1、2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）1 （4 分）设全集 U1，2，3，4，5，若集合 A3 ，4，5，则 UA 2 （4 分）已知扇形的半径为 6，圆心角为 ，则扇形的面积为 3 （4 分）已知双曲线 x2y 21，则其两条渐近线的夹角为 4 （4 分）若（a+b） n 展开式的二项式系数之和为 8，则 n 5 （4 分）若实数 x，y 满足 x2+y21，则 xy 的取值
2、范围是 6 （4 分）若圆锥的母线长 l5（cm） ，高 h4（cm） ，则这个圆锥的体积等于 7 （5 分）在无穷等比数列a n中， （a 1+a2+an） ，则 a1 的取值范围是 8 （5 分）若函数 f（x ）ln 的定义域为集合 A，集合 B（a，a+1） ，且 BA，则实数 a 的取值范围为 9 （5 分）行列式 中，第 3 行第 2 列的元素的代数余子式记作 f（x） ，则y1+ f（x ）的零点是 10 （5 分）已知复数 z1cosx+2
3、f（x）i ，z 2（ sinx+cosx）+i （x R，i 为虚数单位）在复平面上，设复数 z1，z 2 对应的点分别为 Z1，Z 2，若 Z 1OZ290，其中 O 是坐标原点，则函数 f（x）的最小正周期 11 （5 分）当 0xa 时，不等式 + 2 恒成立，则实数 a 的最大值为 12 （5 分）设 d 为等差数列a n的公差，数列b n的前 n 项和 Tn，满足 Tn+ （1）nbn（nN*） ，且 da 5b 2，若实数 mPk x|ak2 xa k+3（kN *，k3） ，则称 m具有性质 Pk若 Hn 是数
4、列T n的前 n 项和，对任意的 nN*，H 2n1 都具有性质 Pk，则所有满足条件的 k 的值为 二、选择题（本题共有 4 题，满分 20 分）13 （5 分）下列函数中既是奇函数，又在区间1，1 上单调递减的是（ ）第 2 页（共 18 页）Af（x）arcsin x Bylg|x|Cf（x）x Df（x ）cos x14 （5 分）某象棋俱乐部有队员 5 人，其中女队员 2 人，现随机选派 2 人参加象棋比赛，则选出的 2 人中恰有 1 人是女队员的概率为（ ）A B C D15 （5 分）已知 f（x ）log sin
5、x，（0， ） ，设 af （ ） ，bf（） ，c f（ ） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aacb Bbca Ccba Dabc16 （5 分）已知函数 f（x ）m2 x+x2+nx，记集合 Ax|f（x）0，xR，集合Bx| ff（x ）0，x R，若 AB，且都不是空集，则 m+n 的取值范围是（ ）A0，4） B1，4） C 3，5 D0 ，7）三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17 （14 分）如图，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，PAAB1，AD 2，点 F是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动（1）求三棱锥 EP
6、AD 的体积；（2）证明：无论点 E 在边 BC 的何处，都有 AFPE18 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 cosB （1）若 sinA ，求 cosC；（2）已知 b4，证明 519 （14 分）上海某工厂以 x 千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x +1 ）元，其中 1x10（1）要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 30 元，求 x 的取值范围；第 3 页（共 18 页）（2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润20 （16 分）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含
7、y 轴）一点，抛物线 C：y 24x 上存在不同的两点 A，B，满足 PA，PB 的中点均在抛物线 C 上（1）求抛物线 C 的焦点到准线的距离；（2）设 AB 中点为 M，且 P（x P，y P） ，M （x M，y M） ，证明：y Py M；（3）若 P 是曲线 x2+ 1（x0）上的动点，求PAB 面积的最小值21 （18 分）记无穷数列a n的前 n 项中最大值为 Mn，最小值为 mn，令 ，其中 nN*（1）若 an2 n+cos ，请写出 b3 的值；（2）求证：“数列a n是等差数列”是“数列b n是等差数列”的充要条件；（3）若对任意 n，有|a n|2018 ，且|b n|
