1、2019 年山东省滨州市惠民县中考数学一模试卷一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 3 分，满分 36 分，每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，并将该选项的字母代号填入下表中1 （3 分）在 0.3，3，0， 这四个数中，最大的是（ ）A0.3 B3 C0 D2 （3 分）下列运算正确的是（ ）A （2a 2） 36a 6 Bx 6x2x 4C2x+2y4xy D （x1） 2x 21 23 （3 分）如图是由 6 个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）A B C D4 （3 分）2018 年我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能
2、“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000 本书籍将 58000000000 用科学记数法表示应为（ ）A5810 9 B5.810 10 C5.810 11 D0.5810 115 （3 分）在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22则这组数据中的众数和中位数分别是（ ）A22 个、20 个 B22 个、21 个 C20 个、21 个 D20 个、22 个6 （3 分）同一根细铁
3、丝可以折成边长为 10cm 的等边三角形，也可以折成面积为 50cm2 的长方形设所折成的长方形的一边长为 x，则可列方程为（ ）Ax（10x）50 Bx（30x）50Cx（ 15x ）50 Dx（30 2x）507 （3 分）如图，已知 ABCD，DEAC，垂足为 E，A120，则D 的度数为（ ）A30 B60 C50 D408 （3 分）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定 A 和 B 为入口，C，D，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从 A 入口进入、从C，D 出口离开的概率是（ ）A B C D9 （3 分）如图，O 是ABC 的外接圆，BC3，
4、BAC30，则劣弧 的长等于（ ）A B C D 10 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 BECF连接AE， BF，AE 与 BF 交于点 G下列结论错误的是（ ）AAEBF BDAEBFCCAEB+BFC90 DAEBF11 （3 分）解放路上一座人行天桥如图所示，坡面 BC 的铅直高度与水平宽度的比为1：2，为了方便市民推车过天桥，有关部门决定在保持天桥高度的前提下，降低坡度，使新坡面 AC 的坡度为 1：3，AB 6m，则天桥高度 CD 为（ ）A6m B6 m C7m D8m12 （3 分）在矩形纸片 ABCD 中，AD8，AB6，E 是
5、边 BC 上的点，将纸片沿 AE 折叠，使点 B 落在点 F 处，连接 FC，当EFC 为直角三角形时， BE 的长为（ ）A3 B5 C3 或 5 D3 或 6二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，满分 40 分13 （5 分）因式分解：16x 4y 4 14 （5 分）不等式组 的整数解是 15 （5 分）某校组织了主题为“共建生态岛”的电子小报作品征集活动，先从中随机抽取了部分作品，按 A，B，C，D 四个等级进行评分，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，那么此次抽取的作品中等级为 B 的作品数为 16 （5 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，B60，BC2
6、，ABC 可以由ABC 绕点 C 顺时针旋转得到，其中点 A与点 A 是对应点，点 B与点 B 是对应点，连接 AB，且 A、B、A在同一条直线上，则 AA 的长为 17 （5 分）如图，ABC 中，ACB 90，AC BC4，点 D，E 分别是 AB、AC 的中点，在 CD 上找一点 P，连接 AP、EP，当 AP+EP 最小时，这个最小值是 18 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC5，以 B 为圆心 BC 为半径画弧交 AD于点 E，如果点 F 是弧 EC 的中点，联结 FB，那么 tanFBC 的值为 19 （5 分）如图，已知四边形 OABC 是菱形，CDx 轴，垂足为
