1、2019 年上海市普陀区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1 （4 分）函数 f（x ） 的定义城为 2 （4 分）若 sin ，则 cos（ ） 3 （4 分）设 ，1，2，3 ，若 f（x）x 为偶函数，则 4 （4 分）若直线 l 经过抛物线 C：y 24x 的焦点且其一个方向向量为 （1，1） ，则直线 l 的方程为 5 （4 分）若一个球的体积是其半径的
2、 倍，则该球的表面积为 6 （4 分）在一个袋中装有大小、质地均相同的 9 只球，其中红色、黑色、白色各 3 只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）7 （5 分）设（x1） （x +1） 5a 0+a1x+a2x2+a3x3+a6x6，则 a3 （结果用数值表示）8 （5 分）设 a0 且 a1，若 loga（sin xcosx）0，则 sin8x+cos8x 9 （5 分）如图，正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面边长为 4，记A1C1
3、B 1D1F，BC 1B 1CE，若 AEBF ，则此棱柱的体积为 10 （5 分）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成 2010 年每月的基础工资为 2100 元、绩效工资为 2000 元从 2011 年起每月基础工资比上一年增加 210 元、绩效工资为上一年的 110%照此推算，此人 2019 年的年薪为 万元（结果精确到 0.1）11 （5 分）已知点 A（2，0） ，设 B、C 是圆 O：x 2+y21 上的两个不同的动点，且向量t +（1t） （其中 t 为实数） ，则 第 2 页（共 19 页）12
4、 （5 分）设 a 为常数记函数 f（x ） +loga （a 0 且 a1，0xa）的反函数为f1 （x ） ，则 f 1（ ） +f1 （ ）+ f1 （ ）+f 1 （ ） 二、选择题（本大题共有 4 题满分 20 分.每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13 （5 分）下列关于双曲线 ： 1 的判断，正确的是（ ）A渐近线方程为 x2y0 B焦点坐标为（3，0）C实轴长为 12 D顶点坐标为（ 6，0）14 （5 分）函数 y2cos （2x+ ）的图象（ ）A关于原点对称 B关于点
5、（ ）C关于 y 轴对称 D关于直线 x 轴对称15 （5 分）若 a、b、c 表示直线， 、 表示平面，则“ab”成立的一个充分非必要条件是（ ）Aab，bc Ba，b Ca ，b Dac ，bc16 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上的周期为 4 的函数，且 f（x） ，记 g（x）f （x）a，若 0a 则函数 g（x）在区间4，5上零点的个数是（ ）A5 B6 C7 D8三、解答题17在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边依次为 a，b，c，且 cosC （1）求 2cos2 +2sin2C 的值；（2）设 c2，求 a+b 的取值范围18已知曲线
6、： 1 的左、右顶点分别为 A，B，设 P 是曲线 上的任意一点第 3 页（共 19 页）（1）当 P 异于 A，B 时，记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2，求证：k 1k2 是定值；（2）设点 C 满足 （0） ，且|PC |的最大值为 7，求 的值19如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为 O，钉尖为 Ai（ i1，2，3，4） 1）设 OA1a（a0） ，当 A1，A 2，A 3 在同一水平面内时，求 OA1 与平面 A1A2A3 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （
7、2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为 3 cm2，要用某种线型材料复制100 枚这种“钉” （损耗忽略不计） ，共需要该种材料多少米？20设数列a n满足 a1 ，a n+1 （nN *） （1）求 a2，a 3 的值；（2）求证： 1是等比数列，并求 （ n）的值；（3）记a n的前 n 项和为 Sn，是否存在正整数 k，使得对于任意的 n（n N*且 n2）均有 Snk 成立？若存在，求出 k 的值：若不存在，说明理由21已知函数 f（x ）2 x（x R） ，记 g（x）f（x ）f（ x） 第 4 页（共 19 页）（1）解不等式：f（2x ）f（x）6；（2）设 k 为实数
