1、第 1 页（共 14 页）22.2 降次解一元二次方程同步练习卷一选择题（共 11 小题）1一元二次方程（x2） 20 的根是（ ）Ax2 Bx 1x 22 Cx 12，x 22 Dx 10，x 222方程：x 2250 的解是（ ）Ax5 Bx5 Cx 15，x 25 Dx 253用配方法解方程 x26x +10，下列配方正确的是（ ）A （x+3） 28 B （x3） 28 C （x+3） 29 D （x 3） 294用配方法解方程 x24x +60，下列配方正确的是（ ）A （x+2） 22 B （x2） 22 C （x2） 22 D （x 2） 265一元二次方程 x2+x10 的根是
2、（ ）Ax1 Bx Cx1+ Dx 6关于 x 的一元二次方程 的两根应为（ ）A B ， C D7一元二次方程 x2x 20 的解是（ ）Ax 11，x 22 Bx 11，x 22Cx 1 1，x 22 Dx 11 ，x 228一个等腰三角形的底边长是 5，腰长是一元二次方程 x26x+80 的一个根，则此三角形的周长是（ ）A12 B13 C14 D12 或 149若实数 x 满足方程（x 2+2x）（x 2+2x2）80，那么 x2+2x 的值为（ ）A2 或 4 B4 C2 D2 或410若关于 x 的一元二次方程 4x24x +c0 有两个相等的实数根，则 c 的值是（ ）A4 B4
3、 C1 D111不论 x 取何值，x x 2 1 的值都（ ）A大于等于 B小于等于C有最小值 D恒大于零二填空题（共 4 小题）第 2 页（共 14 页）12若 x290，则 x 13把方程 x2+2x50 配方后的方程为 14方程 2x25x 10 的解是 15对于实数 a，b，定义运算“”：aba 2+b，则方程 x（x2）0 的根为 三解答题（共 7 小题）16用适当方法解下列方程：（1） （x3） 290；（2） （x+1） （2x ）117解方程：（1）x 2+4x1 0（2）2x 24x+1018解方程：（1） （x1） 216（2）4x 27x+1019解方程：（1）4x 21
4、440；（2）x（x4）28x 20用换元法解下列方程：（1）y 4y 260；（2）x+ 2；（3） （x 22） （x 25）0；（4） （y 21） 27（y 21）1221已知关于 x 的方程 x24x +3a0 有两个不相等的实数根（1）求 a 的取值范围；（2）当 a 取满足条件的最小整数值时，求方程的解；（3）在（2）的条件下，若方程 x24x+3a0 的两个根是等腰ABC 的两条边长，求等腰ABC 的周长22已知关于 x 的一元二次方程 x2（m +3）x+3m 0第 3 页（共 14 页）（1）求证：方程总有实数根；（2）设这个方程的两个实数根分别为 x1，x 2，且 x12
5、+x2225，求 m 的值参考答案与试题解析一选择题（共 11 小题）1一元二次方程（x2） 20 的根是（ ）Ax2 Bx 1x 22 Cx 12，x 22 Dx 10，x 22【分析】方程两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：（x2） 20，则 x1x 22，故选：B【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是掌握要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解2方程：x 2250 的解是（ ）Ax5 Bx5 Cx 15，x 25 Dx 25【分析】这个式子先移项，变成 x29，从而把问题转化为求 9 的平方根【解
6、答】解：移项得 x225，x 15，x 25故选 C【点评】法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为 1，再开平方取正负，分开求得方程解” 3用配方法解方程 x26x +10，下列配方正确的是（ ）A （x+3） 28 B （x3） 28 C （x+3） 29 D （x 3） 29【分析】把常数项移到方程右侧，再把方程两边加上 9，然后把方程左边写成完全平方第 4 页（共 14 页）的形式即可【解答】解：x 26x 1，x26x+98，（x3） 28故选：B【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（x+m） 2n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方
7、法叫配方法4用配方法解方程 x24x +60，下列配方正确的是（ ）A （x+2） 22 B （x2） 22 C （x2） 22 D （x 2） 26【分析】先把方程变形为 x24x6，再把方程两边加上 4，然后把方程左边写成完全平方形式即可【解答】解：x 24x +60，x 24x6，x 24x+4 6+4，即（x 2） 22，故选：C【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（x+m） 2n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法5一元二次方程 x2+x10 的根是（ ）Ax1 Bx Cx1+ Dx 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可
8、判断方程根的情况【解答】解：1 24（1）50，方程有两个不相等的两个实数根，即 x 故选：D【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个： a0； b24ac 06关于 x 的一元二次方程 的两根应为（ ）A B ， C D第 5 页（共 14 页）【分析】先把方程化为一般式，再计算判别式的值，然后利用求根公式解方程即可【解答】解： x23ax + a20，（3a） 24 a2a 2，x 所以 x1 a，x 2 a故选：B【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法记住一元二次方程的求根公式7一元二次方程 x2x 20 的解