7、 D，函数 的图象经过点 C，且与 AB 交于点 E若 OD2，则OAE 的面积为 20 （5 分）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入 x 的值为 625，则第 2019 次输出的结果为 三、解答题：本大题共 6 个小题，满分 74 分，解答时请写出必要的演推过程21 （10 分）先化简，再求值 （1 ） ，其中 a222 （12 分）张师傅驾车从甲地去乙地，途中在加油站加了一次油，加油时，车载电脑显示还能行驶 50 千米假设加油前、后汽车都以 100 千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量 y（升）与行驶时间 t（小时）之间的关系如图所示（1）求张师傅加油前油箱剩余油量 y（升）
8、与行驶时间 t（小时）之间的关系式；（2）求出 a 的值；（3）求张师傅途中加油多少升？23 （12 分）景观大道要进行绿化改造，已知购买 A 种树苗 3 棵，B 种树苗 4 棵，需要 370元；购买 A 种树苗 5 棵，B 种树苗 2 棵，需要 430 元（1）求购买 A，B 两种树苗每棵各需多少元？（2）现需购买这两种树苗共 100 棵，要求购买这两种树苗的资金不超过 5860 元，求最多能购买多少棵 A 种树苗？24 （13 分）如图，点 D 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，连接 BD，点 C 是 的中点，过点 C 作直线 BD 的垂线，垂足为点 E求证：（1）CE 是半圆 O 的
9、切线；（2）BC 2ABBE25 （13 分）定义：有一个内角为 90，且对角线相等的四边形称为准矩形（1） 如图 1，准矩形 ABCD 中，ABC 90，若 AB2，BC3，则 BD ；如图 2，直角坐标系中， A（0，3） ，B（5，0） ，若整点 P 使得四边形 AOBP 是准矩形，则点 P 的坐标是 ；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（2）如图 3，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AD、AB 上的点，且 CFBE，求证：四边形 BCEF 是准矩形；（3）已知，准矩形 ABCD 中，ABC90，BAC 60，AB2，当ADC 为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是
10、26 （14 分）如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，B 点坐标为（3，0） ，与 y轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线 yx 2+bx+c 的表达式；（2）点 D 为抛物线对称轴上一点，当 BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求点D 的坐标；（3）点 P 在 x 轴下方的抛物线上，过点 P 的直线 yx+m 与直线 BC 交于点 E，与 y 轴交于点 F，求 PE+EF 的最大值2019 年山东省滨州市惠民县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 3 分，满分 36 分，每小题给出四个选项中只有一个是正确的，请把正
11、确的选项选出来，并将该选项的字母代号填入下表中1 （3 分）在 0.3，3，0， 这四个数中，最大的是（ ）A0.3 B3 C0 D【分析】根据正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数，比较即可【解答】解：3 00.3最大为 0.3故选：A【点评】本题考查实数比较大小，解题的关键是正确理解正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数，本题属于基础题型2 （3 分）下列运算正确的是（ ）A （2a 2） 36a 6 Bx 6x2x 4C2x+2y4xy D （x1） 2x 21 2【分析】根据积的乘方等于乘方的积；单项式的除法，系数除以系数，同底数的幂相除；合并同类项系数相加字母及指数不变；差的平方
12、等于平方和减积的二倍，可得答案【解答】解：A、积的乘方等于乘方的积，故 A 错误；B、单项式的除法，系数除以系数，同底数的幂相除，故 B 正确；C、不是同类项不能合并，故 C 错误；D、差的平方等于平方和减积的二倍，故 D 错误；故选：B【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键3 （3 分）如图是由 6 个相同的小正方体搭成的几何体，那么这个几何体的俯视图是（ ）A B C D【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可【解答】解：从上面可看到第一横行左下角有一个正方形，第二横行有 3 个正方形，第三横行中间有一个正方形故选：C【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是
