1、12019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数 学一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）1 （4 分）已知集合 1A，2，3，4， 5， 3B，5， 6，则 AB 2 （4 分）计算 2limn 3 （4 分）不等式 |1|5x的解集为 4 （4 分）函数 2()0)f的反函数为 5 （4 分）设 i为虚数单位， 365zii，则 |z的值为 6 （4 分）已知 214xya，当方程有无穷多解时， a的值为 7 （5 分）在 6()x的展开式中，常数项等于 8 （5 分）在 ABC中， 3， sin2iAB，且 1co
2、s4C，则 AB 9 （5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有 种（结果用数值表示）10 （5 分）如图，已知正方形 OABC，其中 ()a，函数 23yx交 BC于点 P，函数12yx交 AB于点 Q，当 |P最小时，则 的值为 11 （5 分）在椭圆214xy上任意一点 P， Q与 关于 x轴对称，若有 12FPA，则1FP与 2Q的夹角范围为 212 （5 分）已知集合 At， 14t， 9t， 0A，存在正数 ，使得对任意a，都有 a，则 t的值是 二、选择题（本大题共
3、4 题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）下列函数中，值域为 0， )的是 ( )A 2xyB12yxC tanyxD cosyx14 （5 分）已知 a、 bR，则“ ab”是“ |b”的 ( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件15 （5 分）已知平面 、 、 两两垂直，直线 a、 b、 c满足：a， b， c，则直线 a、 b、 c不可能满足以下哪种关系 ( )A两两垂直 B两两平行 C两两相交 D两两异面16 （5 分）以 1(， 0)， 2(， )为圆心的两圆均过 (1,0)，与 y轴正半轴分别交于 1(y，0)， 2y， ，且满足 120
4、lny，则点 12,a的轨迹是 ( )A直线 B圆 C椭圆 D双曲线三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+1876 分）17 （14 分）如图，在正三棱锥 PA中， 2,3PBABC（1）若 PB的中点为 M， BC的中点为 N，求 C与 M的夹角；（2）求 A的体积18 （14 分）已知数列 na， 13，前 n项和为 nS（1）若 na为等差数列，且 45，求 n；（2）若 为等比数列，且 lim12nS，求公比 q的取值范围319 （14 分）改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为 2
5、012 年 2015年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出年份 卫生总费用（亿元）绝对数（亿元）占卫生总费用比重 (%)绝对数 （亿元） 占卫生总 费用比重 (%)绝对数 （亿元） 占卫生总费用比 重 (%)2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.992013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.142014 35312.40 11295.41 31.99 13437.
6、75 38.05 10579.23 29.962015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设 t表示 1978 年，第 n年卫生总费用与年份 t之间拟合函数 6.420.136578()tfte研究函数 ()ft的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份20 （16 分）已知抛物线方程 24yx， F为焦点， P为抛物线准线上一点， Q为线段PF与抛物线的交点，定义： |()d
7、PQ（1）当 8(,)3时，求 ；（2）证明：存在常数 a，使得 2()|dFa；（3） 1P， 2， 3为抛物线准线上三点，且 123|P，判断 13()dP与 2()dP的关系21 （18 分）已知等差数列 na的公差 (0d， ，数列 nb满足 sin()a，集合*|,nSxbN4（1）若 120,3ad，求集合 S；（2）若 ，求 使得集合 恰好有两个元素；（3）若集合 S恰好有三个元素： nTb， 是不超过 7 的正整数，求 T的所有可能的值52019 年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12
8、题每题 5 分）1 （4 分）已知集合 1A，2，3，4， 5， 3B，5， 6，则 AB 3， 【解答】解： 集合 ，2，3，4， ，3B，5， 6，A， 故答案为： 3， 52 （4 分）计算231lim4n2 【解答】解：2 231lili41nn故答案为：23 （4 分）不等式 |1|5x的解集为 (6,4) 【解答】解：由 |得 15x，即 x故答案为： 6， 4)4 （4 分）函数 2(0)fx的反函数为 1()0)fx 【解答】解：由 y解得 xy，1()0)fx故答案为 1f ()x5 （4 分）设 i为虚数单位， 365zii，则 |z的值为 【解答】解：由 365zi，得