8、1，请问：是否存在 KN*，使得对于任意不小于 K 的正整数 n，有 bn+1b n 成立？请说明理由第 4 页（共 18 页）2019 年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）1 （4 分）设全集 U1，2，3，4，5，若集合 A3 ，4，5，则 UA 1 ，2 【分析】利用补集定义直接求解【解答】解：全集 U1，2，3，4，5，集合 A3 ，4 ，5， UA1，2故答案为：1，2【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用2 （4 分）已知扇
9、形的半径为 6，圆心角为 ，则扇形的面积为 6 【分析】先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积【解答】解：根据扇形的弧长公式可得 l r 6 2，根据扇形的面积公式可得 S lr 266故答案为：6【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题3 （4 分）已知双曲线 x2y 21，则其两条渐近线的夹角为 90 0 【分析】由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角【解答】解：双曲线 x2y 211 的两条渐近线的方程为：yx，所对应的直线的倾斜角分别为 90，双曲线 x2y 21 的两条渐近线的夹角为 90，故答案为：90
10、【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题4 （4 分）若（a+b） n 展开式的二项式系数之和为 8，则 n 3 【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得 n 的值【解答】解：（a+b） n 展开式的二项式系数之和为 2n8，则 n3，第 5 页（共 18 页）故答案为：3【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题5 （4 分）若实数 x，y 满足 x2+y21，则 xy 的取值范围是 ， 【分析】三角换元后，利用二倍角正弦公式和正弦函数的值域可得【解答】因为 x2+y21，所以可设 xcos ，y sin，则 xyco
11、ssin sin2 ， 故答案为 ， 【点评】本题考查了三角换元以及正弦函数的值域属基础题6 （4 分）若圆锥的母线长 l5（cm） ，高 h4（cm） ，则这个圆锥的体积等于 12cm 3 【分析】利用勾股定理可得圆锥的底面半径，那么圆锥的体积 底面半径 2高，把相应数值代入即可求解【解答】解：圆锥的高是 4cm，母线长是 5cm，圆锥的底面半径为 3cm，圆锥的体积 32412 cm3故答案为：12cm 3【点评】本题考查圆锥侧面积的求法注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形7 （5 分）在无穷等比数列a n中， （a 1+a2+an） ，则 a1 的取值范围是 【分析】无穷等比数列
12、a n中， ，推出 0| q|1，然后求出首项 a1 的取值范围【解答】解：因为无穷等比数列a n中， ，所以| q|1， ，所以 ，1q1 且 q0第 6 页（共 18 页）0a 11 且 a1故答案为： 【点评】本题考查无穷等比数列的极限存在条件的应用，解题时要注意极限逆运算的合理运用8 （5 分）若函数 f（x ）ln 的定义域为集合 A，集合 B（a，a+1） ，且 BA，则实数 a 的取值范围为 1，0 【分析】先化简集合 A，由 BA，得 ，得1a0【解答】解： 0，（x+1） （x1）0，1x1，A（1，1） ；BA ， ，1a0，实数 a 的取值范围为1， 0故答案为1，0【点
13、评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，难度中档9 （5 分）行列式 中，第 3 行第 2 列的元素的代数余子式记作 f（x） ，则y1+ f（x ）的零点是 1 【分析】将行列式按第 3 行第 2 列展开，由 f（x ）A 32 （42 x44 x）2 x+2（12 x） ，令 y1+f（x）12 x+2（12 x）0，解得：x1，即可求得 y1+ f（x）的零点【解答】解：第 3 行第 2 列的元素的代数余子式A32 42 x+44x2 x+2（12 x） ，f（x）2 x+2（12 x） ，y1+f（x）12 x+2（12 x） ，令 y0，即 2x+2（1
14、2 x）1，第 7 页（共 18 页）解得：2 x ， x1故答案为：1【点评】本题考查三阶行列式的余子式的定义，考查函数的零点的定义，属于中档题10 （5 分）已知复数 z1cosx+2f（x）i ，z 2（ sinx+cosx）+i （x R，i 为虚数单位）在复平面上，设复数 z1，z 2 对应的点分别为 Z1，Z 2，若 Z 1OZ290，其中 O 是坐标原点，则函数 f（x）的最小正周期 【分析】由已知求得 Z1，Z 2 的坐标，结合Z 1OZ290 可得 f（x）的解析式，降幂后利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期【解答】解：由题意，Z 1（cos x，2f（x）