13、从物体的上面看得到的视图4 （3 分）2018 年我国在人工智能领域取得显著成就，自主研发的人工智能“绝艺”获得全球最前沿的人工智能赛事冠军，这得益于所建立的大数据中心的规模和数据存储量，它们决定着人工智能深度学习的质量和速度，其中的一个大数据中心能存储58000000000 本书籍将 58000000000 用科学记数法表示应为（ ）A5810 9 B5.810 10 C5.810 11 D0.5810 11【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对
14、值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 580 0000 0000 用科学记数法表示应为 5.81010故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值5 （3 分）在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22则这组数据中的众数和中位数分别是（ ）A22 个、20 个 B22 个、21 个 C20 个、21 个 D20 个、22 个【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺
15、序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个【解答】解：在这一组数据中 20 出现了 3 次，次数最多，故众数是 20；把数据按从小到大的顺序排列：19，20，20，20，22，22，23，24，处于这组数据中间位置的数 20 和 22，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是21故选：C【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数） ，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错6 （3 分）同一根细
16、铁丝可以折成边长为 10cm 的等边三角形，也可以折成面积为 50cm2 的长方形设所折成的长方形的一边长为 x，则可列方程为（ ）Ax（10x）50 Bx（30x）50Cx（ 15x ）50 Dx（30 2x）50【分析】设折成的长方形的一边长为 xcm，则另一边长为（15x）cm，根据长方形的面积公式结合折成的长方形面积为 50cm2，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解【解答】解：设折成的长方形的一边长为 xcm，则另一边长为（15x）cm，根据题意得：x（15x ）50故选：C【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及等边三角形的性质，找准等量关系，正确列出一元二次方程是
17、解题的关键7 （3 分）如图，已知 ABCD，DEAC，垂足为 E，A120，则D 的度数为（ ）A30 B60 C50 D40【分析】根据平行线的性质求出C，求出DEC 的度数，根据三角形内角和定理求出D 的度数即可【解答】解：ABCD，A+C 180 ，A120，C60，DEAC，DEC90，D180CDEC30，故选：A【点评】本题考查了平行线的性质和三角形内角和定理的应用，能根据平行线的性质求出C 的度数是解此题的关键8 （3 分）如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定 A 和 B 为入口，C，D，E 为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从 A 入口进入、
18、从C，D 出口离开的概率是（ ）A B C D【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得小红从入口 A 进入景区并从 C，D 出口离开的情况，再利用概率公式求解即可求得答案【解答】解：画树形图如图得：由树形图可知所有可能的结果有 6 种，设小红从入口 A 进入景区并从 C，D 出口离开的概率是 P，小红从入口 A 进入景区并从 C，D 出口离开的有 2 种情况，P 故选：B【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件注意概率所求情况数与总情况数
19、之比9 （3 分）如图，O 是ABC 的外接圆，BC3，BAC30，则劣弧 的长等于（ ）A B C D 【分析】连接 OB、OC，利用圆周角定理求得 BOC60，然后利用弧长公式 l来计算劣弧 的长【解答】解：如图，连接 OB、OC，BAC30，BOC2BAC60，又 OBOC，OBC 是等边三角形，BCOBOC3，劣弧 的长为： 故选：B【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算以及等边三角形的判定与性质根据圆周角定理得到BOC60是解题的关键所在10 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，且 BECF连接AE， BF，AE 与 BF 交于点 G下列结
