1、2019年四川省乐山市中考数学试卷一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分1 （3 分）3 的绝对值是（ ）A3 B3 C D2 （3 分）下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（ ）A B C D3 （3 分）小强同学从1，0，1，2，3，4 这六个数中任选一个数，满足不等式 x+12 的概率是（ ）A B C D4 （3 分）a 一定是（ ）A正数 B负数C0 D以上选项都不正确5 （3 分）如图，直线 ab，点 B 在 a 上，且 ABBC若135，那么2 等于（ ）A45 B50 C55 D606 （
2、3 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A BC D第 2 页（共 27 页）7 （3 分） 九章算术第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出 8 钱，会多 3 钱；每人出 7 钱，又差 4 钱问人数、物价各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ）A1，11 B7，53 C7，61 D6，508 （3 分）把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按如图的方式放置则图中阴影部分的面积为（ ）A B C D9 （3 分）如图，在边长为 的菱形 ABCD 中，B30，过
3、点 A 作 AEBC 于点 E，现将ABE 沿直线 AE 翻折至AFE 的位置，AF 与 CD 交于点 G则 CG 等于（ ）A B1 C D10 （3 分）如图，抛物线 y x24 与 x 轴交于 A、B 两点， P 是以点 C（0，3）为圆心，2 为半径的圆上的动点，Q 是线段 PA 的中点，连结 OQ则线段 OQ 的最大值是（ ）A3 B C D4第 3 页（共 27 页）二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分11 （3 分） 的相反数是 12 （3 分）某地某天早晨的气温是2，到中午升高了 6，晚上又降低了 7
4、那么晚上的温度是 13 （3 分）若 3m9 n2则 3m+2n 14 （3 分）如图，在ABC 中，B30，AC 2，cosC 则 AB 边的长为 15 （3 分）如图，点 P 是双曲线 C：y （x0）上的一点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB：y x2 于点 Q，连结 OP，OQ当点 P 在曲线 C 上运动，且点 P 在 Q 的上方时，POQ 面积的最大值是 16 （3 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，B30，直线 lAB当直线 l 沿射线 B
5、C 方向，从点 B 开始向右平移时，直线 l 与四边形 ABCD 的边分别相交于点E、F 设直线 l 向右平移的距离为 x，线段 EF 的长为 y，且 y 与 x 的函数关系如图 2 所示，则四边形 ABCD 的周长是 三、本大题共 3 个小题，每小题 9 分，共 27 分.第 4 页（共 27 页）17 （9 分）计算：（ ） 1 （2019） 0+2sin3018 （9 分）如图，点 A、B 在数轴上，它们对应的数分别为2， ，且点 A、B 到原点的距离相等求 x 的值19 （9 分）如图，线段 AC、 BD 相交于点 E，AEDE，BE CE 求证：BC四、本
6、大题共 3 个小题，每小题 10 分，共 30 分20 （10 分）化简： 21 （10 分）如图，已知过点 B（1，0）的直线 l1 与直线 l2：y2x+4 相交于点P（1 ，a） （1）求直线 l1 的解析式；（2）求四边形 PAOC 的面积22 （10 分）某校组织学生参加“安全知识竞赛” ，测试结束后，张老师从七年级 720 名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图所示试根据统计图提供的信息，回答下列问题：第 5 页（共 27 页）（1）张老师抽取的这部分学生中，共有 名男生， 名女生；（2）张老师抽取
7、的这部分学生中，女生成绩的众数是 ；（3）若将不低于 27 分的成绩定为优秀，请估计七年级 720 名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少五、本大题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分.23 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2（k +4）x+4k0（1）求证：无论 k 为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为 x1、x 2，满足 + ，求 k 的值；（3）若 RtABC 的斜边为 5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 x1、x 2，求 RtABC 的内切圆半径24 （10 分）如图，直线 l 与 O 相离，OAl 于点 A，
