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2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷(含答案解析)

1、2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1-6 题每题 4 分,第 7-12 题每题 5 分)1 (4 分)设全集 U1,2,3,4,5,若集合 A3 ,4,5,则 UA     2 (4 分)已知扇形的半径为 6,圆心角为 ,则扇形的面积为     3 (4 分)已知双曲线 x2y 21,则其两条渐近线的夹角为     4 (4 分)若(a+b) n 展开式的二项式系数之和为 8,则 n     5 (4 分)若实数 x,y 满足 x2+y21,则 xy 的取值

2、范围是     6 (4 分)若圆锥的母线长 l5(cm) ,高 h4(cm) ,则这个圆锥的体积等于     7 (5 分)在无穷等比数列a n中, (a 1+a2+an) ,则 a1 的取值范围是     8 (5 分)若函数 f(x )ln 的定义域为集合 A,集合 B(a,a+1) ,且 BA,则实数 a 的取值范围为     9 (5 分)行列式 中,第 3 行第 2 列的元素的代数余子式记作 f(x) ,则y1+ f(x )的零点是     10 (5 分)已知复数 z1cosx+2

3、f(x)i ,z 2( sinx+cosx)+i (x R,i 为虚数单位)在复平面上,设复数 z1,z 2 对应的点分别为 Z1,Z 2,若 Z 1OZ290,其中 O 是坐标原点,则函数 f(x)的最小正周期      11 (5 分)当 0xa 时,不等式 + 2 恒成立,则实数 a 的最大值为     12 (5 分)设 d 为等差数列a n的公差,数列b n的前 n 项和 Tn,满足 Tn+ (1)nbn(nN*) ,且 da 5b 2,若实数 mPk x|ak2 xa k+3(kN *,k3) ,则称 m具有性质 Pk若 Hn 是数

4、列T n的前 n 项和,对任意的 nN*,H 2n1 都具有性质 Pk,则所有满足条件的 k 的值为     二、选择题(本题共有 4 题,满分 20 分)13 (5 分)下列函数中既是奇函数,又在区间1,1 上单调递减的是(   )第 2 页(共 18 页)Af(x)arcsin x Bylg|x|Cf(x)x Df(x )cos  x14 (5 分)某象棋俱乐部有队员 5 人,其中女队员 2 人,现随机选派 2 人参加象棋比赛,则选出的 2 人中恰有 1 人是女队员的概率为(  )A B C D15 (5 分)已知 f(x )log sin

5、x,(0, ) ,设 af ( ) ,bf() ,c f( ) ,则 a,b,c 的大小关系是(  )Aacb Bbca Ccba Dabc16 (5 分)已知函数 f(x )m2 x+x2+nx,记集合 Ax|f(x)0,xR,集合Bx| ff(x )0,x R,若 AB,且都不是空集,则 m+n 的取值范围是(  )A0,4) B1,4) C 3,5 D0 ,7)三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)17 (14 分)如图,PA平面 ABCD,四边形 ABCD 为矩形,PAAB1,AD 2,点 F是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动(1)求三棱锥 EP

6、AD 的体积;(2)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 AFPE18 (14 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 cosB (1)若 sinA ,求 cosC;(2)已知 b4,证明 519 (14 分)上海某工厂以 x 千克小时的速度匀速生产某种产品,每一小时可获得的利润是(5x +1 )元,其中 1x10(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 30 元,求 x 的取值范围;第 3 页(共 18 页)(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:该厂应选取何种生产速度?并求最大利润20 (16 分)如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含

7、y 轴)一点,抛物线 C:y 24x 上存在不同的两点 A,B,满足 PA,PB 的中点均在抛物线 C 上(1)求抛物线 C 的焦点到准线的距离;(2)设 AB 中点为 M,且 P(x P,y P) ,M (x M,y M) ,证明:y Py M;(3)若 P 是曲线 x2+ 1(x0)上的动点,求PAB 面积的最小值21 (18 分)记无穷数列a n的前 n 项中最大值为 Mn,最小值为 mn,令 ,其中 nN*(1)若 an2 n+cos ,请写出 b3 的值;(2)求证:“数列a n是等差数列”是“数列b n是等差数列”的充要条件;(3)若对任意 n,有|a n|2018 ,且|b n|

