1、 1 第三章 函 数第六节 二次函数的综合应用类型 1 特殊三角形问题1. 如图，已知抛物线 C：yx 2bxc 经过 A(3，0)和 B(0，3) 两点，将这条抛物线的顶点记为 P，它的对称轴与 x 轴的交点记为 Q.(1)求抛物线 C 的表达式；(2)求点 P 的坐标；(3)将抛物线 C 沿 x 轴向右平移 d(d0)个单位，得到抛物线 C，抛物线 C与抛物线 C 交于点 M，如果以点 P、 Q、 M 为顶点的三角形是直角三角形，求抛物线 C的表达式第 1 题图2. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 在 x 轴正半轴上，OA4，将线段 OA 绕点 O 顺时针旋转 120至OB 的位
2、置(1)求点 B 的坐标；(2)求经过点 A、 O、 B 的抛物线的表达式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点 P、 O、 B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2 类型 2 特殊四边形问题3. 已知抛物线 C1：y x2bxc 与 x 轴交于点(2 ，0)，对称轴为直线 x3.14(1)求 b、 c 的值；(2)若抛物线 C1 与抛物线 C2 关于 y 轴对称，求抛物线 C2 的函数表达式；(3)若抛物线 C1 与 x 轴的交点分别为 A，B 两点( A 在 B 左侧 )，抛物线 C2 与 x 轴交于 A，B两点(A在 B左侧)，且
3、抛物线 C2 与 y 轴交于点 M，则在抛物线 C1 及 C2 上是否存在点 N，使得以点 A，A ，M，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 N 坐标；若不存在，请说明理由4. 已知抛物线 yax 2bx c 的顶点为(1，0) ，且经过点(0，1) (1)求该抛物线的表达式；(2)将该抛物线向下平移 m(m0)个单位，设得到的抛物线的顶点为 A，与 x 轴的两个交点为 B、 C，若ABC 为等边三角形求 m 的值；设点 A 关于 x 轴的对称点为点 D，在抛物线上是否存在点 P，使得以 B、 C、 D、 P 为顶点的四边形为菱形？若存在，写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由
4、3 类型 3 图形面积问题5. (2018 泰州) 平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 yx 2 2mxm 22m2 的图象与 x 轴有两个交点(1)当 m2 时，求二次函数的图象与 x 轴交点的坐标；(2)过点 P(0，m1)作直线 ly 轴，二次函数图象的顶点 A 在直线 l 与 x 轴之间(不包含点 A 在直线 l 上)，求 m 的范围；(3)在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 l 相交于点 B，求 ABO 的面积最大时 m 的值6. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y x2bx c 经过点 A(1，0)和点 B(0， )，顶点为 C，点12 52D 在其对称轴上
5、且位于点 C 下方，将线段 DC 绕点 D 按顺时针方向旋转 90，点 C 落在抛物线上的点P 处(1)求这条抛物线的表达式；(2)求线段 CD 的长；(3)将抛物线平移，使其顶点 C 移到原点 O 的位置，这时点 P 落在点 E 的位置，如果点 M 在 y 轴上，且以 O、 D、 E、 M 为顶点的四边形面积为 8，求点 M 的坐标 4 类型 4 三角形相似问题7. (2018 西安交大附中模拟)抛物线 yax 2bx3(a0) 经过点 A(1，0)、B( ，0)，且与 y 轴相交于点 C.32(1)求这条抛物线的表达式；(2)求ACB 的度数；(3)设点 D 是所求抛物线第一象限上一点，且
6、在对称轴的右侧，点 E 在线段 AC 上，且 DEAC ，当CED 与AOC 相似时，求点 D 的坐标类型 5 其他问题8. (2018 苏州)如图，已知抛物线 yx 24 与 x 轴交于点 A、 B(点 A 位于点 B 的左侧)，C 为顶点，直线yxm 经过点 A，与 y 轴交于点 D.(1)求线段 AD 的长；(2)平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为 C，若新抛物线经过点 D，并且新抛物线的顶点和原抛物线的顶点的连线 CC平行于直线 AD，求新抛线对应的函数表达式第 8 题图 5 参考答案及解析第三章 函 数第六节 二次函数的综合应用1. 解：(1)抛物线 yx 2bxc 经
7、过 A(3，0)和 B(0，3)两点， ， 9 3b c 0c 3 )解得 ，b 2c 3)故抛物线 C 的表达式为 yx 22x3；(2)P 为抛物线 C 的顶点，点 P 的横坐标为 x 1，b2a 2 2将 x1 代入表达式得 y1234，点 P 的坐标为(1，4) ；(3)分三种情况讨论：当 P 为直角顶点时，PMx 轴，此直角三角形不存在；当 Q 为直角顶点时，QMPQ，此时点 M 与点 A 重合，M(3，0) ，此时抛物线 C的顶点坐标为(5，4) ，抛物线 C的表达式为 y (x5) 24；当 M 为直角顶点时，如解图，过点 M 作 MNPQ，垂足为 N，则 MNPQNM ，MN
