1、2019年中考数学六月考前最后一练：图形的相似1如图 1，在 ABC中， AB AC20，tan B ，点 D为 BC边上的动点（ 点 D不与点B， C重合） 以 D为顶点作 ADE B，射线 DE交 AC边于点 E，过点 A作 AF AD交射线 DE于点 F，连接 CF（1）求证： ABD DCE；（2）当 DE AB时（如图 2） ，求 AE的长；（3）点 D在 BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得 DF CF？若存在，求出此时 BD的长；若不存在，请说明理由【解答】 （1）证明： AB AC， B ACB， ADE+ CDE B+ BAD， ADE B， BAD CDE， BAD
2、 DCE（2）解：如图 2中，作 AM BC于 M在 Rt ABM中，设 BM4 k，则 AM BMtanB4 k 3 k，由勾股定理，得到 AB2 AM2+BM2，20 2（3 k） 2+（4 k） 2， k4 或4（舍弃） ， AB AC， AM BC， BC2 BM24 k32， DE AB， BAD ADE， ADE B， B ACB， BAD ACB， ABD CBA， ABD CBA， ， DB ， DE AB， ， AE （3）点 D在 BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DF CF理由：作 FH BC于 H， AM BC于 M， AN FH于 N则 NHM AMH ANH
3、90，四边形 AMHN为矩形， MAN90， MH AN， AB AC， AM BC， BM CM BC 3216，在 Rt ABM中，由勾股定理，得 AM 12， AN FH， AM BC， ANF90 AMD， DAF90 MAN， NAF MAD， AFN ADM， tan ADFtan B ， AN AM 129， CH CM MH CM AN1697，当 DF CF时，由点 D不与点 C重合，可知 DFC为等腰三角形， FH DC， CD2 CH14， BD BC CD321418，点 D在 BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得 DF CF，此时 BD182根据相似多边形的定义，
4、我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形相似四边形对应边的比叫做相似比（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假” ） 四条边成比例的两个凸四边形相似；（ 假 命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 假 命题）两个大小不同的正方形相似 （ 真 命题）（2）如图 1，在四边形 ABCD和四边形 A1B1C1D1中， ABC A1B1C1， BCD B1C1D1， 求证：四边形 ABCD与四边形 A1B1C1D1相似（3）如图 2，四边形 ABCD中， AB CD， AC与 BD相交于点 O，过点 O作 EF
5、AB分别交AD， BC于点 E， F记四边形 ABFE的面积为 S1，四边形 EFCD的面积为 S2，若四边形ABFE与四边形 EFCD相似，求 的值【解答】 （1）解：四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等三个 角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例两个大小不同的正方形相似是真命题故答案为假，假，真（2）证明：如图 1中，连接 BD， B1D1 BCD B1C1D1，且 ， BCD B1C1D1， CDB C1D1B1， C1B1D1 CBD， ， ， ABC A1B1C1， ABD A1B1D1， ABD A1B1D1， ， A A1， ADB A1D1B1
6、， ， ADC A1D1C1， A A1， ABC A1B1C1， BCD B1C1D1，四边形 ABCD与四边形 A1B1C1D1相似（3）如图 2中，四边形 ABCD与四边形 EFCD相似 ， EF OE+OF， ， EF AB CD， ， ， + + ， ， AD DE+AE， ，2 AE DE+AE， AE DE， 13如图，在正方形 ABCD中，点 E是 AB边上一点，以 DE为边作正方形 DEFG， DF与 BC交于点 M，延长 EM交 GF于点 H， EF与 CB交于点 N，连接 CG（1）求证： CD CG；（2）若 tan MEN ，求 的值；（3）已知正方形 ABCD的边长
7、为 1，点 E在运动过程中， EM的长能否为 ？请说明理由【解答】 （1）证明：四边形 ABCD和四边形 DEFG是正方形， A ADC EDG90， AD CD， DE DG， ADE CDG，在 ADE和 CDG中， ， ADE CDG（ SAS） ， A DCG90， CD CG；（2）解：四边形 DEFG是正方形， EF GF， EFM GFM45，在 EFM和 GFM中 ， EFM GFM（ SAS） ， EM GM， MEF MGF，在 EFH和 GFN中， ， EFH GFN（ ASA） ， HF NF，tan MEN ， GF EF3 HF3 NF， GH2 HF，作 NP G
