1、 1 第四章 三角形第五节 锐角三角函数及其应用课时 1 锐角三角形1. (2018 天津)cos30的值等于( )A. B. C. 1 D. 22 32 32. (2018 孝感) 如图，在 RtABC 中，C90，AB 10，AC8，则 sinA 等于( )A. B. C. D. 35 45 34 43第 2 题图 第 3 题图 3. 如图，A，B，C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则 tanBAC 的值为( )A. B. 1 C. D. 12 33 34. (2018 西安长安一中模拟) 如图，在四边形 ABCD 中，E 、 F 分别是 AB、 AD 的中点，若EF2，B
2、C5 ，CD3，则 tanC 等于( )第 4 题图A. B. C. D. 34 43 35 455. 如图，在ABC 中，B45，BAC75，AB ，则 BC 的长是_6第 5 题图6. (2017 广州) 如图，RtABC 中，C90，BC 15，tanA ，则 AB_158 2 第 6 题图7. (2018 德州) 如图，在 44 的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC 的顶点都在格点上，则BAC 的正弦值是_第 7 题图8. 在ABC 中，C90，若 tanA ，则 sinB_.129. (2018 天水) 已知在 RtABC 中，C90，sin A ，则 tanB 的值为
3、_121310. (2018 自贡)如图，在ABC 中，BC12，tanA ，B30，求 AC 和 AB 的长34第 10 题图11. (2018 贵阳)如图，在 RtABC 中，以下是小亮探索 与 之间关系的方法：asinA bsinBsinA ，sinB ，ac bcc ，c ，asinA bsinB .asinA bsinB根据你掌握的三角函数知识，在图的锐角ABC 中，探索 ， ， 之间的关系，并写出探索过asinA bsinB csinC程第 11 题图 3 参考答案及解析第四章 三角形第五节 锐角三角函数及其应用课时 1 锐角三角形1. B2. A 【解析】在 RtABC 中，AB
4、10，AC 8，由勾股定理可得 BC6，sinA .BCAB 610 353. B 【解析】如解图，连接 BC，则 ABBC ，AC ，AB 2BC 2AC 2，ABC 90 ，5 10BAC45，tanBAC1，故选 B.第 3 题解图4. B 【 解析】如解图，连接 BD，E 、 F 分别是 AB、AD 的中点，BD 2EF4，在BCD 中，BD 2CD 2BC 2，BCD 为直角三角形，且BDC90，tanC .BDDC 43第 4 题解图5. 1 【解析 】如解图，过点 A 作 ADBC 于点 D，B45，BADB45 ，3ADBD.AB ，AD BDABsin45 ，BAC75，BA
5、D45，CAD30，6 3CDADtan30 1，BC BDDC 1.333 3第 5 题解图 4 6. 17 【解析】在 RtABC 中，tan A ，BC15， ，AC 8，AB 17.BCAC 158 15AC 158 82 1527. 【解析】设小正方形的边长为 1，由题图得 AB5，AC2 ，BC ，AC 2BC 2AB 2， 55 5 5ABC 为直角三角形，sinBAC .BCAB 558. 【解析】由题有 tanA ，设 BCa，则 AC2a，由勾股定理可得 AB a，故255 12 AC2 BC2 5sinB .ACAB 2a5a 2559. 【解析】根据题意可知 sinA
6、，设 BC12k，则 AB13k，由勾股定理得 AC512 BCAB 12135k，tanB .AB2 BC2ACBC 5k12k 51210. 解：如解图，过点 C 作 CDAB 于点 D，在 RtBCD 中，B30 ，BC 12，CDBCsin30 6，BD BCcos306 ，3在 RtADC 中，tanA ，CDAD 34CD6，AD8，AC 10，CD2 AD2 62 82ABAD BD86 .3第 10 题解图11. 解： .asinA bsinB csinC证明：如解图，过点 A 作 ADBC 于点 D，在 RtABD 中，有 ADcsinB，在 RtACD 中，有 ADbsin
7、 C，csinBbsin C， ，bsinB csinC过点 C 作 CEAB 于点 E，同理可得 ，bsinB asinA .asinA bsinB csinC 5 第 11 题解图第四章 三角形第五节 锐角三角函数及其应用课时 2 锐角三角函数的实际应用1. (2018 宜昌) 如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点C，测得 PC100 米，PCA35，则小河宽 PA 等于( )A. 100sin35米 B. 100sin55米 C. 100tan35米 D. 100tan55米第 1 题图 第 2 题图2. (2018 丽水)如图，两
