1、2019 年天津市河北区高考数学二模试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A0，1， 2，3，4，5，6 ，Bx|x 2n，nA，则 AB（ ）A0 ，2，4 B2 ，4，6C0，2，4，6 D0 ，2， 4，6，8，10，122 （5 分）若复数 为纯虚数（i 为虚数单位） ，则实数 a 的值为（ ）A1 B C0 D13 （5 分）命题 p：“x （，0） ，3 x4 x”的否定 p 为（ ）Ax（ ，0） ，3 x4 xBx（，0） ，3 x4 xCD4 （5 分）已知 ，则 a，b，c 的大
2、小关系为（ ）Aabc Bbac Ccab Dac b5 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，以 F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4） ，则此双曲线的方程为（ ）A BC D6 （5 分）已知四面体 ABCD 的四个面都为直角三角形，且 AB平面BCD，AB BDCD 2，若该四面体的四个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）A3 B2 C D127 （5 分）已知函数 ，xR，给出下列四个命题：函数 f（x）的最小正周期为 2；第 2 页（共 21 页）函数 f（x）的最大值为 1；函数
3、f（x）在 上单调递增；将函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式为 g（x）sin2x其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D48 （5 分）已知函数 f（x ）e xa|x| 有三个零点，则实数 a 的取值范围为（ ）A （，0） B （0，1） C （0，e） D （e ，+ ）二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员 96 人若在甲、乙、丙、丁四个社
4、区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 的值为 10 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为 11 （5 分）若实数 x，y 满足条件 则 z2x +2y 的最小值为 12 （5 分）已知直线 i 的方程为 xy+10，圆 C 的方程为 x2+y2+2y30，则直线被圆所截得的弦长为 13 （5 分）已知首项与公比相等的等比数列a n中，若 m，nN *，满足 ，则第 3 页（共 21 页）的最小值为 &n
5、bsp; 14 （5 分）在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若 ，则实数 +的值为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分）一个盒子中装有 4 个编号依次为 1、2、3、4 的球，这 4 个球除号码外完全相同，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为 X，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 Y（1）列出所有可能结果（2）求事件 A“取出球的号码之和小于 4”的概率（3）求事件 B“编号 XY”的概率16 （13 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边
6、分别为 a，b，c，满足（）求角 A 的值；（）若 a3，b2 ，求 sin（2B+A）的值17 （13 分）如图，四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面为菱形，AA 1底面ABCD， BAD120，AB 2，E，F 分别为 CD，AA 1 的中点（）求证：DF平面 B1AE；（）求证：平面 B1AE平面 A1B1BA；（）若 A1A2，求异面直线 B1E 与 DF 所成角的余弦值18 （13 分）已知数列a n满足 a12， ，设 bn（）求 b1，b 2，b 3 的值；第 4 页（共 21 页）（）证明数列b n是等差数到；（）设 ，求数列c n的前 n 项和 Tn（n N*） 19
7、（14 分）已知椭圆 过点 P（2，1） （）求椭圆 C 的方程，并求其离心率；（）过点 P 作 x 轴的垂线 l，设点 A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上（点 A 不在直线l 上） ，点 A 关于 l 的对称点为 A'，直线 A'P 与 C 交于另一点 B设 O 为原点，判断直线AB 与直线 OP 的位置关系，并说明理由20 （14 分）已知函数 f（x ）x 33ax+e，g（x）1lnx，其中 e 为自然对数的底数（）当 时，求曲线 yf （x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）求函数 f（x ）的单调区间；（）用 maxm，n表示 m，n 中的较大者，记函数 h
8、（x ）maxf（x） ，g（x）（x0） 若函数 h（x ）在（0，+）内恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围第 5 页（共 21 页）2019 年天津市河北区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 （5 分）设集合 A0，1， 2，3，4，5，6 ，Bx|x 2n，nA，则 AB（ ）A0 ，2，4 B2 ，4，6C0，2，4，6 D0 ，2， 4，6，8，10，12【分析】先求出集合 A，B，由此能求出 AB【解答】解：集合 A0， 1，2，3，4，5，6 ，B x|x2n，nA0，2，4，6，8，10
