1、2019 年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若 i 为虚数单位，则 （ ）Ai Bi C1 D12 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zy2x 的最大值为（ ）A7 B5 C3 D13 （5 分）若 p：x R，sin x1，则（ ）A p： x0R，sin x 01 Bp：x R，sin x1Cp： x0R，sin x 01 Dp：xR，sin x14 （5 分）已知 alog 34， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc
2、 Bbac Ccba Dc ab5 （5 分）若 a0，b0，且 a+b4，则下列不等式恒成立的是（ ）A B + 1C 2 D 6 （5 分）设a n是公比为 q 的等比数列，则“q1”是 “an为递增数列”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7 （5 分）已知双曲线 C： y 21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为 M，N若OMN 为直角三角形，则|MN| （ ）A B3 C2 D48 （5 分）已知函数 f（x ） sinx+cosx（ 0） ，xR，在曲
3、线 yf（x）与直线y1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，则 f（x）的最小正周期为（ ）第 2 页（共 18 页）A B C D2二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）已知集合 U（x，y ）|x 2+y21，x Z，y Z，则集合 U 中的元素的个数为 （用数字填写）10 （5 分）已知函数 ，则 f（x ）的最大值为 11 （5 分）圆 C：（x 1） 2+y21 的圆心到直线 l：x y+a0（a0）的距离为 ，则a 的值为 12 （5 分）运行如
4、图所示的程序，输出结果为 13 （5 分）平面 截球 O 所得的截面圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的体积为 14 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）f（x）+x+a，若 g（x）存在 2 个零点，则实数 a 取值范围是 三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c已知bsinA3c sinB， a3，cos B （1）求 b 的值；（2）求 sin（2B ）的值16 （
5、13 分）根据调查，某学校开设了“街舞” 、 “围棋” 、 “武术”三个社团，三个社团参加的人数如表所示：社团 街舞 围棋 武术人数 320 240 200第 3 页（共 18 页）为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 n 的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少 2 人（）求三个社团分别抽取了多少同学；（）若从“围棋”社团抽取的同学中选出 2 人担任该社团活动监督的职务，已知“围棋”社团被抽取的同学中有 2 名女生，求至少有 1 名女同学被选为监督职务的概率17 （13 分）如图，四面体 ABCD 中，O 、E 分别 BD、BC 的中
6、点，AB AD ，CACBCDBD 2（1）求证：AO平面 BCD；（2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值大小；（3）求点 E 到平面 ACD 的距离18 （13 分）设等差数列a n的公差为 d，d 为整数，前 n 项和为 Sn，等比数列b n的公比为 q，已知 a1b 1，b 22，dq，S 10100，n N*（1）求数列a n与b n的通项公式；（2）设 ，求数列c n的前 n 项和为 Tn19 （14 分）设 F1、F 2 分别是椭圆 （ab0）的左、右焦点，|F 1F2|2，直线 l 过 F1 且垂直于 x 轴，交椭圆 C 于 A、B 两点，连接 A、B、F 2，所组成的
7、三角形为等边三角形（）求椭圆 C 的方程；（）过右焦点 F2 的直线 m 与椭圆 C 相交于 M、N 两点，试问：椭圆 C 上是否存在点P，使 成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由20 （14 分）已知函数 f（x ）x 3+ax2a 2x+3，aR（1）若 a0，求函数 f（x ）的单调减区间；（2）若关于 x 的不等式 2xlnxf'（x）+a 2+1 恒成立，求实数 a 的范围第 4 页（共 18 页）2019 年天津市红桥区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）若 i 为虚数单位，则
8、 （ ）Ai Bi C1 D1【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： 故选：B【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zy2x 的最大值为（ ）A7 B5 C3 D1【分析】画出满足条件的可行域，求出各个角点的坐标，代和目标函数比较大小后，可得目标函数 zy2x 的最大值【解答】解：满足变量 x，y 满足约束条件 的可行域如下图所示：第 5 页（共 18 页）由 得：x1，y1，故目标函数 zy2x 的最大值是 3，故选：C【点评】利用线性规划求最值的步骤：（1）在平面直角坐标
