1、2019 年天津市南开区高考数学一模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| 2x2，Bx|y1 ，那么 AB（ ）A x| 2x1 Bx|2x1 C x|x2 D x|x22 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zxy 的最大值为（ ）A1 B1 C D33 （5 分）执行如图所示的程序枢图，输入的 a 的值为 3，则输出的 i（ ）A4 B5 C6 D74 （5 分）设 a，bR，则“ab”是“（ab）a 20”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充
2、要条件 D既不充分也不必要条件5 （5 分）函数 y2sin（ 2x） （x0 ， ）为增函数的区间是（ ）第 2 页（共 21 页）A0， B C0 ， D 6 （5 分）函数 f（x ）是奇函数，且在（0，+）内是增函数，f（3）0，则不等式xf（ x）0 的解集为（ ）A （3，0）（3，+） B （，3）（0，3）C （，3）（3，+ ） D （3，0 ）（0，3）7 （5 分）过双曲线 的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，若 B 为线段 FA 的中点，且 OBFA，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D8 （5 分）如图，在
3、ABC 中， ， ，P 为 CD 上一点，且满足，若ABC 的面积为 ，则 的最小值为（ ）A B C3 D二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分请将答案填在题中横线上9 （5 分）已知复数 z ，则 z 的实部为 10 （5 分）已知函数 f（x ）（ax 2+x1）e x+f（0） ，则 f（0）的值为 11 （5 分）如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B 1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为 12 （
4、5 分）已知 P 为抛物线 C：y 24 x 上一点，点 M（ ，0） ，若|PM|4 ，则POM（O 为坐标原点）的面积为 13 （5 分）已知 x，y 均为正实数，且 x+3y2，则 的最小值为 第 3 页（共 21 页）14 （5 分）设函数 f（x ） ，若函数 g（x）x+af（x）有三个零点，则这三个零点之和的取值范围是三、解答题：（本大题共 6 个小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤)15 （13 分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了 3 月 1 日
5、至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期 3 月 1 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日温差 x（） 10 11 13 12 8发芽数 y（颗） 23 25 30 26 16（）求这 5 天的平均发芽率；（）从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天，记发芽的种子数分别为 m，n，用（m ，n）的形式列出所有的基本事件，并求满足“m ，n25，30”的事件 A 的概率16 （13 分）已知ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，B2C ，sinC（1）求 cosB， cosA 的值；（
6、2）设 bc24，求边 a 的长17 （13 分）如图，在三棱锥 SABC 中，SA底面ABC，AC AB SA2，AC AB，D，E 分别是 AC，BC 的中点，F 在 SE 上，且SF2FE（）求异面直线 AF 与 DE 所成角的余弦值；（）求证：AF平面 SBC；（）设 G 为线段 DE 的中点，求直线 AG 与平面 SBC 所成角的余弦值第 4 页（共 21 页）18 （13 分）已知数列a n是等差数列，S n 为其前 n 项和，且 a53a 2，S 714a 2+7（）求数列a n的通项公式；（）设数列a n+bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求数列 bn（a n+bn）的
7、前 n 项和 Tn19 （14 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 （）求椭圆 C 的方程；（）设与圆 O：x 2+y2 相切的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点（O 为坐标原点） ，求AOB 面积的最大值20 （14 分）已知函数 f（x ） （）求曲线 yf（x）在点（e，f （e） ）处的切线方程；（）若函数 f（x ）在区间（m，m + ） （m 0）上存在极值，求实数 m 的取值范围；（）设 g（x） xf（x）1，对任意 x（0，1）恒有 g（x）2x2，求实数a 的取值范围第 5 页（共 21 页）2019 年天津市南
