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2019年天津市十二重点中学高考数学二模试卷(理科)含解析

1、2019 年天津市十二重点中学高考数学二模试卷(理科)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分1 (5 分)已知集合 A1 ,1 , ,则 AB(  )A 1 B1,1 C 1,0,1 D 1,0,1,22 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件 ,则目标函数 z3x+2y 的最大值为(  )A4 B C6 D83 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 k 的值为 9,则输出的结果 S 为(  )A109 B48 C19 D64 (5 分)设 xR,则“x 327”是“ ”的(  )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件

2、D既不充分也不必要条件5 (5 分)已知ABC 为直角三角形,AC BC 2,点 D 为斜边 AB 的中点,点 P 是线段CD 上的动点,则 的最小值为(  )A2 B C D06 (5 分)已知函数 f(x )e |x|,令 ,则第 2 页(共 23 页)a,b,c 的大小关系为(  )Abac Bcba Cbca Dabc7 (5 分)已知抛物线 C1:y 22px(p0)的焦点 F 为双曲线 C2: 的顶点,过点 F 的直线与抛物线 C1 相交于 M、N 两点,点 A 在 x 轴上,且满足|MN| 8,若|AM| AN|,则AMN 的面积为(   )A B

3、C D88 (5 分)已知函数 的图象过点 ,且在 上单调,把 f(x )的图象向右平移 个单位之后与原来的图象重合,当 且 x1x 2 时,f (x 1)f(x 2) ,则 f(x 1+x2)(  )A B C1 D1二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9 (5 分)i 是虚数单位,复数     10 (5 分)在 的二项式展开式中,所有项的二项式系数之和为 256,则展开式中常数项等于     11 (5 分)已知圆锥的高为 3,底面半径长为 4,若某球的表面积与此圆锥侧面积相等,则

4、该球的体积为     12 (5 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数) ,以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为sin( + )2 设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,则|PQ| 的最小值为     13 (5 分)若 ,则 a+b 的最小值是     14 (5 分)已知函数 ,函数 g(x)f(x)kx+1 有四个零点,则实数 k 的取值范围是      三、解答题:本大题 6 小题,共 80 分解答应写出必要的文

5、字说明,证明过程或演算步骤第 3 页(共 23 页)15 (13 分)在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 ()求角 A 的值;()若 a6,b2c,求ABC 的面积16 (13 分)为响应党中央号召,学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛现有10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,王同学从中任取 3 道题解答()求王同学至少取到 2 道乙类题的概率;()如果王同学答对每道甲类题的概率都是 ,答对每道乙类题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立,已知王同学恰好选中 2 道甲类题,1 道乙类题,用 X 表示王同学答对题的个数,求随机变量 X 的分布列和数学期望17

6、 (13 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为平行四边形,平面 ADE平面CDEF, ADE60,DECF,CDDE,AD2,DEDC3,CF4,点 G 是棱CF 上的动点()当 CG3 时,求证 EG平面 ABF;()求直线 BE 与平面 ABCD 所成角的正弦值;()若二面角 GAED 所成角的余弦值为 ,求线段 CG 的长18 (13 分)设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和,满足 a2 5,S 535,T n 是数列 bn的前 n项和,满足 Tn2b n1(n N*) ()求数列a n,b n的通项公式;()令 ,设数列c n的前 n 项和 Pn,求 P2n

7、的表达式第 4 页(共 23 页)19 (14 分)已知椭圆 C 的方程为 ,离心率为 ,它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点()求椭圆 C 的方程;()过动点 M(0,m) (0mb)的直线交 x 轴的负半轴于点 N,交 C 于点A,B(A 在第一象限) ,且 M 是线段 AN 的中点,过点 A 作 x 轴的垂线交 C 于另一点D,延长线 DM 交 C 于点 G(i)设直线 AM,DM 的斜率分别为 k,k,证明:3k+k 0;(ii)求直线 BG 的斜率的最小值20 (14 分)已知函数 f(x )(ax 2+x+a)e x (a R) ()当 a0 时,求 f(x )在点(0,f(0) )处