9、系内作出可行域（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（ax+by 斜率型） 、 （ 型型）和距离型（x+a） 2+（y+b） 2 型） （3）确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值3 （5 分）若 p：x R，sin x1，则（ ）A p： x0R，sin x 01 Bp：x R，sin x1Cp： x0R，sin x 01 Dp：xR，sin x1【分析】根据全称命题的否定为特称命题，分别对量词和命题的结论分别进行否定即可求解【解答】解：根据全称命题的否定为特称命题可知
10、，xR，sin x 1 的否定为：x R，sin x1故选：A【点评】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础试题第 6 页（共 18 页）4 （5 分）已知 alog 34， ， ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bbac Ccba Dc ab【分析】容易得出 ， ，从而得出 a，b，c 的大小关系【解答】解： ， ；cab故选：D【点评】考查对数函数和指数函数的单调性，对数的换底公式5 （5 分）若 a0，b0，且 a+b4，则下列不等式恒成立的是（ ）A B + 1C 2 D 【分析】由题设知 ab ，所以 ， ， ， ，由此能够排除选项 A
11、、B、C，从而得到正确选项【解答】解：a0，b0，且 a+b4，ab ， ，故 A 不成立；，故 B 不成立；，故 C 不成立；ab4，a+b4，162ab8， ，故 D 成立故选：D【点评】本题考查不等式的基本性质，解题时要注意均值不等式的合理运用6 （5 分）设a n是公比为 q 的等比数列，则“q1”是 “an为递增数列”的（ ）第 7 页（共 18 页）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据等比数列的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论【解答】解：等比数列1，2，4，满足公比 q21，但a n不是递增数列，
12、充分性不成立若 an1 为递增数列，但 q 1 不成立，即必要性不成立，故“q1”是“a n为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用等比数列的性质，利用特殊值法是解决本题的关键7 （5 分）已知双曲线 C： y 21，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为 M，N若OMN 为直角三角形，则|MN| （ ）A B3 C2 D4【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出 MN 的坐标，然后求解|MN| 【解答】解：双曲线 C： y 21 的渐近线方程为：y ，渐近线的夹角为：60，
13、不妨设过 F（2，0）的直线为：y ，则： 解得 M（ ， ） ，解得：N（ ） ，则|MN | 3故选：B【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力8 （5 分）已知函数 f（x ） sinx+cosx（ 0） ，xR，在曲线 yf（x）与直线y1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，则 f（x）的最小正周期为（ ）A B C D2第 8 页（共 18 页）【分析】根据 f（x ）2sin（x+ ） ，再根据曲线 yf （x）与直线 y1 的交点中，相邻交点距离的最小值为 ，正好等于 f（x ）的周期的 倍，求得函数 f（x）的周期T 的值【解答】解：已知函数 f（
14、x） sinx+cosx2sin（x + ） （ 0） ，xR，在曲线 yf（x）与直线 y1 的交点中，若相邻交点距离的最小值为 ，正好等于f（x）的周期的 倍，设函数 f（x）的最小正周期为 T，则 ，T，故选：C【点评】本题主要考查函数 yAsin （ x+）的图象特征，得到 正好等于 f（x）的周期的 倍，是解题的关键，属于中档题二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分9 （5 分）已知集合 U（x，y ）|x 2+y21，x Z，y Z，则集合 U 中的元素的个数为 5 （用数字填写）【分析】集合 U 的元素代表单位圆圆周及其内部的点，分坐标轴和象限进行讨论，即
15、可得到结论【解答】解：集合 U 的元素代表单位圆圆周及其内部的两坐标皆为整数的点，坐标轴上满足 x2+y21 有 5 个，分别为（0，0） ， （1，0） ， （0，1） ， （1，0） ，（0，1） 象限内没有满足 x2+y21 的点，故填：5【点评】本题考察集合的表示以及点与圆的位置关系，解题时需注意集合 U 的元素为两坐标均为整数的点，本题属于基础题10 （5 分）已知函数 ，则 f（x ）的最大值为 【分析】先求导函数，再确定函数的单调性，从而可求函数的最大值【解答】解：求导函数由 f（x）0 可得 1lnx 0第 9 页（共 18 页）xex（0，e） ，f
16、（x ）0，x （e ，+ ） ，f （x）0，xe 时，函数 f（x） 取得最大值为故答案为：【点评】本题主要考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数确定函数的单调性，从而求出函数的最值11 （5 分）圆 C：（x 1） 2+y21 的圆心到直线 l：x y+a0（a0）的距离为 ，则a 的值为 1 【分析】根据题意，求出圆 C 的圆心，由点到直线的距离公式可得 d ，解可得 a 的值，结合 a 的范围分析可得答案【解答】解：根据题意，圆 C：（x 1） 2+y21 的圆心为（1，0） ，又由圆 C 的圆心到直线 l：xy+a0（a0）的距离为 ，则有 d ，变形可得：|1+a|2，解
