1、第 1 页（共 20 页）22.2 降次解一元二次方程同步练习卷一选择题（共 2 小题）1将 4 个数 a、b、c、d 排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成 ，定义adbc ，上述记号就叫做 2 阶行列式若 6，则（ x） 2 的值为（ ）A6 B5 C D2形如 x2+ax b2 的方程可用如图所示的图解法研究：画 RtABC，使ACB 90，BC ，ACb，再在斜边 AB 上截取 BD 则可以发现该方程的一个正根是（ ）AAC 的长 BBC 的长 CAD 的长 DCD 的长二填空题（共 1 小题）3若关于 x 的一元二次方程 x2+2xm 2m0（m0） ，当 m1、2、3、201
2、8 时，相应的一元二次方程的两个根分别记为 1、 1， 2、 2， 2018、 2018，则：的值为 三解答题（共 18 小题）4若一元二次方程 ax2b（ab0）的两个根分别是 m+1 与 2m4，求 的值5解一元二次方程（配方法）： x26x706解方程：2x 2+4x10（用配方法） 7解方程（1） （x+2） 2250（直接开平方法）（2）4x 23x10（用配方法）（3）2x 27x+30（公式法）（4） （x 23） 23（3x 2）+20第 2 页（共 20 页）8设关于 x 的二次方程（k 26k +8）x 2+（2k 26k4） x+k24 的两根都是整数求满足条件的所有实数
3、 k 的值9已知ABC 的一边为 5，另两边是方程 x2（2k3）x+k 23k+20 的解（1）如果ABC 是直角三角形，求 k 的值；（2）如果ABC 是等腰三角形，求ABC 的面积10阅读下面的例题：解方程 x2| x|20解：当 x0 时，原方程化为 x2x 20，解得：x 12，x 21（不合题意，舍去） ；当 x0 时，原方程化为 x2+x20，解得：x 11， （不合题意，舍去）x 22；原方程的根是 x12，x 22请参照例题解方程 x2|x1|1011已知实数 x，y 满足（x 2+y2） （x 2+y212）45，求 x2+y2 的值12例：解方程 x47x 2+120解：
4、设 x2y，则 x4y 2，原方程可化为：y 2+7y+120，解得 y13，y 24当 y3 时，x 23，x ，当 y4 时，x 24，x 2原方程有四个根是：x 1 ，x 2 ，x 12，x 22以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题（1）解方程：（x 2+x2） （x 2+x3）2；（2）已知 a、b、c 是 RtABC 的三边（c 为斜边） ，S ABC 6，且 a、b 满足（a 2+b2）221（a 2+b2）1000，试求 RtABC 的周长13已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x 22bx+（ac） 0，其中 a、b、c 分别为A
5、BC 三边的长（1）如果 x1 是方程的根，试判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由；（3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根14设 a，b，c 是ABC 的三边长，且关于 x 的方程 c（x 2+1）+b（x 21）2ax0 有两个相等的实数根，求证：ABC 是直角三角形15已知方程 x2+3mx+2m30第 3 页（共 20 页）（1）求证：对于任意的实数 m，方程总有两个不相等的实数根；（2）设 a，b 是平行四边形的两邻边边长，也是方程的两根，且 ab，求 ab 的最小值16已知 x1，x 2 是关于 x 的一
6、元二次方程 4kx24kx+ k+10 的两个实数根（1）是否存在实数 k，使（2x 1x 2） （x 12x 2） 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使 + 2 的值为整数的实数 k 的整数值；（3）若 k2， ，试求 的值17已知：x 1、x 2 是一元二次方程 2x22x+13m 0 的两个实数根，且 x1、x 2 满足不等式x1x2+2（x 1+x2）0，求实数 m 的取值范围18如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程” （1）请问一元二次方程 x23x+20 是倍根方程吗？如果
