1、2019 年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分1 （5 分）已知集合 A1 ，1 ， ，则 AB（ ）A 1 B1，1 C 1，0，1 D 1，0，1，22 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z3x+2y 的最大值为（ ）A4 B C6 D83 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 k 的值为 9，则输出的结果 S 为（ ）A109 B48 C19 D64 （5 分）设 xR，则“x 327”是“ ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件
2、D既不充分也不必要条件5 （5 分）已知ABC 为直角三角形，AC BC 2，点 D 为斜边 AB 的中点，点 P 是线段CD 上的动点，则 的最小值为（ ）A2 B C D06 （5 分）已知函数 f（x ）e |x|，令 ，则第 2 页（共 23 页）a，b，c 的大小关系为（ ）Abac Bcba Cbca Dabc7 （5 分）已知抛物线 C1：y 22px（p0）的焦点 F 为双曲线 C2： 的顶点，过点 F 的直线与抛物线 C1 相交于 M、N 两点，点 A 在 x 轴上，且满足|MN| 8，若|AM| AN|，则AMN 的面积为（ ）A B
3、C D88 （5 分）已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，把 f（x ）的图象向右平移 个单位之后与原来的图象重合，当 且 x1x 2 时，f （x 1）f（x 2） ，则 f（x 1+x2）（ ）A B C1 D1二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9 （5 分）i 是虚数单位，复数 10 （5 分）在 的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则展开式中常数项等于 11 （5 分）已知圆锥的高为 3，底面半径长为 4，若某球的表面积与此圆锥侧面积相等，则
4、该球的体积为 12 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为sin（ + ）2 设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，则|PQ| 的最小值为 13 （5 分）若 ，则 a+b 的最小值是 14 （5 分）已知函数 ，函数 g（x）f（x）kx+1 有四个零点，则实数 k 的取值范围是 三、解答题：本大题 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文
5、字说明，证明过程或演算步骤第 3 页（共 23 页）15 （13 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 （）求角 A 的值；（）若 a6，b2c，求ABC 的面积16 （13 分）为响应党中央号召，学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛现有10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，王同学从中任取 3 道题解答（）求王同学至少取到 2 道乙类题的概率；（）如果王同学答对每道甲类题的概率都是 ，答对每道乙类题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立，已知王同学恰好选中 2 道甲类题，1 道乙类题，用 X 表示王同学答对题的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望17
6、 （13 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为平行四边形，平面 ADE平面CDEF， ADE60，DECF，CDDE，AD2，DEDC3，CF4，点 G 是棱CF 上的动点（）当 CG3 时，求证 EG平面 ABF；（）求直线 BE 与平面 ABCD 所成角的正弦值；（）若二面角 GAED 所成角的余弦值为 ，求线段 CG 的长18 （13 分）设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，满足 a2 5，S 535，T n 是数列 bn的前 n项和，满足 Tn2b n1（n N*） （）求数列a n，b n的通项公式；（）令 ，设数列c n的前 n 项和 Pn，求 P2n