8、，若存在实数 x0（1，2，使得 g（2x 0）k g2（x 0）1 成立，求 k的取值范围；（3）记 h（x）f（2x+2）+af（x）+b（其中 a，b 均为实数） ，若对于任意的 x0，1，均有|h（ k）| ，求 a，b 的值第 5 页（共 19 页）2019 年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）考生应在答题纸相应位置直接填写结果1 （4 分）函数 f（x ） 的定义城为 （，0）（0，1 【分析】根据偶次根式中被开方非负，分母不为 0 列式解得【解答】解：由 解得：x
9、1 且 x0，故答案为：（，0）（0，1【点评】本题考查了函数的定义域及其求法属基础题2 （4 分）若 sin ，则 cos（ ） 【分析】由已知直接利用三角函数的诱导公式化简求值【解答】解：sin ，cos（ ）sin 故答案为： 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题3 （4 分）设 ，1，2，3 ，若 f（x）x 为偶函数，则 2 【分析】可以看出，只有 2 时，f （x）为偶函数，从而得出 2【解答】解：f（x ）x 2 是偶函数；2故答案为：2【点评】考查偶函数的定义，偶函数图象的特点4 （4 分）若直线 l 经过抛物线 C：y 2
10、4x 的焦点且其一个方向向量为 （1，1） ，则直线 l 的方程为 xy 10 【分析】求出抛物线 y24x 的焦点，求出直线 l 的斜率，用点斜式求直线方程，并化为一般式【解答】解：抛物线 y24x 的焦点为（1，0） ，方向向量为 （1，1）的直线 l 的斜率为 1，第 6 页（共 19 页）故直线 l 的方程是 y01（x1） ，即 yx1，故答案为：xy 10【点评】本题考查用点斜式求直线方程的方乘，抛物线的简单性质，确定斜率是解题的关键5 （4 分）若一个球的体积是其半径的 倍，则该球的表面积为 4 【分析】设球的半径为 R，根据题意列方程可得【解答】解：设球的半径为 R，则 R3
11、R，R 21，球的表面积为：4R 24，故答案为：4【点评】本题考查了球的体积和表面积，属中档题6 （4 分）在一个袋中装有大小、质地均相同的 9 只球，其中红色、黑色、白色各 3 只，若从袋中随机取出两个球，则至少有一个红球的概率为 （结果用最简分数表示）【分析】从袋中随机取出两个球，基本事件总数 n 36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，由此能求出至少有一个红球的概率【解答】解：在一个袋中装有大小、质地均相同的 9 只球，其中红色、黑色、白色各 3只，从袋中随机取出两个球，基本事件总数 n 36，至少有一个红球的对立事件是没有红球，至少有一个红球的概率为 P
12、1 故答案为： 【点评】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题7 （5 分）设（x1） （x +1） 5a 0+a1x+a2x2+a3x3+a6x6，则 a3 0 （结果用数值表示）第 7 页（共 19 页）【分析】把（x+1） 5 按照二项式定理展开，可得 a3 的值【解答】解：（x1） （x +1） 5（x 1） （x 5+5x4+10x3+10x2+5x+1）a 0+a1x+a2x2+a3x3+a6x6，则 a310100，故答案为：0【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题8 （5 分）设 a0
13、 且 a1，若 loga（sin xcosx）0，则 sin8x+cos8x 1 【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和对数的应用求出结果【解答】解：设 a0 且 a1，若 loga（sin xcosx）0，所以：sinxcos xa 01，所以：sinxcos x0，则：sinxcos x1，则：sin 8x+cos8x（sin 4xcos 4x） 2+2sin4xcos4x，（sin 2x+cos2x） （sin 2xcos 2x） 2+2sin4xcos4x，（sinx+cosx） （sinxcosx） 20，1，故答案为：1【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换的