7、是，请说明理由（2）若一元二次方程 ax2+bx60 是倍根方程，且方程有一个根为 2，求 a、b 的值？19先阅读下面的内容，再解决问题：例题：若 m2+2mn+2n26n+90，求 m 和 n 的值解：因为 m2+2mn+2n26n+90，所以 m2+2mn+n2+n26n+90，所以（m+n） 2+（n3） 20，所以 m+n0， n30，所以 m3，n3问题（1）若 x2+2y22xy +6y+90，求 xy 的值；（2）已知 a，b，c 是ABC 的三边长，满足 a2+b26a+8b25，且 c 是ABC 中最长的边，求 c 的取值范围20已知 a，b，c 是ABC 三边，且满足 ，
8、试判断ABC 形状21已知关于 x 的一元二次方程（x3） （x 2）p（p+1） 第 4 页（共 20 页）（1）试证明：无论 p 取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根 x1，x 2，满足 x12+x22x 1x23p 2+1，求 p 的值第 5 页（共 20 页）参考答案与试题解析一选择题（共 2 小题）1将 4 个数 a、b、c、d 排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成 ，定义adbc ，上述记号就叫做 2 阶行列式若 6，则（ x） 2 的值为（ ）A6 B5 C D【分析】先根据 2 阶行列式公式列出方程，求出 x 的值，再代入（ x） 2 即可求得答案【解答】解
9、：由题意可得：（x+1） （x+1）（x1） （1x）6，x2+2x+1+x22 x+16，2x24，x22，x ，当 x 时，（ x） 2（ ） 26，当 x 时，（ x） 2 26，故选：A【点评】此题考查了解一元二次方程，关键是根据 2 阶行列式的公式列出一元二次方程，比较简单，容易掌握2形如 x2+ax b2 的方程可用如图所示的图解法研究：画 RtABC，使ACB 90，BC ，ACb，再在斜边 AB 上截取 BD 则可以发现该方程的一个正根是（ ）第 6 页（共 20 页）AAC 的长 BBC 的长 CAD 的长 DCD 的长【分析】根据勾股定理得出方程，整理后得出即可【解答】解：
10、由勾股定理得：BC 2+AC2AB 2，BDBC ，ACb，（ ） 2+b2（ +AD） 2，整理得：b 2ADa+AD 2，x 2+axb 2，方程的解是 AD 的长，故选：C【点评】本题考查了解一元二次方程和勾股定理，能根据勾股定理得出方程是解此题的关键二填空题（共 1 小题）3若关于 x 的一元二次方程 x2+2xm 2m0（m0） ，当 m1、2、3、2018 时，相应的一元二次方程的两个根分别记为 1、 1， 2、 2， 2018、 2018，则：的值为 【分析】利用根与系数的关系得到1+12， 1112； 2+22， 2223； 2018+20182， 20182018201820
11、19把原式变形，再代入，即可求出答案【解答】解：x 2+2xm 2m 0，m1，2，3，2018，由根与系数的关系得： 1+12， 1112；2+22， 2223；2018+20182， 2018201820182019原式 + + + + + +2（1 + + + ）2（1 ） ，第 7 页（共 20 页）故答案为： 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x 1+x2 ，x 1x2 三解答题（共 18 小题）4若一元二次方程 ax2b（ab0）的两个根分别是 m+1 与 2m4，求 的值【分析】方程变形后，利用平方根定义得到两
12、根互为相反数，即可求出 m 的值，由此求得原方程的两个根，结合根与系数的关系来求 的值【解答】解：方程 ax2b 的两个根分别是 m+1 与 2m4，m+1+2 m40，解得：m1，即方程的根是 2 与2， 4【点评】此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键5解一元二次方程（配方法）： x26x70【分析】根据配方法可以解答此方程【解答】解： x26x 70（x 212x）70（x6） 2250（x6） 225（x6） 250x6 ，x 16+5 ，x 265 【点评】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确解方程的方法6解方程：2x 2+4x10（用配方法
13、） 【分析】先把方程的二次项系数化为 1，再利用完全平方公式变形为（x+1） 2 ，然第 8 页（共 20 页）后利用直接开平方法求解【解答】解：x 2+2x 0，x2+2x+1 +1，（x+1） 2x+1 ，所以 x1 ，x 2 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（x+m） 2n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法7解方程（1） （x+2） 2250（直接开平方法）（2）4x 23x10（用配方法）（3）2x 27x+30（公式法）（4） （x 23） 23（3x 2）+20【分析】 （1）将方程常数项移动右边，开方转化为两个一元一次方程