15、） ， ，Z 1OZ290， ，即 2f（x） ，f（x） 则函数 f（x）的最小正周期为 故答案为：【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数周期的求法，是基础的计算题11 （5 分）当 0xa 时，不等式 + 2 恒成立，则实数 a 的最大值为 2 【分析】想法求出左边式子的最小值，首先把分式形式乘以 a2，变形为 2+ + + ，利用均值不等式得出式子的最小值【解答】解：（ + ）a 2（ + ）x +（ax ） 2（ + ）x 2+2x（ ax）+（ax） 2第 8 页（共 18 页）2+ + + + 2+4+2 8 + 2'0a2【点评】考查了对式子的配凑变形
16、，均值定理的应用，思路不太好想，有一定难度12 （5 分）设 d 为等差数列a n的公差，数列b n的前 n 项和 Tn，满足 Tn+ （1）nbn（nN*） ，且 da 5b 2，若实数 mPk x|ak2 xa k+3（kN *，k3） ，则称 m具有性质 Pk若 Hn 是数列T n的前 n 项和，对任意的 nN*，H 2n1 都具有性质 Pk，则所有满足条件的 k 的值为 3，4 【分析】求得 n1，2，3，4，5 时，数列b n的前 5 项，即可求出通项公式，再求得d 和首项 a1，得到等差数列a n的通项公式，求得 n1， 2，3，4，H 2n1 的特点，结合 k3，4，5，6，集合
17、的特点，即可得到所求取值【解答】解：T n+ （1） nbn（n N*） ，可得 n1 时，T 1+ b 1T 1，解得 b1 ，T2+ b 2 +b2+ b 2，T3+ b 3 +b2+b3+ ，即 b2+2b3 ，T4+ b 4 +b2+b3+b4+ ，即 b2+b3 ，解得 b2 ，b 3 ，同理可得 b4 ，b 5 ，b 2n1 ，da 5b 2，可得 da 1+4d ，第 9 页（共 18 页）解得 a1 ，d ，a n ，设 Hn 是数列T n的前 n 项和，若对任意的 nN*，H 2n1 都具有性质 Pk，由于 H1T 1 b1 ，H 3T 1+T2+T3 ，H 5T 1+T2+
18、T3+T4+T5 ，H7 +0 ，H 2n1 H 2n3 +b2n 1， （n2） ，当 k3 时，P 3x|a 1x a 6x| x ，当 k4 时，P 4x|a 2x a 7x| x ，当 k5 时，P 5x|a 3x a 8x| x 1 ，当 k6 时，P 3x|a 4x a 9x|0x ，显然 k5，6 不成立，故所有满足条件的 k 的值为 3，4答案为：3，4【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式的求法，集合的性质和数列的单调性的判断和应用，考查化简整理的运算能力，属于难题二、选择题（本题共有 4 题，满分 20 分）13 （5 分）下列函数中既是奇函数，又在区间
19、1，1 上单调递减的是（ ）Af（x）arcsin x Bylg|x|Cf（x）x Df（x ）cos x【分析】可看出 f（x ）arcsin x 在1，1 上单调递增，ylg|x| 和 f（x）cos x 都是偶函数，从而判断 A，B，D 都错误，只能选 C【解答】Af（x）arcsinx 在区间1，1 上单调递增；该选项错误；By lg|x|为偶函数， 该选项错误；Cf（x）x 是奇函数，且在 1，1上单调递减；该选项正确；Df（x）cosx 是偶函数，该选项错误故选：C【点评】考查反正弦函数和一次函数的单调性，以及奇函数和偶函数的定义第 10 页（共 18 页
20、）14 （5 分）某象棋俱乐部有队员 5 人，其中女队员 2 人，现随机选派 2 人参加象棋比赛，则选出的 2 人中恰有 1 人是女队员的概率为（ ）A B C D【分析】确定基本事件的个数，即可求出概率【解答】解：随机选派 2 人参加象棋比赛，有 10 种，选出的 2 人中恰有 1 人是女队员，有 6 种，所求概率为 ，故选：B【点评】本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键15 （5 分）已知 f（x ）log sinx，（0， ） ，设 af （ ） ，bf（） ，c f（ ） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Aacb Bbca Ccba D
21、abc【分析】先判断 f（x ）在（0，+）上是减函数，再比较 ， 的大小关系，从而得到 a，b，c 的大小关系【解答】解：f（x ）log sinx，（0， ） ，sin （0，1） ，故 f（x）在（0，+）上为减函数af（ ） ，b f （ ） ，c f（ ） ， 0，af（ ）bf （） ，ab又 ，即 ），bf（ ） cf（ ） ，即 bc综上，abc，故选：D【点评】本题主要考查复合函数的单调性，基本不等式的应用，比较两个数大小的方法，第 11 页（共 18 页）属于中档题16 （5 分）已知函数 f（x ）m2 x+x2+nx，记集合 Ax|f（x）0，xR，集合Bx| ff（x
22、 ）0，x R，若 AB，且都不是空集，则 m+n 的取值范围是（ ）A0，4） B1，4） C 3，5 D0 ，7）【分析】由x|f（x）0x| f（f （x） ）0 可得 f（0）0，从而求得 m0；从而化简 f（f（x） ）（x 2+nx） （x 2+nx+n）0，从而讨论求得【解答】解：设 x1x|f（x ）0 x|f （f（x） ）0，f（x 1）f（f（x 1） ）0，f（0）0，即 f（0）m0，故 m0；故 f（x）x 2+nx，f（f（x） ）（x 2+nx） （x 2+nx+n）0，当 n0 时，成立；当 n0 时，0，n 不是 x2+nx+n0 的根，故n 2