8、开区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 （5 分）已知集合 Ax| 2x2，Bx|y1 ，那么 AB（ ）A x| 2x1 Bx|2x1 C x|x2 D x|x2【分析】可求出集合 B，然后进行交集的运算即可【解答】解：Bx| x1；ABx| 2x 1故选：A【点评】考查描述法的定义，函数定义域的求法，以及交集的运算2 （5 分）设变量 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zxy 的最大值为（ ）A1 B1 C D3【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可【解答】解：变量 x，y
9、 满足约束条件条件的可行域如图：目标函数 zxy 经过可行域的 B 点时，目标函数取得最大值，由 可得 B（0，1） ，目标函数 zxy 的最大值为：1故选：B【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用3 （5 分）执行如图所示的程序枢图，输入的 a 的值为 3，则输出的 i（ ）第 6 页（共 21 页）A4 B5 C6 D7【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的 M，N，i 的值，当M115，N243 时，不满足条件 MN，退出循环，输出 i 的值为 6【解答】解：模拟执行程序框图，可得a3，M100，N1，i1满足条件 MN，M103，N
10、3，i2满足条件 MN，M106，N9，i3满足条件 MN，M109，N27，i4满足条件 MN，M112，N81，i5满足条件 MN，M115，N243，i6不满足条件 MN，退出循环，输出 i 的值为 6故选：C【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的M，N，i 的值是解题的关键，属于基本知识的考查4 （5 分）设 a，bR，则“ab”是“（ab）a 20”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件第 7 页（共 21 页）【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可【解答】解：若 a0，b1
11、，满足 ab，但（ab）a 20 不成立，若“（ab）a 20，则 ab 且 a0，则 ab 成立，故“ab”是“（ab）a 20”的必要不充分条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可5 （5 分）函数 y2sin（ 2x） （x0 ， ）为增函数的区间是（ ）A0， B C0 ， D 【分析】根据复合函数单调性的关系，结合三角函数单调性的性质进行转化求解即可【解答】解：y2sin（ ）2sin（2x ） ，求 y2sin （ ）的递增区间，等价于求 y2sin（2x ）的递减区间，由 2k+ 2x 2k+ ，k Z，得 2k+ 2x
12、 2k+ ，k Z，得 k+ x k+ ，k Z，当 k0 时， x ，即函数 y2sin（2x ）的递减区间为 ，则函数 y2sin（ ） ，x 0，的单调递增区间为 ，故选：B【点评】本题主要考查三角函数单调性以及单调区间的求解，利用复合函数单调性之间的关系以及三角函数的单调性是解决本题的关键6 （5 分）函数 f（x ）是奇函数，且在（0，+）内是增函数，f（3）0，则不等式xf（ x）0 的解集为（ ）A （3，0）（3，+） B （，3）（0，3）C （，3）（3，+ ） D （3，0 ）（0，3）【分析】根据题意，由奇函数的性质可得 f（3）0，结合函数的单调性可得在（
13、0，3）上，f（x ）0，在（3，+）上，f（x）0，又由 f（x）为奇函数，则在第 8 页（共 21 页）（3，0）上，f（x ）0，在（，3）上，f（x）0，又由 xf（x）0或 ，分析可得答案【解答】解：根据题意，函数 f（x ）为奇函数，则 f（3） f （3）0，函数 f（x）在（ 0，+）内是增函数，且 f（3）0，在（0，3）上，f（x ）0，在（3，+）上，f（x）0，又由 f（x）为奇函数，则在（3，0）上，f（x）0，在（，3）上，f （x ）0，xf（x ）0 或 ，则有3x0 或 0x3，即不等式的解集为（3，0）（0，3） ；故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性与单调
14、性的综合应用，关键是分析得到关于 x 的不等式，属于基础题7 （5 分）过双曲线 的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，若 B 为线段 FA 的中点，且 OBFA，则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D【分析】由题意可知：则AOF 为等腰三角形，且 OB AF，根据对称性求得 B 和 A 点坐标，代入渐近线方程，即可求得 b23a 2，根据双曲线的离心率公式，即可求得答案【解答】解：双曲线的渐近线方程 y x，由题意可知：设 A（m ，n） ，由 B 为 FA的中点，且 OAc，则AOF 为等腰三角形，且 OBAF，BOAxOA，即 tanBOx tan2AO
