1、2019 年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 （5 分）若集合 Ax| x21，Bx|0x2，则 AB（ ）A x|0x1 Bx|1x0 C x|1x2 D x|1x22 （5 分）若 f（x ） ，g（x）均是定义在 R 上的函数，则“f（x）和 g（x）都是偶函数”是“f（x ）g（x ）是偶函数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件3 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z2x+y 的最大值是（ ）A2 B3 C5 D74
2、 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为（ ）A7 B15 C31 D635 （5 分）设函数 f（x ）sinx+ cosx（xR） ，则下列结论中错误的是（ ）Af（x）的一个周期为 2Bf（x）的最大值为 2Cf（x）在区间（ ）上单调递减Df（x+ ）的一个零点为 x6 （5 分）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒，则这批米内夹谷约为（ ）A108 石 B169 石 C237 石 D338 石第 2 页（共 20 页）
3、7 （5 分）已知离心率为 的双曲线 C： 1（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F 2，若点 P 是抛物线 y2 12x 的准线与 C 的渐近线的一个交点，且满足PF1PF 2，则双曲线的方程是（ ）A 1 B 1C 1 D 18 （5 分）已知函数 yf（x）的定义域为（， ） ，且函数 yf （x+2）的图象关于直线x2 对称，当 x（0，）时，f （x） lnxf（ ）sinx（其中 f（x）是f（x）的导函数） ，若 af （log 3） ，bf （log 9） ，cf（ ） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Abac Babc Ccba Dbc a二、填
4、空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)9 （5 分）i 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数 a 的值为 10 （5 分）在（x 2+ ） 6 的展开式中，含 x3 项的系数为 （用数字填写答案）11 （5 分）已知等边三角形的边长为 2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 12 （5 分）已知直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，若 l 与圆 x2+y24x+30 交于 A，B 两点，且 |AB| ，则直线 l 的斜率为 13
5、 （5 分）若对任意的 xR，不等式| x1|x +2|2a1| 恒成立，则实数 a 的取值范围为 14 （5 分）已知菱形 ABCD 的边长为 2，ABC60，点 E，F 分别在边 AD，DC 上， （ ） ， ，则 三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 ）15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a4，c3，cosA第 3 页（共 20 页）（）求 b 的值；（）求 sin（2B+ ）的值16 （13 分）某中学的甲、乙、丙三名同学参
6、加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从 A，B ，C ，D 四所高校中选 2 所（）求甲、乙、丙三名同学都选 D 高校的概率；（）若已知甲同学特别喜欢 A 高校，他必选 A 校，另在 B，C，D 三校中再随机选 1所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱，因此他们每人在四所高校中随机选 2 所（i）求甲同学选 D 高校且乙、丙都未选 D 高校的概率；（ii）记 X 为甲、乙、丙三名同学中选 D 校的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望17 （13 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ADPQ 是梯形，PDQA，PDA ，平面 ADPQ平面 ABCD，且 ADPD 2Q
7、A2（）求证：QB平面 PDC；（）求二面角 CPBQ 的大小；（）已知点 H 在棱 PD 上，且异面直线 AH 与 PB 所成角的余弦值为 ，求线段DH 的长18 （13 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 an+1a n+2（nN*） ，a 3+a412，数列b n为等比数列，且 b1a 2，b 2S 3（）求a n和b n的通项公式；（）设 cn（1） nanbn，求数列c n的前 n 项和 Tn19 （14 分）已知椭圆 1（ab0）经过点 P（2， ） ，离心率 e 第 4 页（共 20 页）（）求椭圆的方程；（）经过椭圆左焦点 F 的直线（不经过点 P 且不与 x 轴重合
8、）与椭圆交于 A、B 两点，与直线 l：x 3 交于点 M，记直线 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1，k 2，k 3（k 30） ，则是否存在常数 ，使得向量 （k 1+k2，） ， （k 3，1）共线？若存在求出 的值；若不存在，说明理由20 （14 分）设函数 f（x ）ax2lnx（aR） （）求 f（x）的单调区间；（）当 a1 时，试判断 f（ x）零点的个数；（）当 a1 时，若对x （1，+） ，都有（4k1lnx）x+f （x ）10（k Z）成立，求 k 的最大值第 5 页（共 20 页）2019 年天津市部分区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（在每小