8、的切线方程;()若 a0,求函数 f(x)的单调区间;()若对任意的 a0,f( x)bln (x+1)在 x0,+)上恒成立,求实数 b 的取值范围第 5 页(共 23 页)2019 年天津市十二重点中学高考数学二模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分1 (5 分)已知集合 A1 ,1 , ,则 AB(  )A 1 B1,1 C 1,0,1 D 1,0,1,2【分析】先求出集合 A,B,由此能求出 AB【解答】解:集合 A1, 1,x|2x1,x Z1,0 ,AB1,0,1故选:C【点评】本题考查并集的求法,考查并集定义、不等

9、式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题2 (5 分)设变量 x,y 满足约束条件 ,则目标函数 z3x+2y 的最大值为(  )A4 B C6 D8【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程斜截式,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【解答】解:由变量 x,y 满足约束条件 ,作可行域如图由 z3x+2y,结合图形可知,当直线分别经过可行域内的点 A,B 时,目标函数取得最值,由: ,可得 A(0,3) ,分别为 zmax30+236,目标函数的最大值为 6故选:C第 6 页(共 23 页)【点评】本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方

10、法,是中档题3 (5 分)执行如图所示的程序框图,若输入 k 的值为 9,则输出的结果 S 为(  )A109 B48 C19 D6【分析】由已知中的程序框图及已知中输入 k 的值,模拟程序的运行结果,即可得到输出的 S 值【解答】解:模拟程序的运行,可得k9,n1,S1不满足判断框内的条件 nk,执行循环体,n4,S6不满足判断框内的条件 nk,执行循环体,n7,S19不满足判断框内的条件 nk,执行循环体,n10,S48此时,满足判断框内的条件 nk,退出循环,输出 S 的值为 48故选:B第 7 页(共 23 页)【点评】本题考查的知识点是程序框图,在写程序的运行结果时,我们常

11、使用模拟循环的变法,但程序的循环体中变量比较多时,要用表格法对数据进行管理,属于基础题4 (5 分)设 xR,则“x 327”是“ ”的(  )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的解法求出不等式的等价条件,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解:由 x327 得 x3,由 得 0x3,则“x 327”是“ ”的必要不充分条件,故选:B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键5 (5 分)已知ABC 为直角三角形,AC BC 2,点 D 为斜边 AB 的中点,点 P 是线段

12、CD 上的动点,则 的最小值为(  )A2 B C D0【分析】根据题意,建立坐标系,求出 A、B、D 的坐标,进而设 P(m ,m) ,求出向量、 的坐标,由数量积的计算公式可得 (m) (2m )+ (2m )(m)2m 24m,结合二次函数的性质分析可得答案【解答】解:根据题意,以 C 为坐标原点,CB 为 x 轴, CA 为 y 轴建立坐标系,如图:则 B(2,0) ,A(0,2) ,D 为 AB 的中点,则 D(1,1) ,点 P 是线段 CD 上的动点,设 P(m ,m ) , (0m1) ;则 (m,2m) , (2m,m) ,则 (m) (2m)+(2m ) (m)2

13、m 24m2(m 1) 22,又由 0m1,则当 m1 时, 取得最小值2;故选:A第 8 页(共 23 页)【点评】本题考查向量数量积的计算,涉及向量的坐标计算,属于基础题,6 (5 分)已知函数 f(x )e |x|,令 ,则a,b,c 的大小关系为(   )Abac Bcba Cbca Dabc【分析】根据题意,由函数的解析式分析可得 f(x )为偶函数且在0,+)上为增函数,据此分析可得答案【解答】解:根据题意,函数 f(x )e |x|,有 f(x)e |x| e |x|f (x) ,即函数f(x)为偶函数,则有 cf( )f(log 23)f(log 23) ,又由当 x

14、0 时,f(x)e x,易得 f(x )为0 ,+)上为增函数,又由 log231sin 2 3 ,则有 f(log 23)f(sin )f(2 3 ) ,则有 bac;故选:A【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的应用,涉及分段函数的应用,属于基础题7 (5 分)已知抛物线 C1:y 22px(p0)的焦点 F 为双曲线 C2: 的顶点,过点 F 的直线与抛物线 C1 相交于 M、N 两点,点 A 在 x 轴上,且满足|MN| 8,若|AM| AN|,则AMN 的面积为(   )A B C D8【分析】由题意求得抛物线的焦点坐标,得到抛物线方程,设出直线方程,利用抛物线第 9 页(

