1、第 1 页（共 25 页）人教版九年级下学期27.2 相似三角形同步练习卷一选择题（共 8 小题）1如图，已知矩形 ABCD 中，AB3，BE2，EF BC若四边形 EFDC 与四边形 BEFA相似而不全等，则 CE（ ）A3 B3.5 C4 D4.52如图，取一张长为 a，宽为 b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边 a、b 应满足的条件是（ ）Aa b Ba2b Ca2 b Da4b3如图，在正方形网格上有两个相似三角形ABC 和DEF，则BAC 的度数为（ ）A105 B115 C125 D1354如图所示，ACBACB ，
2、BCB30，则 ACA的度数为（ ）A20 B30 C35 D405下列条件不能判定ADBABC 的是（ ）第 2 页（共 25 页）AABDACB BADBABC CAB 2ADAC D 6如图，ABC 中，P 为 AB 上的一点，在下列四个条件中：ACPB；APC ACB ；AC 2APAB；ABCP AP CB，能满足APC 和 ACB 相似的条件是（ ）A B C D7在ABC 中，边 BC6，高 AD4，正方形 EFGH 的顶点 E、F 在边 BC 上，顶点H、G 分别在边 AB 和 AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ）A3 B2.5 C2.4 D28如图，小明同学用自制的直角三
3、角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条边DF50 cm，EF30cm，测得边 DF 离地面的高度 AC1.5m，CD20m ，则树高 AB 为（ ）A12 m B13.5 m C15 m D16.5 m二填空题（共 10 小题）第 3 页（共 25 页）9如图，在矩形 ABCD 中，AB1， （ADAB）在 BC 上取一点 E，沿 AE 将ABE 向上折叠，使点 B 落在 AD 上的点 F，若四边形 EFDC 与原矩形相似，则 AD 的长度为 10沿一张矩形纸较长两边的中点将纸折叠，所得的两个矩形仍
4、然与原来的矩形相似，则原矩形纸的长、宽之比是 11如果两个相似三角形的面积的比是 4：9，那么它们对应的角平分线的比是 12如图，已知ADEABC，且 AD3，DC4，AE2，则 BE 13将ABC 的纸片按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B，折叠痕为 EF，已知 ABAC8，BC 10，若以点 B、F 、C 为顶点的三角形与ABC 相似，那么 BF 的长度是 14如图，点 D 为ABC 外一点，AD 与 BC 边的交点为 E，AE3，DE 5，BE4，要使BDE ACE，且点 B，D 的对应点为 A，C，那么线段 CE 的长应等于 第 4 页（共 25 页）15如图所
5、示，D、E 分别是 ABC 的边 AB、BC 上的点，DEAC，若 SBDE ：S CDE1：3，则 SBDE ：S 四边形 DECA 的值为 16两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验证小孔成像的现象已知一根点燃的蜡烛距小孔 20cm，光屏在距小孔 30cm 处，小华测量了蜡烛的火焰高度为 2cm，则光屏上火焰所成像的高度为 cm17在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形如图，请你在 44 的方格纸中，画一个格
6、点三角形 A1B1C1，使A 1B1C1 与格点三角形 ABC 相似（相似比不为 1） 18已知在 RtABC 中，ACB90，CD AB 于点 D，如果 AC3，AB6，那么AD 三解答题（共 7 小题）19如图，四边形 ABCD 为平行四边形，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，过点 E 作第 5 页（共 25 页）EFAB，交 AD 于点 F，连接 BF（1）求证：BF 平分ABC ；（2）若 AB6，且四边形 ABCD四边形 CEFD，求 BC 长20如图，矩形草坪的长是 30m，宽是 10m，现要修建一条平行于草坪边缘的矩形小路，使得小路的形状与原来草坪的形状相似，求小路的宽21如
7、图，D、E 分别是 AB、AC 上的点，ADE ACB，且DE4， BC12，AC8，求 AD 的长22如图，在ABC 中，D、E 分别在 AB 与 AC 上，且AD5， DB 7，AE 6，EC 4求证：ADEACB 23已知菱形 ABCD 中，AB8，点 G 是对角线 BD 上一点， CG 交 BA 的延长线于点 F（1）求证：AG 2GEGF ；（2）如果 DG GB，且 AGBF，求 EC：CD 的值第 6 页（共 25 页）24如图，河对岸有一路灯杆 AB，在灯光下，小亮在点 D 处测得自己的影长 DF3m，沿BD 方向从 D 后退 4 米到 G 处，测得自己的影长 GH5，如果小亮