23、4n0，解得：0n4；综上所述，0n+m4；故选：A【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17 （14 分）如图，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形，PAAB1，AD 2，点 F是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动（1）求三棱锥 EPAD 的体积；（2）证明：无论点 E 在边 BC 的何处，都有 AFPE第 12 页（共 18 页）【分析】 （1）转换底面，代入体积公式计算；（2）利用线线垂直证明 AF平面 PBC，即可得出结论【解答】 （1）解：PA平面 ABCD，且四
24、边形 ABCD 为矩形 ，（3 分） （6 分）（2）证明：PA平面 ABCD，PAAB ，又PAAB1，且点 F 是 PB 的中点，AFPB（8 分）又 PABC，BCAB ，PAABA，BC 平面 PAB，又 AF平面 PAB，BCAF（10 分）由 AF平面 PBC，又PE平面 PBC无论点 E 在边 BC 的何处，都有 AFPE 成立（12 分）【点评】本题给出特殊的四棱锥，考查了线面垂直的证明与性质的运用，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，关键是要熟练掌握定理的条件18 （14 分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 cosB （1）若 sinA ，求
25、 cosC；（2）已知 b4，证明 5【分析】 （1）利用同角三角函数基本关系式可求 sinB，由 sinBsinA，可得 A 为锐角，可求 cosA，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式即可计算得解cosC 的值（2）由余弦定理，基本不等式可求得 ac13，根据平面向量数量积的运算，诱导公式第 13 页（共 18 页）即可计算得解【解答】解：（1）cosB ，可得：sinB ，sinB sinA ，BA，可得 A 为锐角，cosA ，cosCcos（A+B）sinAsinB cos AcosB （2）证明：由余弦定理 b2a 2+c22accosB，可得：a 2+c2 ac1
26、6，a 2+c22ac，解得：ac13，当且仅当 ac 时等号成立， accos （B）ac cosB ac5得证【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，余弦定理，基本不等式，平面向量数量积的运算，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题19 （14 分）上海某工厂以 x 千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（5x +1 ）元，其中 1x10（1）要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 30 元，求 x 的取值范围；（2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：该厂应选取何种生产速度？并求最大
27、利润【分析】 （1）由题意可得：2（5x+1 ）30，1x10解出即可得出（2）生产 900 千克该产品，所用时间是 小时，获得利润为（5x+1 ） 900（ + +5） ，1x10，利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解：（1）由题意可得：2（5x+1 ）30，1x10解得：3x10，因此要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 30 元，x 的取值范围为3，10 第 14 页（共 18 页）（2）生产 900 千克该产品，所用时间是 小时，获得利润为（5x+1 ） 900（ + +5） ，1x10，记 f（x） + +5，1 x10，则 f（x）3 （ ） 2+ +5，当且仅当 x6
28、时取到最大值最大利润为 900 4575 元【点评】本题考查了不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题20 （16 分）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y 24x 上存在不同的两点 A，B，满足 PA，PB 的中点均在抛物线 C 上（1）求抛物线 C 的焦点到准线的距离；（2）设 AB 中点为 M，且 P（x P，y P） ，M （x M，y M） ，证明：y Py M；（3）若 P 是曲线 x2+ 1（x0）上的动点，求PAB 面积的最小值【分析】 （1）由抛物线方程求得 p，则答案可求；（2）P（