14、应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型9 （5 分）如图，正四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面边长为 4，记A1C1B 1D1F，BC 1B 1CE，若 AEBF ，则此棱柱的体积为 32 【分析】建立空间直角坐标系，设出直四棱柱的高 h，求出 的坐标，由数量积为 0 求得 h，则棱柱的体积可求第 8 页（共 19 页）【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系，设 DD1h，又 ABBC4，则 A（4，0，0） ，E（2，4， ） ，B（4，4，0） ，F（2，2，h） ， ， ，AEBF，48+ 0，即 h 此棱柱的体积为 故答案为： 【点评】本题考查棱柱体
15、积的求法，考查利用空间向量求解线线垂直问题，是中档题10 （5 分）某人的月工资由基础工资和绩效工资组成 2010 年每月的基础工资为 2100 元、绩效工资为 2000 元从 2011 年起每月基础工资比上一年增加 210 元、绩效工资为上一年的 110%照此推算，此人 2019 年的年薪为 10.4 万元（结果精确到 0.1）【分析】由题意可得，基础工资是以 2100 元为首项，以 210 元公差的等差数列，绩效工资以为 2000 元首项，以公比为 1.1 的等比数列，即可求出 2019 年的每月的工资，即可求出年薪【解答】解：由题意可得，基础工资是以 2100 元为首项，以 210 元公
16、差的等差数列，绩效工资以为 2000 元首项，以公比为 1.1 的等比数列，则此人 2019 年每月的基础工资为 2100+210（101）3990 元，每月的绩效工资为20001.194715.90 元，则此人 2019 年的年薪为 12（3990+4715.90）10.4 万元，故答案为：10.4【点评】本题考查了等差数列和等比数列在实际生活中的应用，属于中档题第 9 页（共 19 页）11 （5 分）已知点 A（2，0） ，设 B、C 是圆 O：x 2+y21 上的两个不同的动点，且向量t +（1t） （其中 t 为实数） ，则 3 【分析】由向量 t +（ 1t ） （其中 t 为实数
17、） ，可得：A，B，C 三点共线，且， 同向，设圆 O 与 x 轴正半轴交于点 E，与 x 轴负半轴交于点 D，由割线定理可得，|AB|AC|AD|AE |133【解答】解：由向量 t +（1t） （其中 t 为实数） ，可得：A，B ，C 三点共线，且 ， 同向，设圆 O 与 x 轴正半轴交于点 E，与 x 轴负半轴交于点 D，由圆的割线定理可得，|AB|AC|AD|AE|， | | |cos0| AB|AC|AD|AE|133故答案为：3【点评】本题考查了向量中三点共线的判断，及圆的割线定理，属中档题12 （5 分）设 a 为常数记函数 f（x ） +loga （a 0 且 a1，0xa）
18、的反函数为f1 （x ） ，则 f 1（ ） +f1 （ ）+ f1 （ ）+f 1 （ ） a 2 【分析】先求出反函数，然后求出 f1 （x ）+f 1 （1x）a，所以等于 a 个 a【解答】解：由 f（x ） +loga ，得 f1 （x） ，第 10 页（共 19 页）f 1 （1x） ，f 1 （x）+f 1 （1x ） + a，原式aaa 2，故答案为：a 2【点评】本题考查了反函数，属基础题二、选择题（本大题共有 4 题满分 20 分.每题 5 分）每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置将代表正确选项的小方格涂黑13 （5 分）下列关于双曲线 ： 1 的判断，正确的是
19、（ ）A渐近线方程为 x2y0 B焦点坐标为（3，0）C实轴长为 12 D顶点坐标为（ 6，0）【分析】关于双曲线 ： 1，a 26，b 23，c 29，即可得答案【解答】解：关于双曲线 ： 1，a 26，b 23，c 29，则渐近线方程为 x y0；焦点为（3，0） ；实轴 2a2 ，顶点坐标为（ ，0） 故选：B【点评】本题考查双曲线的方程、几何性质，属于基础题14 （5 分）函数 y2cos （2x+ ）的图象（ ）A关于原点对称 B关于点（ ）C关于 y 轴对称 D关于直线 x 轴对称【分析】直接利用余弦函数的性质求出结果【解答】解：对于选项：A，当 x0 时
20、y ，故错误第 11 页（共 19 页）对于选项 C：当 x0 时，y ，故错误对于选项 D：当 x 时，y ，故错误故选：B【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型15 （5 分）若 a、b、c 表示直线， 、 表示平面，则“ab”成立的一个充分非必要条件是（ ）Aab，bc Ba，b Ca ，b Dac ，bc【分析】在 A 中，a 与 b 相交、平行或异面；在 B 中，a 与 b 相交、平行或异面；在 C中，a，b ，则 ab，反之 ab，不一定得到 a，b；在 D 中，a 与 b 相交或异