8、根竹竿 AB 和 AD 斜靠在墙 CE 上，量得ABC ，ADC，则竹竿 AB 与 AD的长度之比为( )A. B. C. D. tantan sinsin sinsin coscos3. (2018 绵阳)一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30方向，继续向南航行30 海里到达 C 点时，测得海岛 B 在 C 点的北偏东 15方向，那么海岛 B 离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位)(参考数据： 1.732， 1.414)( )3 2A. 4.64 海里 B. 5.49 海里 C. 6.12 海里 D. 6.21 海里4. (2018 枣庄) 如图，
9、某商店营业大厅自动扶梯 AB 的倾斜角为 31，AB 的长为 12 米，则大厅两层之间的高度为_米(结果保留两个有效数字 )【参考数据：sin31 0.515，cos310.857，tan31 0.601】第 4 题图 6 5. 如图所示，某拦水大坝的横断面为四边形 ABCD，且 ADBC ，AE 、DF 为边 BC 上的高，其中迎水坡AB 的坡角 45，坡长 AB6 米，背水坡 CD 的坡度 i1 (i 为 DF 与 FC 的比值) ，则背水坡2 3CD 的坡长为_米第 5 题图6. (2018 梧州)随着人们生活水平的不断提高，旅游已成为人们的一种生活时尚为开发新的旅游项目，我市对某山区进
10、行调查，发现一瀑布为测量它的高度，测量人员在瀑布的对面山上 D 点处测得瀑布顶端 A 点的仰角是 30，测得瀑布底端 B 点的俯角是 10，AB 与水平面垂直，又在瀑布下的水平面测得CG27 m，GF17.6 m(注：C 、 G、 F 三点在同一直线上，CFAB 于点 F)，斜坡 CD20 m，坡角ECD40. 求瀑布 AB 的高度 (参考数据： 1.73，sin400.64，cos400.77，tan4030.84，sin100.17，cos100.98，tan100.18)7. (2018 德州) 如图，两座建筑物的水平距离 BC 为 60 m，从 C 点测得 A 点的仰角 为 53，从
11、A 点测得 D点的俯角 为 37，求两座建筑物的高度 (参考数据：sin37 ，cos37 ，tan37 ，sin53 ，cos5335 45 34 45 ，tan53 )35 43第 7 题图8. 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 64方向，距离灯塔 120 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 45方向上的 B 处，求 BP 和 BA 的长( 结果取整数)(参考数据：sin640.90，cos640.44，tan642.05 ， 取 1.414)2 7 9. (2018 遂宁)如图，某测量小组为了测量山 BC 的高度，在地面 A 处测得山顶 B 的仰角
12、 45，然后沿着坡度为 i1 的坡面 AD 走了 200 米达到 D 处，此时在 D 处测得山顶 B 的仰角为 60，求山高3BC(结果保留根号)10. (2018 常州)京杭大运河是世界历史文化遗产，综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽( 岸沿是平行的)，如图，在岸边分别选定了点 A、 B 和点 C、 D，先用卷尺量得 AB160 m，CD40 m，再用测角仪测得CAB30，DBA60，求该段运河的河宽( 即 CH 的长)第 10 题图11. (2018 江西)图是一种折叠门，由上下轨道和两扇长宽相等的活页门组成，整个活页门的右轴固定在门框上，通过推动左侧活页门开关图是其俯视简化示意图，已
13、知轨道 AB120 cm，两扇活页门的宽 OCOB60 cm，点 B 固定，当点 C 在 AB 上左右运动时，OC 与 OB 的长度不变( 所有结果保留小数点后一位)(1)若OBC50 ，求 AC 的长；(2)当点 C 从点 A 向右运动 60 cm 时，求点 O 在此过程中运动的路径长(参考数据：sin500.77 ，cos500.64，tan501.19， 取 3.14)第 11 题图 8 参考答案及解析第四章 三角形第五节 锐角三角函数及其应用课时 2 锐角三角函数的实际应用1. C 【解析】在 RtAPC 中，tanACP ，PAPCtan ACP 100tan35 米PAPC2. B