20、论错误的是（ ）AAEBF BDAEBFCCAEB+BFC90 DAEBF【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质进行判断即可【解答】解：正方形 ABCD 中，ABE BCF90，ABBC ，在ABE 与BCF 中，ABE BCF（SAS） ，AEBF，AEB BFC ，BAECBF ，DAE+BAE90，BFC +FBC90，DAEBFC，BAE +ABG 90，AEBF，故 ABD 正确；AEB BFC，AEB +BFC90，故选：C【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质进行判断11 （3 分）解放路上一座人行天桥如图所示，坡面 BC 的铅直高
21、度与水平宽度的比为1：2，为了方便市民推车过天桥，有关部门决定在保持天桥高度的前提下，降低坡度，使新坡面 AC 的坡度为 1：3，AB 6m，则天桥高度 CD 为（ ）A6m B6 m C7m D8m【分析】如图作 CDAB 于 D由 ，设 CDx，则 BD2x，AD6+x，再根据 ，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图作 CDAB 于 D ，设 CDx，则 BD2x，AD6+ x， ， ，x6，天桥高度 CD 为 6m故选：A【点评】本题本题考查解直角三角形的应用，关键是理解坡度及坡角的概念，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型12 （3 分）在矩形纸片 ABCD 中，AD8，A
22、B6，E 是边 BC 上的点，将纸片沿 AE 折叠，使点 B 落在点 F 处，连接 FC，当EFC 为直角三角形时， BE 的长为（ ）A3 B5 C3 或 5 D3 或 6【分析】由 AD8、AB 6 结合矩形的性质可得出 AC10，EFC 为直角三角形分两种情况： 当 EFC90时，可得出 AE 平分BAC，根据角平分线的性质即可得出，解之即可得出 BE 的长度；当FEC 90时，可得出四边形 ABEF 为正方形，根据正方形的性质即可得出 BE 的长度【解答】解：AD8，AB 6，四边形 ABCD 为矩形，BCAD8，B90，AC 10EFC 为直角三角形分两种情况：当 EFC90时，如图
23、 1 所示AFE B90，EFC90，点 F 在对角线 AC 上，AE 平分BAC， ，即 ，BE3；当 FEC90时，如图 2 所示FEC90，FEB 90，AEF BEA45，四边形 ABEF 为正方形，BEAB6综上所述：BE 的长为 3 或 6故选：D【点评】本题考查了翻折变换、矩形的性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质以及勾股定理，分EFC90和FEC 90两种情况寻找 BE 的长度是解题的关键二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，满分 40 分13 （5 分）因式分解：16x 4y 4 （4x 2+y2） （2x+y） （ 2xy） 【分析】直接利用平方差公式分解因
24、式得出即可【解答】解：16x 4y 4（4x 2+y2） （ 4x2y 2）（4x 2+y2） （ 2x+y） （2xy） 故答案为：（4x 2+y2） （2x +y） （2xy） 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键14 （5 分）不等式组 的整数解是 3、4 【分析】分别解出两个不等式的解集，再表示出其公共部分即可【解答】解：解不等式 x10，得：x3，解不等式 x1613x ，得：x ，则不等式组的解集为 3x ，所以不等式组的整数解为 3、4，故答案为：3、4【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断还可以观察不等式的解，若
25、x较小的数、较大的数，那么解集为 x 介于两数之间15 （5 分）某校组织了主题为“共建生态岛”的电子小报作品征集活动，先从中随机抽取了部分作品，按 A，B，C，D 四个等级进行评分，然后根据统计结果绘制了如图两幅不完整的统计图，那么此次抽取的作品中等级为 B 的作品数为 48 【分析】利用共抽取作品数C 等级数对应的百分比求解，即可一共抽取了 120 份作品，进而得到抽取的作品中等级为 B 的作品数【解答】解：3025%120 （份） ，一共抽取了 120 份作品，此次抽取的作品中等级为 B 的作品数 1203630648 份，故答案为：48【点评】本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样