15、共 23 页)焦点弦长公式求得 k,再求出 MN 的垂直平分线方程,得到 A 的坐标,由点到直线的距离公式求出 A 到 MN 的距离,代入三角形面积公式求解【解答】解:由题意可知,抛物线 C1:y 22px(p0)的焦点 F(1,0) ,则 ,p2抛物线方程为 y24x 如图,设 MN 所在直线方程为 yk (x 1) ,联立 ,得 k2x2(2k 2+4)x+k 20设 M(x 1,y 1) ,N(x 2,y 2) 则 ,由|MN | x1+x2+28,得 ,解得 k1x 1+x26,则 MN 的中点坐标为(3,2) ,不妨取 k1,可得 MN 的垂直平分线方程为 y21(x3) ,即 yx

16、+5取 y0,得 A( 5,0) 此时 A 到直线 xy 10 的距离 d AMN 的面积 S 故选:D【点评】本题考查圆锥曲线的综合,考查直线与篇文章位置关系的应用,考查计算能力,是中档题第 10 页(共 23 页)8 (5 分)已知函数 的图象过点 ,且在 上单调,把 f(x )的图象向右平移 个单位之后与原来的图象重合,当 且 x1x 2 时,f (x 1)f(x 2) ,则 f(x 1+x2)(  )A B C1 D1【分析】利用正弦函数的周期性和单调性,函数 yAsin(x+)的图象变换规律,求得函数的解析式,再利用正弦函数的图象的对称性求得 x1+x2 的值,可得 f(x

17、 1+x2)的值【解答】解:函数 的图象过点,2sin , f(x)在 上单调, ,03把 f(x)的图象向右平移 个单位之后与原来的图象重合,k , kZ,2 ,f (x)2sin (2x+ ) 当 且 x1x 2 时,2x + ( ,3) ,若 f(x 1)f (x 2) ,则 x1+x22 5 ,f(x 1+x2)2sin(10+ )2sin ,故选:B【点评】本题主要考查正弦函数的周期性和单调性,函数 yAsin(x+)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,属于中档题二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡中的相应横线上.9 (5 分)i 是虚数

18、单位,复数    【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解: 故答案为: 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题10 (5 分)在 的二项式展开式中,所有项的二项式系数之和为 256,则展开式第 11 页(共 23 页)中常数项等于 28 【分析】由二项式展开式的通项公式得:2 n256,解得:n8,又( ) 8 的二项式展开式的通项为 Tr+1 ( ) 8r ( ) r( 1) r x ,令0,则 r2,即展开式中常数项等于(1) 2 28,得解【解答】解:由在 的二项式展开式中,所有项的二项式系数之和为 256,可得:2 n256,解得:n8

19、,又( ) 8 的二项式展开式的通项为 Tr+1 ( ) 8r ( ) r(1)r x ,令 0,则 r2,即展开式中常数项等于(1) 2 28,故答案为:28【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式,属中档题11 (5 分)已知圆锥的高为 3,底面半径长为 4,若某球的表面积与此圆锥侧面积相等,则该球的体积为    【分析】由已知中圆锥的底面半径和高,求出圆锥的母线长,代入圆锥侧面积公式,求出圆锥侧面积,利用球的表面积与此圆锥侧面积相等,可得球的半径,利用球的体积公式即可计算得解【解答】解:圆锥的底面半径 r4,高 h3,圆锥的母线 l5,圆锥侧面积 Srl20 ,设球的

20、半径为 r,则 4r220 ,r ,该球的体积为 V ( ) 3 故答案为: 【点评】本题考查的知识点是旋转体,熟练掌握各种旋转体的几何特征,是解答的关键,第 12 页(共 23 页)属于中档题12 (5 分)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数) ,以坐标原点为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为sin( + )2 设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,则|PQ| 的最小值为    【分析】先将直线与圆的方程化成直角坐标方程,然后将|PQ|的最小值等于圆心到直线的距离减去半径可得【解答】解:由 C1 的