8、的身高为 1.7m，求路灯杆 AB 的高度25求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比要求： 根据给出的 ABC 及线段 AB，A（A A） ，以线段 AB为一边，在给出的图形上用尺规作出ABC，使得A BC ABC，不写作法，保留作图痕迹；在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程第 7 页（共 25 页）参考答案与试题解析一选择题（共 8 小题）1如图，已知矩形 ABCD 中，AB3，BE2，EF BC若四边形 EFDC 与四边形 BEFA相似而不全等，则 CE（ ）A3 B3.5 C4 D4.5【分析】可设 CEx ，由四边形 EFDC 与四边形 BEFA 相似，
9、根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可【解答】解：设 CEx ，四边形 EFDC 与四边形 BEFA 相似， ，AB3，BE2，EFAB ， ，解得：x4.5，故选：D【点评】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据四边形 EFDC 与四边形BEFA 相似得到比例式2如图，取一张长为 a，宽为 b 的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边 a、b 应满足的条件是（ ）Aa b Ba2b Ca2 b Da4b【分析】根据对折表示出小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例列式计算即可得解第 8 页（共 25 页）【解答
10、】解：对折两次后的小长方形的长为 b，宽为 a，小长方形与原长方形相似， ，a2b故选：B【点评】本题考查了相似多边形对应边成比例的性质，准确表示出小长方形的长和宽是解题的关键3如图，在正方形网格上有两个相似三角形ABC 和DEF，则BAC 的度数为（ ）A105 B115 C125 D135【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出【解答】解：ABCEDF，BAC DEF ，又DEF90+45135，所以BAC135，故选：D【点评】熟练掌握相似三角形的性质4如图所示，ACBACB ，BCB30，则 ACA的度数为（ ）A20 B30 C35 D40【分析】根据相似三角形性质求出ACBACB
11、 ，都减去ACB 即可【解答】解：ACBACB ，ACBACB，ACBACBA CBACB，ACABCB，BCB30，第 9 页（共 25 页）ACA30，故选：B【点评】本题考查了相似三角形性质的应用，注意：相似三角形的对应角相等5下列条件不能判定ADBABC 的是（ ）AABDACB BADBABC CAB 2ADAC D 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可【解答】解：A、ABD ACB，AA，ABCADB，故此选项不合题意；B、ADB ABC，AA，ABCADB，故此选项不合题意；C、AB 2ADAC， ，AA，A
12、BC ADB，故此选项不合题意；D、 不能判定ADBABC ，故此选项符合题意故选：D【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似6如图，ABC 中，P 为 AB 上的一点，在下列四个条件中：ACPB；APC ACB ；AC 2APAB；ABCP AP CB，能满足APC 和 ACB 相似的条件是（ ）A B C D【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断第 10 页（共 25 页）【解答】解：当ACPB，A 公共，所以APCACB；当APCAC
13、B，A 公共，所以APCACB；当 AC2APAB，即 AC：ABAP：AC，A 公共，所以APCACB；当 ABCPAPCB，即 ，而PACCAB，所以不能判断APC 和ACB 相似故选：D【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似7在ABC 中，边 BC6，高 AD4，正方形 EFGH 的顶点 E、F 在边 BC 上，顶点H、G 分别在边 AB 和 AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ）A3 B2.5 C2.4 D2【分析】利用正方形的性质可知 EHBC，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得AHEACB，利用相