8、1,请问:是否存在 KN*,使得对于任意不小于 K 的正整数 n,有 bn+1b n 成立?请说明理由第 4 页(共 18 页)2019 年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有 12 题,满分 54 分,第 1-6 题每题 4 分,第 7-12 题每题 5 分)1 (4 分)设全集 U1,2,3,4,5,若集合 A3 ,4,5,则 UA 1 ,2 【分析】利用补集定义直接求解【解答】解:全集 U1,2,3,4,5,集合 A3 ,4 ,5, UA1,2故答案为:1,2【点评】本题考查补集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意补集定义的合理运用2 (4 分)已知扇

9、形的半径为 6,圆心角为 ,则扇形的面积为 6 【分析】先计算扇形的弧长,再利用扇形的面积公式可求扇形的面积【解答】解:根据扇形的弧长公式可得 l r 6 2,根据扇形的面积公式可得 S lr 266故答案为:6【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式,正确运用公式是解题的关键,属于基础题3 (4 分)已知双曲线 x2y 21,则其两条渐近线的夹角为 90 0 【分析】由双曲线方程,求得其渐近线方程,求得直线的夹角,即可求得两条渐近线夹角【解答】解:双曲线 x2y 211 的两条渐近线的方程为:yx,所对应的直线的倾斜角分别为 90,双曲线 x2y 21 的两条渐近线的夹角为 90,故答案为:90

10、【点评】本题考查双曲线的几何性质,考查直线的倾斜角的应用,属于基础题4 (4 分)若(a+b) n 展开式的二项式系数之和为 8,则 n 3 【分析】由题意利用二项式系数的性质,求得 n 的值【解答】解:(a+b) n 展开式的二项式系数之和为 2n8,则 n3,第 5 页(共 18 页)故答案为:3【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题5 (4 分)若实数 x,y 满足 x2+y21,则 xy 的取值范围是 , 【分析】三角换元后,利用二倍角正弦公式和正弦函数的值域可得【解答】因为 x2+y21,所以可设 xcos ,y sin,则 xyco

11、ssin sin2 , 故答案为 , 【点评】本题考查了三角换元以及正弦函数的值域属基础题6 (4 分)若圆锥的母线长 l5(cm) ,高 h4(cm) ,则这个圆锥的体积等于 12cm 3 【分析】利用勾股定理可得圆锥的底面半径,那么圆锥的体积 底面半径 2高,把相应数值代入即可求解【解答】解:圆锥的高是 4cm,母线长是 5cm,圆锥的底面半径为 3cm,圆锥的体积 32412 cm3故答案为:12cm 3【点评】本题考查圆锥侧面积的求法注意圆锥的高,母线长,底面半径组成直角三角形7 (5 分)在无穷等比数列a n中, (a 1+a2+an) ,则 a1 的取值范围是 【分析】无穷等比数列

12、a n中, ,推出 0| q|1,然后求出首项 a1 的取值范围【解答】解:因为无穷等比数列a n中, ,所以| q|1, ,所以 ,1q1 且 q0第 6 页(共 18 页)0a 11 且 a1故答案为: 【点评】本题考查无穷等比数列的极限存在条件的应用,解题时要注意极限逆运算的合理运用8 (5 分)若函数 f(x )ln 的定义域为集合 A,集合 B(a,a+1) ,且 BA,则实数 a 的取值范围为 1,0 【分析】先化简集合 A,由 BA,得 ,得1a0【解答】解: 0,(x+1) (x1)0,1x1,A(1,1) ;BA , ,1a0,实数 a 的取值范围为1, 0故答案为1,0【点