15、x ，整理得 b23a 2，双曲线的离心率 e 2，双曲线的离心率 e2，第 9 页（共 21 页）故选：C【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，双曲线的渐近线方程及离心率公式，考查计算能力，考查数形结合思想，属于中档题8 （5 分）如图，在ABC 中， ， ，P 为 CD 上一点，且满足，若ABC 的面积为 ，则 的最小值为（ ）A B C3 D【分析】首先利用 C，P，D 三点共线求得 m 值，再通过 结合不等式找到其最小值【解答】解： m + ，又 ， ， m ，又因为 C，P，D 三点共线，则 m 1，即 m ，第 10 页（共 21 页） ， ， 2 ，| |8， ， ，
16、故选：B【点评】此题考查了向量之间的转化，数量积，向量的模，不等式等，综合性较强，难度适中二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分请将答案填在题中横线上9 （5 分）已知复数 z ，则 z 的实部为 0 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z ，z 的实部为 0故答案为：0【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题10 （5 分）已知函数 f（x ）（ax 2+x1）e x+f（0） ，则 f（0）的值为 0 【分析】根据函数的导数公式求得函数的导数，即可得到结论【解答】解：f（x ）（ax 2+x1）e x+f（0） ，
17、f（x）（ 2ax+1）e x+（ ax2+x1）e x（ax 2+x+2ax）e x，f（0）0e 00故答案为：0【点评】本题主要考查导数的计算，利用函数的导数公式求导是解决本题的关键，比较基础第 11 页（共 21 页）11 （5 分）如图，正方体 ABCDA 1B1C1D1 的棱长为 1，E，F 分别为线段 AA1，B 1C 上的点，则三棱锥 D1EDF 的体积为 【分析】将三棱锥 D1EDF 选择D 1ED 为底面，F 为顶点，进行等体积转化VD1EDF V FD1ED 后体积易求【解答】解：将三棱锥 D1 EDF 选择D 1ED 为底面，F 为顶点，则
18、，其 ，F 到底面 D1ED 的距离等于棱长 1，所以 1 S故答案为：【点评】本题考查了三棱柱体积的计算，等体积转化法是常常需要优先考虑的策略12 （5 分）已知 P 为抛物线 C：y 24 x 上一点，点 M（ ，0） ，若|PM|4 ，则POM（O 为坐标原点）的面积为 【分析】根据抛物线方程求得抛物线的准线方程与焦点坐标，利用|PF| 4 求得 P 点的横坐标，代入抛物线方程求得纵坐标，代入三角形面积公式计算【解答】解：由抛物线方程得：抛物线的准线方程为：x ，焦点 F（ ，0） ，与M 重合，又 P 为 C 上一点，|PF|4 ，x P3 ，代入抛物线方程得
19、：|y P|2 ，S POM |0M|yP|2 故答案为：2 【点评】本题考查了抛物线的定义及几何性质，熟练掌握抛物线上的点所满足的条件是解题的关键13 （5 分）已知 x，y 均为正实数，且 x+3y2，则 的最小值为 第 12 页（共 21 页）【分析】利用“乘 1 法”与基本不等式的性质即可得出【解答】解：x，y 均为正实数，且 x+3y2，则 ，当且仅当 x y 时取等号 的最小值为 ，故答案为： 【点评】本题考查了“乘 1 法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题14 （5 分）设函数 f（x ） ，若函数 g（x）x+af（x）有三个零
20、点，则这三个零点之和的取值范围是（ ，6） 【分析】求解函数的零点，转化为两个函数的图象的交点个数有 3 个，通过数形结合，转化求解即可【解答】解：函数 f（x ） ，函数 g（x）x +af（x）有三个零点，函数 g（x）x +af（x）0，可得 y 与 ya 有 3 个交点，由函数的图象可得：x0 时由 2 个解，并且关于 x3 对称，函数的最小值为3；3x+43，解得 x ，所以：这三个零点之和的取值范围：（ ，6） 故答案为：（ ，6） 第 13 页（共 21 页）【点评】本题考查函数与方程的应用，函数的零点以及零点和的范围的求法，考查数形结合以及计算能力三、解答题：（本大
21、题共 6 个小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤)15 （13 分）某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了 3 月 1 日至 3 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期 3 月 1 日 3 月 2 日 3 月 3 日 3 月 4 日 3 月 5 日温差 x（） 10 11 13 12 8发芽数 y（颗） 23 25 30 26 16（）求这 5 天的平均发芽率；（）从 3 月 1 日至 3 月 5 日中任选 2 天，记发芽的种子数分别为 m，n，用（m ，n）的形式列出所有的