9、题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1 （5 分）若集合 Ax| x21，Bx|0x2，则 AB（ ）A x|0x1 Bx|1x0 C x|1x2 D x|1x2【分析】先分别求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 Ax| x21x|1x1，B x|0x2，ABx| 1x 2故选：D【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）若 f（x ） ，g（x）均是定义在 R 上的函数，则“f（x）和 g（x）都是偶函数”是“f（x ）g（x ）是偶函数”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条
10、件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据函数奇偶性关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：若 f（x ）和 g（x）都是偶函数，则 f（x ）g（x）是偶函数，即充分性成立，当 f（x）和 g（ x）都是奇函数时，满足 f（x ）g（x）是偶函数，即必要性不成立，即“f（x）和 g（x）都是偶函数”是“f（x ）g（x）是偶函数”充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合函数奇偶性的性质是解决本题的关键3 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z2x+y 的最大值是（ ）A2 B3 C5 D7【分析】作出不等
11、式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值第 6 页（共 20 页）【解答】解：作出变量 x，y 满足约束条件 对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z2x+y 得 y2x +z，平移直线 y2x +z，由图象可知当直线 y2x +z 经过点 A 时，直线 y2x +z 的截距最大，此时 z 最大由 ，解得，即 A（3，1） ，代入目标函数 z2x+y 得 z2315即目标函数 z2x+y 的最大值为 5故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法4 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 S 的值为
12、（ ）A7 B15 C31 D63【分析】寻找程序终止是 n 的值，了解程序功能进行计算即可第 7 页（共 20 页）【解答】解：当 n5 时查询终止，则程序的功能是计算 S1+2+2 2+23+241+2+4+8+1631，故选：C【点评】本题主要考查程序框图的应用，了解程序终止的条件是解决本题的关键5 （5 分）设函数 f（x ）sinx+ cosx（xR） ，则下列结论中错误的是（ ）Af（x）的一个周期为 2Bf（x）的最大值为 2Cf（x）在区间（ ）上单调递减Df（x+ ）的一个零点为 x【分析】利用辅助角公式化积，然后逐一核对四个选项得答案【解答】解：f（
13、x ）sinx + cosx f（x）的一个周期为 2，故 A 正确；f （x）的最大值为 2，故 B 正确；由 x ，得 ，f（x）在区间（ ）上单调递减，故C 正确；f（x+ ） ，取 x 时，函数值为 ，故 D 错误故选：D【点评】本题考查 yA sin（ x+）型函数的图象和性质，是基础题6 （5 分）我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1536 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒，则这批米内夹谷约为（ ）A108 石 B169 石 C237 石 D338 石【分析】利用概率的性质能求出结果【解答】解：粮仓开仓收
14、粮，有人送来米 1536 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 256 粒内夹谷 18 粒，这批米内夹谷约为：1536 108（石） 故选：A【点评】本题考查米内夹谷的数量的求法，考查概率的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题第 8 页（共 20 页）7 （5 分）已知离心率为 的双曲线 C： 1（a0，b0）的左、右焦点分别是F1，F 2，若点 P 是抛物线 y2 12x 的准线与 C 的渐近线的一个交点，且满足PF1PF 2，则双曲线的方程是（ ）A 1 B 1C 1 D 1【分析】求出抛物线的直准线方程，双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出关系式，求出 a，b 即可得到
15、双曲线方程【解答】解：离心率为 的双曲线 C： 1（a0，b0）可得 ，则，双曲线的一条渐近线方程为：4x3y0，抛物线 y212 x 的准线：x 3，可得P（3，4） ，双曲线 C： 1（a 0，b0）的左、右焦点分别是 F1（c，0） ，F 2（c，0） ，满足 PF1PF 2， （3c ，4） （3+ c，4）0，解得 c5 ，则 a3；b4；舍去的双曲线方程为： 1故选：C【点评】本题考查双曲线与抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查8 （5 分）已知函数 yf（x）的定义域为（， ） ，且函数 yf （x+2）的图象关于直线x2 对称，当 x（0，）时，f （x） lnxf（ ）s