14、来求解；（2）方程两边都除以 4 并将常数项移动右边，两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；（3）将方程整理为一般形式，找出 a，b 及 c 的值，计算出根的判别式的值大于 0，代入求根公式即可求出解（4）利用因式分解法化为二次方程后再解答即可【解答】解：（1） （x+2） 2250，x+25，x13，x 27（2）4x 23x10，（4x+1） （x1 ）0x1 ，x 21（3）2x 27x+30，a2，b7，c3，b 24ac（7） 2423250，第 9 页（共 20 页） ， （4） （x 23） 23（3x 2）+20（3x
15、2）1（3x 2）2 03x 21，3x 22【点评】本题考查了一元二次方程的解法解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法8设关于 x 的二次方程（k 26k +8）x 2+（2k 26k4） x+k24 的两根都是整数求满足条件的所有实数 k 的值【分析】求出二根 x1 ，x 2 ，从中消去 k 得 x1x2+3x1+20，分解得x1（x 2+3） 2借助方程组得 k6，3， 【解答】解：（k 26k +8）x 2+（2k 26k4）x+k 24，（k 26k+8）x 2+（2k 26k4）x+k 240，（k4） （k2）x 2
16、+（2k 26k4）x+（k2） （k +2） 0，（k4 ）x+ （k2）（k2）x+（k+2）0（k4） （k2）0x 1 ，x2 ；k4 （x 11）k2 （x 21）由消去 k，得 x1x2+3x1+20x 1（x 2+3） 2由于 x1，x 2 都是整数 ， ， ，即 ， ，第 10 页（共 20 页）k6，3， 经检验，k6，3， 满足题意【点评】本题方程整理成关于 x 的一元二次方程的一般形式后，二次项系数不为 0 是隐含的条件，应考虑将参数 k 用方程两根表示并最终消去参数 k 是解题的关键9已知ABC 的一边为 5，另两边是方程 x2（2k3）x+k 23k+20 的解（1）
17、如果ABC 是直角三角形，求 k 的值；（2）如果ABC 是等腰三角形，求ABC 的面积【分析】 （1）根据题意可以求得题目中方程的两个根，然后根据勾股定理和分类讨论的思想即可求得 k 的值；（2）根据题意可以求得题目中方程的两个根，然后根据勾股定理和分类讨论的思想即可求得ABC 的面积【解答】解：（1）x 2（2k3）x +k23k+20x（ k1）x（k 2）0，解得，x 1k1，x 2k2，ABC 的一边为 5，另两边是方程 x2（2k3）x+k 23k+20 的解，k10，k20，k 1 k2，ABC 是直角三角形，当斜边的长是 5 时， （k1） 2+（k2） 25 2，解得，k 1
18、5，k 22（舍去） ，当斜边的长是 k1 时， （k 2） 2+52（k 1） 2，解得， k314，即如果ABC 是直角三角形，k 的值是 5 或 14；（2） ）x 2（2k 3）x +k23k+20x（ k1）x（k 2）0，解得，x 1k1，x 2k2，ABC 是等腰三角形，当 k25 时，k 7，则 k16，此时ABC 的面积是： ，当 k15 时，k 6，则 k 24，此时ABC 的面积是： 2 【点评】本题考查解一元二次方程、等腰三角形的性质、勾股定理，解答本题得关键是第 11 页（共 20 页）明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答10阅读下面的例题：解
19、方程 x2| x|20解：当 x0 时，原方程化为 x2x 20，解得：x 12，x 21（不合题意，舍去） ；当 x0 时，原方程化为 x2+x20，解得：x 11， （不合题意，舍去）x 22；原方程的根是 x12，x 22请参照例题解方程 x2|x1|10【分析】将方程化为关于 x 的一元二次方程，求出方程的解得到 x 的值，即为|x1|的值，利用绝对值的代数意义即可求出 x 的值，即为原方程的解【解答】解：当 x10 即 x1 时，原方程化为 x2（ x1）10 即 x2x0，解得 x10，x 21，x 1， x1；当 x10 即 x1 时，原方程化为 x2+（x1）10 即 x2+x