9、，12，AB0，2，4，6故选：C【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题2 （5 分）若复数 为纯虚数（i 为虚数单位） ，则实数 a 的值为（ ）A1 B C0 D1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解【解答】解： 为纯虚数， ，即 a1故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3 （5 分）命题 p：“x （，0） ，3 x4 x”的否定 p 为（ ）Ax（ ，0） ，3 x4 xBx（，0） ，3 x4 xCD【分析】根据全称命题的
10、否定是特称命题进行判断【解答】解：命题是全称命题，则p： ，第 6 页（共 21 页）故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键比较基础4 （5 分）已知 ，则 a，b，c 的大小关系为（ ）Aabc Bbac Ccab Dac b【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解【解答】解： ，0a（ ） （ ） 01，blog 23log 49clog 47 log441，a，b，c 的大小关系为 acb故选：D【点评】本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力
11、，考查函数与方程思想，是基础题5 （5 分）已知双曲线 1（a0，b0）的左、右焦点分别为 F1、F 2，以 F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4） ，则此双曲线的方程为（ ）A BC D【分析】根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得 a2+b225由点（3，4）在双曲线的渐近线上，得到 ，两式联解得出 a3 且 b4，即可得到所求双曲线的方程【解答】解：点（3，4）在以|F 1F2|为直径的圆上，c5，可得 a2+b225又点（3，4）在双曲线的渐近线 y x 上，第 7 页（共 21 页） ，联解，得 a3 且 b4，可得双曲线的方程 1故选：C【点
12、评】本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质，主要是渐近线方程的运用，属于中档题6 （5 分）已知四面体 ABCD 的四个面都为直角三角形，且 AB平面BCD，AB BDCD 2，若该四面体的四个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积为（ ）A3 B2 C D12【分析】将四个面都为直角三角形的四面体放到长方体中，根据 ABBDCD2，求解长方体对角线，可得球 O 的半径，从而求解球 O 的表面积【解答】解：由题意，四面体有四个面都为直角三角形，四面体放到长方体中，AB平面 BCD，ABBD CD 2，可得长方体的对角线为 球 O 的半径
13、 R 球 O 的表面积 S4R 212故选：D【点评】本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查分割补形法，是中档题7 （5 分）已知函数 ，xR，给出下列四个命题：函数 f（x）的最小正周期为 2；函数 f（x）的最大值为 1；第 8 页（共 21 页）函数 f（x）在 上单调递增；将函数 f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式为 g（x）sin2x其中正确命题的个数是（ ）A1 B2 C3 D4【分析】化函数 f（x ）为正弦型函数，再求它的最小正周期、最值，判断函数的单调性与单调区间，以及结合函数图象平移法则，判断命题真假性即可【解答】解：函数 sin（2x
14、） ，对于 ，函数 f（x ）的最小正周期为 T ，错误；对于 ，2x +2k，k Z 时，函数 f（x）取得最大值为 1，正确；对于 ，x ， 时， 2x ， ，函数 f（x）在 上先递减后递增， 错误；对于 ，将函数 f（x ）的图象向左平移 个单位长度，得 yf（x+ ）sin2（x+ ） sin2 x，即得到 g（x）sin2x 的图象，正确；综上，其中正确命题的序号是，共 2 个故选：B【点评】本题考查了三角函数的化简与平移应用问题，也考查了函数的图象与性质的应用问题，是中档题8 （5 分）已知函数 f（x ）e xa|x| 有三个零点，则实数 a 的取值范围为（ ）A
15、（，0） B （0，1） C （0，e） D （e ，+ ）【分析】根据题意，分析可得 x0 时，函数 f（x）e xa|x| 有一个零点，则当 x0 时，函数 f（x）e xa|x|有 2 个零点；当 x0 时，函数 f（x）e xa|x|e xax，对其求导分析可得在（0，lna）上， f（x）0，函数 f（x）为减函数，在（ lna，+）上，f（x）0，函数 f（x ）为增函数，即可得其最小值，分析可得必有 f（x ）minaalna0，解可得 a 的取值范围，综合可得答案【解答】解：函数 f（x ）e xa|x| 有三个零点，则函数 ye x 与 ya|x|有 3 个不同的交点，第 9
