1、方程和不等式综合问题一、单选题1已知 且 xy 3，则 z 的值为( )2+3=3+4=2+6 A9 B3 C12 D不确定2 若关于 x 的方程 kx2（k+1）x+10 的根是整数，则满足条件的整数 k 的个数为（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3关于 x 的方程 x22mx+4=0 有两个不同的实根，并且有一个根小于 1，另一个根大于3，则实数 m 的取值范围为（ ）Am
2、 Bm Cm2 或 m2 D m52 52 1364如果关于 x 的分式方程 -2= 有正整数解，且关于 x 的不等式组 无2+3 43 4<3(3)鈮 ? 解，那么符合条件的所有整数 a 的和是（ ）A B C D16 15 6 45某超市推出如下优惠方案:(1)一次性购物不超过 100 元不 享受优惠;(2)一次性购物超过 100 元,但不超过 300 元一律 9 折;(3)一次性购物超过 300 元一律
3、8 折.李明两次购物分别付款 80 元,252 元.如果李明一次性购买与这两次相同的物品,则应付款( )A288 元 B332 元C 288 元或 316 元 D332 元或 363 元6对于两个实数 ， ，用 表示其中较大的数，则方程 的 解是（ ）A ， B ， C ， D ，1 1+2 1 1 2 1 1+2 1 27已知关于 的一元二次方程 的两个实数根的平方和为 ，那么 的值2+21=0 7是（ ）A5 B-1
4、 C5 或-1 D-5 或 18已知 、 、 都是实数，且 ，则 =+()A只有最大值 B只有最小值C既有最大值又有最小值 D既无最大值又无最小值9将 个数 、 、 、 排成 行、 列，两边各加一条竖直线记成 ，定义4 2 2 | |，上述记号就叫做 阶行列式若 ，则 的值为（ | |= 2 |+1 11 +1|=6 ( 3)2）A B C D
5、6 5 5 610小华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 ，这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答13(12 +)=1螖5案，知道此方程的解是 x=5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业.同学们，你能补出这个常数吗？它应该是A2 B3 C4 D511使得关于 x 的不等式组 有且只有 4 个整数解，且关于 x 的分式方程6鈮 ?10-1+12<18+32 + =-8 的解为正数的所有整数 a 的值之和为（ ）14 274
6、A11 B15 C18 D1912若数 a 使关于 x 的不等式组 ，有且仅有三个整数解，且使关于 y 的分式方程 =1 有整数解，则满足条件的所有 a 的值之和是（ ）32+122A10 B12 C16 D1813若方程组 的解满足 x1，且 y1，则整数 k 的个数是( )A4 B3C 2 D114已知三个非负数 a、 b、 c 满足 若 ，则3+2+=5,
7、2+3=1,的最小值为（ ）A B C D1111 57 7815我们知道，一元二次方程 x2=1 没有实数根，即不存在一个实数的平方等于 1若我们规定一个新数“i” ，使其满足 i2=1（即方程 x2=1 有一个根为 i） 并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1=i，i 2=1，i 3=i2i=（1）i=i，i 4=（i 2） 2=（1 ） 2=1，从而对于任意正整数 n，我们可以得到 i4n+1=i4ni=（i 4） ni=i，
8、同理可得 i4n+2=1，i 4n+3=i，i 4n=1那么i+i2+i3+i4+i2012+i2013 的值为（ ）A0 Bi C1 D1二、填空题16植树节期间，市团委组织部分中学的团员去东岸湿地公园植树三亚市第二中学七（3）班团支部领到一批树苗，若每人植 4 棵树，还剩 37 棵；若每人植 6 棵树，则最后一人有树植， 但不足 3 棵，这批树苗共有_棵17若关于 x，y 的方程组 的 解使 4x7y2 成立，则 k 的取值范围是3+2=123=2 _18人民路有甲乙两家超市，春节来临
9、之际两个超市分别给出了不同的促销方案：甲超市购物全场 8.8 折乙超市购物不超过 200 元，不给予优惠；超过 200 元而不超过 600 元，打 9 折；超过 600 元，其中的 600 元仍打 9 折，超过 600 元的部分打 8 折（假设两家超市相同商品的标价都一样）当标价总额是_元时，甲、乙两家超市实付款一样19假设北碚万达广场地下停车场有 5 个出入口，每天早晨 6 点开始对外停车且此时车位空置率为 75%，在每个出入口的车辆数均是匀速出入的情况下，如果开放 2 个进口和 3 个出口，8 小时车库恰好停满；如果开放 3 个进口和 2 个出口，2 小时车库恰好停满2019年元旦节期间，