7、的表达式第 4 页（共 23 页）19 （14 分）已知椭圆 C 的方程为 ，离心率为 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点（）求椭圆 C 的方程；（）过动点 M（0，m） （0mb）的直线交 x 轴的负半轴于点 N，交 C 于点A，B（A 在第一象限） ，且 M 是线段 AN 的中点，过点 A 作 x 轴的垂线交 C 于另一点D，延长线 DM 交 C 于点 G（i）设直线 AM，DM 的斜率分别为 k，k，证明：3k+k 0；（ii）求直线 BG 的斜率的最小值20 （14 分）已知函数 f（x ）（ax 2+x+a）e x （a R） （）当 a0 时，求 f（x ）在点（0，f（0） ）处
8、的切线方程；（）若 a0，求函数 f（x）的单调区间；（）若对任意的 a0，f（ x）bln （x+1）在 x0，+）上恒成立，求实数 b 的取值范围第 5 页（共 23 页）2019 年天津市十二重点中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分1 （5 分）已知集合 A1 ，1 ， ，则 AB（ ）A 1 B1，1 C 1，0，1 D 1，0，1，2【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 A1， 1，x|2x1，x Z1，0 ，AB1，0，1故选：C【点评】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等
9、式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 z3x+2y 的最大值为（ ）A4 B C6 D8【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由变量 x，y 满足约束条件 ，作可行域如图由 z3x+2y，结合图形可知，当直线分别经过可行域内的点 A，B 时，目标函数取得最值，由： ，可得 A（0，3） ，分别为 zmax30+236，目标函数的最大值为 6故选：C第 6 页（共 23 页）【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方
10、法，是中档题3 （5 分）执行如图所示的程序框图，若输入 k 的值为 9，则输出的结果 S 为（ ）A109 B48 C19 D6【分析】由已知中的程序框图及已知中输入 k 的值，模拟程序的运行结果，即可得到输出的 S 值【解答】解：模拟程序的运行，可得k9，n1，S1不满足判断框内的条件 nk，执行循环体，n4，S6不满足判断框内的条件 nk，执行循环体，n7，S19不满足判断框内的条件 nk，执行循环体，n10，S48此时，满足判断框内的条件 nk，退出循环，输出 S 的值为 48故选：B第 7 页（共 23 页）【点评】本题考查的知识点是程序框图，在写程序的运行结果时，我们常
11、使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用表格法对数据进行管理，属于基础题4 （5 分）设 xR，则“x 327”是“ ”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由 x327 得 x3，由 得 0x3，则“x 327”是“ ”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键5 （5 分）已知ABC 为直角三角形，AC BC 2，点 D 为斜边 AB 的中点，点 P 是线段
12、CD 上的动点，则 的最小值为（ ）A2 B C D0【分析】根据题意，建立坐标系，求出 A、B、D 的坐标，进而设 P（m ，m） ，求出向量、 的坐标，由数量积的计算公式可得 （m） （2m ）+ （2m ）（m）2m 24m，结合二次函数的性质分析可得答案【解答】解：根据题意，以 C 为坐标原点，CB 为 x 轴， CA 为 y 轴建立坐标系，如图：则 B（2，0） ，A（0，2） ，D 为 AB 的中点，则 D（1，1） ，点 P 是线段 CD 上的动点，设 P（m ，m ） ， （0m1） ；则 （m，2m） ， （2m，m） ，则 （m） （2m）+（2m ） （m）2
13、m 24m2（m 1） 22，又由 0m1，则当 m1 时， 取得最小值2；故选：A第 8 页（共 23 页）【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题，6 （5 分）已知函数 f（x ）e |x|，令 ，则a，b，c 的大小关系为（ ）Abac Bcba Cbca Dabc【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得 f（x ）为偶函数且在0，+）上为增函数，据此分析可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ）e |x|，有 f（x）e |x| e |x|f （x） ，即函数f（x）为偶函数，则有 cf（ ）f（log 23）f（log 23） ，又由当 x