16、 页（共 21 页）则必有 a0，图象如图：当 x0 时，函数 ye x 与 ya |x|有 1 个交点，即 x0 时，函数 f（x）e x a|x|有一个零点，若函数函数 f（x ）e xa|x|有三个零点，则当 x0 时，函数 f（x）e xa|x|e xax有 2 个零点；当 x0 时，f（ x）e xa| x|e xax，其导数 f（x ）e xa，令 f（x）e xa0 可得，xlna ，分析可得：在（0，lna）上， f（x）0，函数 f（x）为减函数，在（lna，+）上， f（x）0，函数 f（x）为增函数，当 xlna 时， f（x ）e xax 有最小值，即 f（x） min
17、f （ lna）aalna，若（0，+）上，函数 f（x ）e xa| x|e xax 有 2 个零点，必有 f（x）minaalna0，解可得 a e，综合可得：a 的取值范围为（e，+） ；故选：D【点评】本题考查函数的零点判定定理，涉及函数的图象，关键是分析函数 ye x 与ya|x |的交点情况二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9 （5 分）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为 N，其中甲社区有驾驶员 96 人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，
18、21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数 N 的值为 808 第 10 页（共 21 页）【分析】抽样比为 ，而样本容量为 12+21+25+43101，所以 ，可得N，【解答】解：依题意，抽样比为 ，又因为样本容量 n12+21+25+43101，所以 ，解得 N 808故填：808【点评】本题考查了分层抽样，解决分层抽样时要注意分层抽样是等比例抽样，各层的抽样比相同本题属于基础题10 （5 分）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出 i 的值为 4 【分析】根据程序框图进行模拟运算即可【解答】解：S0，S50 是，S 36，i2，S36，S50 是，S36+ 36+12
19、48，i3，S48，S50 是，S48+ 48+654，i4，S54，S50 否，输出 i4，故答案为：4【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据条件进行模拟运算是解决本题的关键第 11 页（共 21 页）11 （5 分）若实数 x，y 满足条件 则 z2x +2y 的最小值为 6 【分析】作出不等式组对于的平面区域，利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出实数 x，y 满足条件 对于的平面区域如图：由 z2x+2y，则 yx + z，平移直线 yx + z，由图象可知当直线 yx + z，经过点 A 时，直线 yx + z 的截距最小，此时 z 最小，无最大值由 ，解得 A（3，0）
20、，此时 zmin23+2 06，故答案为：6【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用 z 的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键12 （5 分）已知直线 i 的方程为 xy+10，圆 C 的方程为 x2+y2+2y30，则直线被圆所截得的弦长为 2 【分析】求出圆 C 的半径和圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；【解答】解：将圆 C 化为标准方程得 x2+（y +1） 24圆 C 的圆心为（0，1） ，半径 r2直线 i 的方程为 xy+10，第 12 页（共 21 页）圆心到直线 xy +10 的距离 d 直线被圆所截得的弦长为 2 2 故答案为：2 【点评】本题考查了直
21、线与圆的位置关系，圆的性质得应用，属于基础题13 （5 分）已知首项与公比相等的等比数列a n中，若 m，nN *，满足 ，则的最小值为 1 【分析】首项与公比 q 相等的等比数列a n，运用等比数列的通项公式可得 m+2n8，由基本不等式和“1”的代换，化简整理，可得所求最小值【解答】解：首项与公比 q 相等的等比数列a n，即为 qmq2n q8，即为 m+2n8，则 （m+2n） （ ） （4+ + ） （4+2 ）1当且仅当 m4，n2，取得最小值 1故答案为：1【点评】本题考查等比数列的通项公式和基本不等式的运用，注意“1”的代换，以及等号成立的条件，考查运算能力，属于中档题14 （
22、5 分）在正方形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，CD 的中点，若 ，则实数 +的值为 【分析】以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立坐标系，列关于 ， 的二元一次方程组即可得到 ， 的值【解答】解：如图，以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立坐标系，则 A（0，0） ，M（1， ） ，N（ ，1） ，C（1，1） ，所以 （1，1） ， （1， ） ， （ ，1） ，第 13 页（共 21 页），即（1，1） + ，所以 ，解得，所以 ，故填： 【点评】本题考查了向量的分解，可以转化为向量的
