1、矩形的性质【基础练习】知识点 1 矩形的定义1在ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，增加下列哪个条件，就能判定它是矩形( )AABCADC180 BABBCCAOCO，BODO DABCD知识点 2 矩形的性质2如图 1，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，以下说法错误的是( )图 1AABC90 BACBD COAOB DOAAD3. 如图 2 所示，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB，CD 于点 E，F，则阴影部分的面积是矩形 ABCD 面积的( )图 2A. B. C. D.15 14 13 31042017兰州 如图 3，矩形 ABCD
2、 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，ADB30，AB4，则OC 等于( )图 3A5 B4 C3.5 D35如图 4，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 AO1，则 BD_图 462018株洲 如图 5，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，AC10，P，Q 分别为AO，AD 的中点，则 PQ 的长度为_图 57教材例 1 变式 如图 6，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，若 AC6 cm，BOC120，求矩形 ABCD 的面积图 682018湘西州 如图 7，在矩形 ABCD 中，E 是 AB 的中点，连接 DE，CE.(1)
3、求证：ADEBCE；(2)若 AB6，AD4，求CDE 的周长图 7【能力提升】9如图 8，在矩形 ABCD 中，BC6，CD3，将BCD 沿对角线 BD 翻折，使点 C 落在点 C处，BC交 AD 于点 E，则线段 DE 的长为( )图 8A3 B. C5 D.154 15210如图 9，P 是矩形 ABCD 的边 AD 上一动点，矩形的两条边 AB，BC 的长分别是 6 和 8，则点 P 到矩形的两条对角线 AC 和 BD 的距离之和是( )图 9A4.8 B5 C6 D7.211如图 10，在矩形 ABCD 中，AB3，对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 垂直平分 OB 于点 E，则
4、 AD 的长为_图 1012已知：如图 11 所示，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，且 AEBC，EDC15.求证：AD2AB.图 1113如图 12 所示，在矩形 ABCD 中，AE 平分BAD，115.(1)求2 的度数；(2)求证：BOBE.图 1214如图 13，在矩形 ABCD 中，AB12 cm，BC6 cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始以 2 cm/s的速度向点 B 移动，点 Q 沿 DA 边从点 D 开始以 1 cm/s 的速度向点 A 移动如果 P，Q 同时出发，用 t(s)表示移动时间(0t6)(1)直接写出 AQ，PB 的长(用含 t 的式子表示)；(2
5、)当 t 为何值时，APQ 是等腰直角三角形？(3)求四边形 APCQ 的面积，并写出一个与计算结果有关的结论图 13参考答案1A 2.D3. B 解析 由对称性可知OEBOFD，阴影部分的面积OAB 的面积 矩形 ABCD 的面积故选 B. 144B 解析 四边形 ABCD 是矩形，ACBD，OAOC，BAD90.ADB30，ACBD2AB8，OC AC4.12故选 B.52 解析 四边形 ABCD 是矩形，AOCOBODO1，BD2.62.5 解析 四边形 ABCD 是矩形，ACBD10，BODO BD，12DO BD5.12P，Q 是 AO，AD 的中点，PQ 是AOD 的中位线，PQ
6、DO2.5.12故答案为 2.5.7解：在矩形 ABCD 中，OBOC，ABC90.BOC120，ACB (180BOC) (180120)30，12 12AB AC 63(cm)12 12在 RtABC 中，BC 3 ，AC2 AB2 62 32 3矩形 ABCD 的面积ABBC9 .38解析 (1)由全等三角形的判定定理 SAS 证得结论；(2)由(1)中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段 DE 的长度，结合三角形的周长公式解答解：(1)证明：在矩形 ABCD 中，ADBC，AB90.E 是 AB 的中点，AEBE.在ADE 与BCE 中， AD BC， A B，AE BE， )AD
7、EBCE(SAS)(2)由题意，知ADEBCE，ABCD，DECE.在 RtADE 中，AD4，AE AB3，12由勾股定理，知 DE 5，AD2 AE2 42 32CDE 的周长2DECD2DEAB25616.9B 解析 由翻折和平行线的性质可得CBDDBE，CBDADB，DBEADB，DEBE.由矩形的性质得ABCD3，ADBC6，A90.设 DEx，则 AE6x.在 RtABE 中，AB2AE2BE2，即 32(6x)2x2，解得 x .故选 B.15410A 解析 连接 OP，矩形的两条边 AB，BC 的长分别为 6 和 8，S 矩形 ABCDABBC48，OAOC，OBOD，ACBD
8、10，OAOD5，SACD S 矩形 ABCD24，12SAOD SACD12，12SAODSAOPSDOP OAPE ODPF 5PE 5PF 5(PEPF)12 12 12 12 1212，解得 PEPF4.8.故选 A.113 312证明：四边形 ABCD 是矩形，BADC90，ADBC，ADBC.EDC15，ADEADCEDC901575.AEBC，AEAD，AEDADE75，DAE30.ADBC，AEBDAE30，AE2AB.ADAE，AD2AB.13解：(1)四边形 ABCD 是矩形，BADABC90.AE 平分BAD，BAEDAE45，AEB904545，245130.(2)证明
9、：四边形 ABCD 是矩形，ACBD，AO AC，BO BD，12 12AOBO.由题意得230，ABC90，BAO60，ABO 是等边三角形，BOAB.又BAEAEB45，BEAB，BOBE.14解：(1)AQ(6t)cm，PB(122t)cm.(2)若APQ 为等腰直角三角形，则 AQAP.根据题意，知 AQ(6t)cm，AP2t cm，则 6t2t，解得 t2 s.即当 t2 s 时，APQ 是等腰直角三角形(3)四边形 APCQ 的面积矩形 ABCD 的面积三角形 CDQ 的面积三角形 PBC 的面积，即四边形 APCQ 的面积72 t12 6(122t)723636(cm2)12 12可得结论：四边形 APCQ 的面积是矩形 ABCD 面积的一半