9、，即 2i，2|z故答案为： 66 （4 分）已知 214xya，当方程有无穷多解时， a的值为 2 【解答】解：由题意，可知：方程有无穷多解，可对 2，得： 42xy再与式比较，可得： a故答案为： 7 （5 分）在 61()x的展开式中，常数项等于 15 【解答】解： 6()展开式的通项为3621rrTCx令 90得 2r，故展开式的常数项为第 3 项： 265故答案为：158 （5 分）在 ABC中， ， sin2iAB，且 1cos4C，则 AB 10 【解答】解： 3sin2i，由正弦定理可得： ，由 AC，可得： BC，1cos4，由余弦定理可得：22134AB，解得： 0AB故答
10、案为： 19 （5 分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【解答】解：在五天里，连续的 2 天，一共有 4 种，剩下的 3 人排列，故有 342A种，故答案为：2410 （5 分）如图，已知正方形 OABC，其中 (1)a，函数 2yx交 BC于点 P，函7数12yx交 AB于点 Q，当 |ACP最小时，则 a的值为 3 【解答】解：由题意得： P点坐标为 (3a， )， Q点坐标为 1(,)a，1| 23aAQCP，当且仅当 时，取最小值，故答案为： 3
11、11 （5 分）在椭圆214xy上任意一点 P， Q与 关于 x轴对称，若有 12FPA，则1FP与 2Q的夹角范围为 arcos3， 【解答】解：设 (,)xy，则 点 (,)xy，椭圆214xy的焦点坐标为 2， 0， (， )，12FPA，xy，结合214可得： 2y， 故 1FP与 2Q的夹角 满足： 222212 38cos 1()8xyyxA， 3故 arcos3， 8故答案为： 1arcos3， 12 （5 分）已知集合 At， 4t， 9t， 0A，存在正数 ，使得对任意a，都有 a，则 t的值是 1 或 3 【解答】解：当 0t时，当 t， 时，则 4ta， 9t，当 4at
12、， 9t时，则 ta， 1，即当 t时， t；当 9t时， ta，即 (9)t；当 1at时， 4ta，当 4t时， 1t，即 14t，(9)()，解得 1当 104tt时，当 at， 1时，则 ta， 1当 at， 9t，则 4t， 9t，即当 t时， 1t，当 1at时， ta，即 (1)t，即当 4at时， 9t，当 9t时， 4t，即 4(9)t，(1)()，解得 39当 90t时，同理可得无解综上， 的值为 1 或 3故答案为：1 或 二、选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13 （5 分）下列函数中，值域为 0， )的是 ( )A 2xyB12yxC tanyxD
13、 cosyx【解答】解： ， x的值域为 (0,)，故 A错B， yx的定义域为 ， )，值域也是 ， )，故 B正确C， tan的值域为 (,，故 C错D， cosyx的值域为 1， ，故 D错故选： B14 （5 分）已知 a、 bR，则“ 2ab”是“ |ab”的 ( )A充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件【解答】解： 2ab等价， 2|ab，得“ |ab”，“ 2”是“ |”的充要条件，故选： C15 （5 分）已知平面 、 、 两两垂直，直线 a、 b、 c满足：10a， b， c，则直线 a、 b、 c不可能满足以下哪种关系 ( )A两两垂直 B两两
14、平行 C两两相交 D两两异面【解答】解：如图 1，可得 、 、 c可能两两垂直；如图 2，可得 a、 b、 c可能两两相交；如图 3，可得 、 、 可能两两异面；故选： B16 （5 分）以 1(a， 0)， 2(， )为圆心的两圆均过 (1,0)，与 y轴正半轴分别交于 1(y，0)， 2y， ，且满足 120lny，则点 12,a的轨迹是 ( )A直线 B圆 C椭圆 D双曲线【解答】解：因为 2111|ray，则 211，同理可得 22y，又因为 10ln，所以 2y，则 12()a，即 2，11则 12a，设 12xya，则 2xy为直线，故选： A三、解答题（本大题共 5 题，共 14
15、+14+14+16+1876 分）17 （14 分）如图，在正三棱锥 PABC中， 2,3PBCABC（1）若 PB的中点为 M， 的中点为 N，求 与 M的夹角；（2）求 AC的体积【解答】解：（1） M， N分别为 PB， C的中点， /MNPC，则 PCA为 与 所成角，在 中，由 2PC， 3A，可得 cos 42，AC与 MN的夹角为 3arcos4；（2）过 P作底面垂线，垂直为 O，则 为底面三角形的中心，连接 O并延长，交 BC于 N，则 2A， 13AN2134PABCV1218 （14 分）已知数列 na， 13，前 n项和为 nS（1）若 na为等差数列，且 45，求 n
16、；（2）若 为等比数列，且 lim12nS，求公比 q的取值范围【解答】解：（1） 4135ad， 4d，2()3nSn；（2） 1nq， limnS存在， 1q，limnS存在， 1且 0q， 3()lilim1nnSq，312q， 34， 或 4q，公比 的取值范围为 (1， 0)(， 3)19 （14 分）改革开放 40 年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为 2012 年 2015年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比个人现金卫生支出 社会卫生支出 政府卫生支出年份