23、坐标运算来处理本题属于基础题三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （13 分）一个盒子中装有 4 个编号依次为 1、2、3、4 的球，这 4 个球除号码外完全相同，先从盒子中随机取一个球，该球的编号为 X，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 Y（1）列出所有可能结果（2）求事件 A“取出球的号码之和小于 4”的概率（3）求事件 B“编号 XY”的概率【分析】 （1）用列举法求得所有可能的结果共有 16 个（2）用列举法求得事件“取出球的号码之和小于 4”包含的结果有 3 个，由此求得“取出球的号码之和小于 4”的概率（3）用列
24、举法求得事件 B“编号 XY”包含的结果有 6 个，由此求得事件 B“编号 XY ”的概率【解答】解：（1）所有可能的结果共有（1，1） 、 （1，2） 、 （1，3） 、 （1，4） 、 （2，1） 、（2，2） 、 （2，3） 、 （2，4） 、第 14 页（共 21 页）（3，1） 、 （3，2） 、 （3，3） 、 （3，4） 、 （4，1） 、 （4，2） 、 （4，3） 、 （4，4） ，共计 16 个（2）事件“取出球的号码之和小于 4”包含的结果有（1，1） 、 （1，2） 、 （2，1） ，共计3 个，故“取出球的号码之和小于 4”的概率为 （3）事件 B“编号 XY”包含的
25、结果有 （1，2） 、 （1，3） 、 （1，4） 、 （2，3） 、（2，4） 、 （3，4） ，共计 6 个，故事件 B“编号 XY”的概率为 【点评】本题考主要查古典概型问题，可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件，列举法，是解决古典概型问题的一种重要的解题方法，属于基础题16 （13 分）已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足（）求角 A 的值；（）若 a3，b2 ，求 sin（2B+A）的值【分析】 （）由正弦定理化简已知可得 b2+c2a 2bc，由余弦定理 cosA 的值，结合范围 0A，可求 A 的值（）由正弦定理可求 sinB，利用同角三角函数基
26、本关系式可求 cosB 的值，根据二倍角公式可求 sin2B，cos2B 的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解【解答】 （本小题满分 13 分）解：（） ，由正弦定理得， （2 分）化简得，b 2+c2a 2bc （3 分）由余弦定理得， （5 分）又 0A， （6 分）（）由（）知， ，又 a3， ，第 15 页（共 21 页）sinB （8 分）又 ba，cosB （9 分）sin2B2sinBcosB ，（10 分）cos2B12sin 2B ，（11 分）sin（2B+A ）sin（2B+ ）sin2Bcos +cos2Bsin （13 分）【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，
27、同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题17 （13 分）如图，四棱柱 ABCDA 1B1C1D1 的底面为菱形，AA 1底面ABCD， BAD120，AB 2，E，F 分别为 CD，AA 1 的中点（）求证：DF平面 B1AE；（）求证：平面 B1AE平面 A1B1BA；（）若 A1A2，求异面直线 B1E 与 DF 所成角的余弦值【分析】 （I）取 AB1 的中点 G，连接 FG，EG，通过证明四边形 FGED 是平行四边形可得 DFEG ，故 DF平面 B1AE；（II）证明 AEAB，AE AA 1 得出 AE
28、平面 ABB1A1，故而可得平面 B1AE平面A1B1BA；（III）计算 B 1EG 的边长，利用余弦定理求出 cosB 1EG 即可【解答】证明：（）取 AB1 的中点 G，连接 FG，EG，F，G 分别是 AA1，AB 1 的中点，第 16 页（共 21 页）GFA 1B1，GF A1B1，又 DEA 1B1，DE A1B1，FGDE ，FGDE四边形 DEGF 是平行四边形DFEG 又 DF平面 B1AE，EG平面 B1AE，DF平面 B1AE解：（）在菱形 ABCD 中，BAD120，ADC60ACD 是等边三角形AECD又 CDAB，AEAB，AA 1平面 ABCD，AE平面 AB
29、CD，AA 1AE又 ABAA 1A，AE平面 A1B1BA，又 AE平面 B1AE，平面 B1AE 平面 A1B1BA（）由（）知，DFEG，则B 1EG（或其补角）是异面直线 B1E 与 DF 所成的角ABBB 1AA 12，AB 12 ，故 B1G ，AF1，AD 2，DF ，又 AE ，BE ，B 1E ，在B 1EG 中， 异面直线 B1E 与 DF 所成角的余弦值为 第 17 页（共 21 页）【点评】本题考查了线面平行、面面垂直的判定，考查异面直线多成交的计算，属于中档题18 （13 分）已知数列a n满足 a12， ，设 bn（）求 b1，b 2，b 3 的值；（）证明数列b
30、n是等差数到；（）设 ，求数列c n的前 n 项和 Tn（n N*） 【分析】 （）将 n1 代入得 a29将 n2 代入得 a320，由此能求出 b1，b 2，b 3的值（）将（n+2）a n（n+1 ）a n+12（n 2+3n+2） ，两边同时除以（n+1） （n+2） ，得由此能证明数列b n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列（）由 bn1+2（n1）2n1得 设，利用错位相减法求出 Pn6+（2n3）2n+1，由此能求出 Tn【解答】 （本小题满分 13 分）解：（）将 n1 代入得 3a12a 212，又 a12，a 29将 n2 代入得 4a23a 324，a 320从而 b