29、x P，y P） ，设 A（ ，y 1） ，B（ ，y 2） ，运用中点坐标公式可得 M 的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得 y1，y 2 为关于 y 的方程y22y Py+8xP 0 的两根，由根与系数的关系即可得到结论；（3）由题意可得 ，1x P0，2y P2，可得PAB 面积为第 15 页（共 18 页）S |PM|y1y 2|，再由配方和换元法结合函数单调性求最值【解答】 （1）解：由抛物线 C：y 24x，得 2p4，则 p2，抛物线 C 的焦点到准线的距离为 2；（2）证明：P（x P，y P） ，设 A（ ，y 1） ，B（ ，y 2） ，AB 中点为 M
30、 的坐标为 M（x M，y M） ，则 M（ ， ） ，抛物线 C：y 2 4x 上存在不同的两点 A，B 满足 PA，PB 的中点均在 C 上，可得 ， ，化简可得 y1，y 2 为关于 y 的方程 y22y Py+8xP 0 的两根，可得 y1+y22y P，y 1y28 ，可得 ；（3）解：若 P 是曲线 x2+ 1（x0）上的动点，可得 ，1x P0，2y P2，由（2）可得 y1+y22y P，y 1y28 ，由 PM 垂直于 y 轴，可得PAB 面积为 S |PM|y1y 2| （ ） （ ） ，令 t ，得 时，t 取得最大值 第 16 页（共 18 页）xP1 时，t 取得最小
31、值 2，即 2t ，则 S 在 2t 递增，可得 S6 ， ，PAB 面积的最小值为 6 【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力，训练了利用换元法及函数的单调性求最值，属于难题21 （18 分）记无穷数列a n的前 n 项中最大值为 Mn，最小值为 mn，令 ，其中 nN*（1）若 an2 n+cos ，请写出 b3 的值；（2）求证：“数列a n是等差数列”是“数列b n是等差数列”的充要条件；（3）若对任意 n，有|a n|2018 ，且|b n|1，请问：是否存在 KN*，使得对于任意不小于 K 的正整数 n，有 bn+1b n 成立？请说明理由【分析】 （1）a n
32、2 n+cos ，可得 a12，a 23，a 38，M 3，m 3即可得出 b3（2）充分性：若“数列a n是等差数列” ，设其公差为 d，可得 bn ，b n+1b n+1b n常数，即可证明“数列 bn是等差数列 ”必要性：若“数列b n是等差数列” ，设其公差为 d，b n+1b n + d，根据定义，M n+1M n，m n+1m n，至少有一个取等号，当 d0 时，M n+1M n，a n+1M n+1M na n，即数列a n为增数列，则Mna n，m na 1，进而得出同理可得 d0 时， “数列 an是等差数列” ；当 d0时，M n+1M n，且 mn+1m n，故a n为常
33、数列，是等差数列（3）假设结论不成立，即对任意 KN*，存在 nK ，使 bn+1b n由|b n|1，b n1 或1，对K N*，一定存在 iK ，使得 bi，b i+1 符号相反在数列b n中存在 ， ， ，其中 k1k 2k 3k i1 ，1 ， 1， 1.第 17 页（共 18 页）1， 1，由于 与 中只有一个等号成立，必有 ， 可得 +4. +4k ik i1 ，k ik i1 +1， +1， +4， 4利用累加求和方法即可得出【解答】解：（1）a n2 n+cos ，a 12，a 23，a 38，M 38，m 32b 3 5（2）证明：充分性：若“数列a n是等差数列” ，设其公
34、差为 d，则 bn ，b n+1 b n+1b n ，故“数列b n是等差数列”必要性：若“数列b n是等差数列” ，设其公差为 d则 bn+1b n + d根据定义，M n+1M n，m n+1m n，至少有一个取等号，当 d0 时，M n+1M n，a n+1M n+1M na n，即数列a n为增数列，则 Mna n，m na 1，则 bn+1b n d，即 an+1a n2d，即“数列a n是等差数列” ，同理可得 d0 时， “数列a n是等差数列” ；当 d0 时，M n+1M n，且 mn+1m n，故a n为常数列，是等差数列综上可得：“数列a n是等差数列”是“数列b n是等
35、差数列”的充要条件；（3）假设结论不成立，即对任意 KN*，存在 nK ，使 bn+1b n|b n| 1，b n1 或1，对K N*，一定存在 iK，使得 bi，b i+1 符号相反第 18 页（共 18 页）在数列b n中存在 ， ， ， ，其中 k1k 2k 3k i且1 ，1 1， 1即 1， 1，由于 与 中只有一个等号成立，必有 ， 可得 +4 +4k ik i1k ik i1 +1 +1 +4 4利用累加求和方法可得： +4（m1） ， +4（10101）2018+40362018这与|a n|2018 矛盾，故假设错误，存在 KN*，使nK，有 bn+1b n【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与单调性、累加求和方法、不等式的解法、充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于难题