1、第21讲 与圆有关的位置关系,考点一,考点二,考点三,考点一点与圆的位置关系 1.点与圆的位置关系有:点在圆内、点在圆上、点在圆外三种. 2.数量关系:设圆的半径为r,点与圆心的距离为d,则(1)点在圆内dr .,考点一,考点二,考点三,考点二直线与圆的位置关系 1.直线与圆的位置关系有相离、相切、相交三种.如下图:2.数量关系:设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则 (1)直线与圆相离dr ; (2)直线与圆相切d=r ; (3)直线与圆相交dr .,考点一,考点二,考点三,考点三圆的切线 1.切线的定义:直线和圆有且只有一 个公共点时,称直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线. 2.切线的性
2、质 定理:圆的切线垂直于过切点 的半径. 推论:经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 . 3.圆的切线的判定 (1)根据定义来判定:当直线与圆有且只有一 个公共点时,该直线与圆相切. (2)根据数量关系来判定:设圆的半径为r,圆心到直线的距离为d,则当d=r 时,直线与圆相切. (3)判定定理:经过半径外端,并且垂直于这条半径 的直线是圆的切线.,考点一,考点二,考点三,4.切线长 (1)定义:经过圆外一点的圆的切线上,这点到切点之间的距离叫切线长. (2)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线的切线长相等 ,并且这点与圆心的连线平分 两条切线的夹角. 5.三角形的内切圆、内心 (1)定义:与三角
3、形的三边都相切 的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫做这个圆的外切三角形. (2)三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心 . (3)三角形的内心 是三角形三条角平分线的交点,这点到三角形三边的距离相等 .,考法1,考法2,考法3,考法4,直线与圆的位置关系的判断 判断直线与圆的位置关系常常是根据直线与圆的公共点的个数或数量关系来判断.,例1在RtABC中,C=90,AC=3 cm, BC=4 cm,以C为圆心,r为半径作圆,若圆C与直线AB相切,则r的值为( ) A.2 cm B.2.4 cm C.3 cm D.4 cm 答案B 解析在RtABC中,C=90,AC=3 cm,BC=4 cm,由勾股
4、定理,得AB2=32+42=25,即AB=5 cm. AB是C的切线,切点为D,CDAB.CD=r.,r=2.4 cm,故选B.,考法1,考法2,考法3,考法4,方法点拨斜边上的高即为圆的半径是解决本题的突破点.根据直线与圆相切的数量关系知:当圆C与直线AB相切时,圆心C到直线AB的距离与圆的半径相等,于是利用勾股定理求出斜边AB的长,再由直角三角形面积的求法求出斜边上的高即得半径r的值.,考法1,考法2,考法3,考法4,切线性质的应用 在应用切线的性质时要注意:(1)切线和圆只有一个公共点;(2)圆心到切线的距离等于半径;(3)“经过圆心”“经过切点”“垂直于切线”这三个结论中,有两个成立时
5、,第三个一定成立.,考法1,考法2,考法3,考法4,例2(2018山东泰安)如图,BM与O相切于点B,若MBA=140,则ACB的度数为( )A.40 B.50 C.60 D.70,考法1,考法2,考法3,考法4,答案:A 解析:如图,连接OA,OB, BM是O的切线, OBM=90, MBA=140, ABO=50, OA=OB, ABO=BAO=50, AOB=80, ACB= AOB=40, 故选A.,考法1,考法2,考法3,考法4,方法点拨连接OA,OB,由切线的性质知OBM=90,从而得ABO=BAO=50,由内角和定理知AOB=80,根据圆周角定理可得答案.有关切线问题,辅助线常常
6、是连接过切点的半径,即产生直角.于是可得到直角三角形,进而可以根据直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数等进行计算和证明.,考法1,考法2,考法3,考法4,例3(2018重庆)如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD与O相切于点D,过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若O的半径为4,BC=6,则PA的长为( ),考法1,考法2,考法3,考法4,答案:A 解析:连接DO, PD与O相切于点D, PDO=90, C=90, DOBC, PDOPCB,解得x=4,故PA=4. 故选A.,考法1,考法2,考法3,考法4,方法点拨先直接利用切线的性质得出PDO=90,再利用相似三角形的