13、评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,集合关系中的参数问题,难度中档9 (5 分)行列式 中,第 3 行第 2 列的元素的代数余子式记作 f(x) ,则y1+ f(x )的零点是 1 【分析】将行列式按第 3 行第 2 列展开,由 f(x )A 32 (42 x44 x)2 x+2(12 x) ,令 y1+f(x)12 x+2(12 x)0,解得:x1,即可求得 y1+ f(x)的零点【解答】解:第 3 行第 2 列的元素的代数余子式A32 42 x+44x2 x+2(12 x) ,f(x)2 x+2(12 x) ,y1+f(x)12 x+2(12 x) ,令 y0,即 2x+2(1

14、2 x)1,第 7 页(共 18 页)解得:2 x , x1故答案为:1【点评】本题考查三阶行列式的余子式的定义,考查函数的零点的定义,属于中档题10 (5 分)已知复数 z1cosx+2f(x)i ,z 2( sinx+cosx)+i (x R,i 为虚数单位)在复平面上,设复数 z1,z 2 对应的点分别为 Z1,Z 2,若 Z 1OZ290,其中 O 是坐标原点,则函数 f(x)的最小正周期   【分析】由已知求得 Z1,Z 2 的坐标,结合Z 1OZ290 可得 f(x)的解析式,降幂后利用辅助角公式化积,再由周期公式求周期【解答】解:由题意,Z 1(cos x,2f(x)

15、) , ,Z 1OZ290, ,即 2f(x) ,f(x) 则函数 f(x)的最小正周期为 故答案为:【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查三角函数周期的求法,是基础的计算题11 (5 分)当 0xa 时,不等式 + 2 恒成立,则实数 a 的最大值为 2 【分析】想法求出左边式子的最小值,首先把分式形式乘以 a2,变形为 2+ + + ,利用均值不等式得出式子的最小值【解答】解:( + )a 2( + )x +(ax ) 2( + )x 2+2x( ax)+(ax) 2第 8 页(共 18 页)2+ + + + 2+4+2 8 + 2'0a2【点评】考查了对式子的配凑变形

16、,均值定理的应用,思路不太好想,有一定难度12 (5 分)设 d 为等差数列a n的公差,数列b n的前 n 项和 Tn,满足 Tn+ (1)nbn(nN*) ,且 da 5b 2,若实数 mPk x|ak2 xa k+3(kN *,k3) ,则称 m具有性质 Pk若 Hn 是数列T n的前 n 项和,对任意的 nN*,H 2n1 都具有性质 Pk,则所有满足条件的 k 的值为 3,4 【分析】求得 n1,2,3,4,5 时,数列b n的前 5 项,即可求出通项公式,再求得d 和首项 a1,得到等差数列a n的通项公式,求得 n1, 2,3,4,H 2n1 的特点,结合 k3,4,5,6,集合

17、的特点,即可得到所求取值【解答】解:T n+ (1) nbn(n N*) ,可得 n1 时,T 1+ b 1T 1,解得 b1 ,T2+ b 2 +b2+ b 2,T3+ b 3 +b2+b3+ ,即 b2+2b3 ,T4+ b 4 +b2+b3+b4+ ,即 b2+b3 ,解得 b2 ,b 3 ,同理可得 b4 ,b 5 ,b 2n1 ,da 5b 2,可得 da 1+4d ,第 9 页(共 18 页)解得 a1 ,d ,a n ,设 Hn 是数列T n的前 n 项和,若对任意的 nN*,H 2n1 都具有性质 Pk,由于 H1T 1 b1 ,H 3T 1+T2+T3 ,H 5T 1+T2+

18、T3+T4+T5 ,H7 +0 ,H 2n1 H 2n3 +b2n 1, (n2) ,当 k3 时,P 3x|a 1x a 6x| x ,当 k4 时,P 4x|a 2x a 7x| x ,当 k5 时,P 5x|a 3x a 8x| x 1 ,当 k6 时,P 3x|a 4x a 9x|0x ,显然 k5,6 不成立,故所有满足条件的 k 的值为 3,4答案为:3,4【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列的通项公式的求法,集合的性质和数列的单调性的判断和应用,考查化简整理的运算能力,属于难题二、选择题(本题共有 4 题,满分 20 分)13 (5 分)下列函数中既是奇函数,又在区间