21、参数方程消去参数 得曲线 C1 的普通方程为:(x+1) 2+y22,由曲线 C2 的极坐标方程以及互化公式可得 C2 的普通方程为: x+y40,依题意可得|PQ|的最小值等于圆心到直线的距离减去半径,|PQ |min 故答案为: 【点评】本题考查了简单曲线的极坐标方程,属中档题13 (5 分)若 ,则 a+b 的最小值是    【分析】根据对数的运算法则和对数的换底公式进行化简,结合基本不等式利用 1 的代换进行转化求解即可【解答】解: log 4(4ab) ,a+4b4ab, 得 ,得 1,即 + 1,则 a+b(a+b) ( + ) 1+ + + +2 +1 ,当且

22、仅当 ,即 a2b 时取等号,即 a+b 的最小值为 ,故答案为:【点评】本题主要考查不等式的应用,结合对数的运算法则得到等式条件,结合 1 的代第 13 页(共 23 页)换是解决本题的关键14 (5 分)已知函数 ,函数 g(x)f(x)kx+1 有四个零点,则实数 k 的取值范围是     【分析】根据函数与方程的关系,利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题,利用数形结合进行求解即可【解答】解:由 g(x)f(x)kx+10 得 kxf(x)+1,当 x0 时,0f(0)+10+1 不成立,即 x0,则 k ,若 g(x)有四个零点,则等价为 k 有四个不同的根,

23、设 h(x) ,则当 x0 时,h(x ) lnx + 2,h(x) ,则当 x1 时,h(x )0 ,函数为增函数,当 0x1 时,h(x )0,函数为减函数,即此时当 x1 时,h(x)取得极小值,极小值为 h(1)1,当 x+,f(x)+ ,当 x0 时,h(x ) x + + ,h(x)1 ,由 h(x)0 得 x1(舍)或 x1,此时函数为增函数,由 h(x)0 得1x 0,此时 h(x )为减函数,即当 x1 时,h(x )取得极大值,极大值为 h(1)11+ ,作出函数 h(x)的图象如图:要使 k 有四个根,第 14 页(共 23 页)则满足1k ,即实数 k 的取值范围是(1

24、, ) ,故答案为:(1, )【点评】本题主要考查函数与方程的应用,利用参数分离法,转化为两个函数交点个数,求函数 的导数,研究函数的图象,利用数形结合是解决本题的关键三、解答题:本大题 6 小题,共 80 分解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤15 (13 分)在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c,且 ()求角 A 的值;()若 a6,b2c,求ABC 的面积【分析】 ()由已知利用正弦定理可求 ,结合范围 A(0, ) ,可求 ()由已知利用余弦定理整理可得 364c 2+c22c 2,解得 ,根据三角形的面积公式即可计算得解【解答】 (本小题满分 13 分)解

25、:()由已知得 ,(2 分) , ,(4 分)A(0,) ,第 15 页(共 23 页) (6 分)()a6b2c,a 2b 2+c22bc cosA,(8 分)整理可得 364c 2+c22c 2,解得 ,(10 分) (13 分)【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题16 (13 分)为响应党中央号召,学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛现有10 道题,其中 6 道甲类题,4 道乙类题,王同学从中任取 3 道题解答()求王同学至少取到 2 道乙类题的概率;()如果王同学答对每道甲类题的概率都是 ,答对每道乙类

26、题的概率都是 ,且各题答对与否相互独立,已知王同学恰好选中 2 道甲类题,1 道乙类题,用 X 表示王同学答对题的个数,求随机变量 X 的分布列和数学期望【分析】 ()设“王同学至少取到 2 道乙类题”为事件 A,利用古典概型概率的求法求解即可()X 的所有可能取值为 0,1,2,3,求出概率得到分布列然后求解期望即可【解答】 (本小题满分 13 分)解:()设“王同学至少取到 2 道乙类题”为事件 A(1 分)(5 分) (列式(2 分) ,结果 2 分)()X 的所有可能取值为 0,1,2,3   (6 分),(10 分) (每个结果一分)X 0 1 2 3第 16 页(共 23

27、 页)P(13 分) (列式(1 分) ,结果 2 分)【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法,考查转化思想以及计算能力17 (13 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为平行四边形,平面 ADE平面CDEF, ADE60,DECF,CDDE,AD2,DEDC3,CF4,点 G 是棱CF 上的动点()当 CG3 时,求证 EG平面 ABF;()求直线 BE 与平面 ABCD 所成角的正弦值;()若二面角 GAED 所成角的余弦值为 ,求线段 CG 的长【分析】 (I)根据平行四边形的性质可得 EGCDAB,故 EG平面 ABF;(II)建立空间坐标系,求出平面