16、inx（其中 f（x）是f（x）的导函数） ，若 af （log 3） ，bf （log 9） ，cf（ ） ，则 a，b，c 的大小关系是（ ）Abac Babc Ccba Dbc a第 9 页（共 20 页）【分析】函数 yf（x）的定义域为（， ） ，且函数 yf （x+2）的图象关于直线x2 对称，可得函数 f（x）为（， ）0 上的偶函数当 x（0，）时，f（x）lnx f（ ）sinx （其中 f（x）是 f（x）的导函数） ，f（x） f（ ）cosx ，令 x ，可得 f（ ）2，于是 f（x） 2cosx，可得：x（0 ，）时，f（x ）0利用其单调性奇偶性即可得
17、出大小关系【解答】解：函数 yf（x）的定义域为（， ） ，且函数 yf （x+2）的图象关于直线 x2 对称，函数 f（x）为 R 上的偶函数当 x（0，）时，f（x）lnxf （ ）sinx （其中 f（x）是 f（x ）的导函数） ，f（x） f（ ）cosx，令 x ，则 f（ ）2，f（x） 2cos x，当 x 时， 2，2cos x2f（x） 2cosx 0当 x 时， 0，2cos x0f（x） 2cosx 0x（0，）时，f（x） 2cos x0函数 f（x）在 x（0，）时单调递增af（log 3） ，bf（log 9）f（2）f （2） ，cf（ ） ，0log 31 2
18、，acb即 bca故选：D【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的奇偶性、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)第 10 页（共 20 页）9 （5 分）i 是虚数单位，若 是纯虚数，则实数 a 的值为 2 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 列式求解【解答】解： 是纯虚数， ，即 a2故答案为：2【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10 （5 分）在（x 2+ ） 6 的展开式中，含 x3 项的系数为
19、 20 （用数字填写答案）【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令 x 的系数等于 3，求得 r 的值，即可求得展开式中 x3 的系数【解答】解：由于（x 2+ ） 6 的展开式的通项公式为 Tr+1 x123r ，令 123r3，解得 r3，故展开式中 x3 的系数是 20，故答案为：20【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题11 （5 分）已知等边三角形的边长为 2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 2 【分析】将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以 为底面圆
20、半径，以 1 为高的两个圆锥的组合体，由此能求出其体积【解答】解：等边三角形的边长为 2，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是两个以为底面圆半径，以 1 为高的两个圆锥的组合体，将该三角形绕其任一边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为：V2 2 故答案为：2【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查旋转体的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题第 11 页（共 20 页）12 （5 分）已知直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，若 l 与圆 x2+y24x+30 交于 A，B 两点，且 |AB| ，则直线 l 的斜率为 【分析】
21、根据题意，将直线的参数方程与圆的方程联立，则有（tcos） 2+（t sin）24tcosx+30，变形可得 t24t cosx+30，由根与系数的关系分析可得t1+t24cos ，t 1t23，又由|AB| ，则有（t 1+t2） 24t 1t216cos 2123，解可得cos2 的值，由三角函数的基本关系式可得 tan 的值，结合直线参数方程的意义分析可得答案【解答】解：根据题意，直线 l 的参数方程是 （t 为参数） ，圆的方程为x2+y24x+3 0，若 l 与圆 x2+y24x+30 交于 A，B 两点，则有（tcos） 2+（tsin ） 24tcosx+30，变形可得 t2 4
22、tcosx+30，则有 t1+t24cos，t 1t23，又由|AB| ，则有（t 1+t2） 24t 1t216cos 2123，解可得 cos2 ，则有 sin2 ，则有 tan ，则直线 l 的斜率 tan ；故答案为： 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线的参数方程，属于基础题13 （5 分）若对任意的 xR，不等式| x1|x +2|2a1| 恒成立，则实数 a 的取值范围为 （，12，+） 【分析】根据绝对值不等式即求解；【解答】解：由|x 1| x+2|x1| 2x| （x1）+（2x ）| 3，不等式|x1| x+2|2a1|恒成立转化为|2 a1|3 成立
