1、第15讲 全等三角形,考点一,考点二,考点三,考点一全等三角形的概念和性质 1.全等三角形:能够完全重合 的两个三角形叫做全等三角形. 2.全等三角形的性质: (1)全等三角形的对应边相等 ,全等三角形的对应角 相等; (2)全等三角形周长相等 ,面积相等 ; (3)全等三角形对应的中线、高、角平分线都相等.,考点一,考点二,考点三,考点二全等三角形的判定,考点一,考点二,考点三,考点一,考点二,考点三,考点三角平分线的性质及判定 1.角的平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边 的距离相等. 2.角的平分线的判定:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线 上. 3.三角形角平分线的性质:
2、三角形的三条角平分线交于一点,且这一点到三角形三边 的距离相等.,考法1,考法2,考法3,选用合适的方法判定三角形全等 全等三角形的五种判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,HL)中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,并且得是两角的夹边;若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边.,考法1,考法2,考法3,例1(2017湖南郴州)已知在ABC中,ABC=ACB,点D,E分别为边AB,AC的中点,求证:BE=CD. 证明ABC=ACB,AB=AC. 点D,E分别是AB,AC的中点,
3、AD=AE.,ABEACD,BE=CD. 方法点拨证明三角形全等有五种方法SSS,SAS,ASA,AAS, HL,它们各自独立,解题时应注意选择合适的方法.当然,在解决一个问题时,有时会用到一种或多种三角形全等的判定方法.,考法1,考法2,考法3,综合运用全等三角形的判定与性质 全等三角形的性质有“对应边相等,对应角相等”,全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形.,考法1,考法2,考法3,例2(2017贵州黔东南)如图,点B,F,C,
4、E在一条直线上,已知FB=CE,ACDF,请你添加一个适当的条件 ,使得ABCDEF. 答案A=D(答案不唯一) 解析添加A=D.理由如下: FB=CE,BC=EF. 又ACDF,ACB=DFE.,ABCDEF(AAS).,考法1,考法2,考法3,角平分线的判定和性质 判定角平分线除了利用角平分线的定义以外,还有判定定理:到角两边距离相等的点在角的平分线上.角平分线具有性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 这里的距离是指点到角的两边垂线段的长;角平分线的性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,有时不必证明全等.,考法1,考法2,考法3,例3(2016湖南怀化)如图,OP为AOB的角平分
5、线,PCOA, PDOB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是( ) A.PC=PD B.CPD=DOP C.CPO=DPO D.OC=OD 答案B 解析OP为AOB的角平分线,PCOA,PDOB,垂足分别是C,D, PC=PD,故A正确;,OCPODP, CPO=DPO,OC=OD,故C,D正确; 不能得出CPD=DOP,故B错误. 故选B.,考法1,考法2,考法3,方法点拨涉及角平分线的问题,应尽量直接应用定理,避免证明两个三角形全等,从而简化解题的过程.,1.(2016甘肃天水)(1)如图1,已知ABC,以AB,AC为边分别向ABC外作等边三角形ABD和等边ACE,连接BE,CD,请你完
6、成图形(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹),并证明:BE=CD; (2)如图2,已知ABC,以AB,AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,猜想BE与CD有什么数量关系?并说明理由; (3)运用(1),(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题: 如图(3),要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已经测得ABC=45,CAE=90,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长(结果保留根号).,(1)证明:如图1,ABD和ACE都是等边三角形, AD=AB,AC=AE,DAB=EAC=60, DAC=BAE, DACBAE, BE=CD. (2)解:BE=CD.理由如下
7、,如图2, 在正方形ABFD和正方形ACGE中, DAB=EAC=90, DAB+BAC=EAC+BAC, 即DAC=BAE,DACBAE, BE=CD.,(3)解:由(1)(2)的解题经验可知:过点A向ABC外作等腰直角三角形ABD,使DAB=90,AD=AB=100米,ABD=45,如图3,连接CD,则由(2)可得:BE=CD, ABC=45, DBC=90,2.(2017甘肃张掖)如图,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于点E,F.(1)求证:四边形BEDF是平行四边形; (2)当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.,(1)证明:四边形ABCD
8、是矩形,O是BD的中点, A=90,AD=BC=4,ABDC,OB=OD, OBE=ODF,BOEDOF(ASA), EO=FO, 四边形BEDF是平行四边形.,(2)解:当四边形BEDF是菱形时,BDEF, 设BE=x,则DE=x,AE=6-x, 在RtADE中,DE2=AD2+AE2, x2=42+(6-x)2,3.(2017甘肃天水)ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形,BAC=EDF=90,DEF的顶点E与ABC的斜边BC的中点重合,将DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:BPECQE; (2)如图,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:BPECEQ;并求当BP=2,CQ=9时,BC的长.,(1)证明:ABC是等腰直角三角形, B=C=45,AB=AC, AP=AQ, BP=CQ, E是BC的中点, BE=CE, 在BPE和CQE中,BPECQE(SAS).,(2)解:连接PQ, ABC和DEF是两个全等的等腰直角三角形, B=C=DEF=45, BEQ=EQC+C, 即BEP+DEF=EQC+C, BEP+45=EQC+45, BEP=EQC, BPECEQ,