8、与 O 相交于点 P，OA5C 是直线 l 上一点，连结 CP 并延长交 O 于另一点 B，且 ABAC（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若O 的半径为 3，求线段 BP 的长六、本大题共 2 个小题，第 25 题 12 分，第 26 题 13 分，共 25 分.25 （12 分）在ABC 中，已知 D 是 BC 边的中点，G 是ABC 的重心，过 G 点的直线分别交 AB、AC 于点 E、F第 6 页（共 27 页）（1）如图 1，当 EFBC 时，求证： + 1；（2）如图 2，当 EF 和 BC 不平行，且点 E、F 分别在线段 AB、AC 上时， （1）中的结论是否成立？如果成立，
9、请给出证明；如果不成立，请说明理由（3）如图 3，当点 E 在 AB 的延长线上或点 F 在 AC 的延长线上时， （1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由26 （13 分）如图，已知抛物线 ya（x+2） （x 6）与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴交于C 点，且 tanCAB 设抛物线的顶点为 M，对称轴交 x 轴于点 N（1）求抛物线的解析式；（2）P 为抛物线的对称轴上一点，Q （n，0）为 x 轴上一点，且 PQPC 当点 P 在线段 MN（含端点）上运动时，求 n 的变化范围；当 n 取最大值时，求点 P 到线段 CQ 的距离；当 n 取最大值时
10、，将线段 CQ 向上平移 t 个单位长度，使得线段 CQ 与抛物线有两个交点，求 t 的取值范围第 7 页（共 27 页）2019 年四川省乐山市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分1 （3 分）3 的绝对值是（ ）A3 B3 C D【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出【解答】解：|3| （3 ）3故选：A【点评】考查绝对值的概念和求法绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 02 （3 分）下列四个图形中，可以由图通过平移得到的是（ ）A B C D【分析
11、】根据平移的性质解答即可【解答】解：只有 D 的图形的形状和大小没有变化，符合平移的性质，属于平移得到；故选：D【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后所得图形与原图形全等是解答此题的关键3 （3 分）小强同学从1，0，1，2，3，4 这六个数中任选一个数，满足不等式 x+12 的概率是（ ）A B C D【分析】找到满足不等式 x+12 的结果数，再根据概率公式计算可得【解答】解：在1，0，1，2，3，4 这六个数中，满足不等式 x+12 的有1、0 这两个，第 8 页（共 27 页）所以满足不等式 x+12 的概率是 ，故选：C【点评】本题主要考查概率公式，用到的知识点为
12、：概率等于所求情况数与总情况数之比4 （3 分）a 一定是（ ）A正数 B负数C0 D以上选项都不正确【分析】利用正数与负数定义分析得出答案【解答】解：a 中 a 的符号无法确定，故a 的符号无法确定故选：D【点评】此题主要考查了正数和负数，正确理解正负数的定义是解题关键5 （3 分）如图，直线 ab，点 B 在 a 上，且 ABBC若135，那么2 等于（ ）A45 B50 C55 D60【分析】先根据135，ab 求出BAC 的度数，再由 ABBC 即可得出答案【解答】解：ab，135，BAC135ABBC，2BCA90BAC55故选：C【点评】本题考查的是平行线的
13、性质、垂线的性质，熟练掌握垂线的性质和平行线的性质是解决问题的关键6 （3 分）不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A B第 9 页（共 27 页）C D【分析】分别解不等式进而得出不等式组的解集，进而得出答案【解答】解： ，解得： x6，解得： x13，故不等式组的解集为：6x13，在数轴上表示为： 故选：B【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，正确解不等式是解题关键7 （3 分） 九章算术第七卷“盈不足”中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、物价各几何？”译为：“今有人合伙购物，每人出 8 钱，会多 3 钱；每人出 7 钱，又差 4 钱问人数、物价