23、，即 2a13 或 2a13，可得 a2 或 a1，故答案为（，12，+） 【点评】本题考查了绝对值不等式的应用和解法属于基础题第 12 页（共 20 页）14 （5 分）已知菱形 ABCD 的边长为 2，ABC60，点 E，F 分别在边 AD，DC 上， （ ） ， ，则 【分析】由平面向量的线性运算及平面向量数量积的性质及其运算得： （）（ ） + 12 + ，得解【解答】解：由 （ ） ， ，可得点 E 为线段 AD 的中点，点 F 为线段 DC 的三等分点靠近点 D 处，由菱形 ABCD 的边长为 2，ABC60，得：| |2 ，ABD30，则 （ ）（ ）
24、+ 12+ ，故答案为： 【点评】本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积的性质及其运算，属中档题三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分；解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 ）15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，a4，c3，cosA（）求 b 的值；（）求 sin（2B+ ）的值【分析】 （）由余弦定理得：a 2b 2+c22bccosA，又a4，c3，cosA ，2b 2+3b140，解得 b2（）由正弦定理得： ，得 sinB ，又 0 ，所以cosB ，由二倍角公式得：sin2B2sin BcosB ，cos2B 2cos 2
25、B1 ，由两角和的正弦公式得：sin（2 B+ ） + ，得解【解答】解：（）在ABC 中，由余弦定理得：第 13 页（共 20 页）a2b 2+c22bc cosA，又 a4，c3，cos A ，2b2+3b140，解得 b2；（）由 cosA ，所以 sinA ，由正弦定理得：，得 sinB ，又 0 ，所以 cosB ，所以 sin2B2sinBcosB ，cos2 B2cos 2B1 ，所以 sin（2B+ ） + ，故答案为： 【点评】本题考查了余弦定理、正弦定理及二倍角公式、两角和的正弦公式，属中档题16 （13 分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立
26、的从 A，B ，C ，D 四所高校中选 2 所（）求甲、乙、丙三名同学都选 D 高校的概率；（）若已知甲同学特别喜欢 A 高校，他必选 A 校，另在 B，C，D 三校中再随机选 1所；而同学乙和丙对四所高校没有偏爱，因此他们每人在四所高校中随机选 2 所（i）求甲同学选 D 高校且乙、丙都未选 D 高校的概率；（ii）记 X 为甲、乙、丙三名同学中选 D 校的人数，求随机变量 X 的分布列及数学期望【分析】 （I）设甲、乙、丙三名同学分别选 D 高校的概率为 第 14 页（共 20 页）（II） （i）设乙、丙未选 D 高校的概率都为： 利用相互独立概率计算公式即可得出甲同学选 D 高校且乙、
27、丙都未选 D 高校的概率（ii）X 的取值为 0，1，2，3利用相互独立与互斥事件概率计算公式即可得出概率及其分布列【解答】解：（I）设甲、乙、丙三名同学分别选 D 高校的概率为 P （II） （i）设乙、丙未选 D 高校的概率都为： 甲同学选 D 高校且乙、丙都未选 D 高校的概率 （ii）X 的取值为 0，1，2，3P（X0）（1 ） ，P（X1） +2（1 ） ，P（X2） + +（1 ） P（X3） 随机变量 X 的分布列为：X 0 1 2 3P 数学期望 E（X）0 +1 +2 +3 【点评】本题考查了相互独
28、立概率计算公式、互斥事件概率计算公式、随机变量的概率计算公式及其分布列与期望、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题17 （13 分）在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是正方形，四边形 ADPQ 是梯形，PDQA，PDA ，平面 ADPQ平面 ABCD，且 ADPD 2QA2（）求证：QB平面 PDC；（）求二面角 CPBQ 的大小；第 15 页（共 20 页）（）已知点 H 在棱 PD 上，且异面直线 AH 与 PB 所成角的余弦值为 ，求线段DH 的长【分析】 （）推导出 ABCD，从而平面 ABP平面 DCP，由此能证明 QB平面PDC（）以 D 为原点，DA 为 x
29、轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 CPBQ 的大小（）设 DHt，利用向量法能求出线段 DH 的长【解答】证明：（）四边形 ABCD 是正方形，ABCD，四边形 ADPQ 是梯形，PD QA，ABQAA，CDPD D，平面 ABP平面 DCP，QB平面 ABQ，QB平面 PDC解：（）以 D 为原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 C（0，2，0） ，P（0，0， 2） ，B （2，2，0） ，Q（2，0，1） ，（2，2，2） ， （0，2，2） ， （2，0，1） ，设平面 PBC 的法向量 （
30、x，y，z） ，则 ，取 y1，得 （0，1，1） ，设平面 PBQ 的法向量 （x，y ，z） ，则 ，取 x1，得 （1，1，2） ，设二面角 CPBQ 的大小为 ，由图形得 为钝角，则 cos ，第 16 页（共 20 页） ，二面角 CPBQ 的大小为 （）点 H 在棱 PD 上，且异面直线 AH 与 PB 所成角的余弦值为 ，设 DHt，则 H（0，0，t） ， A（2，0，0） ， （2，0，t） ， （2，2，2） ，|cos | ，解得 t ，线段 DH 的长为 【点评】本题考查线面平行的证明，考查二面角的大小、线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考