14、似三角形的性质可得比例线段，利用比例线段可求正方形的边长【解答】解：设 AD 交 GH 于 M四边形 EFMN 是正方形，HGBC，AEHABC，第 11 页（共 25 页）又ADBC，ADBC，EHHGMD ， ，设 EHx，则 AM3x ， ，解得：x2.4，EH2.4答：这个正方形的边长为 2.4故选：C【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质和平行线分线段成比例定理，是各地中考考查相似三角形常见题型8如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度 AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上已知纸板的两条边DF50
15、cm，EF30cm，测得边 DF 离地面的高度 AC1.5m，CD20m ，则树高 AB 为（ ）A12 m B13.5 m C15 m D16.5 m【分析】利用直角三角形 DEF 和直角三角形 BCD 相似求得 BC 的长后加上小明同学的身高即可求得树高 AB【解答】解：DEFBCD90D DDEFDCB第 12 页（共 25 页） DF50cm 0.5m，EF30cm0.3m ，AC 1.5m ，CD 20m，由勾股定理求得 DE40cm， BC15 米，ABAC+BC1.5+1516.5 米，故选：D【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型二填
16、空题（共 10 小题）9如图，在矩形 ABCD 中，AB1， （ADAB）在 BC 上取一点 E，沿 AE 将ABE 向上折叠，使点 B 落在 AD 上的点 F，若四边形 EFDC 与原矩形相似，则 AD 的长度为 【分析】可设 ADx，由四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可【解答】解：AB1，设 ADx，则 FDx 1，FE1，四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似， ，即： ，解得 x1 ，x 2 （不合题意舍去） ，经检验 x1 是原方程的解故答案为： 第 13 页（共 25 页）【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题） ，相似多边形
17、的性质，本题的关键是根据四边形 EFDC 与矩形 ABCD 相似得到比例式10沿一张矩形纸较长两边的中点将纸折叠，所得的两个矩形仍然与原来的矩形相似，则原矩形纸的长、宽之比是 ：1 【分析】先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，然后求解【解答】解：设原来矩形的长为 x，宽为 y，则对折后的矩形的长为 y，宽为 ，得到的两个矩形都和原矩形相似，x：yy： ，解得 x：y ：1故答案为： ：1【点评】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，需要熟练掌握11如果两个相似三角形的面积的比是 4：9，那么它们对应的角平分线的比是 2：3 【分析】先根据相似三角形面积的比求
18、出其相似比，再根据其对应的角平分线的比等于相似比即可解答【解答】解：两个相似三角形的面积比是 4：9，这两个相似三角形的相似比是 2：3，其对应角平分线的比等于相似比，它们对应的角平分线比是 2：3故答案为 2：3【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形对应边的比、对应高线的比、对应角平分线的比、周长的比都等于相似比；面积的比等于相似比的平方12如图，已知ADEABC，且 AD3，DC4，AE2，则 BE 8.5 第 14 页（共 25 页）【分析】先求出 AC 的长，再根据相似三角形对应边成比例列式求出 AB 的长，然后根据 DEABAE，代入数据进行计算即可得解【解答】解：AD3
19、，DC 4，ACAD+ DC3+4 7，ADEABC， ，即 ，解得 AB10.5，DEABAE10.528.5故答案为：8.5【点评】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形对应边成比例并列出比例式是解题的关键13将ABC 的纸片按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B，折叠痕为 EF，已知 ABAC8，BC 10，若以点 B、F 、C 为顶点的三角形与ABC 相似，那么 BF 的长度是 或 5 【分析】设 BFx ，利用折叠的性质得 BFBFx，则 FC10x，由于FCBBCA，利用相似三角形的判定方法，当 时，CFBCBA 或 时，CFB CAB，然后利用相似比分别
20、得到关于 x 的方程，再分别解方程求出 x 即可第 15 页（共 25 页）【解答】解：设 BFx ，ABC 的纸片按如图所示的方式折叠，使点 B 落在边 AC 上，记为点 B，折叠痕为EF，BFBF x ，FCBCBF10x ，FCBBCA，当 时，CFBCBA ，即 ，即得 x ；当 时，CFBCAB ，即 ，即得 x5，综上所述，当 BF 或 5 时，以点 B、F、C 为顶点的三角形与ABC 相似故答案为 或 5【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似也考查了折叠的性质14如图，点 D 为ABC 外一点，AD 与 BC 边的交点为 E，AE3，
