1、正方形【基础练习】知识点 1 正方形的性质1正方形的对称轴有( )A1 条 B2 条 C3 条 D4 条2若正方形的周长为 40，则其对角线的长为( )A100 B20 C10 D102 23矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A对角线相等 B对角线互相平分C对角线平分一组对角 D对角线互相垂直4如图 1，在正方形 ABCD的外侧作等边三角形 ADE，则AEB 的度数为( )图 1A10 B12.5 C15 D205如图 2，在正方形 ABCD中，F 为 CD上一点，BF 与 AC交于点 E，连接 DE.若CBF20，则AED_.图 262017广安 如图 3，四边形 ABCD是正方形，E，
2、F 分别是边 AB，AD 上的点，且BFCE，垂足为 G.求证：AFBE.图 3知识点 2 正方形的判定7已知在四边形 ABCD中，ABC90，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是( )AD90 BABCD CADBC DBCCD82017齐齐哈尔 矩形 ABCD的对角线 AC，BD 相交于点 O，请你添加一个适当的条件：_，使其成为正方形(只填一个即可)9如图 4所示，在ABC 中，ABC90，BD 平分ABC，DEBC，DFAB，垂足分别为E，F.求证：四边形 BEDF是正方形图 4102018舟山 如图 5，等边三角形 AEF的顶点 E，F 在矩形 ABCD的边
3、 BC，CD 上，且CEF45.求证：矩形 ABCD是正方形图 5【能力提升】11小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了一道题，从下列四个条件：ABBC，ABC90，ACBD，ACBD 中选两个作为补充条件，使ABCD 为正方形(如图 6)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )图 6A B C D12如图 7，大正方形中有 2个小正方形，如果它们的面积分别是 S1，S2，那么 S1，S2 的大小关系是( )图 7AS1S2 BS1S2CS1S2 D无法确定132017张家界 如图 8，在正方形 ABCD中，AD2 ，把边 BC绕点 B逆时针旋转 303得到线段 BP，连接 AP并延长交
4、CD于点 E，连接 PC，则PCE 的面积为_图 814如图 9，正方形 ABCD的边长为 4，E 为 BC上一点，BE1，F 为 AB上一点，AF2，P为 AC上一个动点，则 PFPE 的最小值为_图 915如图 10，过正方形 ABCD的顶点 D作 DEAC 交 BC的延长线于点 E.(1)判断四边形 ACED的形状，并说明理由；(2)若 BD2 cm，求线段 BE的长2图 10162017青岛 已知：如图 11，在菱形 ABCD中，E，O，F 分别为 AB，AC，AD 的中点，连接 CE，CF，OE，OF.(1)求证：BCEDCF；(2)当 AB与 BC满足什么关系时，四边形 AEOF是
5、正方形？请说明理由图 1117如图 12，在正方形 ABCD中，E 是 AB上一点，F 是 AD延长线上一点，且 DFBE.(1)试说明 CECF，BCEDCF；(2)如图，若点 G在 AD上，且GCE45，则 GEBEGD 成立吗？为什么？(3)运用(1)(2)中积累的经验和知识，完成下题：如图，在梯形 ABCG中，AGBC，BCAG，B90，ABBC6，E 是 AB上一点，且GCE45，BE2，求 GE的长图 12参考答案1D 解析 正方形的对称轴是两条对角线所在的直线以及两组对边中点所在的直线，共4条2C3B4C 解析 四边形 ABCD是正方形，ADE 是等边三角形，ABADAE，ABE
6、 是等腰三角形又BAEBADDAE9060150，AEB15.565 解析 在正方形 ABCD中，DCEBCE45，CBCD.在CDE 和CBE 中，CDCB，DCEBCE，CECE，CDECBE(SAS)，CDECBE20.AED 是DCE 的外角，AEDCDEDCE65.6证明：四边形 ABCD是正方形，ABBC，ACBE90，ABFCBG90.BFCE，BCECBG90，BCEABF.在ABF 和BCE 中，ABFBCE，ABBC，ACBE，ABFBCE(ASA)，AFBE.7D8ABBC(答案不唯一) 9证明：ABC90，DEBC，DFAB，BFDBEDABC90，四边形 BEDF是矩
7、形又BD 平分ABC，DEBC，DFAB，DEDF，矩形 BEDF是正方形10解析 先判断出 AEAF，AEFAFE60，进而求出AFDAEB75，进而判断出AEBAFD，即可证明结论证明：四边形 ABCD是矩形，BDC90.AEF 是等边三角形，AEAF，AEFAFE60.CEF45，CFECEF45，AFDAEB180456075，AEBAFD(AAS)，ABAD，矩形 ABCD是正方形11B12A 解析 如图，设大正方形的边长为 x，根据等腰直角三角形的性质，知AC BC，BCCE CD，2 2AC2CD，CD x，13S2 x2.29而 S1 x2，14S1S2.故选 A.1395 解
8、析 四边形 ABCD是正方形，ABC90.3把边 BC绕点 B逆时针旋转 30得到线段 BP，BPBCAB，PBC30，ABP60，ABP 是等边三角形，DAE30，APAB2 .3AD2 ，3AE4，DE2，CE2 2，PE42 .3 3过点 P作 PFCD 于点 F，PF2 3，3PCE 的面积 CEPF (2 2)(2 3)95 ，12 12 3 3 3故答案为 95 .314. 解析 如图，作点 F关于 AC的对称点 M，17则点 M在 AD上，且 AMAF2，连接 EM交 AC于点 P，此时 PEPF 的值最小，最小值为 EM的长过点 M作 MNBC 于点 N.由题意可知 ENBNB
9、EAMBE211，MN4，所以 EM .EN2 MN2 12 42 1715解：(1)四边形 ACED是平行四边形理由：四边形 ABCD是正方形，ADBC，即 ADCE.又DEAC，四边形 ACED是平行四边形(2)四边形 ABCD是正方形，ACBD，ACBD.ACED 中，DEAC，DEAC，BDDE，DEBD2 cm.2在 RtBDE 中，由勾股定理，得 BE4 cm.16解：(1)证明：四边形 ABCD是菱形，BD，ABBCDCAD.E，F 分别为 AB，AD 的中点，AEBEDFAF.在BCE 和DCF 中，BEDF，BD，BCDC，BCEDCF(SAS)(2)当 ABBC 时，四边形
10、 AEOF是正方形理由：由题意，得 AEOEOFAF，OEBC，四边形 AEOF是菱形又ABBC，ABOE，AEO90，菱形 AEOF是正方形17解：(1)四边形 ABCD是正方形，BCDC，BCDG90，BCDF90.又BEDF，CBECDF(SAS)，CECF，BCEDCF.(2)GEBEGD 成立理由：由(1)知BCEDCF，ECDBCEECDDCF，即BCDECF90.GCE45，GCFGCE45.在ECG 和FCG 中，CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG(SAS)，GEGF.GFDFGDBEGD，GEBEGD.(3)如图，过点 C作 CDAG，交 AG的延长线于点 D.AGBC，B90，AB90.CDAD，D90，四边形 ABCD为矩形又ABBC，矩形 ABCD为正方形，ADBC6.已知GCE45，根据(1)(2)可知 GEBEGD.设 GEx，则 GDx2，AG8x.在 RtAEG 中，由勾股定理，得 GE2AG2AE2，即 x2(8x)242，解得 x5，GE5.