1、2019 年中考数学六月考前最后一练：三角形1如图，在 ABC 中， AC AB BC（1）已知线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P，连接 AP，求证： APC2 B（2）以点 B 为圆心，线段 AB 的长为半径画弧，与 BC 边交于点 Q，连接 AQ若 AQC3 B，求 B 的度数解：（1）证明：线段 AB 的垂直平分线与 BC 边交于点 P， PA PB， B BAP， APC B+ BAP， APC2 B；（2）根据题意可知 BA BQ， BAQ BQA， AQC3 B， AQC B+ BAQ， BQA2 B， BAQ+ BQA+ B180，5 B180， B36 2如图，在
2、ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AB 边上一点，过点 C 作 CF AB交 ED 的延长线于点 F（1）求证： BDE CDF（2）当 AD BC， AE1， CF2 时，求 AC 的长（1）证明： CF AB， B FCD， BED F， AD 是 BC 边上的中线， BD CD， BDE CDF（ AAS） ；（2）解： BDE CDF， BE CF2， AB AE+BE1+23， AD BC， BD CD， AC AB33如图，在 ABC 中， AB AC，点 D、 E 分别在 AB、 AC 上， BD CE， BE、 CD 相交于点 O（1）求证： DBC ECB；
3、（2）求证： OB OC（1）证明： AB AC， ECB DBC，在 DBC 与 ECB 中 ， DBC ECB（ SAS） ；（2）证明：由（1）知 DBC ECB， DCB EBC， OB OC4如图，在 ABC 中， AB AC， AD B C 于点 D（1）若 C42，求 BAD 的度数；（2）若点 E 在边 AB 上， EF AC 交 AD 的延长线于点 F求证： AE FE解：（1） AB AC， AD BC 于点 D， BAD CAD， ADC90，又 C42， BAD CAD904248；（2） AB AC， AD BC 于点 D， BAD CAD， EF AC， F CAD
4、， BAD F， AE FE5已知 ABC， AB AC， D 为直线 BC 上一点， E 为直线 AC 上一点， AD AE，设 BAD ， CDE ，（1）如图 1，若点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上 ABC60 ， ADE70，则 20 ； 10 （2）如图 2，若点 D 在线段 BC 上，点 E 在线段 AC 上，则 ， 之间有什么关系式？说明理由（3）是否存在不同于（2）中的 ， 之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可） ，说明理由；若不存在 ，请说明理由解：（1） AB AC， ABC60， BAC60， AD AE， ADE70 ， DAE1802
5、 ADE40， BAD6040 20， ADC BAD+ ABD60+2080， CDE ADC ADE10，故答案为：20，10 ；（2）设 ABC x， AED y， ACB x， AED y，在 DEC 中， y+ x，在 ABD 中，+ x y+ x+ ，2；（3）当点 E 在 CA 的延长线上，点 D 在线段 BC 上，如图 1设 ABC x， ADE y， ACB x， ACE y，在 A BD 中， x+ y，在 DEC 中， x+y+180，2180，当点 E 在 CA 的延长线上，点 D 在 CB 的延长线上，如图 2，同的方法可得 18026如图，在 ABC 中， C90，
6、 AC BC， AB6 cm， E 是线段 AB 上一动点， D是 BC 的中点，过点 C 作射线 CG，使 CG AB，连接 ED，并延长 ED 交 CG 于点F，连接 AF设 A， E 两点间的距离为 xcm， A， F 两点间的距离为 y1cm， E， F 两点间的距离为 y2cm小丽根据学习函数的经验，分别对函数 y1， y2 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究下面是小丽的探究过程，请补充完整：（1）按照表中自变量 x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了 y1， y2 与 x 的几组对应值；x/cm 0 1 2 3 4 5 6y1/cm 9.49 8.54 7.62 6.71
