1、理科素养数学试题第1页共5页2019年蚌埠市高中创新潜质特长生招生测试理科素养数学试题注意事项1本卷满分150分，考试时间120分钟；2所有题目必须在答题卡上作答，否则不予计分.一选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，每小题均给出了A,B,C,D四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，不填、多填或错填均得0分)1.平面内到三角形三条边所在直线距离相等的点有几个?( D )A.1 B.2 C.3 D.4解析：内心1个，旁心3个2.若24 ( 2) 0x y xy ，则x3+y3的值为( C )A.32 B.36 C.40 D.44解析：易证x+y=4，xy=2，x3+y3=(x+y)(x
2、2xy+y2)=(x+y)(x+y)23xy=4(4232)=40.3.设n为正整数，记n!=1 2 n ，则1! 2! 2019! 的末位数字是( C )A.0 B.1 C.3 D.5解析：1!=1，2!=2，3!=6，4!=24，5!=120，6!=720，n!=1 2 n .从5开始末位数字都是零，所以只要考虑前4个末位数字的和即可，故C.4.设a，b，c为实数，且满足b c a c a b a b ca b c ，则( )( )( )abca b b c c a 的值为( D )A.18 B.1 C.18或1 D.1或18解析：1b c a b ca a ，1c a b c ab b
3、，1a b c a bc c ，b c c a a b ka b c ，2( ) ( )a b c k a b c ，2 1k 或，31 1 1( )( )( ) 8abca b b c c a k 或.故D.5.如图，三棱锥SABC中，SA=SB=SC=2，30ASB BSC CSA ，M，N分别为棱SB，SC上的点，则AMN周长的最小值为( B )A.2 B.2 2 C.3 D.2 3解析：侧面展开，A,M,N,A在同一条直线上时最小，AA= 2 2 2 2SA SA .故B.理科素养数学试题第2页共5页6.凸2019边形有n个内角为锐角，则n的最大值为( A )A.3 B.4 C.5 D
4、.6解析：凸2019边形最多有3个外角为钝角，所以最多有3个内角为锐角，故A.二、填空题(本大厦共6小题，每小题6分，共36分)7.函数1 3 5y x x x 的最小值是.解析：设1 2 3, , , , na a a a是数轴上依次排列的点表示的有理数.当n为偶数时,若12 2n na x a ，则1 2 nx a x a x a 的值最小；当n为奇数时,若12nx a ,则1 2 nx a x a x a 的值最小.所以，1 3 5y x x x 当x=3时最小为4.8.设a，b为整数，且方程x2+ax+b=0有一个根为7 4 3，则a+b= .解析：因为27 4 3 (2 3) 2 3
5、 ，代入整理得3( 4) (2 7) 0a a b ，所以4 0 2 7 0a a b 且，解得4 1a b ，.故3a b .9.已知为锐角，4tan 3 ，则tan 2 .解析：利用网格构造12345模型，即可1tan 2 2 ，也可以使用高中二倍角公式22tantan2 1 tan ，或半角公式sin 1 costan 2 1 cos sin .10.如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=12，M为AB中点，N为BC边上一动点，将MNB沿MN折叠，利到MNB，则CB的最小值为.理科素养数学试题第3页共5页解析：B在半圆圆M上，M,B,C在同一条直线上时最小，CB= 2 2MB BCMB
6、=135=811.360的所有正约数之和为.解析：利用约数和定理即可，因为3 2360 2 3 5 ，有正约数(3 1) (2 1) (2 1) 24 个，其所有正约数和为0 1 2 3 0 1 2 0 1(2 2 2 2 ) (3 3 3 ) (5 5 ) 1170 .12. ABC中，B C ，点P，Q分别在边AC和AB上，满足AP=PQ=QB=BC，则A = .解析：过B作BO/PQ,过P作PO/AB,连接OC易证PQBO为菱形 OP=QP=APAB=AC,AP=BQ AQ=PCA=AQP=QBO=QPO=OPC=12QPC APQPOC OC=PQ=BO=BQ=BC BOC为正三角形O
7、BC=OCB=BOC=60QBO=PCO=A=20三、解答题(本大题共5小题，共78分)13.(14分)(1)设n为正整数，求证：n2 +(n+1)2 +n2(n+1)2是完全平方数；(2)计算：2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 11 1 11 2 2 3 2019 2020 .解析：(1)n2 +(n+1)2 +n2(n+1)2=n(n+1)2+n(n+1)+1=n(n+1)+12是完全平方数.(2) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 21 1 ( 1) ( 1) 1 ( 1) 1 1 11 1 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1n n n n n nn n n n n
8、 n n n n n 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 (1 ) (1 ) (1 )1 2 2 3 2019 2020 1 2 2 3 2019 2020 1 1 20191 2019 ( ) 20191 2020 2020 .14.(14分)如图，ABC中，BAC的平分线交BC于点D，交ABC的外接圆于点E.求证：(1)BE2=EDEA；(2)AD2=ABACDBDC.理科素养数学试题第4页共5页解析：(1)1=2=3，4=4 AEB BED BE EADE BE BE2=EDEA(2)连接EC，1=2，5=5 ABD AEC AB ADAE A
9、C AD AE AB AC 2( ) ,AD AD DE AB AC AD AD DE AB AC 即 2AD AB AC AD DE 又因为DEB DCA ,BD AD BD DC AD DEDE DC 即 AD2=ABACDBDC.15.(16分)如图，在平面直角坐标系中已知四边形ABCD为菱形，且A(0，3),B(4，0).(1)求过点C的反比例函数表达式；(2)设直线l与(1)中所求函数图象相切，且与x轴，y轴的交点分别为M，N，O为坐标原点.求证: OMN的面积为定值.解析：(1)四边形ABCD为菱形，A(0，3)，B(4，0) C(4，5) ( 4) ( 5) 20k .(2)设直
10、线l为y=kx+b，直线l与(1)中所求函数20y x图象相切 22 80 0 80bb k k ，即代入y=kx+b得280by x b ，求得80( ,0), (0, )M N bb，OMN的面积=12OMON=1 80 802 OM ON bb .16.(17分)如图，A=60，AP，AQ，BC与S相切，P，Q为切点，直线SB，SC分别交PQ于M，N两点，连接CM，BN.理科素养数学试题第5页共5页(1)求BSC的大小；(2)求证：BNSC；(3)求MNBC的值.解析：(1)连接ST，SG，SCAPS=AQS=90PAQ=60APS=120PSB=GSB,QSC=GSCBSC=60(2)
11、切线AP=AQ,PAQ=60 APQ是正三角形APQ=BSC=60 B,P,S,N四点共圆BPS+BNS=180BNS=BPS=90，BNST(同理CMBS)(3)易证SMNSCB MN/BC=SN/SB=1/2.17.(17分)如图，ABC中，P为BC边上一点，E为线段PC的中垂线与边AC的交点，D为线段BP的中垂线与边AB的交点，点P关于直线DE的对称点为点Q.(1)证明：A，Q，D，E四点共圆；(2)证明：A，Q，B，C四点共圆.证明：(1)连接QA,QD,QE,QP,PD,PE根据对称性知：DQ=DP,EQ=EP1=2,3=4,EQD=1+3=2+4=DPEEC=EP,DB=DPC=5,B=6,A+B+C=180A+6+5=180DPE+6+5=180A=DPE=EQD A，Q，D，E四点共圆(2)连接QB,QCA，Q，D，E四点共圆1=2BDQ=QCEBD=PD=QD,QE=PE=CE BDQCEQBQD=CQEBQC=DQE=DPE=A A，Q，B，C四点共圆