14、各多少？”根据所学知识，计算出人数、物价分别是（ ）A1，11 B7，53 C7，61 D6，50【分析】设有 x 人，物价为 y，根据该物品价格不变，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，此题得解【解答】解：设有 x 人，物价为 y，可得： ，解得： ，故选：B【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键8 （3 分）把边长分别为 1 和 2 的两个正方形按如图的方式放置则图中阴影部分的面积为（ ）第 10 页（共 27 页）A B C D【分析】如图，易证ABCFEC ，可设 BCx，只需求出 BC 即可【解答
15、】解：如图，设 BCx ，则 CE1x易证ABCFEC 解得 x阴影部分面积为：S ABC 1故选：A【点评】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答9 （3 分）如图，在边长为 的菱形 ABCD 中，B30，过点 A 作 AEBC 于点 E，现将ABE 沿直线 AE 翻折至AFE 的位置，AF 与 CD 交于点 G则 CG 等于（ ）A B1 C D【分析】先利用 30直角三角形的性质，求出 BE，再根据折叠性质求得 BF，从而得到CF 长，最后根据ADGFCG 得出与 CG 有关的比例式，即可求
16、解 CG 长【解答】解：在 RtABE 中，B30，AB ，第 11 页（共 27 页）BE 根据折叠性质可得 BF2BE3CF3 ADCF，ADG FCG 设 CGx，则 ，解得 x 1故选：A【点评】本题主要考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、折叠的性质，解题的关键是找到与 CG 相关的三角形，利用相似知识求解10 （3 分）如图，抛物线 y x24 与 x 轴交于 A、B 两点， P 是以点 C（0，3）为圆心，2 为半径的圆上的动点，Q 是线段 PA 的中点，连结 OQ则线段 OQ 的最大值是（ ）A3 B C D4【分析】连接 BP，如图，先解方程 x240 得 A
17、（4 ，0） ，B（4，0） ，再判断 OQ为ABP 的中位线得到 OQ BP，利用点与圆的位置关系，BP 过圆心 C 时，PB 最大，如图，点 P 运动到 P位置时，BP 最大，然后计算出 BP即可得到线段 OQ 的最大值【解答】解：连接 BP，如图，第 12 页（共 27 页）当 y0 时， x240，解得 x14，x 24，则 A（ 4，0） ，B（4，0） ，Q 是线段 PA 的中点，OQ 为ABP 的中位线，OQ BP，当 BP 最大时，OQ 最大，而 BP 过圆心 C 时，PB 最大，如图，点 P 运动到 P位置时，BP 最大，BC 5，BP5+27，线段 OQ 的最大值是 故选：
18、C【点评】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系也考查了三角形中位线二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分11 （3 分） 的相反数是 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数【解答】解： 的相反数是 ，故答案为： 【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数12 （3 分）某地某天早晨的气温是2，到中午升高了 6，晚上又降低了 7那么晚上的温度是 3 第 13 页（共 27 页）【分析】由题意列出算式进行计
19、算求解即可【解答】解：2+673，故答案为：3【点评】本题主要考查有理数的加减法，正确列出算式是解题的关键13 （3 分）若 3m9 n2则 3m+2n 4 【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行解答即可【解答】解：3 m3 2n2，3 m+2n3 m32n224，故答案为：4【点评】此题考查幂的乘方与积的乘方，关键是根据幂的乘方与积的乘方解答14 （3 分）如图，在ABC 中，B30，AC 2，cosC 则 AB 边的长为 【分析】如图，作 AHBC 于 H解直角三角形求出 AH，再根据 AB2AH 即可解决问题【解答】解：如图，作 AH BC 于 H在 Rt ACH 中， AHC
20、 90，AC 2，COSC ， ，CH ，AH ，在 Rt ABH 中，AHB90，B30，AB2AH ，第 14 页（共 27 页）故答案为 【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型15 （3 分）如图，点 P 是双曲线 C：y （x0）上的一点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 AB：y x2 于点 Q，连结 OP，OQ当点 P 在曲线 C 上运动，且点 P 在 Q 的上方时，POQ 面积的最大值是 3 【分析】设 P（x ， ） ，则 Q（x， x2） ，得到 PQ x+2，根据三角形面积公式得到 SPOQ （x2