14、0 时，f（x）e x，易得 f（x ）为0 ，+）上为增函数，又由 log231sin 2 3 ，则有 f（log 23）f（sin ）f（2 3 ） ，则有 bac；故选：A【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，涉及分段函数的应用，属于基础题7 （5 分）已知抛物线 C1：y 22px（p0）的焦点 F 为双曲线 C2： 的顶点，过点 F 的直线与抛物线 C1 相交于 M、N 两点，点 A 在 x 轴上，且满足|MN| 8，若|AM| AN|，则AMN 的面积为（ ）A B C D8【分析】由题意求得抛物线的焦点坐标，得到抛物线方程，设出直线方程，利用抛物线第 9 页（
15、共 23 页）焦点弦长公式求得 k，再求出 MN 的垂直平分线方程，得到 A 的坐标，由点到直线的距离公式求出 A 到 MN 的距离，代入三角形面积公式求解【解答】解：由题意可知，抛物线 C1：y 22px（p0）的焦点 F（1，0） ，则 ，p2抛物线方程为 y24x 如图，设 MN 所在直线方程为 yk （x 1） ，联立 ，得 k2x2（2k 2+4）x+k 20设 M（x 1，y 1） ，N（x 2，y 2） 则 ，由|MN | x1+x2+28，得 ，解得 k1x 1+x26，则 MN 的中点坐标为（3，2） ，不妨取 k1，可得 MN 的垂直平分线方程为 y21（x3） ，即 yx
16、+5取 y0，得 A（ 5，0） 此时 A 到直线 xy 10 的距离 d AMN 的面积 S 故选：D【点评】本题考查圆锥曲线的综合，考查直线与篇文章位置关系的应用，考查计算能力，是中档题第 10 页（共 23 页）8 （5 分）已知函数 的图象过点 ，且在 上单调，把 f（x ）的图象向右平移 个单位之后与原来的图象重合，当 且 x1x 2 时，f （x 1）f（x 2） ，则 f（x 1+x2）（ ）A B C1 D1【分析】利用正弦函数的周期性和单调性，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，求得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得 x1+x2 的值，可得 f（x
17、 1+x2）的值【解答】解：函数 的图象过点，2sin ， f（x）在 上单调， ，03把 f（x）的图象向右平移 个单位之后与原来的图象重合，k ， kZ，2 ，f （x）2sin （2x+ ） 当 且 x1x 2 时，2x + （ ，3） ，若 f（x 1）f （x 2） ，则 x1+x22 5 ，f（x 1+x2）2sin（10+ ）2sin ，故选：B【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和单调性，函数 yAsin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9 （5 分）i 是虚数
18、单位，复数 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解： 故答案为： 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题10 （5 分）在 的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，则展开式第 11 页（共 23 页）中常数项等于 28 【分析】由二项式展开式的通项公式得：2 n256，解得：n8，又（ ） 8 的二项式展开式的通项为 Tr+1 （ ） 8r （ ） r（ 1） r x ，令0，则 r2，即展开式中常数项等于（1） 2 28，得解【解答】解：由在 的二项式展开式中，所有项的二项式系数之和为 256，可得：2 n256，解得：n8
19、，又（ ） 8 的二项式展开式的通项为 Tr+1 （ ） 8r （ ） r（1）r x ，令 0，则 r2，即展开式中常数项等于（1） 2 28，故答案为：28【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式，属中档题11 （5 分）已知圆锥的高为 3，底面半径长为 4，若某球的表面积与此圆锥侧面积相等，则该球的体积为 【分析】由已知中圆锥的底面半径和高，求出圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，求出圆锥侧面积，利用球的表面积与此圆锥侧面积相等，可得球的半径，利用球的体积公式即可计算得解【解答】解：圆锥的底面半径 r4，高 h3，圆锥的母线 l5，圆锥侧面积 Srl20 ，设球的