21、面【解答】解：由 a、b、c 表示直线， 、 表示平面，在 A 中，ab，bc ，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 A 错误；在 B 中，a，b，则 a 与 b 相交、平行或异面，故 B 错误；在 C 中，a，b，则 a b，反之 ab，不一定得到 a ，b，故 C 正确；在 D 中，ac，bc，则 a 与 b 相交或异面，故 D 错误故选：C【点评】本题考查命题成立的一个充分非必要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16 （5 分）设 f（x ）是定义在 R 上的周期为 4 的函数，且 f（x） ，记 g（x）f （x）a，若 0a 则
22、函数 g（x）在区间4，5上零点的个数是（ ）A5 B6 C7 D8【分析】分别作出 yf（x）与直线 ya（1a ）的图象，观察交点个数即可第 12 页（共 19 页）【解答】解：由图可知：直线 ya（0 ）与 yf（x）在区间4，5 上的交点有 8 个，故选：D【点评】本题考查了数形结合的思想及作图能力三、解答题17在ABC 中，三个内角 A，B，C 所对的边依次为 a，b，c，且 cosC （1）求 2cos2 +2sin2C 的值；（2）设 c2，求 a+b 的取值范围【分析】 （1）利用同角三角函数基本关系式可求 sinC，利用三角函数恒等变换的应用即可计算得解（2）由余
23、弦定理，基本不等式可求 a+b 的最大值，利用三角形两边之和大于第三边可求 a+bc2，即可得解 a+b 的取值范围【解答】解：（1）cosC ，sinC ，2cos 2 +2sin2C1+cos（A+B）+2sin2C 1cos C+4sinCcosC1 +4 （6 分）（2）c2，cos C ，由余弦定理可得：4a 2+b2 ab（a+b） 2 ab，第 13 页（共 19 页）a 2+b22ab，可得：ab ，当且仅当 ab 时等号成立，可得：（a+b） 24+ ab ，可得：a+ b ，当且仅当 ab 时等号成立，a+bc2，a+b 的取值范围为：（2， （12 分）【点评】本题主要考
24、查了同角三角函数基本关系式，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形两边之和大于第三边等知识的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题18已知曲线 ： 1 的左、右顶点分别为 A，B，设 P 是曲线 上的任意一点（1）当 P 异于 A，B 时，记直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k 2，求证：k 1k2 是定值；（2）设点 C 满足 （0） ，且|PC |的最大值为 7，求 的值【分析】 （1）由已知椭圆方程求出 A，B 的坐标，设 P（x 0，y 0） （4x 04） ，由斜率公式及点 P 在椭圆上即可证明 k1k2 是定值；（2）设 C（m，0） （4m4） ，写出两点间
25、的距离公式，分类利用配方法求最值，可得 m 值，结合 （0） ，求得 的值【解答】 （1）证明：由椭圆方程可得 A（4，0） ，B（4，0） ，设 P（x 0，y 0） （4x 04） ，则 ， ，k 1k2 为定值；（2）解：设 C（m，0） （4m4） ，第 14 页（共 19 页）则 若 m0，则 7，解得 m3此时 ， ， ，由 ，得 7；同理，若 m0，可得 m3，此时求得 故 的值为 7 或 【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查两点间距离公式的应用，训练了利用配方法求最值，是中档题19如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖
26、直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为 O，钉尖为 Ai（ i1，2，3，4） 1）设 OA1a（a0） ，当 A1，A 2，A 3 在同一水平面内时，求 OA1 与平面 A1A2A3 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为 3 cm2，要用某种线型材料复制100 枚这种“钉” （损耗忽略不计） ，共需要该种材料多少米？【分析】 （1）组成该种钉的条线段长必相等，且两两所成的角相等，A 1，A 2，A 3，A 4 两两连结后得到的四面体 A1A2A3A4 为正四面体，延长 A4O 交平面 A1A2A3 于 B，则 A4B平面 A1A2A3