19、1,1 上单调递减的是(   )Af(x)arcsin x Bylg|x|Cf(x)x Df(x )cos  x【分析】可看出 f(x )arcsin x 在1,1 上单调递增,ylg|x| 和 f(x)cos x 都是偶函数,从而判断 A,B,D 都错误,只能选 C【解答】Af(x)arcsinx 在区间1,1 上单调递增;该选项错误;By lg|x|为偶函数, 该选项错误;Cf(x)x 是奇函数,且在 1,1上单调递减;该选项正确;Df(x)cosx 是偶函数,该选项错误故选:C【点评】考查反正弦函数和一次函数的单调性,以及奇函数和偶函数的定义第 10 页(共 18 页

20、)14 (5 分)某象棋俱乐部有队员 5 人,其中女队员 2 人,现随机选派 2 人参加象棋比赛,则选出的 2 人中恰有 1 人是女队员的概率为(  )A B C D【分析】确定基本事件的个数,即可求出概率【解答】解:随机选派 2 人参加象棋比赛,有 10 种,选出的 2 人中恰有 1 人是女队员,有 6 种,所求概率为 ,故选:B【点评】本题考查古典概型,考查概率的计算,确定基本事件的个数是关键15 (5 分)已知 f(x )log sinx,(0, ) ,设 af ( ) ,bf() ,c f( ) ,则 a,b,c 的大小关系是(  )Aacb Bbca Ccba D

21、abc【分析】先判断 f(x )在(0,+)上是减函数,再比较 , 的大小关系,从而得到 a,b,c 的大小关系【解答】解:f(x )log sinx,(0, ) ,sin (0,1) ,故 f(x)在(0,+)上为减函数af( ) ,b f ( ) ,c f( ) , 0,af( )bf () ,ab又 ,即 ),bf( ) cf( ) ,即 bc综上,abc,故选:D【点评】本题主要考查复合函数的单调性,基本不等式的应用,比较两个数大小的方法,第 11 页(共 18 页)属于中档题16 (5 分)已知函数 f(x )m2 x+x2+nx,记集合 Ax|f(x)0,xR,集合Bx| ff(x

22、 )0,x R,若 AB,且都不是空集,则 m+n 的取值范围是(  )A0,4) B1,4) C 3,5 D0 ,7)【分析】由x|f(x)0x| f(f (x) )0 可得 f(0)0,从而求得 m0;从而化简 f(f(x) )(x 2+nx) (x 2+nx+n)0,从而讨论求得【解答】解:设 x1x|f(x )0 x|f (f(x) )0,f(x 1)f(f(x 1) )0,f(0)0,即 f(0)m0,故 m0;故 f(x)x 2+nx,f(f(x) )(x 2+nx) (x 2+nx+n)0,当 n0 时,成立;当 n0 时,0,n 不是 x2+nx+n0 的根,故n 2

23、4n0,解得:0n4;综上所述,0n+m4;故选:A【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用,同时考查了方程的根的判断,属于中档题三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)17 (14 分)如图,PA平面 ABCD,四边形 ABCD 为矩形,PAAB1,AD 2,点 F是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动(1)求三棱锥 EPAD 的体积;(2)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 AFPE第 12 页(共 18 页)【分析】 (1)转换底面,代入体积公式计算;(2)利用线线垂直证明 AF平面 PBC,即可得出结论【解答】 (1)解:PA平面 ABCD,且四