8、F交 EM于 P，则 PMN HMG， PEN HEF， ， ， PN HF， ；（3） EM的长不可能为 ，理由：假设 EM的长为 ，点 E是 AB边上一点，且 EDG ADC 90，点 G在 BC的延长线上，同（2）的方法得， EM GM ， GM ，在 Rt BEM中， EM是斜边， BM ，正方形 ABCD的边长为 1， BC1， CM ， CM GM，点 G在正方形 ABCD的边 BC上，与“点 G在 BC的延长线上”相矛盾，假设错误，即： EM的长不可能为 4如图，在 Rt ABC中， C90， AC6， BAC60， AD平分 BAC交 BC于点 D，过点 D作 DE AC交 A
9、B于点 E，点 M是线段 AD上的动点，连结 BM并延长分别交 DE， AC于点 F、 G（1）求 CD的长（2）若点 M是线段 AD的中点，求 的值（3）请问当 DM的长满足什么条件时，在线段 DE上恰好只有一点 P，使得 CPG60？【解答】解：（1） AD平分 BAC， BAC60， DAC BAC30，在 Rt ADC中， DC ACtan306 2 （2）由题意易知： BC6 ， BD4 ， DE AC， FDM GAM， AM DM， DMF AMG， DFM AGM（ ASA） ， DF AG， DE AC， ， （3） CPG60，过 C， P， G作外接圆，圆心为 Q， CQ
10、G是顶角为 120的等腰三角形当 Q与 DE相切时，如图 31 中，作 QH AC于 H，交 DE于 P连接 QC， QG菁优网设 Q的半径为 r则 QH r， r+ r2 ， r ， CG 4， AG2，由 DFM AGM，可得 ， DM AD 当 Q 经过点 E时，如图 32 中，延长 CO交 AB于 K，设 CQ r QC QG， CQG120， KCA30， CAB60， AKC90，在 Rt EQK中， QK3 r， EQ r， EK1，1 2+（3 r） 2 r2，解得 r ， CG ，由 DFM AGM，可得 DM 当 Q经过点 D时，如图 33 中，此时点 M，点 G与点 A重
11、合，可得 DM AD4 观察图象可知：当 DM 或 DM4 时，满足条件的点 P只有一个5问题发现：（1）如图 1，在 Rt ABC中， A90， AB kAC（ k1） ， D是 AB上一点，DE BC，则 BD， EC的数量关系为 BD kEC 类比探究（2）如图 2，将 AED绕着点 A顺时针旋转，旋转角为 a（0 a90） ，连接CE， BD，请间（1）中 BD， EC的数量关系还成立吗？说明理由拓展延伸：（3）如图 3，在（2）的条件下，将 AED绕点 A继续旋转，旋转角为 a（ a90） 直线 BD， CE交于 F点，若 AC1， AB ，则当 ACE15时， BFCF的值为 1
12、或 2 【解答】解：问题发现：（1） DE BC， ， AB kAC， BD kEC，故答案为： BD kEC；类比探究：（2）成立，理由如下：连接 BD由旋转的性质可知， BAD CAE ， ABD ACE， k，故 BD kEC；拓展延伸：（3） BFCF的值为 2或 1；由旋转的性质可知 BAD CAE ， ABD ACE ACE15 ABD ABC+ ACB90 FBC+ FCB90 BFC90 BAC90， AC1， AB ，tan ABC ， ABC30 ACB60分两种情况分析：如图 2，在 Rt BAC中， ABC30， AC1， BC2 AC2，在 Rt BFC中， CBF3
13、0+1545， BC2 BF CF BFCF（ ） 22如图 3，设 CF a，在 BF上取点 G，使 BCG15 BCF60+1575， CBF ABC ABD301515， CFB90 GCF60 CG BG2 a， GF a CF2+BF2 BC2 a2+（2 a+ a 22 2，解得 a22 ， BFCF（2+ ） aa（2+ ） a21，即： BFCF1 或 2故答案为：1 或 26如图，已知矩形 ABCD中， AB4，动点 P从点 A出发，沿 AD方向以每秒 1个单位的速度运动，连接 BP，作点 A关于直线 BP的对称点 E，设点 P的运动时间为 t（ s） （1）若 AD6， P
14、仅在边 AD运动，求当 P， E， C三点在同一直线上时对应的 t的值（2）在动点 P在射线 AD上运动的过程中，求使点 E到直线 BC的距离等于 3时对应的t的值【解答】解：（1）设 AP t，则 PD6 t，如图 1所示：点 A、 E关于直线 BP对称， APB BPE， AD BC， APB PBC， P、 E、 C共线， BPC PBC， CP BC AD6，在 Rt CDP中， CD2+DP2 PC2，即：4 2+（6 t） 26 2，解得： t62 或 6+2 （不合题意舍去） ， t（62 ） s时， P、 E、 C共线；（2）当点 E在 BC的上方，点 E到 BC的距离为 3，