17、可得 a1 或3，又由 a0，则 a1；故答案为：1【点评】本题考查直线与圆方程的应用，涉及点到直线的距离公式，属于基础题12 （5 分）运行如图所示的程序，输出结果为 126 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：程序当 n7 时，不满足条件即程序的功能是计算 S2+2 2+23+24+25+26 2 72126，故答案为：126第 10 页（共 18 页）【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件理解程序功能是解决本题的关键13 （5 分）平面 截球 O 所得的截面圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的体积为 4 【分析】根据条件求出截面圆的
18、半径，根据直角三角形建立条件根据即可求出球的半径【解答】解：作出对应的截面图，截面圆的半径为 1，即 BC1，球心 O 到平面 的距离为 ，OC ，设球的半径为 R，在直角三角形 OCB 中，OB 2OC 2+BC21+（ ） 23即 R23，解得 R ，该球的体积为 R3 ，故答案为： 【点评】本题主要考查球的体积的计算，根据条件求出球半径是解决本题的关键14 （5 分）已知函数 f（x ） ，g（x）f（x）+x+a，若 g（x）存在 2 个零点，则实数 a 取值范围是 1，+ ） 【分析】由 g（x）0 得 f（x）xa，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转
19、化求解即可【解答】解：由 g（x）0 得 f（x）xa，作出函数 f（x）和 yxa 的图象如图：当直线 yxa 的截距a1，即 a1 时，两个函数的图象都有 2 个交点，第 11 页（共 18 页）即函数 g（x）存在 2 个零点，故实数 a 的取值范围是1， +） ，故答案为：1，+） 【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分解答写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （13 分）在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c已知bsinA3c sinB， a3，cos
20、 B （1）求 b 的值；（2）求 sin（2B ）的值【分析】 （） 直接利用正弦定理推出 bsinAasinB，结合已知条件求出 c，利用余弦定理直接求 b 的值；（） 利用（）求出 B 的正弦函数值，然后利用二倍角公式求得正弦、余弦函数值，利用两角差的正弦函数直接求解 的值【解答】解：（）在ABC 中，有正弦定理 ，可得 bsinAasin B，又 bsinA3csinB，可得 a3c，又 a3，所以 c1由余弦定理可知：b 2a 2+c22accosB， ，即 b23 2+1223cosB，可得 b 第 12 页（共 18 页）（）由 ，可得 sinB ，所以 cos2B2cos 2B
21、1 ，sin2B2sinBcosB ，所以 【点评】本题考查余弦定理，正弦定理以及二倍角的正弦函数与余弦函数，两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力16 （13 分）根据调查，某学校开设了“街舞” 、 “围棋” 、 “武术”三个社团，三个社团参加的人数如表所示：社团 街舞 围棋 武术人数 320 240 200为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 n 的样本，已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少 2 人（）求三个社团分别抽取了多少同学；（）若从“围棋”社团抽取的同学中选出 2 人担任该社团活动监督的职务，已知“围
22、棋”社团被抽取的同学中有 2 名女生，求至少有 1 名女同学被选为监督职务的概率【分析】 （）由题意可得 ，解方程可得 n 值，由比例易得所求；（）由（）知，从“围棋”社团抽取的同学为 6 人，其中 2 位女生记为 A，B，4 位男生记为 C，D，E，F，列举可得共 15 种，其中没有女生的有 6 种，故所求概率 1【解答】解：（）由题意可得 ，解得 n19，从“围棋”社团抽取的同学 240 6 人（）由（）知，从“围棋”社团抽取的同学为 6 人，其中 2 位女生记为 A，B，4 位男生记为 C，D，E，F，则从这 6 位同学中任选 2 人，不同的结果有A，B，A ，C，A，D， A，E，A，
23、F ，B，C，第 13 页（共 18 页）B，D，B ，E，B，F ，C，D ，C，E，C，F，D， E，D，F，E，F ，共 15 种，从这 6 位同学中任选 2 人，没有女生的有：C，D，C ，E ，C，F ， D， E，D，F，E，F ，共 6 种故至少有 1 名女同学被选中的概率 1 【点评】本题考查列举法求基本事件数以及事件发生的概率，属基础题17 （13 分）如图，四面体 ABCD 中，O 、E 分别 BD、BC 的中点，AB AD ，CACBCDBD 2（1）求证：AO平面 BCD；（2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值大小；（3）求点 E 到平面 ACD 的距离【分析
24、】 （1）如图所示，要证 AO平面 BCD，只需证 AOBD，AOCO 即可，用运算的方式来证明结论（2）法一：取 AC 中点 F，连接 OFOEEF，由中位线定理可得 EFAB，OECD所以OEF（或其补角）是异面直线 AB 与 CD 所成角，然后在 RtAOC 中求解法二：以 O 为原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OA 为 z 轴，建立空间直角坐标系，异面直线AB 与 CD 的向量坐标，求出两向量的夹角即可；（3）求出平面 ACD 的法向量，点 E 到平面 ACD 的距离转化成向量 EC 在平面 ACD 法向量上的投影即可【解答】解：（1）连接 OC，BODO，ABAD ，AOB