21、） 2+3，根据二次函数的性质即可求得最大值【解答】解：PQx 轴，设 P（x， ） ，则 Q（x， x2） ，PQ x+2，S POQ （ +2）x （x2） 2+3， 0，POQ 面积有最大值，最大值是 3，故答案为 3【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，反比例函数 y（k0）系数 k 的几何意义：从反比例函数 y （k0）图象上任意一点向 x 轴和y 轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为| k|16 （3 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，B30，直线 lAB当直线 l 沿射线 BC 方向，从点 B 开始向右平移时，直线 l 与四边形 ABCD
22、 的边分别相交于点E、F 设直线 l 向右平移的距离为 x，线段 EF 的长为 y，且 y 与 x 的函数关系如图 2 所示，则四边形 ABCD 的周长是 第 15 页（共 27 页）【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到 AB、BC、AD 的长，再根据平行线的性质和图形中的数据可以得到 CD 的长，从而可以求得四边形 ABCD 的周长【解答】解：B30，直线 lAB，BE2EF，由图可得，AB4cos30 4 2 ，BC5，AD743，当 EF 平移到点 F 与点 D 重合时，如右图所示，EFB 60，DEC60，DECE2，DEC 为等边三角形，CD2四边形
23、 ABCD 的周长是：AB+BC+ AD+CD2 +5+3+210+2 ，故答案为：10+2 【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答三、本大题共 3 个小题，每小题 9 分，共 27 分.第 16 页（共 27 页）17 （9 分）计算：（ ） 1 （2019） 0+2sin30【分析】根据实数的混合计算解答即可【解答】解：原式 ，21+1，2【点评】此题考查实数的运算，关键是根据实数的混合计算解答18 （9 分）如图，点 A、B 在数轴上，它们对应的数分别为2， ，且点 A、B 到原点的距离相等求 x 的值【分析】根据题意得出分式方程解答即可【解
24、答】解：根据题意得： ，去分母，得 x2（x +1） ，去括号，得 x2x +2，解得 x2经检验，x2 是原方程的解【点评】此题考查解分式方程，关键是根据解分式方程的步骤：去分母；求出整式方程的解；检验； 得出结论解答19 （9 分）如图，线段 AC、 BD 相交于点 E，AEDE，BE CE 求证：BC【分析】根据 AEDE ，AEBDEC，BECE，证出AEBDEC，即可得出BC【解答】证明：在AEB 和DEC 中，第 17 页（共 27 页）AEB DEC，BC【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定与性质这一知识点的理解和掌握，此题难度不大，要求学生应熟练掌握四、本大题共 3 个小
25、题，每小题 10 分，共 30 分20 （10 分）化简： 【分析】首先将分式的分子与分母分解因式，进而约分得出答案【解答】解：原式 ， ， 【点评】此题主要考查了分式的乘除运算，正确分解因式是解题关键21 （10 分）如图，已知过点 B（1，0）的直线 l1 与直线 l2：y2x+4 相交于点P（1 ，a） （1）求直线 l1 的解析式；（2）求四边形 PAOC 的面积【分析】 （1）由点 P（1，a）在直线 l2 上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出 a 值，再利用点 P 的坐标和点 B 的坐标可求直线 l1 的解析式；（2）根据面积差可得结论【解答】解：（1）点 P（1，a）在直
26、线 l2：y2x+4 上，2（1）+4a，即 a2，则 P 的坐标为（1，2） ，设直线 l1 的解析式为：y kx +b（k 0） ，第 18 页（共 27 页）那么 ，解得： l 1 的解析式为：y x+1（2）直线 l1 与 y 轴相交于点 C，C 的坐标为（0，1） ，又直线 l2 与 x 轴相交于点 A，A 点的坐标为（2，0） ，则 AB3，而 S 四边形 PAOCS PAB S BOC ，S 四边形 PAOC 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式并利用数形结合的思想解决问题22 （10 分）某