20、20，解得 x12，x 21x 1， x2，原方程的根为 x11，x 22【点评】此题考查了解一元二次方程，绝对值的代数意义，以及解一元二次方程分解因式法，弄清题意阅读材料中的例题的解法是解本题的关键11已知实数 x，y 满足（x 2+y2） （x 2+y212）45，求 x2+y2 的值【分析】设 x2+y2a，则方程变形为 a（a12）45，求出 a 的值，即可得出答案【解答】解：设 x2+y2a，则 a（a12）45，a212a450，（a15） （a+3）0，a115，a 23，x 2+y2a0 ，x 2+y215【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键12例：解方程
21、 x47x 2+120解：设 x2y，则 x4y 2，原方程可化为：y 2+7y+120，解得 y13，y 24当 y3 时，x 23，x ，当 y4 时，x 24，x 2原方程有四个根是：x 1 ，x 2 ，x 12，x 22以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下第 12 页（共 20 页）列问题（1）解方程：（x 2+x2） （x 2+x3）2；（2）已知 a、b、c 是 RtABC 的三边（c 为斜边） ，S ABC 6，且 a、b 满足（a 2+b2）221（a 2+b2）1000，试求 RtABC 的周长【分析】 （1）类比题目设 yx 2+x2
22、，转化为求 y2y20 的解可得 y 的值，即可得x2+x2 的值，再进一步解关于 x 的方程即可得；（2）利用换元法 ya 2+b2，可得 y221y 1000，解之可得 a2+b2 的值，再根据勾股定理知 c 的值，结合三角形的面积得 ab12，最后 a2+b225，即（a+b） 22ab25可得 a+b，继而知答案【解答】解：（1）设 yx 2+x2，则 y2y20，解得 y11，y 22，当 x2+x2 1 即 x2+x1 0 时，解得：x ；当 x2+x22 即 x2+x40 时，解得：x ；综上所述，原方程的解为 x1，2 ，x 3，4 ；（2）设 ya 2+b2，则 y221y
23、1000，整理，得：（y25） （y +4）0，解得 y15，y 24（舍去） ，故 a2+b225c5，又S ABC 6， ab6，ab12，又 a2+b225，即（a+ b） 22ab25，（a+b） 249，a+b7，a+b+c12，即ABC 的周长为 12【点评】本题主要考查换元法解方程的方法和勾股定理，换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背第 13 页（共 20 页）景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理13已知关于 x 的一元二次方程（a+c）x 22bx+（ac） 0，其中 a、b、c 分
24、别为ABC 三边的长（1）如果 x1 是方程的根，试判断ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC 的形状，并说明理由；（3）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根【分析】 （1）把 x1 代入方程得 a+c2b+ac0，整理得 ab，从而可判断三角形的形状；（2）根据判别式的意义得（2b） 24（a+c） （ac）0，即 b2+c2a 2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；（3）利用等边三角形的性质得 abc，方程化为 x2x0，然后利用因式分解法解方程【解答】解：（1）把 x1 代入方程得 a+c2b+ac0，则 ab，所以ABC 为等腰三角形
25、；（2）根据题意得（2b） 24（a+c） （ac）0，即 b2+c2a 2，所以ABC 为直角三角形；（3）ABC 为等边三角形，abc，方程化为 x2x 0，解得 x10，x 21【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根14设 a，b，c 是ABC 的三边长，且关于 x 的方程 c（x 2+1）+b（x 21）2ax0 有两个相等的实数根，求证：ABC 是直角三角形【分析】由0，得出三边关系 a2+b2c 2，进一步利用勾股定理逆定理判定
26、三角形的形状即可【解答】解：方程 c（x 2+1）+b（x 21）2ax 0 有两个相等的实数根，4a 24（c+b） （c b）4（b 2c 2+a2）0，a 2+b2c 2，ABC 是直角三角形第 14 页（共 20 页）【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当0 时，方程有两个相等的两个实数根；当0 时，方程无实数根也考查了勾股定理逆定理15已知方程 x2+3mx+2m30（1）求证：对于任意的实数 m，方程总有两个不相等的实数根；（2）设 a，b 是平行四边形的两邻边边长，也是方程的