24、边形 ABCD 为矩形 ,(3 分) (6 分)(2)证明:PA平面 ABCD,PAAB ,又PAAB1,且点 F 是 PB 的中点,AFPB(8 分)又 PABC,BCAB ,PAABA,BC 平面 PAB,又 AF平面 PAB,BCAF(10 分)由 AF平面 PBC,又PE平面 PBC无论点 E 在边 BC 的何处,都有 AFPE 成立(12 分)【点评】本题给出特殊的四棱锥,考查了线面垂直的证明与性质的运用,考查了学生的空间想象能力与推理论证能力,关键是要熟练掌握定理的条件18 (14 分)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 cosB (1)若 sinA ,求

25、 cosC;(2)已知 b4,证明 5【分析】 (1)利用同角三角函数基本关系式可求 sinB,由 sinBsinA,可得 A 为锐角,可求 cosA,根据三角形内角和定理,诱导公式,两角和的余弦函数公式即可计算得解cosC 的值(2)由余弦定理,基本不等式可求得 ac13,根据平面向量数量积的运算,诱导公式第 13 页(共 18 页)即可计算得解【解答】解:(1)cosB ,可得:sinB ,sinB sinA ,BA,可得 A 为锐角,cosA ,cosCcos(A+B)sinAsinB cos AcosB (2)证明:由余弦定理 b2a 2+c22accosB,可得:a 2+c2 ac1

26、6,a 2+c22ac,解得:ac13,当且仅当 ac 时等号成立, accos (B)ac cosB ac5得证【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式,三角形内角和定理,两角和的余弦函数公式,余弦定理,基本不等式,平面向量数量积的运算,诱导公式在解三角形中的综合应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题19 (14 分)上海某工厂以 x 千克小时的速度匀速生产某种产品,每一小时可获得的利润是(5x +1 )元,其中 1x10(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 30 元,求 x 的取值范围;(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:该厂应选取何种生产速度?并求最大

27、利润【分析】 (1)由题意可得:2(5x+1 )30,1x10解出即可得出(2)生产 900 千克该产品,所用时间是 小时,获得利润为(5x+1 ) 900( + +5) ,1x10,利用导数研究函数的单调性即可得出【解答】解:(1)由题意可得:2(5x+1 )30,1x10解得:3x10,因此要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 30 元,x 的取值范围为3,10 第 14 页(共 18 页)(2)生产 900 千克该产品,所用时间是 小时,获得利润为(5x+1 ) 900( + +5) ,1x10,记 f(x) + +5,1 x10,则 f(x)3 ( ) 2+ +5,当且仅当 x6

28、时取到最大值最大利润为 900 4575 元【点评】本题考查了不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了数形结合方法、推理能力与计算能力,属于中档题20 (16 分)如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点,抛物线 C:y 24x 上存在不同的两点 A,B,满足 PA,PB 的中点均在抛物线 C 上(1)求抛物线 C 的焦点到准线的距离;(2)设 AB 中点为 M,且 P(x P,y P) ,M (x M,y M) ,证明:y Py M;(3)若 P 是曲线 x2+ 1(x0)上的动点,求PAB 面积的最小值【分析】 (1)由抛物线方程求得 p,则答案可求;(2)P(

29、x P,y P) ,设 A( ,y 1) ,B( ,y 2) ,运用中点坐标公式可得 M 的坐标,再由中点坐标公式和点在抛物线上,代入化简整理可得 y1,y 2 为关于 y 的方程y22y Py+8xP 0 的两根,由根与系数的关系即可得到结论;(3)由题意可得 ,1x P0,2y P2,可得PAB 面积为第 15 页(共 18 页)S |PM|y1y 2|,再由配方和换元法结合函数单调性求最值【解答】 (1)解:由抛物线 C:y 24x,得 2p4,则 p2,抛物线 C 的焦点到准线的距离为 2;(2)证明:P(x P,y P) ,设 A( ,y 1) ,B( ,y 2) ,AB 中点为 M