10、由于商场人数增多，早晨 6 点时的车位空置率变为 60%，又因为车库改造，只能开放 2 个进口和 1 个出口，则从早晨 6 点开始经过_小时车库恰好停满20若关于 x 的方程 的解为整数，且不等式组 无解，则所有3=3+3 3满足条件的非负整数 a 的和为_21 2018 年秋，珊瑚中学开启“珊中大阅读”活动,为了充实漂流书吧藏书,号召全校学生捐书, 得到各班的大力支持.同时, 本部校区的两个年级组也购买藏书充实学校图书室,初二年级组购买了甲、乙两种自然科学书籍若干本,用去 8315 元 ;初一年级买了 A、B 两种文学书籍若干本,用去 6138 元。其中 A、B 的数量分别与甲、乙的数量相等
11、,且甲种书 与 B 种书的单价相同,乙种书与 A 种书的单价相同. 若甲种书的单价比乙种书的单价多 7 元,则甲种书籍比乙种书籍多买了_本.(2)一次性购物超过 100 元,但不超过 300 元一律 9 折;(3)一次性购物超过 300 元一律 8 折.李明两次购物分别付款 80 元,252 元.如果李明一次性购买与这两次相同的物品,则应付款( )A288 元 B332 元C 288 元或 316 元 D332 元或 363 元【答案】C李明消费超过 300 元，这时候他是按照 8 折付款的，设第二次实际购物价钱为 y 元，依题意
12、有 y0.8=252，解得 y=315.综上所述，在第二次消费 252 元的情况下，他的实际购物价钱可能是 280 元，也可能是315 元，即李明两次购物的实际价钱为 80+280=360(元) 或 80+315=395(元)，若李明一次性购买，则应付款 3600.8=288(元)或 3950.8=316(元).故选 C.【关键点拨】本题考查了一元一次方程的应用，能够分析出第二次购物可能有两种情况，进行讨论是解决本题的关键6对于两个实数 ， ，用 表示其中较大的数，则方程 的 解是（ ）A ， B ， C ，
13、D ，1 1+2 1 1 2 1+2 1 2【答案】C【解析】max（a，b）表示其中较大的数，当 x0 时，max（x，-x ）=x，方程为 x2=2x+1，x2-2x+1=2，（x-1） 2=2，x-1= ，2x=1 ，2x0，x=1+ ；2当 x0 时，max（x，-x ）=-x方程为-x 2=2x+1x2+2x+1=0，（x+1） 2=0，x=-1，故方程 xmax（x，-x）=2x+1 的解是-1，1+ 2故选 C【关键点拨】本题考查了配方法解一元一次方程，根据题意得出 x2=2x+1 和-x 2=2x+1 是本题的关键7已知关于 的一元二次方程 的两个实数根的平方和为 ，那么 的
14、2+21=0 7 值是（ ）A5 B-1 C5 或-1 D-5 或 1【答案】B解得 m4+2 或 m4-2 3 3m=5 舍去，m=-1 ，故选 B.【关键点拨】本题考查一元二次方程判别式的性质及根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系和判别式的性质是解题关键.8已知 、 、 都是实数，且 ，则 =+()A只有最大值 B只有最小值C既有最大值又有最小值 D既无最大值又无最小值【答案】C【关键点拨】本题考查了配方法的应用，熟练掌握用配方法求二
15、次函数的最值是解题关键9将 个数 、 、 、 排成 行、 列，两边各加一条竖直线记成 ，定义4 2 2 | |，上述记号就叫做 阶行列式若 ，则 的值为（ | |= 2 |+1 11 +1|=6 ( 3)2）A B C D6 5 5 6【答案】A【解析】根据定义 =6|+1 11 +1|=(+1)2+(1)2整理得： =2，2所以 =3 =6( 3)2 2故选 A.【关键点拨】本题考查了解一元二次方程，弄清题中的新定义列出方程是解本题的关键10小
16、华在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数弄脏了而看不清楚，被弄脏的方程是 ，这该怎么办呢？他想了一想，然后看了一下书后面的答13(12 +)=1螖5案，知道此方程的解是 x=5，于是，他很快便补好了这个常数，并迅速地做完了作业.同学们，你能补出这个常数吗？它应该是A2 B3 C4 D5【答案】D11使得关于 x 的不等式组 有且只有 4 个整数解，且关于 x 的分式方程+ =-8 的解为正数的所有整数 a 的值之和为（ ）14 274A11 B15 &nbs
17、p; C18 D19【答案】C【解析】由不等式组得 ，学科初一年级买了 A、B 两种文学书籍若干本,用去 6138 元。其中 A、B 的数量分别与甲、乙的数量相等,且甲种书与 B 种书的单价相同,乙种书与 A 种书的单价相同. 若甲种书的单价比乙种书的单价多 7 元,则甲种书籍比乙种书籍多买了_本.【答案】311【解析】设乙的单价为 x 元/本，则甲为（7+x）元/本,甲购买了 a 本,乙买了 b 本,A 的单价为 x 元/本，B 为（ 7+x）元/本, A 购买了 a 本,B 买了 b 本,依题意得： -得：7a-7b=2177,a-b=311,学5;
18、 （2 ）-5；（3 ）2 或 秒；（4）存在，当 m=3 时，4AP+3OB-mOP 为定167值 55（2 ） |AB|=5-（-10）=15， =7.5，152点 A、点 B 距离折叠点都是 7.5 个单位所以折叠点上的数为-2.5所以与点 O 重合的点表示的数为：-2.52=-5即原点 O 与数 -5 表示的点重合故答案为：-5（3 ）设 x 秒后 A、B 相距 1 个单位长度，当点 A 在点 B 的左侧时，4x+3x=15-1，解得，x=2，当点 A 在点 B 的右侧时，4x+3x=15+1，解得，x= 167答：2 或 秒后 A、B 相距 1 个单位长度；【