28、 ABCD 的法向量 ,计算 与 的夹角得出直线 BE 与平面 ABCD 所成角;(III)设 ,用 表示出平面 AEG 和平面 ADE 的法向量,根据二面角大小列方程解出 即可得出 CG 的长【解答】 ()证明:由已知得 CGDE 且 CGDE,故四边形 CDEG 为平行四边形, CD EG,四边形 ABCD 为平行四边形,CDAB,ABEG ,又 EG平面 ABF,AB平面 ABF,EG平面 ABF()过点 A 作 AODE 交 DE 于点 O,过点 O 作 OK CD 交 CF 于点 K由(1)知平面 ADE平面 CDEF,第 17 页(共 23 页)平面 ADE平面 CDEFDE,AO

29、 平面 ADE,AO平面 CDEF,CDDE,OKDE,以 O 为原点建立如图的空间直角坐标系,则 D(0,1,0) ,E(0,2 ,0) ,C(3,1,0) ,F(3,3,0) ,D(0,1 ,0) , , , ,设平面 ABCD 的法向量为 ,则 ,即 ,令 z1,则 , , ,直线 BE 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 ,() (01)G (3,4 1,0) , ,设平面 AEG 的法向量为 ,则 ,即 ,令 y3,则 ,x 34, ,平面 AED 的法向量为 , ,解得 , ,|CG| |CF|4 ,|CG| 4, 第 18 页(共 23 页)【点评】本题考查了线面平行的判定,考查

30、空间向量与空间角的计算,属于中档题18 (13 分)设 Sn 是等差数列a n的前 n 项和,满足 a2 5,S 535,T n 是数列 bn的前 n项和,满足 Tn2b n1(n N*) ()求数列a n,b n的通项公式;()令 ,设数列c n的前 n 项和 Pn,求 P2n 的表达式【分析】 ()首先利用递推关系式求出数列的通项公式()利用分类讨论思想和乘公比错位相减法求出数列的和【解答】解:()a n是等差数列 S535 ,a 37,a 25,d2,a na 2+(n2)22n+1当 n1 时   T12b 11,b 11当 n2 时   Tn1 2b n1 1又T

31、 n2b n1,b n2b n2b n1 bn2b n1b n是以 1 为首项,2 为公比的等比数列第 19 页(共 23 页) () ,设前 2n 项中奇数项的和为 An,偶数项的和为 Bn,得:, 【点评】本题考查的知识要点:数列的通项公式的求法及应用,乘公比错位相减法在数列求和中的应用,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题型19 (14 分)已知椭圆 C 的方程为 ,离心率为 ,它的一个顶点恰好是抛物线 的焦点()求椭圆 C 的方程;()过动点 M(0,m) (0mb)的直线交 x 轴的负半轴于点 N,交 C 于点A,B(A 在第一象限) ,且 M 是线段 AN 的中点,过点 A

32、 作 x 轴的垂线交 C 于另一点D,延长线 DM 交 C 于点 G(i)设直线 AM,DM 的斜率分别为 k,k,证明:3k+k 0;(ii)求直线 BG 的斜率的最小值【分析】 ()结合题意分别求出 b 的值,再利用离心率求出 a,c 的值,求出椭圆方程即可;第 20 页(共 23 页)() (i)设 A(x 0,y 0)那么 D(x 0,y 0) 可得 , ,即可得 3k+k0(ii)设直线 AM 为 ykx+ m,则直线 DM 为 ykx+m3kx +m利用韦达定理及 3k+k0,可求得 B,G 坐标,求出直线 BG 的斜率的解析式,根据不等式的性质计算即可 k 的最小值,再求出 m