7、判定与性质分析得出答案.考点:1.切线的性质;2.相似三角形的判定与性质.,考法1,考法2,考法3,考法4,切线的判定 在应用切线的判定时要注意:切线必须满足两个条件:(1)经过半径外端;(2)垂直于这条半径. 例4如图,AB为O直径,P点为半径OA上异于O点和A点的一个点,过P点作与直径AB垂直的弦CD,连接AD,作BEAB,OEAD交BE于E点,连接AE,DE,AE交CD于F点.求证:DE为O的切线.,考法1,考法2,考法3,考法4,证明:如图,连接OD,BD,BD交OE于点M, AB是O的直径, ADB=90,ADBD, OEAD, OEBD, BM=DM, OB=OD, BOM=DOM
8、, OE=OE,BOEDOE(SAS), ODE=OBE=90, DE为O的切线.,考法1,考法2,考法3,考法4,方法点拨判定切线常常用以下两种方法: (1)当直线与圆的公共点已知,则连接圆心和这点,证明圆心和这点的连线与该直线垂直,利用切线的判定定理解决问题. (2)当直线与圆的公共点没有明确告知时,则过圆心作该直线的垂线,证明圆心与垂足之间的距离等于圆的半径,利用直线与圆相切的数量关系来解决问题.,考法1,考法2,考法3,考法4,切线的性质的综合应用 与切线有关的问题经常与其他知识相结合,构建综合性试题.求解这类问题不仅要联想到切线的性质,同时要综合运用直角三角形的性质、相似三角形的性质
9、、勾股定理等. 例5(2018陕西)如图,在RtABC中,ACB=90,以斜边AB上的中线CD为直径作O,分别与AC,BC交于点M,N.(1)过点N作O的切线NE与AB相交于点E,求证:NEAB; (2)连接MD,求证:MD=NB.,考法1,考法2,考法3,考法4,证明:(1)连接ON,如图,CD为斜边AB上的中线,CD=AD=DB, 1=B,OC=ON,1=2,2=B,ONDB, NE为切线,ONNE,NEAB.(2)连接DN,如图,CD为直径,CMD=CND=90,而MCB=90,四边形CMDN为矩形, DM=CN,DNBC,1=B, CN=BN,MD=NB.,考法1,考法2,考法3,考法
10、4,方法点拨(1)连接ON,根据斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=DB,则1=B,再证明2=B得到ONDB,接着根据切线的性质得到ONNE,然后利用平行线的性质得到结论;(2)连接DN,根据圆周角定理得到CMD=CND=90,则可判断四边形CMDN为矩形,所以DM=CN,然后证明CN=BN,从而得到MD=NB.,1.(2014甘肃白银)已知O的半径是6 cm,点O到同一平面内直线l的距离为5 cm,则直线l与O的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断,A,2.(2017甘肃兰州)如图,ABD是O的内接三角形,E是弦BD的中点,点C是O外一点且DBC=A,连接OE延
11、长与圆相交于点F,与BC相交于点C. (1)求证:BC是O的切线; (2)若O的半径为6,BC=8,求弦BD的长.,(1)证明:连接OB,如图所示: E是弦BD的中点,BOE=A,OBE+BOE=90, DBC=A,BOE=DBC, OBE+DBC=90, OBC=90,即BCOB,BC是O的切线. (2)解:OB=6,BC=8,BCOB,3.(2017甘肃武威)如图,AN是M的直径,NBx轴,AB交M于点C. (1)若点A(0,6),N(0,2),ABN=30,求点B的坐标; (2)若D为线段NB的中点,求证:直线CD是M的切线.,(1)解 A的坐标为(0,6),N(0,2),AN=4. A
12、BN=30,ANB=90,AB=2AN=8,(2)证明 连接MC,NC. AN是M的直径, ACN=90, NCB=90. 在RtNCB中,D为NB的中点, CD= NB=ND, CND=NCD. MC=MN,MCN=MNC. MNC+CND=90, MCN+NCD=90, 即MCCD.直线CD是M的切线.,4.(2016甘肃武威)如图,在ABC中,AB=AC,点D在BC上,BD=DC,过点D作DEAC,垂足为E,O经过A,B,D三点. (1)求证:AB是O的直径; (2)判断DE与O的位置关系,并加以证明; (3)若O的半径为3,BAC=60,求DE的长.,(1)证明 连接AD, AB=AC,BD=DC, ADBC, ADB=90, AB为圆O的直径. (2)解 DE与圆O相切, 证明 连接OD, O,D分别为AB,BC的中点, OD为ABC的中位线, ODAC. DEAC,DEOD. OD为圆的半径, DE与圆O相切.,(3)解 AB=AC,BAC=60, ABC为等边三角形, AB=AC=BC=6. 连接BF, AB为圆O的直径, AFB=DEC=90, AF=CF=3,DEBF. D为BC中点, E为CF中点,即DE为BCF的中位线. 在RtABF中,AB=6,AF=3,