26、本估计总体，解题的关键是读懂统计图，能从统计图中获得准确的信息16 （5 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，B60，BC2，ABC 可以由ABC 绕点 C 顺时针旋转得到，其中点 A与点 A 是对应点，点 B与点 B 是对应点，连接 AB，且 A、B、A在同一条直线上，则 AA 的长为 6 【分析】利用直角三角形的性质得出 AB4，再利用旋转的性质以及三角形外角的性质得出 AB2，进而得出答案【解答】解：在 RtABC 中，ACB90，B60，BC2，CAB30，故 AB4，AB C 由ABC 绕点 C 顺时针旋转得到，其中点 A与点 A 是对应点，点 B与点 B 是对应点，连接 AB
27、，且 A、B、A 在同一条直线上，ABAB 4，ACAC，CAAA30，ACBBAC30，ABBC2，AA2+46，故答案为 6【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质等知识，得出ABBC 1 是解题关键，此题难度不大17 （5 分）如图，ABC 中，ACB 90，AC BC4，点 D，E 分别是 AB、AC 的中点，在 CD 上找一点 P，连接 AP、EP，当 AP+EP 最小时，这个最小值是 2 【分析】要求 PA+PE 的最小值，PA，PE 不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PA，PE 的值，从而找出其最小值求解【解答】解：如图，连接 BE，则 BE 就是 PA+PE 的最小
28、值，RtABC 中，ACBC4，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，CE2cm，BE ，PA+PE 的最小值是 2 故答案为：2 【点评】考查等腰直角三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用18 （5 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB3，BC5，以 B 为圆心 BC 为半径画弧交 AD于点 E，如果点 F 是弧 EC 的中点，联结 FB，那么 tanFBC 的值为 【分析】连接 CE 交 BF 于 H，连接 BE，根据矩形的性质求出ABCD3，ADBC5BE，AD 90，根据勾股定理求出 AE4，求出DE1，根据勾股定理求出 CE，求出 CH，解直角三角形求出即可【解答】解：连接
29、 CE 交 BF 于 H，连接 BE，四边形 ABCD 是矩形，AB3，BC5，ABCD3，ADBC5BE，AD 90，由勾股定理得：AE 4，DE541，由勾股定理得：CE ，由垂径定理得：CHEH CE ，在 Rt BHC 中，由勾股定理得：BH ，所以 tanFBC 故答案为： 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形，垂径定理的应用，能正确作出辅助线并构造出直角三角形是解此题的关键19 （5 分）如图，已知四边形 OABC 是菱形，CDx 轴，垂足为 D，函数 的图象经过点 C，且与 AB 交于点 E若 OD2，则OAE 的面积为 2 2 【分析】过 E 作 EF 垂直于
30、x 轴，由 OD 的长得到 C 的横坐标，代入反比例解析式求出纵坐标，确定出 CD 的长，利用勾股定理求出 OC 的长，即为 OA 的长，设EFAFx ，表示出 E 坐标，代入反比例解析式求出 x 的值，确定出 EF 的长，即可求出三角形 OAE 面积【解答】解：过点 E 作 EFx 轴，交 x 轴于点 F，OD2，即 C 横坐标为 2，把 x2 代入反比例解析式得：y2，即 C（2，2） ，CDOD2，即OCD 为等腰直角三角形，四边形 ABCO 为菱形，OCAB ，OAOC2 ，EAF 45，设 EFAFx ，则有 OFOA+AF2 +x，E（2 +x，x ） ，把 E 坐标代入反比例解析
31、式得：x（2 +x）4，解得：x + （负值舍去） ，则OAE 面积 S OAEF 2 （ + ） 2 2故答案为：2 2【点评】此题考查了菱形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键20 （5 分）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入 x 的值为 625，则第 2019 次输出的结果为 5 【分析】把 x625 代入计算即可求出所求【解答】解：当 x625 时，原式 625125，当 x125 时，原式 12525，当 x25 时，原式 255，当 x5 时，原式 51，当 x1 时，原式1+45，依此类推，以 5，1 循