14、 【解析】根据题图可得，两个直角三角形有公共底边AC， sin， sin ，AB ，AD ， .ACAB ACAD ACsin ACsin ABAD sinsin第 3 题解图3. B 【解析】如解图，过点 B 作 BDAC 于点 D，则 BD 为海岛 B 离此航线的最短距离在 CD 上截取DEAD ，连接 BE，则 ABBE，ABEA30，C15，CBEC 15 ，BECE，设 BDx 海里，则 ADDE x 海里，CEBE2BD2x 海里，BDtan30 3ACADDECE2 x2x30，解得 x 5.49 海里3153 1524. 6.2 【解析】在 RtABC 中，ACB 90 ，BA
15、C 31 ，AB12 米，BCAB sin BAC120.5156.2( 米)即大厅两层之间的距离 BC 的长约为 6.2 米5. 12 【解析】在 RtABE 中，45 ，AB6 ，则 AE6，DFAE6，在 RtDFC 中，2DF6，DFFC1 ，C 30，DC2DF 12.36. 解：如解图，过点 D 作 DHEF 于点 H，过点 D 作 DMAB 于点 M， 9 第 6 题解图则 DM HF，根据题意得 CD20 m，CG 27 m，GF 17.6 m ，ADM30，BDM10 ，ECD40，在 RtDCH 中，CHCDcos40200.7715.4 m ，HFCHCGGF15.427
16、17.660 m ，DM 60 m，在 RtADM 中，AMDM tan3060 201.7334.6 m, 33在 RtBDM 中，BMDMtan10600.1810.8 m，ABAMBM 34.610.8 45.4 m.答：瀑布 AB 的高度约为 45.4 m. 7. 解：如解图，过点 D 作 DEAB 交于点 E，则 DEBC60 m ，53，tan53 ，43在 RtABC 中，tan ，ABBC ，即 ，ABBC 43 AB60 43解得 AB80 m ，第 7 题解图又ADE37，tan37 ，34在 RtADE 中，tanADE ，AEDE ，即 ，AEDE 34 AE60 34
17、解得 AE45 m ，BEABAE，BE804535 m， 10 BECD，CD35 m .答：建筑物 AB 的高度为 80 m，建筑物 CD 的高度为 35 m.8. 解：如解图，过点 P 作 PCAB，垂足为点 C，由题意可知，A64，B45，PA120 海里，在 RtAPC 中，sinA ，cosA ，PCPA ACPAPCPAsinA120sin64 ，ACPAcosA120cos64，在 RtBPC 中，sinB ，tanB ，PCBP PCBCBP 153(海里)，PCsinB 120sin64sin45 1200.9022BC PC120sin64，PCtanB PCtan45B
18、ABCAC120sin64 120cos641200.901200.44161( 海里) 答：BP 的长约为 153 海里，BA 的长约为 161 海里第 8 题解图9. 解：如解图所示，过点 D 作 DFAC ，垂足为点 F，坡面 AD 的坡度 i1 ，且 AD200 米，3tan1 ，DFAF 13 33130，DF AD 200100(米) ，12 12DECBCADFC90，四边形 DECF 是矩形，ECDF100 米 11 第 9 题解图又BAC45，BCAC，ABC45，BDE60，DEBC，DBE90BDE906030 ，ABDABCDBE4530 15，BADBAC145 30
19、15 ，ABDBAD，ADBD 200 米在 RtBDE 中，sinBDE ，BEBDBEBD sinBDE200sin60 200 100 (米) 32 3BCBEEC(100 100 )米3答：山高 BC 为(100100 )米310. 解：如解图，过点 D 作 DEAB，垂足为点 E.易知四边形 CDEH 为矩形， CDHE40 m ，DE CH，设河宽为 x m，则 DECH x m，在 RtACH 中，CAB30，可得 AH x m.CHtan30 3在 RtDEB 中，DBA 60，可得 BE x m.DEtan60 33AHHE EB160 m， x 40 x160，解得 x30
20、 m.333 3该段运河的河宽为 30 m.3第 10 题解图11. 解：(1)如解图，过点 O 作 ODBC，垂足为点 D， 12 第 11 题解图OCOB，BC2BD，在 RtOBD 中，OB60 cm ，OBC50 ，BDOB cos50600.6438.4 cm，BC2BD76.8 cm ，ACABBC12076.843.2 cm；(2)B 为固定点，OB60 cm 为定长，O 点在以 B 为圆心，BO 长为半径的圆上，如解图，点 C 从点 A 运动 60 cm 后，恰好在 AB 中点位置，这个过程中 O 点的运动轨迹即为 ，CO 第 11 题解图OCOB60 cm，BC AB60 cm，12OBC 为等边三角形，OBC60，l 26020203.1462.8 cm.CO 60360