19、关键点拨】本题考查一元一次方程的应用，非负数的性质及数轴上两点间的距离题目综合性较强，难度较大解决（1）需利用非负数的性质，解决（ 3）注意分类思想的运用，解决（ 4）利用数轴上两点间的距离公式31 （背景知识）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美结合研究数轴我们发现有许多重要的规律:例如，若数轴上 点、 点表示的数分别为 、 ，则 、 两点之间的距离 ，线 =|段 的中点 表示的数为 +2（问题情境）在数轴上，点 表示的数为-20，点 表示的数为 10，动点 从点 出发沿数轴正方向运动， 同时，动点 也从点 出发沿数轴负方向运动，已知运动到 4 秒钟时， 、 两 点相遇，且
20、 动点 、 运动的速度之比是 （速度单位:单位长度/ 秒） 3:2备用图（综合运用）（1 ）点 的运动速度为_单位长度/秒，点 的运动速度为_单位长度/秒； （2 ）当 时，求运动时间；（3 ）若点 、 在相遇后继续以原来的速度在数轴上运动，但运动的方向不限，我们发现: 随着动点 、 的运动，线段 的中点 也随着运动问点 能否与原点重合？若能，求出 从 、 相遇起经过的运动时间，并直接写出点 的运动方向和运动速度；若不能，请说明 理由【答案】 （1）动点 P 运动的速度为 4.5 单位长度/秒，动点 Q 运动的速度为 3 单位长度/秒；（2 ）运动时间为 或 秒；（3 ）点 M 能与原点重合，
21、它沿数轴正方向运动，运动速度为163 83或沿数轴正方向运动，运动速度为 ，理由见解析154 342）设运动时间为 t 秒由题意知：点 P 表示的数为 204.5t，点 Q 表示的数为 103t，根据题意得：|（204.5t ）（103t ） |= |（20）10|13整理得：|7.5 t 30|=107 5t30=10 或 7.5t30=10解 得：t= 或 t= 163 83答：运动时间为 或 秒163 83（3 ） P、 Q 相遇点表示的数为20 44.5=2 （注：当 P、Q 两点重合时，线段 PQ 的中点 M 也与 P、Q 两点重合）设从 P、Q 相遇起经过的运动时间为 t 秒时，点
22、 M 与原点重合点 P、Q 均沿数轴正方向运动，则：(2+4.5)+(2+3)2 =0解得：t= 815此时点 M 能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为 2 （单位长度/ 秒） ；815=154点 P 沿数轴正方向运动，点 Q 沿数轴负方向运动，则：(2+4.5)+(23)2 =0解得：t= 83此时点 M 能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为 2 = （单位长度/秒） ；8334点 P 沿数轴负方向运动，点 Q 沿数轴正方向运动，则：(24.5)+(2+3)2 =0解得：t= （舍去） 此时点 M 不能与原点重合；点 P 沿数轴负方向运动，点 Q 沿数轴负方向运动，则：解得：
23、t= （舍去） 815此时点 M 不能与原点重合综上所述：点 M 能与原点重合，它沿数轴正方向运动，运动速度为 或沿数轴正方向运动，154运动速度为 34【关键点拨】本题考查了一元一次方程的应用应用和数轴，解题的关键是掌握点的移动与点所表示的数之间的关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解32小明每隔一小时记录某服装专营店 8：0018：00 的客流量（每一时段以 200 人为标准，超出记为正，不足记为负） ，如表所示：时段8：009：0010：0011：0012：0013：0014：0015：00 16：0017：00客流量（人）-21 +33 -12 +21 +54（1
24、）若服装店每天的营业时间为 8：0018；00，请你估算一周（不休假）的客流量；（单位：人） （精确到百位） （2）若服装店在某天内男女装共卖出 135 套，据统计，每 15 名女顾客购买一套女装，每20 名男顾客购买一套男装，则这一天卖出男、女服装各多少套？（3）若每套女装的售价为 80 元，每套男装的售价为 120 元，则此店一周的营业额约为多少元？【答案】 （1）1.5110 4人；（2）这一天卖出男装 25 套，女装 110 套(3) 此店一周的营业额约为 82600 元（2 ）设这一天卖出女装 x 套，男装（135-x ）套,根据题意得，15x+20(135-x)=2150,解得，x=110，135-x=135-110=25.故这一天卖出男装 25 套，女装 110 套（3 ）因为第二问中某一天出售男装 25 套，女装 110 套，每套女装的售价为 80 元，每套男装的售价为 120 元所以此店一周的营业额约为：（25120）+（11080）7=3000+88007=118007=82600（元）故此店一周的营业额约为 82600 元【关键点拨】本题考查正数和负数的加法、解方程组、数据的估算，注意第一问中精确到百位