27、校组织学生参加“安全知识竞赛” ，测试结束后，张老师从七年级 720 名学生中随机地抽取部分学生的成绩绘制了条形统计图，如图所示试根据统计图提供的信息，回答下列问题：（1）张老师抽取的这部分学生中，共有 40 名男生， 40 名女生；（2）张老师抽取的这部分学生中，女生成绩的众数是 27 ；（3）若将不低于 27 分的成绩定为优秀，请估计七年级 720 名学生中成绩为优秀的学生人数大约是多少【分析】 （1）男生：1+2+2+4+9+14+5+2+140（人）女生：1+1+2+3+11+13+7+1+140（人） ；（2）女生成绩 27 的人数最多，所以众数为 27；第 19 页（共
28、 27 页）（3） （人） 【解答】解：（1）男生：1+2+2+4+9+14+5+2+140（人）女生：1+1+2+3+11+13+7+1+140（人）故答案为 40，40；（2）女生成绩 27 的人数最多，所以众数为 27，故答案为 27；（3） （人） ，七年级 720 名学生中成绩为优秀的学生人数大约是 396 人【点评】此题同时考查了条形统计图，考查了利用统计图获取信息的能力利用统计图获取信息时，必须认真观察、认真分析、认真研究统计图，只有这样才能作出正确的判断，准确地解决问题五、本大题共 2 个小题，每小题 10 分，共 20 分.23 （10 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2
29、（k +4）x+4k0（1）求证：无论 k 为任何实数，此方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根为 x1、x 2，满足 + ，求 k 的值；（3）若 RtABC 的斜边为 5，另外两条边的长恰好是方程的两个根 x1、x 2，求 RtABC 的内切圆半径【分析】 （1）根据根的判别式（k+4） 216kk 28 k+16（k4） 20，即可得到结论；（2）由题意得到 x1+x2k +4，x 1x24k，代入 ，解方程即可得到结论；（3）解方程 x2（k +4）x +4k0 得到 x14，x 2k，根据题意根据勾股定理列方程得到 k3，设直角三角形 ABC 的内切圆半径为 r，根据切线长定理
30、即可得到结论【解答】 （1）证明：（k+4） 216kk 28k+16（k4） 20，无论 k 为任何实数时，此方程总有两个实数根；（2）解：由题意得：x 1+x2k +4，x 1x24k， ， ，第 20 页（共 27 页）即 ，解得：k2；（3）解：解方程 x2（k +4）x +4k0 得：x 14，x 2k，根据题意得：4 2+k25 2，即 k3，设直角三角形 ABC 的内切圆半径为 r，如图，由切线长定理可得：（3r）+（4r）5，直角三角形 ABC 的内切圆半径 r 【点评】本题考查了三角形的内切圆和内心，切线的性质，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握切线
31、长定理是解题的关键24 （10 分）如图，直线 l 与 O 相离，OAl 于点 A，与 O 相交于点 P，OA5C 是直线 l 上一点，连结 CP 并延长交 O 于另一点 B，且 ABAC（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若O 的半径为 3，求线段 BP 的长【分析】 （1）连接 OB，由 ABAC 得ABCACB ，由 OPOB 得OPBOBP，由 OAl 得 OAC90，则ACB +APC90，而APCOPBOBP，所以OBP+ABC90，即OBA90，于是根据切线的判定定理得到直线 AB 是 O 的切线；（2）根据勾股定理求得 AB4，PC2 ，过 O 作 ODPB 于 D，则 PD
32、DB ，通过第 21 页（共 27 页）证得ODP CAP，得到 ，求得 PD，即可求得 PB【解答】 （1）证明：如图，连结 OB，则 OPOB，OBPOPBCPA，ABAC，ACBABC，而 OAl，即OAC90，ACB+ CPA90，即ABP +OBP90，ABO90，OBAB，故 AB 是O 的切线；（2）解：由（1）知：ABO90，而 OA5，OBOP 3，由勾股定理，得：AB4，过 O 作 ODPB 于 D，则 PDDB ，OPD CPA ，ODP CAP 90，ODP CAP ， ，又ACAB 4，AP OAOP2， ， ， 【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理的应用研究
33、三角形相似的判定和性质，第 22 页（共 27 页）熟练掌握性质定理是解题的关键六、本大题共 2 个小题，第 25 题 12 分，第 26 题 13 分，共 25 分.25 （12 分）在ABC 中，已知 D 是 BC 边的中点，G 是ABC 的重心，过 G 点的直线分别交 AB、AC 于点 E、F（1）如图 1，当 EFBC 时，求证： + 1；（2）如图 2，当 EF 和 BC 不平行，且点 E、F 分别在线段 AB、AC 上时， （1）中的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由（3）如图 3，当点 E 在 AB 的延长线上或点 F 在 AC 的延长线上时， （1）中的