22、基本事件，并求满足“m ，n25，30”的事件 A 的概率【分析】 （）利用平均数公式能求出这 5 天的平均发芽率（）从 3 月 1 日至 3 月 5 日任中选 2 天，记发芽的种子数分别为 m，n，利用列举法能求出满足“m，n25，30”的事件 A 的概率【解答】解：（）这 5 天的平均发芽率为：（23+25+30+26+16）100% 24%（）从 3 月 1 日至 3 月 5 日任中选 2 天，记发芽的种子数分别为 m，n ，用（m，n）的形式列出所有的基本事件有 10 个，分别为：（23，25） ， （23，30） ， （23，26） ， （23，16） ， （25，30） ， （25
23、，26） ， （25，16） ，第 14 页（共 21 页）（30，26） ， （30，16） ， （26，16） 满足“m，n25，30”的事件 A 包含的基本事件有：（25，30） ， （25，26） ， （30，26） ，共 3 个满足“m，n25，30”的事件 A 的概率 P（A ） 【点评】本题考查平均数、概率的求法，考查平均数公式、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题16 （13 分）已知ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，B2C ，sinC（1）求 cosB， cosA 的值；（2）设 bc24，求边 a 的长【分析】 （1）根据同角的关系式以及两角和差
24、的三角公式即可求 cosB，cos A 的值；（2）根据 bc24 利用正弦定理建立条件关系即可边 a 的长【解答】解：（1）B2C，0C 90，cosBcos2 C12sin 2C 12（ ） 21sinB ，sinCcosC ，故 cosAcos （ 180BC）cos （B +C）sinBsinC cosBcosC （2）由正弦定理得 ，即 b2RsinB，c2RsinC bc4R 2sinBsinC4R 2 R224，R 2 ，即 R ，cosA ， sinA ，a2RsinA2 5【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式以及正弦定理的应用，考查学生的运算能力，要求熟练掌握相应的公式第
25、15 页（共 21 页）17 （13 分）如图，在三棱锥 SABC 中，SA底面ABC，AC AB SA2，AC AB，D，E 分别是 AC，BC 的中点，F 在 SE 上，且SF2FE（）求异面直线 AF 与 DE 所成角的余弦值；（）求证：AF平面 SBC；（）设 G 为线段 DE 的中点，求直线 AG 与平面 SBC 所成角的余弦值【分析】 （I）利用勾股定理和余弦定理计算 ABF 的边长，再计算 cosBAF ；（II）利用勾股定理得出 AFEF，AFBF ，故而 AF平面 SBC；（III）延长 AG 交 BC 于 M，计算 AM 得出 cosAMF 的值【解答】 （I）解：D，E
26、分别是 AC，BC 的中点，DEAB，BAF 为 AF 与 DE 所成的角ABAC，BCAE，又 AS平面 ABC，BC 平面 ABCASBC，又 AEASA，BC平面 SAE，BCSEABACAS2，ABAC ，ADDE 1，AE BE ，SE ，EF SE ，BF 又 cosAES ，AF ，cosBAF 第 16 页（共 21 页）异面直线 AF 与 DE 所成角的余弦值为 （II）证明：由（I）可知 BC平面 SAE，又 AF平面 SAE，BCAF，由（I）知 AE ，EF ，AF ，EF 2+AF2AE 2，AFEF，又 BCEFE，BC平面 SBC，EF 平面 SBC，AF平面 S
27、BC（III）解：延长 AG 交 BC 于 M，连接 FM，AF平面 SBC，AMF 为 AG 与平面 SBC 所成的角G 是 DE 的中点，DG DE ，AG ，sinDAG ，cosDAG ，又ACM 45，sinAME sin（DAG +ACM） + 又 sinAME ，AM MF cosAMF 直线 AG 与平面 SBC 所成角的余弦值为 【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，属于中档题18 （13 分）已知数列a n是等差数列，S n 为其前 n 项和，且 a53a 2，S 714a 2+7（）求数列a n的通项公式；（）设数列a n+bn是首项为 1，公比为 2 的等比数
28、列，求数列 bn（a n+bn）的前 n 项第 17 页（共 21 页）和 Tn【分析】 （）数列a n是公差为 d 的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求通项公式；（）a n+bn2 n1 ，可得 bn2 n1 （2n1） ，运用数列的分组求和和错位相减法求和，计算可得所求和【解答】解：（）数列a n是公差为 d 的等差数列，且 a53a 2，S 714a 2+7，可得 a1+4d3（a 1+d） ，7a 1+21d14（a 1+d）+7，解得 a11，d2，则 an2n1；（）数列a n+bn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，可得 an+bn2 n1 ，可得