30、 的坐标为 M(x M,y M) ,则 M( , ) ,抛物线 C:y 2 4x 上存在不同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上,可得 , ,化简可得 y1,y 2 为关于 y 的方程 y22y Py+8xP 0 的两根,可得 y1+y22y P,y 1y28 ,可得 ;(3)解:若 P 是曲线 x2+ 1(x0)上的动点,可得 ,1x P0,2y P2,由(2)可得 y1+y22y P,y 1y28 ,由 PM 垂直于 y 轴,可得PAB 面积为 S |PM|y1y 2| ( ) ( ) ,令 t ,得 时,t 取得最大值 第 16 页(共 18 页)xP1 时,t 取得最小

31、值 2,即 2t ,则 S 在 2t 递增,可得 S6 , ,PAB 面积的最小值为 6 【点评】本题考查抛物线的方程和运用,考查转化思想和运算能力,训练了利用换元法及函数的单调性求最值,属于难题21 (18 分)记无穷数列a n的前 n 项中最大值为 Mn,最小值为 mn,令 ,其中 nN*(1)若 an2 n+cos ,请写出 b3 的值;(2)求证:“数列a n是等差数列”是“数列b n是等差数列”的充要条件;(3)若对任意 n,有|a n|2018 ,且|b n|1,请问:是否存在 KN*,使得对于任意不小于 K 的正整数 n,有 bn+1b n 成立?请说明理由【分析】 (1)a n

32、2 n+cos ,可得 a12,a 23,a 38,M 3,m 3即可得出 b3(2)充分性:若“数列a n是等差数列” ,设其公差为 d,可得 bn ,b n+1b n+1b n常数,即可证明“数列 bn是等差数列 ”必要性:若“数列b n是等差数列” ,设其公差为 d,b n+1b n + d,根据定义,M n+1M n,m n+1m n,至少有一个取等号,当 d0 时,M n+1M n,a n+1M n+1M na n,即数列a n为增数列,则Mna n,m na 1,进而得出同理可得 d0 时, “数列 an是等差数列” ;当 d0时,M n+1M n,且 mn+1m n,故a n为常

33、数列,是等差数列(3)假设结论不成立,即对任意 KN*,存在 nK ,使 bn+1b n由|b n|1,b n1 或1,对K N*,一定存在 iK ,使得 bi,b i+1 符号相反在数列b n中存在 , , ,其中 k1k 2k 3k i1 ,1 , 1, 1.第 17 页(共 18 页)1, 1,由于 与 中只有一个等号成立,必有 , 可得 +4. +4k ik i1 ,k ik i1 +1, +1, +4, 4利用累加求和方法即可得出【解答】解:(1)a n2 n+cos ,a 12,a 23,a 38,M 38,m 32b 3 5(2)证明:充分性:若“数列a n是等差数列” ,设其公

34、差为 d,则 bn ,b n+1 b n+1b n ,故“数列b n是等差数列”必要性:若“数列b n是等差数列” ,设其公差为 d则 bn+1b n + d根据定义,M n+1M n,m n+1m n,至少有一个取等号,当 d0 时,M n+1M n,a n+1M n+1M na n,即数列a n为增数列,则 Mna n,m na 1,则 bn+1b n d,即 an+1a n2d,即“数列a n是等差数列” ,同理可得 d0 时, “数列a n是等差数列” ;当 d0 时,M n+1M n,且 mn+1m n,故a n为常数列,是等差数列综上可得:“数列a n是等差数列”是“数列b n是等

35、差数列”的充要条件;(3)假设结论不成立,即对任意 KN*,存在 nK ,使 bn+1b n|b n| 1,b n1 或1,对K N*,一定存在 iK,使得 bi,b i+1 符号相反第 18 页(共 18 页)在数列b n中存在 , , , ,其中 k1k 2k 3k i且1 ,1 1, 1即 1, 1,由于 与 中只有一个等号成立,必有 , 可得 +4 +4k ik i1k ik i1 +1 +1 +4 4利用累加求和方法可得: +4(m1) , +4(10101)2018+40362018这与|a n|2018 矛盾,故假设错误,存在 KN*,使nK,有 bn+1b n【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式与单调性、累加求和方法、不等式的解法、充要条件,考查了推理能力与计算能力,属于难题