27、，连结 A1B，则OA 1B 就是 OA1 与平面 A1A2A3 所成角，由此能求出 OA1与平面 A1A2A3 所成角的大小第 15 页（共 19 页）（2）推导出 3 ，A 1A2 a，从而 a cm，由此能求出要用某种线型材料复制 100 枚这种“钉” （损耗忽略不计） ，共需要该种材料的长度【解答】解：（1）根据题意，可知组成该种钉的四条线段长必相等，且两两所成的角相等，A 1，A 2，A 3，A 4 两两连结后得到的四面体 A1A2A3A4 为正四面体，延长 A4O 交平面 A1A2A3 于 B，则 A4B平面 A1A2A3，连结 A1B，则 A1B 是 OA1 在平面 A1A2A3
28、 上的射影，OA 1B 就是 OA1 与平面 A1A2A3 所成角，设 A1A4l，则 A1B ，在 Rt A4A1B 中， ，即 ，l a， ，cosOA 1B （其中 0 ） ，OA 1B ，OA 1 与平面 A1A2A3 所成角的大小为 arccos （2） 3 ，根据（1）可得 A1A2 a，a cm，要用某种线型材料复制 100 枚这种“钉” （损耗忽略不计） ，共需要该种材料：2 （米） 要用某种线型材料复制 100 枚这种“钉” （损耗忽略不计） ，共需要该种材料 2米第 16 页（共 19 页）【点评】本题考查线面角的求法，考查需要材料数量的求法，考查空间中线线、线面、面面间的
29、位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题20设数列a n满足 a1 ，a n+1 （nN *） （1）求 a2，a 3 的值；（2）求证： 1是等比数列，并求 （ n）的值；（3）记a n的前 n 项和为 Sn，是否存在正整数 k，使得对于任意的 n（n N*且 n2）均有 Snk 成立？若存在，求出 k 的值：若不存在，说明理由【分析】 （1）直接利用关系式求出结果（2）利用定义证明数列 1 是等比数列，并求出极限值（3）首先求出数列的关系式，进一步利用数列的单调性求出函数的存在问题的条件，进一步确定 k 的值【解答】解：（1）数列a n满足 a1 ，a n+1 （ nN*） 所
30、以： ， ，（2）由于数列a n满足 a1 ，a n+1 （nN *） 第 17 页（共 19 页）所以： （常数） ，所以： 1是以 为首项， 为公比的等比数列所以： ，所以： ，故： ， ，2（3）由于： ，所以， ， ，所以：a n+1a n 0，所以：数列a n为递减数列，则：当 n2 时，kS 2 ，所以：k1所以：存在 k1，使得对于任意的 n（nN*且 n2）均有 Snk 成立【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，叠加法在求数列的通项公式中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型21已知函数 f（x ）2 x（x R） ，记 g（x）f（x ）f（
31、 x） （1）解不等式：f（2x ）f（x）6；（2）设 k 为实数，若存在实数 x0（1，2，使得 g（2x 0）k g2（x 0）1 成立，求 k的取值范围；第 18 页（共 19 页）（3）记 h（x）f（2x+2）+af（x）+b（其中 a，b 均为实数） ，若对于任意的 x0，1，均有|h（ k）| ，求 a，b 的值【分析】 （1）函数 f（x ）2 x，f （2x）f （x）6，即为 22x2 x60，即为（2 x+2）（2 x3 ）0，可得解集；（2）根据 g（2x 0）k g2（x 0）1，利用换元法，求解最值，即可求解 k 的取值范围；（3）根据 h（x）f（2x+2）+a
32、f（x）+b（其中 a，b 均为实数） ，x 0，1，均有|h（ k）| ，建立关系即可求解 a，b 的值【解答】解：（1）函数 f（x）2 x，f （2x）f （x）6 ，即为 22x2 x 60，即为（ 2x+2） （2 x3）0，即有 2x3，解得 xlog 23，即解集为（，log 23；（2）存在实数 x0（1，2 ，使得 g（2x 0）kg 2（x 0） 1 成立，即为 1+2 2 k（2 2 ） 2，设 t2 2 ，在（1，2递增，可得 t ，（2 +2 ） 22 +2 +2t 2+4，即有 1+ kt 2，则 k + ，设 m ，m ， ） ，即有 ym+ ，在 m ， ）递增，可得 y（ ， ，即有 k（ ， ，（3）h（x）f（2x+2）+ af（x）+b2 2x+2+a2x+b4（2 x） 2+a2x+b，令 v2 x，x 0，1 ，v 1，2，h（x）（ v）4v 2+av+b第 19 页（共 19 页）若对于任意的 x0，1，均有|h（x ）| ，即对任意 v1，2，| （v）|4 v2+av+b| ，解得：a12，b13.5【点评】本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用