20、半径为 r，则 4r220 ，r ，该球的体积为 V （ ） 3 故答案为： 【点评】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握各种旋转体的几何特征，是解答的关键，第 12 页（共 23 页）属于中档题12 （5 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为sin（ + ）2 设点 P 在 C1 上，点 Q 在 C2 上，则|PQ| 的最小值为 【分析】先将直线与圆的方程化成直角坐标方程，然后将|PQ|的最小值等于圆心到直线的距离减去半径可得【解答】解：由 C1 的
21、参数方程消去参数 得曲线 C1 的普通方程为：（x+1） 2+y22，由曲线 C2 的极坐标方程以及互化公式可得 C2 的普通方程为： x+y40，依题意可得|PQ|的最小值等于圆心到直线的距离减去半径，|PQ |min 故答案为： 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题13 （5 分）若 ，则 a+b 的最小值是 【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式进行化简，结合基本不等式利用 1 的代换进行转化求解即可【解答】解： log 4（4ab） ，a+4b4ab， 得 ，得 1，即 + 1，则 a+b（a+b） （ + ） 1+ + + +2 +1 ，当且
22、仅当 ，即 a2b 时取等号，即 a+b 的最小值为 ，故答案为：【点评】本题主要考查不等式的应用，结合对数的运算法则得到等式条件，结合 1 的代第 13 页（共 23 页）换是解决本题的关键14 （5 分）已知函数 ，函数 g（x）f（x）kx+1 有四个零点，则实数 k 的取值范围是 【分析】根据函数与方程的关系，利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合进行求解即可【解答】解：由 g（x）f（x）kx+10 得 kxf（x）+1，当 x0 时，0f（0）+10+1 不成立，即 x0，则 k ，若 g（x）有四个零点，则等价为 k 有四个不同的根，
23、设 h（x） ，则当 x0 时，h（x ） lnx + 2，h（x） ，则当 x1 时，h（x ）0 ，函数为增函数，当 0x1 时，h（x ）0，函数为减函数，即此时当 x1 时，h（x）取得极小值，极小值为 h（1）1，当 x+，f（x）+ ，当 x0 时，h（x ） x + + ，h（x）1 ，由 h（x）0 得 x1（舍）或 x1，此时函数为增函数，由 h（x）0 得1x 0，此时 h（x ）为减函数，即当 x1 时，h（x ）取得极大值，极大值为 h（1）11+ ，作出函数 h（x）的图象如图：要使 k 有四个根，第 14 页（共 23 页）则满足1k ，即实数 k 的取值范围是（1
24、， ） ，故答案为：（1， ）【点评】本题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法，转化为两个函数交点个数，求函数 的导数，研究函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键三、解答题：本大题 6 小题，共 80 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分）在ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，且 （）求角 A 的值；（）若 a6，b2c，求ABC 的面积【分析】 （）由已知利用正弦定理可求 ，结合范围 A（0， ） ，可求 （）由已知利用余弦定理整理可得 364c 2+c22c 2，解得 ，根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】 （本小题满分 13 分）解
25、：（）由已知得 ，（2 分） ， ，（4 分）A（0，） ，第 15 页（共 23 页） （6 分）（）a6b2c，a 2b 2+c22bc cosA，（8 分）整理可得 364c 2+c22c 2，解得 ，（10 分） （13 分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16 （13 分）为响应党中央号召，学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛现有10 道题，其中 6 道甲类题，4 道乙类题，王同学从中任取 3 道题解答（）求王同学至少取到 2 道乙类题的概率；（）如果王同学答对每道甲类题的概率都是 ，答对每道乙类
