1、第20讲 圆的有关概念及性质,考点一,考点二,考点一圆的有关概念和性质 1.圆的定义:在同一平面内,一条线段OA绕着它的一个端点O旋转一周 ,另一个端点A所形成的封闭图形,叫做圆;直径等于半径的2倍. 2.垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的弧 . 推论:平分弦(不是直径 )的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧 . 3.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系 定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧 相等,所对的弦 相等,所对的弦的弦心距 相等. 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余的各组量也都相等 .,考点一
2、,考点二,4.圆的对称性 圆是轴对称图形,其对称轴是过圆心的直线 ,圆是旋转对称图形,其对称中心是圆心 . 5.三角形的外接圆、外心 (1)确定圆的条件:过不在同一直线上 的三点确定一个圆;已知圆心和半径 ;已知直径 . (2)三角形的外接圆、外心:三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,这个三角形叫做圆的内接三角形 ,这个圆的圆心叫做三角形的外心 . 6.圆的内接多边形 如果一个多边形的每一个顶点都在同一个圆上,那么这个多边形叫做这个圆的内接多边形 ,这个圆叫做这个多边形的外接圆 . 7.圆内接四边形的性质 圆的内接四边形的对角互补 ,并且一个外角等于它的内对角.,考点一,考点
3、二,考点二圆周角与圆心角 1.圆心角:顶点在圆心 的角叫做圆心角,圆心角的度数等于它所对的弧 的度数. 2.圆周角:顶点在圆上、两边分别和圆相交 的角叫做圆周角,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半. 3.圆周角定理(圆周角和圆心角的关系):在同圆或等圆中,一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 . 推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等,在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等 ; 推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角 ;90的圆周角所对的弧是半圆 ,所对的弦是直径 .,考法1,考法2,考法3,圆心角与圆周角的相关计算问题 在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍
4、.利用这个关系来解决的问题常常是:已知圆周角求圆心角或已知圆心角求圆周角,有时也结合勾股定理进行半径或直径的计算.,考法1,考法2,考法3,例1(2018山东聊城)如图,在O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若A=60,ADC=85,则C的度数是( ) A.25 B.27.5 C.30 D.35 答案:D 解析:A=60,ADC=85, B=85-60=25,CDO=95, AOC=2B=50, C=180-95-50=35. 故选D. 方法点拨直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出B以及ODC的度数,再利用圆周角定理以及三角形内角和定理得出答案.,考法1,考法2,考法3,
5、垂径定理及其推论的应用 利用垂径定理和勾股定理相结合,进行有关弦、弦心距、半径(直径)的计算是中考中关注热度较大的题型. 例2(2018河北张家界)如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,OC=5 cm,CD=8 cm,则AE=( ) A.8 cm B.5 cm C.3 cm D.2 cm 答案:A 解析:弦CDAB于点E,CD=8 cm, CE= CD=4 cm.在RtOCE中,OC=5 cm,CE=4 cm,OE=3 cm, AE=AO+OE=5+3=8 cm. 故选A.,考法1,考法2,考法3,方法点拨根据垂径定理可得出CE的长度,在RtOCE中,利用勾股定理可得出OE的长度,再利用AE
6、=AO+OE即可得出AE的长度.,考法1,考法2,考法3,例3(2018浙江杭州)如图,O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交O于B,C两点,则BC=( ),考法1,考法2,考法3,答案:A 解析:设OA与BC相交于D点.连接AB,OB. AB=OA=OB=6, OAB是等边三角形. 又根据垂径定理可得,OA平分BC,方法点拨在应用垂径定理时,往往需要作垂直于弦的直径或半径,利用垂径定理及其推论和勾股定理达到解题的目的.,考法1,考法2,考法3,圆的性质的综合应用 圆的有关性质包括半径与直径的关系、圆心角与圆周角的关系,圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、圆的对称性等.题型有有关圆的角度
7、的计算,圆的内接三角形的相关计算,直径(半径)、弦、弦心距的计算问题,往往综合性较大.,考法1,考法2,考法3,例4(2018浙江衢州)如图,AC是O的直径,弦BDAO于点E,连接BC,过点O作OFBC于点F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF的长度是( ),考法1,考法2,考法3,答案:D 解析:连接OB, AC是O的直径,弦BDAO于点E, BD=8 cm,AE=2 cm, 在RtOEB中,OE2+BE2=OB2, 即OE2+42=(OE+2)2 解得OE=3,OB=3+2=5, EC=5+3=8,方法点拨根据垂径定理得出OE的长,进而利用勾股定理得出BC的长,再利用相似三角形的判定
8、和性质解答即可.,1.(2018甘肃)如图,A过点O(0,0),C( ,0),D(0,1),点B是x轴下方A上的一点,连接BO,BD,则OBD的度数是 ( B )A.15 B.30 C.45 D.60,解析:连接DC,DCO=30, OBD=30. 故选B.,2.(2016甘肃兰州)如图,在O中,点C是 的中点,A=50,则BOC=( A )A.40 B.45 C.50 D.60,解析:在OAB中,OA=OB,所以A=B=50.根据题意得OC平分弦AB所对的弧,所以OC垂直平分弦AB,即BOC=90-B=40,故选A.,3.(2016甘肃兰州)如图,四边形ABCD内接于O,四边形ABCO是平行
9、四边形,则ADC=( C )A.45 B.50 C.60 D.75,解析:连接OB,则OAB=OBA,OCB=OBC, 四边形ABCO是平行四边形,则OAB=OBC, ABC=OAB+OBC=AOC, ABC=AOC=120,OAB=OCB=60, 连接OD,则OAD=ODA,OCD=ODC, 由四边形的内角和等于360可知,ADC=360-OAB-ABC-OCB-OAD-OCD,ADC=60.,4.(2017甘肃武威)如图,ABC内接于O,若OAB=32,则C=58 .,解析:连接OB,则OA=OB,所以OBA=OAB=32,所以AOB=180-232=116,因为AOB=2C,所以2C=116,所以C=58.,解析:ABC=45, AOC=90,