32、环，（20192）210081，第 2019 次输出的结果为 5，故答案为：5【点评】此题考查了代数式求值，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键三、解答题：本大题共 6 个小题，满分 74 分，解答时请写出必要的演推过程21 （10 分）先化简，再求值 （1 ） ，其中 a2【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则法化简原式，再将 a 的值代入计算可得【解答】解：原式 1 （ ） ，当 a2 时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则22 （12 分）张师傅驾车从甲地去乙地，途中在加油站加了一次油，加油时，车载电脑显示还能行
33、驶 50 千米假设加油前、后汽车都以 100 千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量 y（升）与行驶时间 t（小时）之间的关系如图所示（1）求张师傅加油前油箱剩余油量 y（升）与行驶时间 t（小时）之间的关系式；（2）求出 a 的值；（3）求张师傅途中加油多少升？【分析】 （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案；（2）首先求出 y0 时，t 的值，进而得出 a 的值；（3）根据汽车的耗油量以及剩余油量和加油量之间关系得出等式求出答案【解答】解：（1）设加油前函数解析式为 ykt+b（k0） ，把（0，28）和（1，20）代入，得 ，解得： ，故张师傅加油前油箱剩余油量 y
34、（升）与行驶时间 t（小时）之间的关系式为：y8t+28；（2）当 y0 时，8t+28 0，解得：t ，加油时，车载电脑显示还能行驶 50 千米，加油前、后汽车都以 100 千米/小时的速度匀速行驶，剩余油量可以行使 小时，故 a 3；（3）设途中加油 x 升，则 28+x348 ，解得：x46，答：张师傅途中加油 46 升【点评】此题主要考查了一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题关键23 （12 分）景观大道要进行绿化改造，已知购买 A 种树苗 3 棵，B 种树苗 4 棵，需要 370元；购买 A 种树苗 5 棵，B 种树苗 2 棵，需要 430 元（1）求购买 A，B 两种树苗每
35、棵各需多少元？（2）现需购买这两种树苗共 100 棵，要求购买这两种树苗的资金不超过 5860 元，求最多能购买多少棵 A 种树苗？【分析】 （1）设购进 A 种树苗的单价为 x 元/ 棵，购进 B 种树苗的单价为 y 元/棵，根据“购买 A 种树苗 3 棵，B 种树苗 4 棵，需要 370 元；购买 A 种树苗 5 棵，B 种树苗 2 棵，需要 430 元” ，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设需购进 A 种树苗 m 棵，则购进 B 种树苗（100m ）棵，根据总价单价购买数量结合购买两种树苗的总费用不多于 5860 元，即可得出关于 m 的一元一次不等式，解
36、之取其中的最小值即可得出结论【解答】解：（1）设购进 A 种树苗的单价为 x 元/ 棵，购进 B 种树苗的单价为 y 元/棵，则解得 ，答：购买 A，B 两种树苗每棵分别需 70 元，40 元（2）设购进 A 种树苗 m 棵，则70m+40（100 m）5860解得 m62最多能购买 62 棵 A 种树苗【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式24 （13 分）如图，点 D 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点，连接 BD，点 C 是 的中点，过点 C 作直线 BD
37、的垂线，垂足为点 E求证：（1）CE 是半圆 O 的切线；（2）BC 2ABBE【分析】 （1）连接 OC，根据圆周角定理得到ABC DBC，根据等腰三角形的性质得到OCBOBC，等量代换得到OCBCBD，推出 OCBD，根据平行线的性质得到 OCCE，于是得到结论；（2）连接 AC，由 AB 是O 的直径，得到ACB 90，根据相似三角形的性质即可得到结论【解答】证明：（1）连接 OC，点 C 是 的中点， ，ABCDBC，OCOB，OCBOBC，OCBCBD，OCBD，CEBE，OCCE，CE 是半圆 O 的切线；（2）连接 AC，AB 是O 的直径，ACB90，CEBE，E90，EACB
38、，ABCCBD，ABCCBE， ，BC 2ABBE【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键25 （13 分）定义：有一个内角为 90，且对角线相等的四边形称为准矩形（1） 如图 1，准矩形 ABCD 中，ABC 90，若 AB2，BC3，则 BD ；如图 2，直角坐标系中， A（0，3） ，B（5，0） ，若整点 P 使得四边形 AOBP 是准矩形，则点 P 的坐标是 （5，3） ， （3，5） ；（整点指横坐标、纵坐标都为整数的点）（2）如图 3，正方形 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AD、AB 上的点，且 CFBE，求证：四边形