27、两根，且 ab，求 ab 的最小值【分析】 （1）先计算（3m ） 24（2m 3）9m 28m+12，配方得到9（m） 2+ 0，根据的意义即可得到对于任何实数 m，该方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系可得：a+b3m，ab2m 3由 ab 得出 ab ，利用二次函数的性质即可求解【解答】 （1）证明：方程的判别式（3m ） 24（2m 3）9m 28m+129（m） 2+ 0，即对于任意的实数 m，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：由根与系数的关系可得：a+b3m，ab2m3ab，ab ，当 m 时，ab 的最小值是 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程 ax2+
28、bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当 0 时，方程有两个不相等的两个实数根；当 0 时，方程有两个相等的两个实数根；当 0 时，方程无实数根也考查了根与系数的关系16已知 x1，x 2 是关于 x 的一元二次方程 4kx24kx+ k+10 的两个实数根第 15 页（共 20 页）（1）是否存在实数 k，使（2x 1x 2） （x 12x 2） 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由；（2）求使 + 2 的值为整数的实数 k 的整数值；（3）若 k2， ，试求 的值【分析】 （1）由于方程有两个实数根，那么根据根与系数的关系可得 x1+x21，x 1x2，然后把 x1
29、+x2、x 1x2 代入（2x 1x 2） （x 12x 2） 中，进而可求 k 的值；（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可得 ，根据 的值为整数，以及 k 的范围即可确定 k 的取值；（3）由 k2， ，x 1+x21，得到 x2 ，x 1 ，然后根据 x1x2 ，代入即可得到结果【解答】解：（1）x 1、x 2 是一元二次方程 4kx24kx+k+10 的两个实数根，x 1+x21，x 1x2 ，（2x 1x 2） （x 12x 2）2x 124x 1x2x 1x2+2x222（x 1+x2） 29x 1x221 292 ，若 2 成立，解上述方程得，k ，16k 244k （k +1
30、） 16k0，k0，k ，矛盾，不存在这样 k 的值；（2）原式 2 2 4第 16 页（共 20 页），k+11 或1，或 2，或2，或 4，或4解得 k0 或2，1，3，3，5k0k2，3 或5；（3）k2， ，x 1+x21，x 2+x21，x 2 ，x 1 ，x 1x2 ， ，33 【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是注意数值的正负不等号的变化关系、以及完全平方公式的使用17已知：x 1、x 2 是一元二次方程 2x22x+13m 0 的两个实数根，且 x1、x 2 满足不等式x1x2+2（x 1+x2）0，求实数 m 的取值范围【分析】利用根与系数的关系代入 x
31、1x2+2（x 1+x2）0 中，可得 m 的取值；再利用0 列式可得 m 的取值；从而可得实数 m 的取值范围【解答】解：x 1、x 2 是一元二次方程 2x22x+13m 0 的两个实数根，x 1+x21，x 1x2 又x 1x 2+2（ x1+x2）0， +20 解得：m （4 分） ，又原方程有实数根，b 24ac（2） 242（13m ）48+24m 4+24 m0，m （7 分） m （8 分）【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，若方程有两个实数根，则0，第 17 页（共 20 页）若方程没有实数根，则018如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个实数根，