15、作 EM BC于 M，延长 ME交 AD于N，连接 PE、 BE，如图 2所示：则 EM3， EN1， BE AB4，四边形 ABMN是矩形，在 Rt EBM中， AN BM ，点 A、 E关于直线 BP对称， PEB PAB90， ENP EMB PEB90， PEN EBM， BME ENP， ，即 ， NP ， t AP AN NP ；当点 E在 BC的下方，点 E到 BC的距离为 3，作 EH AB的延长线于 H，如图 3所示：则 BH3， BE AB4， AH AB+BH7，在 Rt BHE中， HE ， PAB BHE90， AE BP， APB+ EAP HAE+ EAP90，
16、HAE APB， AHE PAB， ，即 ，解得： t AP4 ，综上所述， t 或 4 7如图，在 ABC中， BAC90， D、 E分别是 BA和 CA延长线上的点，且 ABCAED M是 BC的中点，延长 MA交 DE于点 N，求证： MN DE如图，在小正方形的边长为 1的网格中， ABC的顶点均在格点上请仅用无刻度的直尺按下列要求分别作图，并保留作图痕迹（不需要写作法）：（1）在 ABC外作 CEF，使 ABC FEC；（2）在线段 FE上作一点 P，使得点 P到点 C的距离最小【解答】解：如图，在 ABC中， BAC90， M是 BC的中点， AM CM， MAC C， C+ B9
17、0， ABC AED， E B， EAN CAM， E+ EAN90， ENA90， MN DE；如图， （1）延长 AC交格点于 E， CE2 ， AC3 ， BC4 ， ，当 时， ABC FEC，延长 BC使 CF 时，即 ， ABC FEC；（2）如图，找出 AB的中点 Q，连接 QC并延长交 EF于 P，则 CP EF，线段 CP即为所求8如图， O是菱形 ABCD对角线 BD上的一点，且 OC OD，连接 OA（1）求证： AOC2 ABC；（2）求证： CD2 ODBD【解答】证明：（1）连接 AC四边形 ABCD是菱形， BD垂直平分 AC， ADC ABC O是 BD上一点，
18、 OA OC OC OD， AO OD， ODC OCD BOC ODC+ OCD2 ODC同理： AOB2 ADO， AOC2（ ADO+ ODC）2 ADC又 ADC ABC， AOC2 ABC AOC2 ADC，又 ADC ABC， AOC2 ABC（2）四边形 ABCD是菱形， BC CD BDC CBD由（1）得 ODC OCD， OCD DBC在 CDO和 BDC中 ODC CDB， OCD CBD CDO BDC ，即 CD2 ODBD9 （1）如图 1，菱形 AEGH的顶点 E、 H在菱形 ABCD的边上，且 BAD60，请直接写出HD： GC： EB的结果（不必写计算过程）（
19、2）将图 1中的菱形 AEGH绕点 A旋转一定角度，如图 2，求 HD： GC： EB；（3）把图 2中的菱形都换成矩形，如图 3，且 AD： AB AH： AE1：2，此时HD： GC： EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程） ；若无变化，请说明理由【解答】解：（1）连接 AG，菱形 AEGH的顶点 E、 H在菱形 ABCD的边上，且 BAD60， GAE CAB30， AE AH， AB AD， A， G， C共线， AB AE AD AH， HD EB，延长 HG交 BC于点 M，延长 EG交 DC于点 N，连接 MN，交 GC于点
20、O，则 GMCN也为菱形， GC MN， NGO AGE3 0， cos30 ， GC2 OG， ， HGND为平行四边形， HD GN， HD： GC： EB1： ：1（2）如图 2，连接 AG， AC， ADC和 AHG都是等腰三角形， AD： AC AH： AG1： ， DAC HAG30， DAH CAG， DAH CAG， HD： GC AD： AC1： ， DAB HAE60， DAH BAE，在 DAH和 BAE中， DAH BAE（ SAS） HD EB， HD： GC： EB1： ：1（3）有变化如图 3，连接 AG， AC， AD： AB AH： AE1：2， ADC AH
21、G90， ADC AHG， AD： AC AH： AG1： ， DAC HAG， DAH CAG， DAH CAG， HD： GC AD： AC1： ， DAB HAE90， DAH BAE， DA： AB HA： AE1：2， ADH ABE， DH： BE AD： AB1：2， HD： GC： EB1： ：210在正方形 ABCD中，以 CD为底边在正方形外侧作等腰 CDE，连接 BE与对角线 AC交于点 P、与 CD交于点 H，连接 PD（1）如图 1，当 DEC60时，求证： PA PE；（2）如图 2，当 DEC90时，求 tan EBC的值；求 的值【解答】 （1）证明：如图 1中