29、bn2 n1 （2n1） ，则 bn（a n+bn）4 n1 （2n1）2 n1 ，设 Kn12 0+32+（2n1）2 n1 ，2Kn12+22 2+（2n1）2 n，相减可得K n1+2（2+2 2+2n1 ）（2n1）2 n1+2 （2n1）2 n，化简可得 Kn3+ （2n3）2 n，则前 n 项和 Tn 3（2n3）2 n （2n3）2 n【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和和裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题19 （14 分）已知椭圆 C： 1（ab0）的离心率为 ，两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为 （）求椭圆 C
30、的方程；（）设与圆 O：x 2+y2 相切的直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点（O 为坐标原点） ，求AOB 面积的最大值第 18 页（共 21 页）【分析】 （1）由已知可得关于 a，b，c 的方程组，求解可得 a，b，c 的值，则椭圆方程可求；（2）当 k 不存在时，求出AOB 的面积；当 k 存在时，设直线为 ykx +m，A（x 1，y 1） ，B（x 2， y2） ，将直线 ykx+ m 代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线和圆相切的条件得 m 与 k 的关系，结合基本不等式即可得到所求面积的最大值和直线 l 的方程【解答】解：（1）由题意可得，e ，a 2b 2c 2
31、，bc ，解得 a ，b1，c ，即有椭圆的方程为 +y21；（2）当 k 不存在时，x ，可得 y ，SOAB ；当 k 存在时，设直线为 ykx+m（k0） ，A（x 1，y 1） ，B （x 2，y 2） ，将直线 ykx+m 代入椭圆方程可得（1+3 k2）x 2+6kmx+3m230，x1+x2 ，x 1x2 ，由直线 l 与圆 O：x 2+y2 相切，可得 ，即有 4m23（1+k 2） ，|AB| ，当且仅当 9k2 ，即 k 时等号成立，可得 SOAB |AB|r 2 ，第 19 页（共 21 页）即有OAB 面积的最大值为 此时直线方程 y 1【点评】本题考查椭圆的方程的求法
32、，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用基本不等式求最值，属于中档题20 （14 分）已知函数 f（x ） （）求曲线 yf（x）在点（e，f （e） ）处的切线方程；（）若函数 f（x ）在区间（m，m + ） （m 0）上存在极值，求实数 m 的取值范围；（）设 g（x） xf（x）1，对任意 x（0，1）恒有 g（x）2x2，求实数a 的取值范围【分析】 （）求函数的导数，利用导数的几何意义求切线方程即可（）求函数的导数确定 f（ x）在 x1 处取得极值，则 1 在区间（m，m+ ）内，建立不等式关系进行求解即可（）构造函数 h（x）lnx+ ，求函数的导数 h（x） ，利用函数极值
33、和最值的关系进行讨论求解即可【解答】解：（）函数的定义域为（0，+） ，函数的导数 f（x ） ，则 f（e） ，即在点（e，f（e ） ）处的切线斜率 k ，f（e） ，则在点（e， ）处的切线方程为 y （x e） ，即 y x+ 第 20 页（共 21 页）（）由 f（x ） 得，当 0x1 时，f（x）0，当 xl 时，f（x）0，f（x）在（0 ，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，故 f（x）在 x1 出取得极大值f（x）在区间（ m，m + ） （ m0）上存在极值， ，即 ，得 m 1，即实数 m 的取值范围是（ ， 1） （）g（x） xf（x ） 1 x 1 ，若任意
34、x（0， 1）恒有 g（x）2x2，即任意 x（0， 1）恒有 2x2，即 2，当 x（0，1）时， lnx0，当 a0 时， 0，则 2 不成立，当 a0 时，由 2 得（1+x）lnx2a（1x） ，即 lnx ，即 lnx+ 0，设 h（x）lnx+ ，则 h（x） ，设 m（x）x 2+（24a）x+1，判别式（24a） 2416a（a1） ，若 0 a1，则 0，h（x）0，则 h（x）在（0，1上为增函数，又 h（1）0，h（x）h（1）0，此时 0a1 满足条件若 a 1， 0，m（0）10，m （1）4（1a）0，存在 x0（0 ，1） ，使得 m（x 0）0，h（x ）在（x 0，1）内单调递减，又 h（1）0，当 x（x 0，1）时，h（x）0，不合乎要求，第 21 页（共 21 页）综上实数 a 的取值范围是 0a1【点评】本题主要考查导数的几何意义，函数的极值以及不等式恒成立问题，求函数的导数，构造函数，利用函数与导数之间的关系是解决本题的关键综合性较强，运算量较大，有一定的难度