21、DE 5，BE4，要使BDE ACE，且点 B，D 的对应点为 A，C，那么线段 CE 的长应等于 【分析】根据对顶角相等得到AECBED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当 时，BDEACE，然后利用比例性质计算 CE的长【解答】解：AECBED，当 时，BDEACE，第 16 页（共 25 页）即 ，CE 故答案为 【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角15如图所示，D、E 分别是 ABC 的边 AB、BC 上的点，DEAC，若 SBDE ：S CDE1：3，则 SBDE ：S 四边形
22、 DECA 的值为 1：15 【分析】根据题意得到 BE：EC1：3，证明BEDBCA，根据相似三角形的性质计算即可【解答】解：S BDE ：S CDE 1：3，BE：EC1： 3，DEAC，BEDBCA，S BDE ：S BCA （ ） 21：16，S BDE ：S 四边形 DECA1：15，故答案为：1：15【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键16两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像小华在学习了小孔成像的原理后，利用如图装置来验
23、证小孔成像的现象已知一根点燃的蜡烛距小孔 20cm，光屏在距小孔 30cm 处，小华测量了蜡烛的火焰高度为 2cm，则光屏上第 17 页（共 25 页）火焰所成像的高度为 3 cm【分析】如图，OE20cm ， OF30cm，AB2cm，通过证明OABOCD 得到 ，然后利用比例性质求 CD 即可【解答】解：如图，OE20 cm，OF30cm，AB2cm，ABCD，OABOCD， ，即 ，CD3（cm） ，即光屏上火焰所成像的高度为 3cm【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度；利用相似测量河的宽度（测量距离） ；借助标杆或直尺测量物体的高度17在方格纸中，每个小格的顶点叫
24、做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形如图，请你在 44 的方格纸中，画一个格点三角形 A1B1C1，使A 1B1C1 与格点三角形 ABC 相似（相似比不为 1） 答案如图 第 18 页（共 25 页）【分析】在 44 的方格纸中，使A 1B1C1 与格点三角形 ABC 相似，根据对应边相似比相等，对应角相等，可知要画一个 135 度的钝角，因为要在 44 的方格纸中，所以钝角的两边只能缩小，又要在格点上，所以要缩小为 1 和 ，画出这样的两边长后，三角形的三点就确定了顺次连接即可【解答】解：如图所示：【点评】本题主要考查了相似三角形的画法，根据的主要是相似三角形的性质注意本题中的要求
25、在 44 的方格纸中，所以只能是缩小18已知在 RtABC 中，ACB90，CD AB 于点 D，如果 AC3，AB6，那么AD 【分析】利用射影定理得到 AC2ADAB，然后把 AC、AB 的长代入可计算出 AD 的长【解答】解：根据射影定理得 AC2ADAB，所以 6AD3 2，所以 AD 故答案为 【点评】本题考查了射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项三解答题（共 7 小题）19如图，四边形 ABCD 为平行四边形，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，过点 E 作EF AB，交 AD 于点 F，连接 B
26、F（1）求证：BF 平分ABC ；（2）若 AB6，且四边形 ABCD四边形 CEFD，求 BC 长第 19 页（共 25 页）【分析】 （1）首先证明四边形 ABEF 是平行四边形，再由平行线的性质和角平分线证出BAE AEB，证出 ABEB，得出四边形 ABEF 是菱形，即可得出结论；（2）由相似多边形的性质得出对应边成比例，即可得出 BC 的长【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，ADBC，AB CD ，FAE AEB，EFAB，四边形 ABEF 是平行四边形，AE 平分BAD，FAE BAE，BAE AEB，ABEB，四边形 ABEF 是菱形，BF 平分ABC；（2）解