22、，四边形 ABCD是正方形 AB AD， BAP DAP， AP AP， ABP ADP（ SAS） APD APB CB CE， CBE CEB BCE BCD+ DCE90+60150， CBE15 ACB45， APB ACB+ CBE60 APD60， ADP180456075， ADE90+60150， ADP EDP75， DA DE， DP DP， ADP EDP（ SAS） ， PA PE（2）如图 21 中，过点 E作 EF BC的延长线于 F，设 CF a ED EC， DEC90， DCE45， DCF EFC90， ECF CEF45， EF CF a， EC a， B
23、C CD2 a， BF3 a，在 Rt BEF中，tan EBC 方法一：如图 21 中延长 DP交 BC于点 Q，先推证 P为 BE的中点，得 PE ，由 得 CH ，又 CH CQ， 由 CQP APD得 ， PA a， 方法二：如图 22 中，作 EG CD于 G，设 GH x，由 GE BC得 EGH BCH，得 CH2 GH2 x， BC3 CH6 x由 PC DE得 PCH EDH，得 ，又 DE CG3 x， DE3 x， PC又 AC6 x， PA ， PE ，则 11 【初步认识】（1）如图，将 ABO绕点 O顺时针旋转 90得到 MNO，连接 AM、 BM，求证AOM BO
24、N【知识应用】（2）如图，在 ABC 中， BAC90， AB ， AC3 ，将 ABC绕着点 A旋转得到 ADE，连接 DB、 EC，直线 DB、 EC相交于点 F，线段 AF的最大值为 2 【拓展延伸】（3）如图，在等边 ABC中，点 E在 ABC内部，且满足 AE2 BE2+CE2，用直尺和圆规作出所有的点 E（保留作图的痕迹，不写作法） 【解答】 （1）证明：如图中， ABO绕点 O顺时针旋转 90得到 MNO， AO OM，BO ON， AOM BON90， ， AOM BON（2）如图中，取 BC的中点 O，连接 OF， OA， AF，设 BD交 AE于 K由（1）可知 DAB E
25、AC， ADK FEK， EKF AKD， EFK DAK90， CFB90，在 Rt ABC中， AB ， AC3 ， BC 2 ， OB OC， BAC BFC90， OA OF ， AF OF+OA， AF2 ， AF的最大值为 2 故答案为：2 （3）如图 3中，如图点 E即为所求，点 E在 上（不包括端点） 理由要点：构造 BEC150将 BCE绕点 C顺时针旋转 60得到 ACF，可证 ECF是等边三角形， AFE90，由 AE2 AF2+EF2，即可推出 AE2 BE2+EC212如图，在 ABC中， AB AC，以 AC为直径做 O交 BC于点 D，过点 D作 O的切线，交 A
26、B于点 E，交 CA的延长线于点 F（1）求证： FE AB；（2）填空：当 EF4， 时，则 DE的长为 6 【解答】 （1）证明：连接 OD，如图， DF为 O的切线， OD DF， OC OD， C ODC， AB AC， B C， B ODC， OD AB， EF AB；（2）解： AE OD， ，即 ，解得 DE6故答案为 613如图， AD是 ABC的外接圆 O的直径，点 P在 BC延长线上， PA是 O的切线，且 B35（1）求 PAC的度数（2）弦 CE AD交 AB于点 F，若 AFAB12，求 AC的长【解答】解：（1） AD O 的直径， ACD90， D90 CAD，
27、PA是圆 O的切线， AP AD， PAD90， PAC90 CAD， PAC D， D B， PAC B35；（2） CF AD， ， ACE ABC，Rt AFCRt ACB， ， AC2 AFAB12， AC2 14如图 1， ABC为等腰直角三角形， ACB90， AC BC，点 D和 E分别是 AC、 AB上的点， CE BD，垂足为 F（1）若 求证： D为 AC的中点；计算 的值（2）若 ，如图 2，则 （直接写出结果，用 k的代数式表示）【解答】 （1）证明： ACB90， CE BD， BCD CFD90 BCF CDF（同角的余角相等） CDF BDC ，则 ， AC BC
28、， D为 AC的中点；如图 1，过点 A作直线 BD的垂线，交 BD延长线于 G，则 AG CF， ADG CDF 1 AG CF， GD FD在直角 CFD中， CF2 DF， CD2 DF2+CF2，易得 CF CD在直角 BCD中， BC2 CD， BD2 CD2+BC2，易得 BD CD由 tan EBFtan ABG知， 即 （2） ACB90， CE BD， BCD CFD90 BCF CDF（同角的余角相等） CDF BDC ，则 ， AC BC， k1；如图 2，过点 A作直线 BD的垂线，交 BD延长线于 G，则 AG CF， ADG CDF k1 AG（ k1） CF， GD（ k1） FD在直角 CFD中， CF kDF， CD2 DF2+CF2，易得 CF CD在直角 BCD中， BC kCD， B D2 CD2+BC2，易得 BD CD由 tan EBFtan ABG知， 即 故答案是： 15已知：如图， PBC为等边三角形，以 BC为边在 PBC同侧作正方形 ABCD， BP、 CP分别交 AD于点 E、 F连接 AC、 AP， AC与 BE相交于点 H（1）判断 ABE和 DCF是否全等，并说明理由；（2）求证： ；（3）若 AB2，请直接写出 PAC的面积