17、卫生总费用（亿元）绝对数（亿元） 占卫生总费用比重 (%)绝对数（亿元）占卫生总费用比重(%)绝对数（亿元）占卫生总费用比重 ()2012 28119.00 9656.32 34.34 10030.70 35.67 8431.98 29.99132013 31668.95 10729.34 33.88 11393.79 35.98 9545.81 30.142014 35312.40 11295.41 31.99 13437.75 38.05 10579.23 29.962015 40974.64 11992.65 29.27 16506.71 40.29 12475.28 30.45（数据来
18、源于国家统计年鉴）（1）指出 2012 年到 2015 年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设 t表示 1978 年，第 n年卫生总费用与年份 t之间拟合函数 6.420.136578()tfte研究函数 ()ft的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过 12 万亿的年份【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多（2） 6.420.136tye是减函数，且 6.420.136tye，6.420.136578()tft在 N上单调递增，令 31te，解得 50.68t，当 5t时，我国卫生总费用超过 12 万亿，预测我国到 20
19、28 年我国卫生总费用首次超过 12 万亿20 （16 分）已知抛物线方程 24yx， F为焦点， P为抛物线准线上一点， Q为线段PF与抛物线的交点，定义： |()dPQ（1）当 8(,)3时，求 ；（2）证明：存在常数 a，使得 2()|dFa；（3） 1P， 2， 3为抛物线准线上三点，且 123|P，判断 13()dP与 2()dP的关系【解答】解：（1）抛物线方程 24yx的焦点 (,0)F， 8(,)3，8432PFk， 的方程为 (1)3，代入抛物线的方程，解得 14Qx，抛物线的准线方程为 x，可得 26410|93PF，1415|4QF， |8()3PFdQ；（2）证明：当
20、,0时， 2()|2ad，设 (1,)Py， ， :1Fxmy，则 Py，联立 xm和 24，可得 240，224161Qmm，22 22()|1(1)PPQydFymA221mA，则存在常数 a，使得 ()|dPFa；（3）设 1(,)Py， 21,y， 3(,)y，则 222312132)4(|44dpdPyy222 22313 13134()4()6yy，由 2222213131313()()648yy，1 34)(48()0yyy，则 132()dPdP21 （18 分）已知等差数列 na的公差 (0d， ，数列 nb满足 sin()a，集合*|,nSxbN（1）若 120,3ad，求
21、集合 S；（2）若 ，求 使得集合 恰好有两个元素；（3）若集合 S恰好有三个元素： nTb， 是不超过 7 的正整数，求 T的所有可能的值【解答】解：（1） 等差数列 na的公差 (0d， ，数列 nb满足 sin()a，集合15*|,nSxbN当 120,3ad，集合 S，0， （2） 12a，数列 nb满足 sin()a，集合 *|,nSxbN恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，等差数列 n的终边落在 y轴的正负半轴上时，集合 S恰好有两个元素，此时 d， 1a终边落在 OA上，要使得集合 S恰好有两个元素，可以使 2a， 3的终边关于 y轴对称，如图 B， C，此时 23d，综上，
22、23d或者 （3）当 T时， 3nb，集合 1Sb， 2， 3，符合题意当 4时， 4， si(4)sinnada， 42nndak，或者 42nnadka，等差数列 na的公差 (0d， ，故 42nnadk， d，又 1k，2当 1k时满足条件，此时 S，1， 当 5T时， 5nb， si(5)sinnada， 52nndak，或者 52nnadka，因为 (0d， ，故 1k，2当 1k时， sinS，1， sin0满足题意当 6T时， 6nb， i(6)innada，所以 2nadk或者 2k， (0d， ，故 1k，2，316当 1k时， 3,02S，满足题意当 7T时， 7nb， si(7)sininnada，所以 72nnadk，或者nadka， 0d， ，故 1k，2，3当 1时，因为 17b对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有2mna， 2dn， 7mn， ，不符合条件当 k时，因为 17b对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有2mna， 4dn， n不是整数，不符合条件当 3k时，因为 17b对应着 3 个正弦值，故必有一个正弦值对应着 3 个点，必然有2mna或者 4， 267dmn，或者 467dmn，此时， mn均不是整数，不符合题意综上， 3T，4，5，617