25、D ，BODO ，BCCD，COBD，在AOC 中，由题设知 AO 1，CO ，AC2，AO 2+CO2AC 2，AOC90，即 AOOC ，AOBD ，BDOC O，第 14 页（共 18 页）AO平面 BCD； （2）取 AC 中点 F，连接 OF、OE、EABC 中 E、F 分别为 BC、 AC 中点EFAB，且 EF ABBCD 中 OE 分别为 BDBC 中点OECD 且 OE CD1异面直线 AB 与 CD 所成角等于OEF（或其补角又 OF 是 RtAOC 斜边上的中线OF AC1等腰OEF 中 c
26、osOEF ； （2）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 B（1，0，0） ，D （1，0，0） ，C（0， ，0） ，A（0，0， 1） ，E （ ， ，0） ， （1，0，1） ，（1， ，0） cos ， ，异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 arccos （3）解：设平面 ACD 的法向量为 （x，y，z）则 ， 令 y1，得 （ ，1， ）是平面 ACD 的一个法向量又 （ ， ，0） ，点 E 到平面 ACD 的距离 h 第 15 页（共 18 页）【点评】本题主要考查线线，线面，面面垂直的转化及异面直线所成角
27、的求法，同时，考查了转化思想和运算能力，是常考类型，属中档题18 （13 分）设等差数列a n的公差为 d，d 为整数，前 n 项和为 Sn，等比数列b n的公比为 q，已知 a1b 1，b 22，dq，S 10100，n N*（1）求数列a n与b n的通项公式；（2）设 ，求数列c n的前 n 项和为 Tn【分析】 （1）利用已知条件求出数列的首项与公差与公比，然后求解通项公式（2）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可【解答】解：（1）有题意可得： ，解得 （舍去）或 ，所以 an2n1， 第 16 页（共 18 页）（2） ， ， ，可得 ，故 【点评】本题考查数列的通项公
28、式的求法，数列求和的方法，考查转化首项以及计算能力19 （14 分）设 F1、F 2 分别是椭圆 （ab0）的左、右焦点，|F 1F2|2，直线 l 过 F1 且垂直于 x 轴，交椭圆 C 于 A、B 两点，连接 A、B、F 2，所组成的三角形为等边三角形（）求椭圆 C 的方程；（）过右焦点 F2 的直线 m 与椭圆 C 相交于 M、N 两点，试问：椭圆 C 上是否存在点P，使 成立？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由【分析】 （）由|F 1F2|2，得 c1，由|AF 1|+|AF2|2a，得 ，由此能求出椭圆C 的方程（）设 M（x 1，y 1） 、N（x 2，y 2） ，设
29、m：y k（x1） ，代入椭圆 的方程中，得（3k 2+2）x 26k 2x+3k260，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出椭圆 C 上存在点 P，使 成立，并能求出点 P 的坐标【解答】 （本小题满分 14 分）（）F 1、F 2 分别是椭圆 （ab0）的左、右焦点，|F 1F2|2，由|F 1F2|2 可得 c1，（1 分）等边三角形ABF 2 中： ， ，（3 分）则|AF 1|+|AF2|2a，得 ，（4 分）又b 2a 2c 2， ，（5 分）第 17 页（共 18 页）则椭圆 ；（6 分）（）设 M（x 1，y 1） 、N（x 2，y 2） ，则由题意知的
30、m 斜率为一定不为 0，故不妨设 m：yk （x1） ，代入椭圆 的方程中，整理得（3k 2+2）x 26k 2x+3k260，（8 分）由题意得0由韦达定理有： ， （9 分）且 （10 分）假设存在点 P，使 成立，则其充要条件为：点 P（x 1+x2，y 1+y2） ，（11 分）点 P 在椭圆上，即 整理得 （12 分）又 A、B 在椭圆上，即 ， ，由代入： 4x1x2+6y1y2+60，解得 ，（13 分） （14 分）【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，还考查了根的判别式、韦达定理、向量知识，考查了方程思想、函数与方程思想及计算能力，考查了直线与椭圆的位置关系及转化思想，属于难
31、题20 （14 分）已知函数 f（x ）x 3+ax2a 2x+3，aR（1）若 a0，求函数 f（x ）的单调减区间；（2）若关于 x 的不等式 2xlnxf'（x）+a 2+1 恒成立，求实数 a 的范围【分析】 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函的递减区间即可；（2）问题等价于 在 x（0，+）上恒成立，令 ，第 18 页（共 18 页）根据函数的单调性求出 a 的范围即可【解答】解（1）f'（x ）3x 2+2axa 2（3xa） （x+a）（2 分）由 f'（x）0 且 a0 得： （4 分）函数 f（x）的单调减区间为 （5 分）（2）依题意 x（0，+）时，不等式 2xlnxf'（x ）+ a2+1 恒成立，等价于 在 x（0，+）上恒成立（7 分）令则 （9 分）当 x（0，1）时， h'（x）0，h（x）单调递增当 x（1，+）时，h'（x ）0，h（x）单调递减当 x1 时，h（x ）取得最大值 h（1）2故 a2（12 分）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题