7、 5.83 5.00 4.24y2/cm 9.49 7.62 5.83 3.16 3.16 4.24（2）在同一平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（ x， y1） ，（ x， y2） ，并画出函数 y1， y2 的图象；（3）结合函数图象，解决问题：当 AEF 为等腰三角形时， AE 的长度约为 3.50 或5 或 6 cm解：（1）当 x3 时，点 E 是 AB 的中点，易证 ECF 是等腰直角三角形，EF EC3 4.24（2）函数图象如图所示：（3）由直线 y x 与两个函数图象的交点 A， B，以及函数 y1 与函数 y2 的交点 C 的横坐标可知，当 AE
8、F 为等腰三角形时， AE 的长度约为 3.50 或 5 或 6故答案为：3.50 或 5 或 67如图，在 ABC 中， AB AC， D 是 BC 边上的中点，连结 AD， BE 平分 ABC 交AC 于点 E，过点 E 作 EF BC 交 AB 于点 F（1）若 C36，求 BAD 的度数；（2）求证： FB FE（1）解： AB AC， C ABC， C36， ABC36， BD CD， AB AC， AD BC， ADB90 ， BAD903654（2）证明： BE 平分 ABC， A BE CBE ABC， EF BC， FEB CBE， FBE FEB， FB FE8如图， BC
9、A90， AC BC， BE CF 于点 E， AF CF 于点 F，其中0 ACF45（1）求证： BEC CFA；（2）若 AF3， EF4 ，求 BE 的长证明：（1） BE CF， BCA90， B+ BCE90 ， BCE+ ACF90， B ACF，且 AC BC， BEC AFC90 BEC CFA（ AAS） ；（2） BEC CFA CE AF3， BE CF， FC CE+EF3+47， BE79在 Rt ABC 中， ACB90，点 D、 E 分别是 AB、 BC 的中点，过点 C 作CF AB，与 DE 的延长线并交于点 F，连接 BF（1）试判断四边形 CDBF 的形
10、状，并说明理由；（2）若 CD5，sin CAB ，过点 C 作 CH BF，垂足为 H 点，试求 CH 的长解：（1）四边形 CDBF 是菱形，理由如下：点 D、 E 分别是 AB、 BC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， DE AC， AC2 DE， DF AC， CF AB，四边形 CDBF 是平行四边形， ACB90，点 D 是 AB 的中点， CD AB BD，四边形 CDBF 是菱形；（2）如图所示： ACB90， CD5， AB2 CD 10，sin CAB ， BC6， AC 8， DE AC4，四边形 CDBF 是菱形， DF2 DE8， BF CD5，菱形 CDBF
11、的面积 BFCH BCDF 6824， CH 10 （1）在 ACB 中， ACB90， CD AB 于 D，点 E 在 AC 上， BE 交 CD 于点G， EF BE 交 AB 于点 F如图 1， AC BC，点 E 为 AC 的中点，求证： EF EG；如图 2， BE 平分 CBA， AC2 BC，试探究 EF 与 EG 的数量关系，并证明你的结论；（2）如图 3，在 ABC 中，若 tanB ，点 E 在边 AB 上，点 D 在线段 BC 的延长线上，连 接 DE 交 AC 于 M， CMD60， DE2 AC， CD3 ，直接写出 BE的长证明：（1）如图 1，过 E 作 EM A
12、B 于 M， EN CD 于 N， ACB90， AC BC， A ABC45， AD CD，点 E 为 AC 的中点， CD AB， EN DC， EN AD， EM CD， EN EM， FEB90， MEN90， NEG FEM，在 EFM 和 EGN 中， EFM EGN（ ASA） ， EF EG；解： ，理由如下：如图 2，作 EP AB 于点 P， EQ CD 于点 Q，易证： EFP EGQ， ， BE 平分 ABC， EC BC， EP AB， EC EP， EQ AB， CEQ A， EQC ACB， ECQ ABC， ，设 CQ a， EQ2 a，则 EC EP a， ，
13、（2）如图 3，过 C 作 CF DE，过 A 作 AF AC，交 CF 于 F，连接 EF，tan B ， ABC30， CF DE， ACF DMC60 ， AFC30， CAF90， CF 2AC， DE 2AC， DE CF，四边形 EFCD 是平行四边形， EF CD， EF CD3 ， ABC BEF30， AFC ABC30 ， A、 F、 B、 C 四点共圆， FBC+ CAF180， FBC90， EF BC， BFE90，cos BEFcos30 ， BE 6 11如图，在 ABC 中， ABC90， CAB30， AB4.5 cm D 是线段 AB 上的一个动点，连接 C
