：(1)11 2-92=85，13 2-112=86 （答案不唯一）(2)规律：任意两个奇数的平方差等于 8 的倍数(3)证明：设 m，n 为整数，两个奇数可表示 2m+1 和 2n+1，则(2m+1) 2-(2n+1)2=4(m-n)(m+n+1)当 m，n 同是奇数或偶数时，(m-n)一定为偶数，所以 4(m-n)一定是 8 的倍数，当 m，n 一奇一偶时，则(m+n+1) 一定为偶数，所以 4(m+n+1)一定是 8 的倍数，所以，任意两奇数的平方差是 8 的倍数 故答案为：(1)11 2-92=85，13 2-112=86；(2)规律：任意两个奇数的平方差等于 8 的倍数；(3)证明见解析.