26、题的概率都是 ，且各题答对与否相互独立，已知王同学恰好选中 2 道甲类题，1 道乙类题，用 X 表示王同学答对题的个数，求随机变量 X 的分布列和数学期望【分析】 （）设“王同学至少取到 2 道乙类题”为事件 A，利用古典概型概率的求法求解即可（）X 的所有可能取值为 0，1，2，3，求出概率得到分布列然后求解期望即可【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）设“王同学至少取到 2 道乙类题”为事件 A（1 分）（5 分） （列式（2 分） ，结果 2 分）（）X 的所有可能取值为 0，1，2，3 （6 分），（10 分） （每个结果一分）X 0 1 2 3第 16 页（共 23
27、 页）P（13 分） （列式（1 分） ，结果 2 分）【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力17 （13 分）如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为平行四边形，平面 ADE平面CDEF， ADE60，DECF，CDDE，AD2，DEDC3，CF4，点 G 是棱CF 上的动点（）当 CG3 时，求证 EG平面 ABF；（）求直线 BE 与平面 ABCD 所成角的正弦值；（）若二面角 GAED 所成角的余弦值为 ，求线段 CG 的长【分析】 （I）根据平行四边形的性质可得 EGCDAB，故 EG平面 ABF；（II）建立空间坐标系，求出平面
28、 ABCD 的法向量 ，计算 与 的夹角得出直线 BE 与平面 ABCD 所成角；（III）设 ，用 表示出平面 AEG 和平面 ADE 的法向量，根据二面角大小列方程解出 即可得出 CG 的长【解答】 （）证明：由已知得 CGDE 且 CGDE，故四边形 CDEG 为平行四边形， CD EG，四边形 ABCD 为平行四边形，CDAB，ABEG ，又 EG平面 ABF，AB平面 ABF，EG平面 ABF（）过点 A 作 AODE 交 DE 于点 O，过点 O 作 OK CD 交 CF 于点 K由（1）知平面 ADE平面 CDEF，第 17 页（共 23 页）平面 ADE平面 CDEFDE，AO
29、 平面 ADE，AO平面 CDEF，CDDE，OKDE，以 O 为原点建立如图的空间直角坐标系，则 D（0，1，0） ，E（0，2 ，0） ，C（3，1，0） ，F（3，3，0） ，D（0，1 ，0） ， ， ， ，设平面 ABCD 的法向量为 ，则 ，即 ，令 z1，则 ， ， ，直线 BE 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ，（） （01）G （3，4 1，0） ， ，设平面 AEG 的法向量为 ，则 ，即 ，令 y3，则 ，x 34， ，平面 AED 的法向量为 ， ，解得 ， ，|CG| |CF|4 ，|CG| 4， 第 18 页（共 23 页）【点评】本题考查了线面平行的判定，考查
30、空间向量与空间角的计算，属于中档题18 （13 分）设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和，满足 a2 5，S 535，T n 是数列 bn的前 n项和，满足 Tn2b n1（n N*） （）求数列a n，b n的通项公式；（）令 ，设数列c n的前 n 项和 Pn，求 P2n 的表达式【分析】 （）首先利用递推关系式求出数列的通项公式（）利用分类讨论思想和乘公比错位相减法求出数列的和【解答】解：（）a n是等差数列 S535 ，a 37，a 25，d2，a na 2+（n2）22n+1当 n1 时 T12b 11，b 11当 n2 时 Tn1 2b n1 1又T
31、 n2b n1，b n2b n2b n1 bn2b n1b n是以 1 为首项，2 为公比的等比数列第 19 页（共 23 页） （） ，设前 2n 项中奇数项的和为 An，偶数项的和为 Bn，得：， 【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型19 （14 分）已知椭圆 C 的方程为 ，离心率为 ，它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点（）求椭圆 C 的方程；（）过动点 M（0，m） （0mb）的直线交 x 轴的负半轴于点 N，交 C 于点A，B（A 在第一象限） ，且 M 是线段 AN 的中点，过点 A