31、查运算求解能力，是中档题18 （13 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 an+1a n+2（nN*） ，a 3+a412，数列b n为等比数列，且 b1a 2，b 2S 3（）求a n和b n的通项公式；（）设 cn（1） nanbn，求数列c n的前 n 项和 Tn【分析】 （）根据题意，由 an+1a n+2 分析可得数列a n是公差为 2 的等差数列，又由 a3+a412 可得 a3+a3+d 12，解可得 a35，由等差数列的通项公式可得a n的通项公式，进而可得 b13，b 29，分析可得数列b n的公比为 3，结合等比数列的通项公式计算可得答案；（）根据题意，求出数列c
32、 n的通项公式，由错位相减法分析可得答案【解答】解：（）根据题意，数列a n满足 an+1a n+2，则数列 an是公差为 2 的等差数列，第 17 页（共 20 页）又由 a3+a412，则 a3+a3+d12，解可得 a35，则 ana 3+（n3）d2n1，又由数列b n为等比数列，且 b13，b 21+3+59，则数列b n的公比为 3，则 bn3 n，（）根据题意，由（）的结论，a n2n1，b n3 n，则 cn（1） nanbn（1） n（2n1）3 n（2n1） （3） n，则 Tn1（3）+3 （3） 2+（2n1） （3） n，3T n1（3） 2+3（3） 3+（2n1）
33、 （3 ） n+1，可得： 4Tn3+2（3） 2+（3） 3+（ 3） n（2n1）（3）n+1 （3） n1 ，变形可得：T n （3） n1 【点评】本题考查数列的递推公式以及求和，关键是求出两个数列的通项公式，属于基础题19 （14 分）已知椭圆 1（ab0）经过点 P（2， ） ，离心率 e （）求椭圆的方程；（）经过椭圆左焦点 F 的直线（不经过点 P 且不与 x 轴重合）与椭圆交于 A、B 两点，与直线 l：x 3 交于点 M，记直线 PA，PB，PM 的斜率分别为 k1，k 2，k 3（k 30） ，则是否存在常数 ，使得向量 （k 1+k2，） ， （k 3，1）共线？若存在
34、求出 的值；若不存在，说明理由【分析】 （）由题意可得 ，从而解得 a，b，即可得到椭圆的标准方程；（）可先设出直线 AB 的方程为 yk （x+2） ，代入椭圆的方程并整理成关于 x 的一元二次方程，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，利用根与系数的关系，再求点 M 的坐标，分别表示出 k1，k 2，k 3比较 k1+k2k 3 即可求得参数的值；第 18 页（共 20 页）【解答】解：（）由题意可得 ，解得 a26，b 22，故椭圆的方程为 + 1，（）假设存在常数 ，使得向量 （k 1+k2，） ， （k 3，1）共线，k 1+k2 k3，由题意可设 AB 的斜率为 k，
35、则直线 AB 的方程为 yk（x+2） ，代入椭圆方程并整理得（1+3k 2）x 2+12k2x+12k260设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则有 x1+x2 ，x 1x2 ，在方程 中，令 x3 得，M （3，k ） ，从而 k1 ，k 2 ，k 3 k+ ，k 1+k2 + + 2k 2k 2k+ 2（k+ ）2k 3，k 3k+ 0，k 1+k22k 3故存在常数 2 符合题意【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出20 （
36、14 分）设函数 f（x ）ax2lnx（aR） 第 19 页（共 20 页）（）求 f（x）的单调区间；（）当 a1 时，试判断 f（ x）零点的个数；（）当 a1 时，若对x （1，+） ，都有（4k1lnx）x+f （x ）10（k Z）成立，求 k 的最大值【分析】 （I）f（x ）a ， （x 0） 对 a 分类讨论，可得其单调区间（II）a1 时，f （x ）x 2 lnx（x0） f （x） ， （x 0） 根据单调性可得x1 时，函数 f（x）取得极小值即最小值，f（1）1进而得出零点的个数（III）当 a1 时，对x（ 1，+ ） ，都有（4k 1lnx ）x +f（x）10
37、（kZ）成立，化为：4klnx+ g（x） ，利用导数研究其单调性即可得出【解答】解：（I）f（x ）a ， （x 0） a0 时，f（x ）0，函数 f（x）在（0，+）上单调递增a0 时，f（x ） ， （x0） 则 f（x）在（0 ， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增（II）a1 时，f （x ）x 2 lnx（x0） f（x） ， （x0） 则 f（x）在（0 ，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增x1 时，函数 f（x）取得极小值即最小值，f（1）1x0 +时，f（x）+；x +时，f （x）+函数 f（x）存在两个零点（III）当 a1 时，对x（ 1，+ ） ，都有（4k
38、1lnx ）x +f（x）10（kZ）成立，化为：4klnx+ g（x） ，g（x） + 令 u（x）xlnx2，x（1，+） ，第 20 页（共 20 页）u（x）1 0，函数 u（x）在 x（1，+）单调递增，u（3）1ln3，u（4）2 2ln 2，存在唯一的 x0（3，4） ，使得 u（x 0）0，即 x0lnx 020，函数 g（x）在（1，x 0）内单调递减，在（x 0，+）内单调递增g（x） ming（x 0）lnx 0+ x 02+ x 0+ 1（ ， ） ，4k ，k Zk 的最大值为 0【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、函数的零点、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题