31、11，b 23，b 35 （3 分）证明：（）由已知，将（n+2）a n（n+1）a n+12（n 2+3n+2） ，两边同时除以（n+1） （n+2 ） ，得 （4 分）第 18 页（共 21 页） ，即 bn+1b n2 （5 分）数列b n是以 1 为首项，2 为公差的等差数列 （6 分）解：（）由（）可得 bn1+2（n1）2n1 ， （7 分）设 ，两式相减得， （9 分）2+2 （2n1）2 n+1（10 分）6（2n3）2 n+1，化简得 Pn6+（2n3）2 n+1（11 分）设 Sn1+3+5+（2n1） n 2（12 分）T n6+（2n3）2 n+1+n2（13 分）【点
32、评】本题考查数列的前 3 项的求法，考查等差数列的证明，考查数列的前 n 项和的求法，考查等差数列、错位相减法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19 （14 分）已知椭圆 过点 P（2，1） （）求椭圆 C 的方程，并求其离心率；（）过点 P 作 x 轴的垂线 l，设点 A 为第四象限内一点且在椭圆 C 上（点 A 不在直线l 上） ，点 A 关于 l 的对称点为 A'，直线 A'P 与 C 交于另一点 B设 O 为原点，判断直线AB 与直线 OP 的位置关系，并说明理由【分析】 （）将点 P 代入椭圆方程，求出 a，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（）设直线 PA：y
33、 1k （ x2） ，PB：y1k （x2） ，设点 A 的坐标为（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，分别求出 x1x 2，y 1y 2，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系第 19 页（共 21 页）【解答】解：（）由椭圆方程椭圆 过点 P（2，1） ，可得 a28所以 c2a 22826，所以椭圆 C 的方程为 + 1，离心率 e ，（）直线 AB 与直线 OP 平行证明如下：设直线 PA：y1k （x2） ，PB：y1k （x2） ，设点 A 的坐标为（x 1，y 1） ， B（x 2，y 2） ，由 得（4k 2+1）x 2+8k（12k ）x+16k
34、216k40，2x 1 ，x 1同理 x2 ，所以 x1x 2 ，由 y1kx 12k+1 ，y 2kx 1+2k+1有 y1y 2k（ x1+x2）4k ，因为 A 在第四象限，所以 k0，且 A 不在直线 OP 上k AB ，又 kOP ，故 kABk OP，所以直线 AB 与直线 OP 平行【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题20 （14 分）已知函数 f（x ）x 33ax+e，g（x）1lnx，其中 e 为自然对数的底数第 20 页（共 21 页）（）当 时，求曲线 yf （x）在点（1，f（1） ）处的切线方程；（）求
35、函数 f（x ）的单调区间；（）用 maxm，n表示 m，n 中的较大者，记函数 h（x ）maxf（x） ，g（x）（x0） 若函数 h（x ）在（0，+）内恰有 2 个零点，求实数 a 的取值范围【分析】 （I）根据导数求出切线斜率，根据点斜式方程得出切线方程；（II）讨论 a 的范围，令 f（x）0 得出增区间，令 f（x）0 得出减区间；（III）通过讨论 a 的范围求出函数 f（x）的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定 a 的范围即可【解答】解：（）当 a 时，f（x ）x 3x+e，f'（x）3x 21f（1）e， f（1）2，曲线 yf（x）在点（1，f（1
36、） ）处的切线方程为 ye2（x1） ，即2xy2+e0（）f'（x ）3x 23a（1）当 a0 时，f'（x ）0，函数在（，+）内单调递增（2）当 a0 时，令 f（x ）0，解得 x 或 x 由 f（x）0 ，解得 x 或 ，由 f（x）0 ，解得 ，函数 f（x）的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为（）函数 g（x）的定义域为（0，+） ， 函数 g（x）在（0，+）内单调递减（1）当 x（0 ，e）时，g（x）g（e）0，依题意，h（x）g（x）0，不满足条件；（2）当 xe 时，g（e ）0 ，f（e）e 33ae+e，若 f（ e）e 33ae+ e0，即 a
37、 ，则 e 是 h（x）的一个零点；第 21 页（共 21 页）若 f（ e）e 33ae+ e0，即 a ，则 e 不是 h（x）的零点；（3）当 x（e，+）时，g（x）0，所以此时只需考虑函数 f（x）在（e，+）上零点的情况f'（x）3x 23a3e 23a，当 a e2 时，f'（x ）0，f（x）在（e，+）上单调递增又 f（e）e 33ae+e ，（i）当 a 时，f（e）0，f （x）在（e，+）上无零点；（ii）当 ae 2 时，f （e）0，又 f（2e）8e 36ae+e 8e 36e 3+e0，所以此时 f（x）在（ e，+）上恰有一个零点；当 a e2 时，令 f'（x ）0，得 x 由 f'（x）0，得 ex ；由 f'（x）0，得 x ；所以 f（x）在（ e， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递增因为 f（e）e 33ae+e e 33e 3+e0，f（2a）8a 36a 2+e8a 26a 2+e2a 2+e0，所以此时 f（x）在（ e，+）上恰有一个零点；综上，a ，故实数 a 的取值范围是 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题