32、且其中一个根为另一个根的2 倍，则称这样的方程为“倍根方程” （1）请问一元二次方程 x23x+20 是倍根方程吗？如果是，请说明理由（2）若一元二次方程 ax2+bx60 是倍根方程，且方程有一个根为 2，求 a、b 的值？【分析】 （1）利用因式分解法求出方程的两根，再根据倍根方程的定义判断即可；（2）根据倍根方程的定义，倍根方程 ax2+bx60 有一个根为 2 时，另外一个根为 4或 1，再利用根与系数的关系求出 a、b 的值【解答】解：（1）是倍根方程，理由如下：解方程 x23x+20，得 x1 1，x 22，2 是 1 的 2 倍，一元二次方程 x23x +20 是倍根方程；（2）
33、分两种情况：另外一个根为 4 时， 2+4， 24，a ，b ；另外一个根为 1 时， 2+1， 21，a3，b9【点评】本题考查了根与系数的关系：x 1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x 1+x2 ，x 1x2 也考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力19先阅读下面的内容，再解决问题：例题：若 m2+2mn+2n26n+90，求 m 和 n 的值解：因为 m2+2mn+2n26n+90，所以 m2+2mn+n2+n26n+90，所以（m+n） 2+（n3） 20，所以 m+n0， n30，第 18 页（共 20 页）所以 m3，n3问题（1）若 x2+2y22
34、xy +6y+90，求 xy 的值；（2）已知 a，b，c 是ABC 的三边长，满足 a2+b26a+8b25，且 c 是ABC 中最长的边，求 c 的取值范围【分析】 （1）根据 x22xy+2y 2+6y+90，应用因式分解的方法，判断出（ xy）2+（y+3） 20，求出 x、y 的值各是多少，再把它们相乘，求出 xy 的值是多少即可；（2）首先根据 a2+b210a12b+610，应用因式分解的方法，判断出（a5）2+（b6） 20，求出 a、b 的值各是多少；然后根据三角形的三条边的长度的关系，求出ABC 的最大边 c 的值是多少即可【解答】解：（1）x 22xy+2y 2+6y+9
35、0，（x 22xy+y 2）+（y 2+6y+9）0，（xy） 2+（ y+3） 20，xy0，y+30，x3，y3，xy（3）（3）9，即 xy 的值是 9（2）a 2+b26a+8 b25，a26a+9+ b28b+160，（a3） 2+（b4） 20，a30，b40，a3，b4，c 是ABC 中最长的边，4c3+4，即 4c 7，【点评】 （1）此题主要考查了因式分解方法的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分（2）此题还考查了三角形的三条边之间的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：任意两边
36、之和大于第三边；任意两边之差小于第三边第 19 页（共 20 页）20已知 a，b，c 是ABC 三边，且满足 ，试判断ABC 形状【分析】利用配方法求出 a、b、c，关键勾股定理的逆定理判断即可【解答】解： ，a26a+9+ b28b+16+ 0（a3） 2+（b4） 2+ 0，a30，b40，c50，解得，a3，b4，c5，a 2+b23 2+4225，c 225，a 2+b2c 2，ABC 是直角三角形【点评】本题考查的是配方法的应用、勾股定理的逆定理，掌握完全平方公式、勾股定理的你的流量是解题的关键21已知关于 x 的一元二次方程（x3） （x 2）p（p+1） （1）试证明：无论 p
37、 取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根 x1，x 2，满足 x12+x22x 1x23p 2+1，求 p 的值【分析】 （1）将原方程变形为一般式，根据方程的系数结合根的判别式，即可得出（2p+1） 20，由此即可证出：无论 p 取何值此方程总有两个实数根；（2）根据根与系数的关系可得出 x1+x25、x 1x26p 2p，结合x12+x22x 1x23p 2+1，即可求出 p 值【解答】解：（1）证明：原方程可变形为 x25x+6p 2p0（5） 24（6p 2p）2524+4p 2+4p4p 2+4p+1（2p+1） 20，无论 p 取何值此方程总有两个实数根；（2）原方程的两根为 x1、x 2，x 1+x25，x 1x26p 2p又x 12+x22x 1x23p 2+1，（x 1+x2） 2 3x1x23p 2+1，5 23（6p 2p）3p 2+1，第 20 页（共 20 页）2518+3p 2+3p3p 2+1，3p6，p2【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当0 时，方程有两个实数根” ；（2）根据根与系数的关系结合 x12+x22x 1x23p 2+1，求出 p 值