8、2PNQN.设 M(m，n)，则 (m1) 2(4 n)n，即 m22m14nn 2.点 M(m，n)在抛物线 y x22x3 上，m 22m3n，即 m22m3n.将代入整理得 n25n40，解得 n11，n 24(舍去)将 n1 代入整理得 m22 m20，解得 m11 ，m 21 (舍去)，3 3点 M 的坐标为(1 ，1) 3此时抛物线 C的顶点坐标为(2 1，4)3抛物线 C的表达式为 y (x2 1) 24.3综上所述，抛物线 C的表达式为 y(x5) 24 或 y(x12 )24.3 6 第 1 题解图2. 解：(1)如解图，过点 B 作 BCx 轴于点 C，则BCO90，AOB
9、120，BOC60，又OAOB 4，OC OB 42，12 12BCOBsin604 2 ，32 3点 B 在第三象限，点 B 的坐标为(2，2 )；3(2)抛物线经过原点 O 和点 A、 B，可设抛物线的表达式为 yax 2bx ，将点 A(4，0) 、 B(2，2 )代入，3得 ，16a 4b 04a 2b 23)解得 ，a 36b 233 )此抛物线的表达式为 y x2 x；36 233(3)存在如解图，抛物线的对称轴是直线 x2，直线 x2 与 x 轴交于点 D，设 点 P 的坐标为(2，y)，若 OPOB ，则 22|y| 24 2，解得 y2 ，3当 y2 时，在 RtPOD中，P
10、DO90 ，sinPOD ，3PDOP 32POD60，POBPOD AOB 60120180，即点 P、 O、 B 在同一条直线上，y2 不合题意，舍去，3点 P 的坐标为(2，2 )；3若 OPBP，则 22| y|24 2 y( 2 )2，3 7 解得 y2 ，3点 P 的坐标为(2，2 )；3若 OBBP，则 424 2y( 2 )2，3解得 y2 ，3点 P 的坐标为(2，2 )3综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为(2，2 )3第 2 题解图3. 解：(1)抛物线 C1：y x2bxc 的对称轴为直线 x3，14x 3，b2（ 14）解得 b ，32又y x2bx c 过
11、点(2，0) ，140 22( )2c ，解得 c4，14 32b ，c4；32(2)由(1)得抛物线 C1：y x2 x4，14 32抛物线 C1 与抛物线 C2 关于 y 轴对称，抛物线 C1 与抛物线 C2 上对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，将x 代入 y x2 x4 中，14 32得 y (x) 2 (x )4，14 32即 y x2 x4，14 32抛物线 C2 的表达式为 y x2 x4；14 32(3)存在令 x2 x40，14 32解得 x12，x 28， 8 点 A在点 B左侧，A(2，0) ， B(8，0) ，以点 A、 A、 M、 N 为顶点的四边形为平行四边形，点
12、 A 坐标为(8，0) ，当 AA为边时，有 MNAA，且 MNAA，AA2(8)6，且当 x0 时，y 4，即点 M 坐标为(0，4) ，令 x2 x44，14 32解得 x16，x 20(舍)，N 1(6，4)，且 MN1AA 6，点 N1 符合题意同理，令 x2 x44，14 32解得 x16，x 20(舍)，点 N2(6，4)，则 MN2AA6，点 N2 符合题意；当 AA为对角线时，令 AA中点为 G，A(8，0) ， A(2，0)，M(0 ，4)，G(5，0) ，令 N3(m，n)，则 ，解得 ，0 m2 54 n2 0) m 10n 4)N 3(10，4)，将 x10 代入 y
13、x2 x4 中得 y64，14 32将 x10 代入 y x2 x4 中得 y 364，14 32点 N3 不存在综上所述，符合条件的点 N 坐标为 (6，4)或(6 ，4)4. 解：(1)由题意可得 ，a b c 0 b2a 1c 1 )解得 ，a 1b 2c 1)故抛物线的表达式为 yx 22x 1；(2)将 yx 22x 1 向下平移 m 个单位得 yx 22x 1m (x1) 2m ， 9 令 y(x1) 2 m0，解得 x1 或 x1 ，m mA(1，m)，B(1 ，0)，C(1 ，0)，BC 2 ，m m m如解图，过点 A 作 AHBC 于点 H，第 4 题解图ABC 为等边三角
14、形，BHHC BC，CAH30，12AH ，即 m ，HCtan CAH m33解得 m3 或 m0，m0 ， m3；存在点 D 与点 A 关于 x 轴对称，D(1，3) ，如解图，当 DP 为对角线时，显然点 P 在点 A 位置上时，符合题意，故此时点 P 坐标为(1，3) ；第 4 题解图如解图，当 DP 为边时，要使四边形 CBDP 为菱形，需 DPBC ，DP BC ，DP BD. 10 第 4 题解图由点 D 的坐标为(1，3)，DPBC2 ，3可知点 P 的横坐标为 12 ，3当 x12 时， yx 22x 1mx 22x2(12 )22(12 )293，3 3 3故不存在这样的点