14、D，过点 D 作 CD 的垂线交 CA 于点 E设AD xcm， CE ycm （当点 D 与点 A 或点 B 重合时， y 的值为 5.2）探究函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组对应值，如下表：x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5y/cm 5.2 4.8 4.4 4.0 3.8 3.6 3.5 3.6 5.2（要求：补全表格，相关数值保留一位小数）（2）建立平面直角坐标系 xOy，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 CE2 AD 时， A
15、D 的长度约为 1.9 cm（结果保留一位小数） 解：（1）如图 1，过 E 作 EF AB 于 F，由表格可知： AC5.2， AB4.5 ，Rt ACB 中， A30 ， BC AC2.6，当 x4 时，即 AD4 ， BD0.5， EDC90，易得 EFD DBC， ，设 EF5 a， FD26 a，则 AE10 a， AF5 a， AD4 ，5 a+26a4，a ， y AC AE5.210 5.2 4.0；x/cm 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5y/cm 5.2 4.8 4.4 4.0 3.8 3.6 3.5 3.6 4.0 5.2故答案为：4.0；（2）
16、如图 2 所示：（3）设 EF a，则 AE2 a， AF a，如图，由（1）知： EFD DBC， ，即 ， AC2 a+y 5.2，当 CE2 AD 时， y2 x，则 2a+2x5.2 ， a+x2.6 ， a2.6 x，2.6（2.6 x）（4.5 x） x （2.6 x） ，2.73x219.383 x+27.0010，x15.2（舍） ， x21.9，答： AD 的长度约为 1.9cm；故答案为：1.912如图，在 ABC 中，按以下步骤作图：以 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB BC 于点 M， N；分别以 M， N 为圆心，以大于 MN 的长为半径作弧，两弧相交于点
17、E；作射线 BE；用同样的方法作射线 CF BE 交 CF 于点 O请根据作图回答下列问题：（1） O 是 ABC 的 B ；A外心 B内心 C重心（2）若 AB5， AC12， BC13，求 O 到 BC 的距离解： （1）由作图可知，点 O 是 ABC 的角平分线的交点，所以点 O 是 ABC 的内心故答案为 B（2）过 O 点作 OP AB， OQ AC， OK BC，垂足分别为 P， Q， K O 是 ABC 的内心 OP OQ OK又 AB5 ， AC12， BC13 AB2+AC2 BC2， ABC 是 Rt BAC90，四边形 OPAQ 是正方形 OP OQ OK （5+1213
18、）2（用面积法计算也正确）13如图， ABC 中， AB AC， AD、 CE 是高，连接 DE（1）求证： BC2 DE；（2）若 BAC50，求 ADE 的度数（1）证明： AB AC， AD BC， BD CD， CE AB， BEC90 ， DE BD CD， BC2 DE；（2）解： AB AC， BD CD， BAD BAC， BAC50， BAD25 ， AD BC， CE AB， ADB CEB90 ， B B， BCE BAD25 ， DE CD， DEC DCE25 ， BDE50， ADE4014如图 1， ABC 的 A， B， C 所对边分别是 a， b， c，且 a
19、 b c，若满足a2+c22 b2，则称 ABC 为奇异三角形例如等边三角形就是奇异三角形（1）若 a2， b ， c4，判断 ABC 是否为奇异三角形，并说明理由；（2）若 C90， c3，求 b 的长；（3）如图 2，在奇异三角形 ABC 中， b2，点 D 是 AC 边上的中点，连结 BD， BD将 ABC 分割成 2 个三角形，其中 ADB 是奇异三角形， BCD 是以 CD 为底的等腰三角形，求 c 的长【 解答】解：（1） ABC 是奇异三角形，理由如下： a2 ， ， c4， a2+c22 2+4220， b2（ ） 210， a2+c22 b2，即 ABC 是奇异三角形；（2） C90， c3， a2+b2 c2 9， a2+c22 b2， a2+92 b2，2 b29 9 b2，解得： b ；（3） ABC 是奇异三角形，且 b2， a2+c22 b28，由题知： AD CD1， BC BD a， ADB 是奇异三角形，且 c a， c1，1 2+c22 a2 或 a2+c221 22当 12+c22 a2 时，12+c2 2（8 c2） ，解得： c ，当 a2+c22 时，与 a2+c22 b28 矛盾，不合题意舍去