1、14 角平分线的性质教学目标:1理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)2能够对角平分线的性质及判定进行简单应用(难点)教学过程:一、情境导入在 S 区有一个集贸市场 P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从 P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路问题 1：怎样修建道路最短？问题 2：往哪条路走更近呢？二、合作探究探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等【类型一】 利用角平分线的性质求线段长如图，在 ABC 中， C90， AC BC， BAC 的平分线 AD 交 BC 于 D， DE AB 于E，若 AB7cm，则 DBE 的周长是_解析：在 ABC 中， C90， AC BC， BAC
2、 的平分线 AD 交 BC 于 D， DE AB 于 E，根据角平分线的性质，可得 CD ED， AC AE BC，继而可得 DBE 的周长为DE BD BE CD BD BE BC BE AE BE AB.故答案为 7cm.方法总结：此题考查了角平分线的性质此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用【类型二】 利用角平分线的性质求面积如图， BD 平分 ABC， DE AB 于点 E， DF BC 且交 BC 的延长线于点 F.若AB18cm， BC12cm， DE2.4cm，求 ABC 的面积解析：根据角平分线的性质得到 DE DF，再将 ABC 分成 BCD 和 ADB 两个三角
3、形，分别求出它们的面积再求和解： BD 平分 ABC， DE AB， DF BF， DE DF. S ABC S BCD SABD BCDF ABDE (BC AB)DE 302.436(cm 2)12 12 12 12方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和【类型三】 利用角平分线的性质进行证明如图，已知12， P 为 BN 上一点且 PD BC 于 D， AB BC2 BD，求证： BAP BCP180.解析：过点 P 作 PE BA，根据已知条件得 Rt BPERt BPD，再根据 AB BC2
4、 BD 得AE CD，可证 Rt APE 和 RtPDC，可得 PCD PAE，根据邻补角互补可得 BAP BCP180.证明：过 P 作 PE AB，交 BA 的延长线于 E. PD BC，12， PE PD，在 Rt BPE和 Rt BPD 中， Rt BPERt BPD(HL)，PE PD，BP BP， ) BE BD. AB BC2 BD， BC CD BD， AB BE AE， AE CD. PE BE， PD BC，PEA PDC90.在 PEA 和 PDC 中， PE PD， PEB PDC，AE CD， ) PEA PDC(SAS)， PCD PAE. BAP EAP180，
5、BAP BCP180.方法总结：题目中有角平分线可过角平分线上的点作角两边的垂线，这是角平分线题目中常见的辅助线探究点二：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上如图所示，在 ABC 中， PD 垂直平分 BC， PM AB 于点 M， PN AC 交 AC 的延长线于点N，且 BM CN.求证：12.解析：先根据中垂线性质得出 PB PC，再根据 HL 证 Rt PBMRt PCN，再根据角平分线性质的逆定理得出结论证明：连接 PB.PC. PD 垂直平分BC， PB PC. PM AB， PN AC， PMB PNC90.在 Rt PBM 与 Rt PCN 中， PB PC， BM CN
6、，Rt PBMRt PCN(HL) PM PN.点 P 在 BAC 的平分线上，即12.方法总结：证明一条射线是角的平分线有两种方法：一是利用三角形全等证明；二是利用角平分线性质定理的逆定理证明显然，方法二比方法一更简捷，在用方法二判定一条射线是一个角的平分线时一般分两步：一是找出或作出射线上的一点到角两边的垂线段；二是证明这两条线段相等探究点三：角平分线的性质和判定的综合应用如图所示，在 ABC 外作等腰三角形 ABD 和等腰三角形 ACE，且使它们的顶角 DAB EAC，连接 BE.CD 相交于 P 点， AP 的延长线交 BC 于 F 点，试判断 BPF 与 CPF的关系，并加以说明解析
7、：首先猜想 BPF CPF，即 DPA EPA，显然这两个角所在的三角形不一定全等，可考虑用角平分线的判定来求解解： BPF CPF，理由如下：过 A 点作 AM DC 于 M，作 AN BE 于N. DAB EAC， DAB BAC EAC BAC， DAC BAE，在 BAE 和 DAC中， AB AD， BAE DAC，AE AC， ) BAE DAC(SAS)， BE DC， S BAE SDAC. AM DC， AN BE， BEAN DCAM， AN AM， PA 平分12 12 DPE， DPA APE.又 DPA CPF， EPA BPF， BPF CPF.方法总结：证明两个角
8、相等：如果在一个三角形里，通常利用等边对等角；如果在两个三角形里，通常证所在的两个三角形全等或利用角平分线的判定探究点四：利用角平分线的性质作图如图所示，一条南北走向的铁路与一条东西走向的公路交叉通过，一工厂在铁路的东面，公路的南面，距交叉路口 300m，并且工厂到铁路与公路的距离相等请在图上标出工厂的位置，并说明理由(比例尺为 120000)解：画出 AOB 的平分线 OC，在射线 OC 上量出表示实际距离 300m 长度的图上距离线段OP， OP300 0.015(m)1.5(cm)120000因为角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以点 P 即是工厂在图中的位置方法总结：解决此类问题的关键是把实际问题转化为数学模型，进一步运用数学知识来解决三、板书设计角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等角平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上教学反思:在教学中要注意强调与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等，从而可以简化解题过程.