15、 P.综上所述，存在使得以 B、 C、 D、 P 为顶点的四边形为菱形的点 P，其坐标为(1，3) 5. 解：(1)当 m2 时，函数解析式为 yx 24x442x 24x2，令 y0，即 x24x 20，解得 x2 ，2二次函数的图象与 x 轴交点的坐标是(2 ，0)，( 2 ，0) ；2 2(2)抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0，即(2m) 241(m 22m2)0，解得 m1.二次函数的顶点纵坐标为 2m2，4（m2 2m 2） 4m24由题意可知 2m20，且 2m2m1，3 m1.综上所述，3m1；(3)由题意得 SABO (yAy B)|xA| (2m2m1)( m) (
16、m3)(m) (m )2 ，12 12 12 12 32 98 0，12当 m 时，ABO 的面积最大，最大面积为 .32 986. 解：(1)由题意，将点 A( 1，0)、B(0， )代入抛物线表达式中，52得 ， 12 b c 0c 52 )解得 ，b 2c 52)抛物线的表达式为 y x22x ；12 52(2)如解图，y (x2) 2 ，12 92 11 顶点 C(2， )，92由题意可得 CDDP，设 CDDPm，则 P(2m ， m)，92点 P 在抛物线上， m (2m) 22(2 m ) ，92 12 52解得 m10(舍)，m 22，CD2；第 6 题解图 第 6 题解图(3
17、)如解图，由平移的性质可以得到四边形 COEP 为平行四边形，又由(2)可得 P(4， )，C(2， )，O (0，0) ，52 92E(2，2) ， DE ，92又点 M 在 y 轴上，OM DE，即四边形 OMDE 是梯形，S 梯形 OMDE (OMDE)2 8，12解得 OM ，72在 y 轴上有两个点 M 满足题意，即 M1(0， )，M 2(0， )72 727. 解：(1)将点 A(1，0)、B( ，0) 代入抛物线的表达式中，32得 ，a b 3 094a 32b 3 0)解得 ，a 2b 1)该抛物线的表达式为 y2x 2x 3；(2)令 x0，则 y3，C(0，3) 12 如
18、解图，过点 A 作 AQBC，垂足为点 Q，由题意可得，在 RtAOC 中，AO 1，CO3，由勾股定理得 AC ，AO2 CO2 10同理可得 BC ，352又AB (1) ，32 52S ABC ABCO BCAQ，12 12AQ ，ABCOBC523352 5在 RtACQ 中，sin ACQ ，AQAC 510 22ACQ45，即ACB45； 第 7 题解图(3)如解图，过点 D 作 DFx 轴，交 AC 于点 F，交 y 轴于点 H，过点 D 作 DEAC，交 AC 于点 E，则DFCCAB，CED 与AOC 相似， DECCOA90 ，DCEBCAACO，DCECAO，DCEDFC
19、，DFDC.设 D(m， 2m2m3) ，则 DHm ，CH3( 2m 2m3)2m 2m，则 CD2DH 2CH 2m 2(2m 2m )2.由点 A(1，0)，C (0，3)易得直线 AC 的函数解析式为 y3x3，将 y2m 2m3 代入直线 AC 的函数解析式，得2m 2m33x 3，解得 x m2 ，23 m3则 DFm( m2 ) m2 m，23 m3 23 23 13 又DFDC，( m2 m)2m 2(2m 2m) 2，23 23解得 m1 ，m 2 ，m 30 ，12 78点 D 在对称轴的右侧，m ，12（ 2） 14则 m1 ，m 2 .12 78当 m 时，点 D 的坐
20、标为( ，3)( 此时 CDx 轴，则点 E 不在线段 AC 上，舍去)，12 12当 m 时，点 D 的坐标为( ， )，且符合题意78 78 7532综上所述，点 D 的坐标为( ， ). 78 7532第 7 题解图8. 解：(1)令 yx 240，解得 x12，x 22.点 A 位于点 B 的左侧，A(2，0) 直线 yxm 经过点 A，将 A(2，0)代入，得2m0，解得 m2，直线 yx2，D(0，2) ，在 RtAOD 中，AD 2 ；OA2 OD2 2(2)解法一：新抛物线经过点 D(0，2) ，设新抛物线对应的函数表达式为 yx 2bx 2，yx 2bx 2( x )22 ，
21、b2 b24顶点 C( ， 2 )，b2 b24直线 CC平行于直线 AD，并且经过点 C(0，4) ， 14 直线 CC的函数表达式为 yx 4，将 C( ，2 )代入，b2 b24得 2 4，b24 b2整理得 b22b240，解得 b14，b 26，新抛物线对应的函数表达式为 yx 24x 2 或 yx 26x2.解法二：直线 CC平行于直线 AD，并且经过点 C(0，4)，直线 CC的函数表达式为 yx 4.新抛物线的顶点 C在直线 yx 4 上，设顶点 C的坐标为( n，n4) ，新抛物线对应的函数表达式为 y(xn) 2n4.新抛物线经过点 D(0，2)，将 D(0，2) 代入，得 n2n42，解得 n13，n 22，新抛物线对应的函数表达式为 y(x3) 27 或 y(x 2)22，即 yx 26x 2 或 yx 24x2.