33、的值即可【解答】 ()解:抛物线 的焦点是 , (1 分) ,a 2b 2+c2 (2 分) 椭圆 C 的方程 (3 分)() (i)设 A(x 0,y 0)那么 D(x 0,y 0) M 是线段 AN 的中点A(x 0,2m )D (x 0,2m)(4 分) , (5 分) ,3k+k0 (6 分)(ii)根据题意得:直线 AM 的斜率一定存在且 k0设直线 AM 为 ykx+ m,则直线 DM 为 ykx+m 3kx+m由 可得(1+2k 2)x 2+4kmx+2m260(7 分)利用韦达定理可知: , (8 分) ,3k+k0, 同理可得 (9 分) ,第 21 页(共 23 页)k0,

34、当且仅当 时  即为 时 等号成立  (14 分) (不求出 k 值,不扣分)【点评】本题考查了椭圆的方程问题,考查直线的斜率以及椭圆的性质,考查函数求最值问题,考查了运算求解能力转化与划归能力,属于难题20 (14 分)已知函数 f(x )(ax 2+x+a)e x (a R) ()当 a0 时,求 f(x )在点(0,f(0) )处的切线方程;()若 a0,求函数 f(x)的单调区间;()若对任意的 a0,f( x)bln (x+1)在 x0,+)上恒成立,求实数 b 的取值范围【分析】 ()当 a0 时,f(x )xe x ,f(x )e x xe x e x (1x

35、) ,可得f(0)1,f(0)0,即可得出切线方程()由题意,f'(x )(2ax+1)e x (ax 2+x+a)e x e x ax2+(12a)x+a1e x (x1) (ax +1a) 对 a 分类讨论:a0,a0,即可得出()令 g(a)e x (x 2+1)a+xe x ,a(,0 ,当 x0,+)时,ex (x 2+1)0,g(a)单调递增,则 可得 g(a)bln(x+1)对a(,0恒成立等价于 bln(x+1)g(a) maxg(0) ,即xex bln(x+1) ,对 x0,+)恒成立,对 b 分类讨论,利用单调性即可得出【解答】解:()当 a0 时,f(x )xe

36、 x ,f(x)e x xe x e x (1x)(1 分)f(0)1,f(0)0,函数 f(x)在点( 0,f(0) )处的切线方程为 yx (2 分)第 22 页(共 23 页)()由题意,f'(x )(2ax+1)e x (ax 2+x+a)e x e x ax2+(12a)x+a1e x (x1) (ax +1a) (3 分)()当 a0 时,f'(x )e x (x1) ,令 f'(x) 0,得 x1;f' (x )0,得x1,所以 f(x)在( ,1)单调递增, (1,+)单调递减;(4 分)()当 a0 时, ,令 f'(x)0,得 ;f&

37、#39;(x)0,得 或 x1,(5 分)所以 f(x)在 单调递增,在 , (1,+)单调递减,(6 分)()令 g(a)e x (x 2+1)a+xe x ,a(,0 ,当 x0,+)时,ex (x 2+1)0,g(a)单调递增,则 ,(7 分)则 g(a)bln(x +1)对a(,0恒成立等价于 bln(x+1)g(a) maxg(0) ,即 xex bln(x +1) ,对 x0,+)恒成立(8 分)()当 b0 时,x (0,+) ,bln(x +1)0,xe x 0,此时 xex bln(x+1) ,不合题意,舍去(9 分)()当 b0 时,令 h(x)bln(x+1)xe x ,

38、x 0, +) ,则 ,(10 分)其中(x+1)e x0,x 0,+) ,令 p(x)be x+x21,x 0,+ ) ,则 p(x )在区间0 , +)上单调递增,(11分)当 b 1 时, p(x)p(0)b10,所以对x 0,+) ,h'(x)0,则h(x)在0 ,+)上单调递增,故对任意 x0,+ ) ,h(x )h(0)0,即不等式 bln(x+1)xe x 在0 ,+ )上恒成立,满足题意(12 分)当 0 b1 时,由 p(0)b10,p(1)be0 及 p(x)在区间0,+)上单第 23 页(共 23 页)调递增,所以存在唯一的 x0(0,1)使得 p(x 0)0,且 x(0,x 0)时,p(x)0即 h'(x )0,所以 h(x )在区间(0,x 0)上单调递减,则 x(0,x 0)时,h(x)h(0)0,即 bln(x+1)xe x ,不符合题意(13 分)综上所述,b1(14 分)【点评】本题考查了利用利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法,考查学生的运算推理能力,属于难题