27、：四边形 ABEF 为菱形；BEAB6，四边形 ABCD四边形 CEFD， ，即 ，解得：BC33 （负值舍去） ，BC3+3 【点评】本题考查了菱形的判定与性质、相似多边形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明四边形 ABEF 是菱形是解决问题的关键20如图，矩形草坪的长是 30m，宽是 10m，现要修建一条平行于草坪边缘的矩形小路，使得小路的形状与原来草坪的形状相似，求小路的宽第 20 页（共 25 页）【分析】设小路的宽为 xm，根据相似多边形的性质得出方程 ，求出方程的解即可【解答】解：设小路的宽为 xm，则根据相似三角形的性质得： ，解
28、得：x ，即小路的宽为 m【点评】本题考查了相似多边形的性质的应用，能根据相似多边形的性质得出方程是解此题的关键，注意：相似多边形的对应边的比相等21如图，D、E 分别是 AB、AC 上的点，ADE ACB，且DE4， BC12，AC8，求 AD 的长【分析】直接利用相似三角形的性质得出 ，进而得出答案【解答】解：ADEACB， ， ，解得：AD 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出比例式是解题关键22如图，在ABC 中，D、E 分别在 AB 与 AC 上，且AD5， DB 7，AE 6，EC 4求证：ADEACB 第 21 页（共 25 页）【分析】利用计算两边的比相等，夹角是公
29、共角，可得两三角形相似【解答】证明：AD5，DB7，AE6，EC 4，AB5+712，AC6+4 10， ， ，又AA，ADEACB【点评】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键，利用两边的比相等且夹角相等证明两三角形相似时，注意边的对应关系23已知菱形 ABCD 中，AB8，点 G 是对角线 BD 上一点， CG 交 BA 的延长线于点 F（1）求证：AG 2GEGF ；（2）如果 DG GB，且 AGBF，求 EC：CD 的值【分析】 （1）利用菱形的性质易证ADGCDG，由全等三角形的性质可得：DAG DCG，再根据菱形的性质可得FDCG DAG，所以GAEGFA
30、，由相似三角形的性质即可证明 AG2GE GF；（2）易证DAGDBA，由相似三角形的性质可得 AD2DG BD，再利用已知条件可证明ABDDAG F，再证明 CEAD，进而可得到cosECDcosABG 的值；第 22 页（共 25 页）【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是菱形，CDAD，CDGADG，在ADG 和 CDG 中，ADG CDG（SAS） ，DAG DCG，BFCD，FDCGDAG，GAEGFA，AG 2GE GF；（2）BFCD，DG GB， ，BF2CD16，AF 8，ABDDAGF，DAG DBA，AD 2DG BD，DG ，BG ，BGBG ，ABG CBG ，B
31、A BC ，GBAGBC，GABGCB90，ADBC，DECBCG90， cosECD，ECDABG， cosECDcosABG 第 23 页（共 25 页）【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定及相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质和判定、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型24如图，河对岸有一路灯杆 AB，在灯光下，小亮在点 D 处测得自己的影长 DF3m，沿BD 方向从 D 后退 4 米到 G 处，测得自己的影长 GH5，如果小亮的身高为 1.7m，求路灯杆 AB 的高度【分析】利用CDFABF 及EGH ABH 得到相关比例式，求得 B
32、D 的值，进而代入和 AB 有关的比例式，求得 AB 的值即可【解答】解：CDBF，ABBF，CDAB ，CDFABF， ，同理可得 ， ， ，解得 BD6， ，解得 AB5.1答：路灯杆 AB 高 5.1m第 24 页（共 25 页）【点评】考查相似三角形的应用；利用相似三角形的知识得到 BD 的长是解决本题的关键25求证：相似三角形对应边上的中线之比等于相似比要求： 根据给出的 ABC 及线段 AB，A（A A） ，以线段 AB为一边，在给出的图形上用尺规作出ABC，使得A BC ABC，不写作法，保留作图痕迹；在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写出已知、求证和证明过程【分析】 （1）
33、作ABC ABC，即可得到ABC；（2）依据 D 是 AB 的中点， D是 AB的中点，即可得到 ，根据ABCA BC，即可得到 ，A A，进而得出A CDACD，可得 k【解答】解：（1）如图所示，ABC即为所求；（2）已知，如图，ABCABC， k ，D 是 AB 的中点，D是 AB的中点，求证： k证明：D 是 AB 的中点，D是 AB的中点，AD AB，AD AB，第 25 页（共 25 页） ，ABCABC， ，AA， ，AA，AC D ACD， k【点评】本题考查了相似三角形的性质与判定，主要利用了相似三角形的性质，相似三角形对应边成比例的性质，以及两三角形相似的判定方法，要注意文字叙述性命题的证明格式