32、 作 x 轴的垂线交 C 于另一点D，延长线 DM 交 C 于点 G（i）设直线 AM，DM 的斜率分别为 k，k，证明：3k+k 0；（ii）求直线 BG 的斜率的最小值【分析】 （）结合题意分别求出 b 的值，再利用离心率求出 a，c 的值，求出椭圆方程即可；第 20 页（共 23 页）（） （i）设 A（x 0，y 0）那么 D（x 0，y 0） 可得 ， ，即可得 3k+k0（ii）设直线 AM 为 ykx+ m，则直线 DM 为 ykx+m3kx +m利用韦达定理及 3k+k0，可求得 B，G 坐标，求出直线 BG 的斜率的解析式，根据不等式的性质计算即可 k 的最小值，再求出 m
33、的值即可【解答】 （）解：抛物线 的焦点是 ， （1 分） ，a 2b 2+c2 （2 分） 椭圆 C 的方程 （3 分）（） （i）设 A（x 0，y 0）那么 D（x 0，y 0） M 是线段 AN 的中点A（x 0，2m ）D （x 0，2m）（4 分） ， （5 分） ，3k+k0 （6 分）（ii）根据题意得：直线 AM 的斜率一定存在且 k0设直线 AM 为 ykx+ m，则直线 DM 为 ykx+m 3kx+m由 可得（1+2k 2）x 2+4kmx+2m260（7 分）利用韦达定理可知： ， （8 分） ，3k+k0， 同理可得 （9 分） ，第 21 页（共 23 页）k0，
34、当且仅当 时 即为 时 等号成立 （14 分） （不求出 k 值，不扣分）【点评】本题考查了椭圆的方程问题，考查直线的斜率以及椭圆的性质，考查函数求最值问题，考查了运算求解能力转化与划归能力，属于难题20 （14 分）已知函数 f（x ）（ax 2+x+a）e x （a R） （）当 a0 时，求 f（x ）在点（0，f（0） ）处的切线方程；（）若 a0，求函数 f（x）的单调区间；（）若对任意的 a0，f（ x）bln （x+1）在 x0，+）上恒成立，求实数 b 的取值范围【分析】 （）当 a0 时，f（x ）xe x ，f（x ）e x xe x e x （1x
35、） ，可得f（0）1，f（0）0，即可得出切线方程（）由题意，f'（x ）（2ax+1）e x （ax 2+x+a）e x e x ax2+（12a）x+a1e x （x1） （ax +1a） 对 a 分类讨论：a0，a0，即可得出（）令 g（a）e x （x 2+1）a+xe x ，a（，0 ，当 x0，+）时，ex （x 2+1）0，g（a）单调递增，则 可得 g（a）bln（x+1）对a（，0恒成立等价于 bln（x+1）g（a） maxg（0） ，即xex bln（x+1） ，对 x0，+）恒成立，对 b 分类讨论，利用单调性即可得出【解答】解：（）当 a0 时，f（x ）xe
36、 x ，f（x）e x xe x e x （1x）（1 分）f（0）1，f（0）0，函数 f（x）在点（ 0，f（0） ）处的切线方程为 yx （2 分）第 22 页（共 23 页）（）由题意，f'（x ）（2ax+1）e x （ax 2+x+a）e x e x ax2+（12a）x+a1e x （x1） （ax +1a） （3 分）（）当 a0 时，f'（x ）e x （x1） ，令 f'（x） 0，得 x1；f' （x ）0，得x1，所以 f（x）在（ ，1）单调递增， （1，+）单调递减；（4 分）（）当 a0 时， ，令 f'（x）0，得 ；f&
37、#39;（x）0，得 或 x1，（5 分）所以 f（x）在 单调递增，在 ， （1，+）单调递减，（6 分）（）令 g（a）e x （x 2+1）a+xe x ，a（，0 ，当 x0，+）时，ex （x 2+1）0，g（a）单调递增，则 ，（7 分）则 g（a）bln（x +1）对a（，0恒成立等价于 bln（x+1）g（a） maxg（0） ，即 xex bln（x +1） ，对 x0，+）恒成立（8 分）（）当 b0 时，x （0，+） ，bln（x +1）0，xe x 0，此时 xex bln（x+1） ，不合题意，舍去（9 分）（）当 b0 时，令 h（x）bln（x+1）xe x ，
38、x 0， +） ，则 ，（10 分）其中（x+1）e x0，x 0，+） ，令 p（x）be x+x21，x 0，+ ） ，则 p（x ）在区间0 ， +）上单调递增，（11分）当 b 1 时， p（x）p（0）b10，所以对x 0，+） ，h'（x）0，则h（x）在0 ，+）上单调递增，故对任意 x0，+ ） ，h（x ）h（0）0，即不等式 bln（x+1）xe x 在0 ，+ ）上恒成立，满足题意（12 分）当 0 b1 时，由 p（0）b10，p（1）be0 及 p（x）在区间0，+）上单第 23 页（共 23 页）调递增，所以存在唯一的 x0（0，1）使得 p（x 0）0，且 x（0，x 0）时，p（x）0即 h'（x ）0，所以 h（x ）在区间（0，x 0）上单调递减，则 x（0，x 0）时，h（x）h（0）0，即 bln（x+1）xe x ，不符合题意（13 分）综上所述，b1（14 分）【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查学生的运算推理能力，属于难题