9、是（ ）Ax 11，x 22 Bx 11，x 22Cx 1 1，x 22 Dx 11 ，x 22【分析】利用因式分解法解方程即可【解答】解：（x2） （x +1）0，x20 或 x+10，所以 x12，x 21故选：D【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为 0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为 0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想） 8一个等腰三角形的底边长是 5，腰长是一元二次方程 x26x+80 的一个根，则此三角形的周长是（ ）A12
10、 B13 C14 D12 或 14【分析】先求出方程的解，再得出三角形的三边长，最后求出即可【解答】解：解方程 x26x +80 得：x 4 或 2，当三角形的三边为 5，2，2 时，2+2+5，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当三角形的三边为 5，4，4 时，符合三角形三边关系定理，此时三角形的周长为第 6 页（共 14 页）5+4+4 13，故选：B【点评】本题考查了解一元二次方程和等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键9若实数 x 满足方程（x 2+2x）（x 2+2x2）80，那么 x2+2x 的值为（ ）A2 或 4 B4 C
11、2 D2 或4【分析】设 x2+2xy ，则原方程化为 y（y2）80，求出 y，即可得出选项【解答】解：设 x2+2xy ，则原方程化为 y（y2）80，解得：y4 或2，当 y4 时，x 2+2x4，此时方程有解，当 y2 时，x 2+2x2，此时方程无解，舍去，所以 x2+2x4故选：B【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键10若关于 x 的一元二次方程 4x24x +c0 有两个相等的实数根，则 c 的值是（ ）A4 B4 C1 D1【分析】根据根的判别式得出方程，求出方程的解即可【解答】解：要使一元二次方程 4x24x+c 0 有两个相等的实数根，必须 （4）24
12、4c0，解得：c1，故选：C【点评】本题考查了解一元二次方程和根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键11不论 x 取何值，x x 2 1 的值都（ ）A大于等于 B小于等于C有最小值 D恒大于零【分析】此题需要先用配方法把原式写成（x+a） 2+b 的形式，然后求最值【解答】解：xx 21（x 2x）1（x 2x+ ）1（x ） 2 第 7 页（共 14 页）1（x ） 2+ 1（x ） 2（x ） 20（x ） 20（x ） 2 故选：B【点评】若二次项系数为 1，则常数项是一次项系数一半的平方；若二次项系数不是1，则可先提取二次项系数，将其化为 1 即可二填空题（共 4 小题）1
13、2若 x290，则 x 3 【分析】直接利用开平方法解方程得出答案【解答】解：x 290，x 29，x3故答案为：3【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方运算是解题关键13把方程 x2+2x50 配方后的方程为 （x +1） 26 【分析】移项后配方，再变形，即可得出答案【解答】解：x 2+2x50，x2+2x5，x2+2x+15+1 ，（x+1） 26，故答案为：（x+1） 26【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键，有直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法等14方程 2x25x 10 的解是 x 1 ，x 2 【分析】利用公式法求解可得【解答
14、】解：a2，b5，c1，2542（1）330，第 8 页（共 14 页）则 x ，即 x1 ，x 2 ，故答案为：x 1 ，x 2 【点评】此题考查了一元二次方程的解法此题难度不大，注意选择适宜的解题方法是解此题的关键15对于实数 a，b，定义运算“”：aba 2+b，则方程 x（x2）0 的根为 x11，x 22 【分析】根据新定义列出方程，再利用因式分解法求解可得【解答】解：根据题意，得：x 2+x20，则（x1） （x+2）0，x10 或 x+20，解得：x 11，x 22，故答案为：x 11，x 22【点评】此题分别考查了解一元二次方程，我们用适当方法首先考虑因式分解法，然后结合方程的
15、形式选择计算最简单的方法解方程即可解决问题三解答题（共 7 小题）16用适当方法解下列方程：（1） （x3） 290；（2） （x+1） （2x ）1【分析】 （1）利用直接开平方法解出方程；（2）把原方程化为一般形式，利用公式法解出方程【解答】解：（1） （x3） 290（x3） 29x33x10，x 26；（2） （x+1） （2x ）12xx 2+2x10x2x10第 9 页（共 14 页）（1） 241（1）50，xx1 ，x 2 【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法和公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键17解方程：（1）x 2+4x1 0（2）2x 24x+