39、BCEF 是准矩形；（3）已知，准矩形 ABCD 中，ABC90，BAC 60，AB2，当ADC 为等腰三角形时，请直接写出这个准矩形的面积是 + ， + ，2 【分析】 （1）利用准矩形的定义和勾股定理计算，再根据准矩形的特点和整点的特点求出即可；（2）先利用正方形的性质判断出ABEBCF ，即可；（3）分三种情况分别计算，用到梯形面积公式，对角线面积公式，对角线互相垂直的四边形的面积计算方法【解答】解：（1）ABC90，BD ，故答案为 ，A（0，3） ，B （5，0） ，AB ，设点 P（m，n） ，O（0，0） ，OP ，m，n 都为整数，点 P（3，5）或（5，3） ；故答案为 P（
40、3，5）或（5，3） ；（2）四边形 ABCD 是正方形，ABBCAABC90 ，EAF +EBC 90，BECF，EBC+ BCF90，EBF BCF，ABE BCF，BECF，四边形 BCEF 是准矩形；（3） ， ，ABC90，BAC60，AB2，BC2 ，AC4，准矩形 ABCD 中，BDAC4，当 ACAD 时，如图 1，作 DEAB ，AEBE AB1，DE ，S 准矩形 ABCDS ADE +S 梯形 BCDE DEAE+ （BC+DE） BE + （2 + ）1 + ；当 ACCD 时，如图 2，作 DFBC，BDCD，BFCF BC ，DF ，S 准矩形 ABCDS DCF
41、+S 梯形 ABFD FCDF+ （AB+DF） BF + （2+ ） + ；当 ADCD，如图 3，连接 AC 中点和 D 并延长交 BC 于 M，连接 AM，连接 BG，过 B 作 BHDG，在 Rt ABC 中，AC2AB 4，BDAC4，AG AC2，AB2，ABAG ，BAC60，ABG60，CBG30在 Rt BHG 中，BG2， BGH30，BH1，在 Rt BHM 中，BH1， CBH30，BM ，HM ，CM ，在 Rt DHB 中，BH1，BD4，DH ，DMDH MH ，S 准矩形 ABCDS ABM +S 四边形 AMCD， BMAB+ ACDM 2+ 4（ ）2 ；故
42、答案为 + ， + ，2 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了新定义，勾股定理，梯形面积公式，对角线面积公式，三角形面积公式，分情况计算是解本题的难点26 （14 分）如图，抛物线 yx 2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，B 点坐标为（3，0） ，与 y轴交于点 C（0，3） （1）求抛物线 yx 2+bx+c 的表达式；（2）点 D 为抛物线对称轴上一点，当 BCD 是以 BC 为直角边的直角三角形时，求点D 的坐标；（3）点 P 在 x 轴下方的抛物线上，过点 P 的直线 yx+m 与直线 BC 交于点 E，与 y 轴交于点 F，求 PE+EF 的最大值【分析】 （1）利用待定
43、系数法求抛物线解析式；（2）如图 1，设 D（2，y） ，利用两点间的距离公式得到BC23 2+3218 ，DC 24+（y3） 2，BD 2（32） 2+y21+y 2，然后讨论：当 BD为斜边时得到 18+4+（y 3） 21+y 2；当 CD 为斜边时得到 4+（y3） 21+y 2+18，再分别解方程即可得到对应 D 的坐标；（3）先证明CEF90得到ECF 为等腰直角三角形，作 PHy 轴于 H，PG y 轴交 BC 于 G，如图 2，EPG、PHF 都为等腰直角三角形，则PE PG，PF PH，设 P（t，t 24t+3） （1t3） ，则 G（t，t +3） ，接着利用t 表示
44、PF、PE，这样 PE+EF2PE+PF t2+4 t，然后利用二次函数的性质解决问题【解答】解：（1）把 B（3，0） ，C（0，3）代入 yx 2+bx+c 得 ，解得，抛物线 yx 2+bx+c 的表达式为 yx 24x+3；（2）如图 1，抛物线的对称轴为直线 x 2，设 D（2，y） ，B（3，0） ，C（0，3） ，BC 23 2+32 18，DC 24+（y3） 2，BD 2（32） 2+y21+y 2，当BCD 是以 BC 为直角边， BD 为斜边的直角三角形时，BC 2+DC2BD 2，即18+4+（ y3） 21+ y2，解得 y5，此时 D 点坐标为（2，5） ；当BCD
45、 是以 BC 为直角边， CD 为斜边的直角三角形时，BC 2+DB2DC 2，即4+（y3） 21+y 2+18，解得 y1，此时 D 点坐标为（ 2，1） ；（3）易得 BC 的解析式为 yx+3，直线 yx+m 与直线 yx 平行，直线 yx+3 与直线 yx+m 垂直，CEF90，ECF 为等腰直角三角形，作 PHy 轴于 H，PGy 轴交 BC 于 G，如图 2，EPG、PHF 都为等腰直角三角形，PE PG，PF PH，设 P（t，t 24t+3） （1t3） ，则 G（t ，t+3） ，PF PH t，PGt+3（t 24t+3）t 2+3t，PE PG t2+ t，PE+EFPE+ PE+PF2PE+ PF t2+3 t+ t t2+4 t