34、结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由【分析】 （1）根据三角形重心定理和平行线分线段成比例解答即可；（2）过点 A 作 ANBC 交 EF 的延长线于点 N，FE、CB 的延长线相交于点 M，得出BME ANE，CMFANF，得出比例式解答即可；（3）分两种情况：当 F 点与 C 点重合时，E 为 AB 中点，BEAE；点 F 在 AC 的延长线上时，BEAE ，得出 ，则 ，同理：当点 E 在 AB 的延长线上时，即可得出结论【解答】 （1）证明：G 是 ABC 重心， ，又EFBC， ， ，则 ；（2）解：（1）中结论成立，理由如下：如图 2，过点 A 作 ANBC
35、交 EF 的延长线于点 N，FE、 CB 的延长线相交于点 M，第 23 页（共 27 页）则BME ANE，CMFANF， ， ，又BM+CMBM +CD+DM，而 D 是 BC 的中点，即 BD CD，BM+CMBM +BD+DMDM+DM 2DM， ，又 ， ，故结论成立；（3）解：（1）中结论不成立，理由如下：当 F 点与 C 点重合时，E 为 AB 中点，BEAE，点 F 在 AC 的延长线上时，BEAE， ，则 ，同理：当点 E 在 AB 的延长线上时， ，结论不成立第 24 页（共 27 页）【点评】此题是相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、三角形重心定理、平行线分线
36、段成比例定理等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的重心定理和平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键26 （13 分）如图，已知抛物线 ya（x+2） （x 6）与 x 轴相交于 A、B 两点，与 y 轴交于C 点，且 tanCAB 设抛物线的顶点为 M，对称轴交 x 轴于点 N（1）求抛物线的解析式；（2）P 为抛物线的对称轴上一点，Q （n，0）为 x 轴上一点，且 PQPC 当点 P 在线段 MN（含端点）上运动时，求 n 的变化范围；当 n 取最大值时，求点 P 到线段 CQ 的距离；当 n 取最大值时，将线段 CQ 向上平移 t 个单位长度，使得线段 CQ 与抛物线有两个交
37、点，求 t 的取值范围【分析】 （1）由函数解析式，可以求出点 A、B 的坐标分别为（2，0） ， （6，0） ，在RtOAC 中由 tanCAB ，可以求出点 C 的坐标为（0，3） ，进而可以求出抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴为：x2，顶点 M（2，4） ，在 RtPCQ 中，由勾股定理得：PC 2+PQ2CQ 2，把三角形三边长用点 P，Q 的坐标表达出来，整理得：，利用 0m 4，求出 n 的取值范围；由，得： ，求出点 P 到线段 CQ 距离为 2；设线段 CQ 向上平移 t 个单位长度后的解析式为： ，联立抛物线方程，可求出 x27x+4t0，由4916t0，得 ，第 25
38、页（共 27 页）当线段 CQ 与抛物线有两个交点时，【解答】解：（1）根据题意得：A（2，0） ，B（6，0） ，在 Rt AOC 中， ，且 OA2，得 CO3，C（0，3） ，将 C 点坐标代入 ya（x +2） （x 6）得： ，抛物线解析式为： ；整理得：y故抛物线解析式为：得：y ；（2）由（ 1）知，抛物线的对称轴为：x2，顶点 M（2，4） ，设 P 点坐标为（2，m ） （其中 0m4） ，则 PC22 2+（ m3） 2，PQ 2m 2+（n2） 2，CQ 23 2+n2，PQ PC ，在 Rt第 26 页（共 27 页）PCQ 中，由勾股定理得：PC 2+PQ2CQ 2，
39、即 22+（m3） 2+m2+（n2） 23 2+n2，整理得： （0m 4） ，当 时，n 取得最小值为 ；当m4 时，n 取得最大值为 4，所以， ；由知：当 n 取最大值 4 时，m4，P（2，4） ，Q（4，0） ，则 ， ，CQ5，设点 P 到线段 CQ 距离为 h，由 ，得： ，故点 P 到线段 CQ 距离为 2；由可知：当 n 取最大值 4 时，Q（4，0） ，线段 CQ 的解析式为： ，设线段 CQ 向上平移 t 个单位长度后的解析式为： ，当线段 CQ 向上平移，使点 Q 恰好在抛物线上时，线段 CQ 与抛物线有两个交点，此时对应的点 Q'的纵坐标为： ，将 Q'（4，3）代入 得：t 3，第 27 页（共 27 页）当线段 CQ 继续向上平移，线段 CQ 与抛物线只有一个交点时，联解得： ，化简得：x 27x+4t 0，由4916t0，得 ，当线段 CQ 与抛物线有两个交点时， 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，处理问题和解决问题