16、10【分析】 （1）利用配方法得到 x+2） 25，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法得到（x1） 2 ，然后利用直接开平方法解方程【解答】解：（1）x 2+4x1，x2+4x+45，（x+2） 25，x+2 ，所以 x12+ ，x 22 ；（2）x 22x ，x22x+1 +1，（x1） 2 ，x1 ，所以 x11 ，x 21+ 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（x+m） 2n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法18解方程：（1） （x1） 216（2）4x 27x+10【分析】 （1）利用直接开平方法解方程；（2）利用公式法
17、解方程第 10 页（共 14 页）【解答】解：（1）两边开平方得 x14，所以 x15，x 23；（2）（7） 244133，x ，所以 x1 ，x 2 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法也考查了直接开平方法解一元二次方程19解方程：（1）4x 21440；（2）x（x4）28x 【分析】 （1）利用平方差公式得到（2x12） （2x+12）0，然后利用因式分解法解方程；（2）先把方程化为一般式，然后利用配方法解方程【解答】解：（1） （2x12） （2x+12）0，2x120 或 2x+120，所以 x16，x 26；（2）x 2+4x2 ，x2+
18、4x+46，（x+2） 26，x+2所以 x12+ ，x 22 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了配方法解方程20用换元法解下列方程：（1）y 4y 260；（2）x+ 2；（3） （x 22） （x 25）0；第 11 页（共 14 页）（4） （y 21） 27（y 21）12【分析】 （1）设 y2a，则原方程化为：a 2a60，求出 a，即可求出 y；（2）设 a，则原方程化为：a 2，求出 a，即可求出 x；（3）设 x2a，则原方程化为（a2） （a5）0，求出 a，即可求
19、出 x；（4）设 y2a，则原方程化为（a1） 27（a1）+120，求出 a，即可求出 y【解答】解：（1）y 4y 260，设 y2a，则原方程化为：a 2a60，解得：a 13，a 22，当 a3 时，y 23，y ，当 a2 时，y 22，此方程无解；所以原方程的解为 y1 ，y 2 ；（2）x+ 2，设 a，则原方程化为：a 2，解得：a 13，a 21，当 a3 时， 3，解得：x2 或 1，经检验 x2 或 1 都是原方程的解，当 a1 时， 1，此方程无解；所以原方程的解为 x12，x 21；（3） （x 22） （x 25）0，设 x2a，则原方程化为（a2） （a5）0，解
20、得：a2 或 5，当 a2 时，x 22，解得：x ，第 12 页（共 14 页）当 a5 时，x 25，解得：x ，所以原方程的解为 x1 ，x 2 ，x 2 ，x 4 ；（4） （y 21） 27（y 21）12，设 y2a，则原方程化为（a1） 27（a1）+120，解得：a4 或 5，当 a4 时，y 24，解得：y2，当 a5 时，y 25，解得：y ，所以原方程的解为 y12，y 22，y 2 ，y 4 【点评】本题考查了利用换元法解一元二次方程和分式方程，能正确换元是解此题的关键，注意分式方程要检验21已知关于 x 的方程 x24x +3a0 有两个不相等的实数根（1）求 a 的
21、取值范围；（2）当 a 取满足条件的最小整数值时，求方程的解；（3）在（2）的条件下，若方程 x24x+3a0 的两个根是等腰ABC 的两条边长，求等腰ABC 的周长【分析】 （1）根据判别式的意义得到（4）24（3a）0，然后解不等式即可；（2）在（1）中 a 的范围内确定 a 的最小整数为 0，此时方程为 x24x+30，利用因式分解法解方程；（3）根据等腰三角形的性质和三角形三边的关系得到等腰ABC 的腰长为 3，底边长为 1，从而得到等腰ABC 的周长【解答】解：（1）根据题意得（4）24（3a）0，解得 a1；（2）a 的最小整数为 0，此时方程为 x24x +30，（x3） （x1
22、）0，第 13 页（共 14 页）x30 或 x10，所以 x13，x 21；（3）方程 x24x +3a0 的两个根是等腰ABC 的两条边长，等腰ABC 的腰长为 3，底边长为 1，等腰ABC 的周长3+3+17【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根也考查了三角形三边的关系22已知关于 x 的一元二次方程 x2（m +3）x+3m 0（1）求证：方程总有实数根；（2）设这个方程的两个实数根分别为 x1，x 2，且 x12+x2225，求
23、m 的值【分析】 （1）利用根的判别式求出关于 m 的代数式，整理成非负数的形式即可判定b24ac0；（2）根据一元二次方程根与系数得到两根之和和两根之积，然后把 x12+x2225，转换为（x 1+x2） 2 2x1x225，然后利用前面的等式即可得到关于 m 的方程，解方程即可求出结果【解答】 （1）证明：b 24ac（m+3 ） 212mm 2+6m+912 mm 26m+9（m3） 2；又（m3） 20，b 24ac0，该方程总有实数根；（2）解：x 1+x2m+3 ，x 1x23m，x 12+x2225，（x 1+x2） 2 2x1x225，（m+3） 2 23m25，9+m2 25，m216，第 14 页（共 14 页）解得 m4故 m 的值为4【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根的判别式b 24ac：当0，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根也考查了一元二次方程的根与系数的关系：x 1+x2 ，x 1x2