1、2019 年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1 （3 分）2019 的绝对值是（ ）A2019 B2019 C D2 （3 分）如图，直线 ab，160，则2（ ）A30 B60 C135 D1203 （3 分）如图所示的几何体的主视图是（ ）A B C D4 （3 分）下列计算正确的是（ ）A3x2x1 Bx（x 2）x 3 C （x 3） 2x 6 Dx 2x25 （3 分）若|xy2|+ 0，则 x，y 的值为（ ）A B C D6 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 的长分别为 6，sin ABD ，则这个菱形的周长是（ ）A20 B2
2、4 C14 D327 （3 分）已知O 的直径 CD4，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M，且 AB2 ，则ACD 等于（ ）A30 B60 C30或 60 D45或 608 （3 分）如图，直线 y x+1 分别交 x 轴、y 轴于点 A、C，点 B 是点 A 关于 y 的对称点，点 D 是线段 BC 上一点，把ABD 沿 AD 翻折使 AB 落在射线 AC 上，得ABD ，则ABC 与AB D 重叠部分的面积为（ ）A B C D二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）9 （3 分）函数 y 中自变量 x 的取值范围是 10 （3 分）若一个等腰三角形的顶角等于 40，则它的底角等于
3、 11 （3 分）若点（2，3）在反比例数 的图象上，则 k 的值是 12 （3 分）分解因式：3x 26xy+3y 2 13 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+kx60 有一个根为 ，则方程的另一个根为 14 （3 分）如图，1 是五边形 ABCDE 的一个外角若160，则A+B+ C+ D 的度数为 15 （3 分）如图，直线 L：y x，点 A 坐标为（0，1） ，过点 A 作 y 轴的垂线交直线 L于点 B1 以 OB1 为边作等边三角形 OA1B1，再过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 L 于点 B2，以OB2 为边作等边三角形 OA2B2，按此做法进行下去，点 A201
4、9 的坐标为 16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，ABBC，点 E 为 CD 边的中点，连接 AE 并延长与BC 的延长线交于点 F，过点 E 作 EMAF 交 BC 于点 M，连接 AM 与 BD 交于点 N，现有下列结论：AM MF；ME 2MCAM； （sinDAE） 2；点 N 是四边形 ABME 的外接圆的圆心，其中正确结论的序号是 三、 （每题 8 分，共 16 分）17 （8 分）化简 并求当 x 的值18 （8 分）如图，AE 和 BD 相交于点 C，ABED，ACEC求证：ABDE四、 （每题 10 分，共 20 分）19 （10 分）初三上学期期末考试后，数学老师将
5、九年一班的数学成绩制成如图所示的统计图（满分 150 分，每组含最低分，不含最高分） ，并给出如下信息：第二组频率是0.15； 第二、四组的频率和是 0.4； 自左至右第三，四，五，六，七组的频数比9：10：7：3：3请你结合统计图解答下列问题：（1）九年一班学生共有 人；（2）求九年一班在 110120 分数段的人数；（3）如果成绩不少于 120 分为优秀，那么全年级 800 人中成绩达到优秀的大约多少人？20 （10 分）如图，在一不规则区域内，有一边长为 3 米的正方形，向区域内随机地撒4000 颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆有 1350 颗，以此实验数据为依据，可以估计出
6、该不规则图形的面积（1）随机向不规则区域内掷一粒黄豆，求黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率；（2）请你估计出该不规则图形的面积；五、 （每题 10 分，共 20 分）21 （10 分）如图，小明在热气球从 A 点测得正前方河流两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，河流 BC 的宽度为 120（ 1）m 求热气球距地面 AD 的高度22 （10 分）如图，直线 yx+4 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，P 是反比例函数y （x 0） ，图象上位于直线 yx+4 下方的一点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 M，交 AB 于点 E，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为点 N，交 AB
7、 于点 F，并且AFBE4（1）求 k 的值；（2）若反比例函数 y 与一次函数 yx +4 交于 C、D 两点，求三角形 OCD 的面积六、 （每题 10 分，共 20 分）23 （10 分）如图，ABC 内接于O，AB AC，ABC72，过点 A 作 BC 的平行线与ABC 的平分线交于点 D，BD 交 AC 于点 E，交O 于点 F，连接 AF（1）求证：AD 是O 的切线；（2）已知 BC2，求 EF 的长24 （10 分）一辆轿车从甲城驶往乙城，同时一辆卡车从乙城驶往甲城，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达乙城停留一段时间后按原路返回：卡车到达甲城比轿车返回甲城早0.5 小时，两车到达
8、甲城后均停止行驶，两车距离甲城的路程 y（km）与出发时间t（h）之间的关系如图 1 所示，请结合图象提供的信息解答下列问题：（1）求轿车和卡车的速度；（2）求 CD 段的函数解析式；（3）若设在行驶过程中，轿车与卡车之间的距离为 S（km）行驶的时间为 t（h） ，请你在图 2 中画出 S（km）关于 t（h）函数的图象，并标出每段函数图象端点的坐标七、 （本题 12 分）25 （12 分）在四边形 ABCD 中，点 E 是线段 AC 上一点，BECD，BECBAD（1）如图 1 已知 ABAD ；找出图中与DAC 相等的角，并给出证明；求证： AECD ；（2）如图 2，若 BCED， ，
9、BEC45，求 tanABE 的值八、 （本题 14 分）26 （14 分）如图，已知抛物线 yax 2+ x+4 的对称轴是直线 x3，且与 x 轴交于 A、B两点（点 B 在点 A 的右侧） ，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）以 BC 为边作正方形 CBDE，求对角线 BE 所在直线的解析式；（3）点 P 是抛物线上一点，若APB45，求出点 P 的坐标2019 年辽宁省鞍山市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 24 分）1 （3 分）2019 的绝对值是（ ）A2019 B2019 C D【分析】直接利用绝对值的定义进而得出答案【解答】解：
10、2019 的绝对值是：2009故选：A【点评】此题主要考查了绝对值，正确把握绝对值的定义是解题关键2 （3 分）如图，直线 ab，160，则2（ ）A30 B60 C135 D120【分析】根据平行线的性质得出13，进而利用邻补角解答即可【解答】解：ab，160，360，2120，故选：D【点评】本题考查了平行线的性质，关键是根据平行线的性质得出133 （3 分）如图所示的几何体的主视图是（ ）A B C D【分析】根据主视图是从正面看到的图形，可得答案【解答】解：从正面看是一个长方形，如图所示：故 C 选项符合题意，故选：C【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形画出来就是主
11、视图4 （3 分）下列计算正确的是（ ）A3x2x1 Bx（x 2）x 3 C （x 3） 2x 6 Dx 2x2【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则和幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断求出答案【解答】解：A、3x 2x x，故此选项错误；B、x（ x 2）x 3，故此选项错误；C、 （x 3） 2 x6，故此选项正确；D、x 2xx，故此选项错误故选：C【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、合并同类项等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键5 （3 分）若|xy2|+ 0，则 x，y 的值为（ ）A B C D【分析】利用非负数的性质列出方程组，求出方程组的解即可得
12、到 x 与 y 的值【解答】解：|x y2|+ 0， ，+得：2x 6，解得：x3，得：2y2，解得：y1，则方程组的解为 ，故选：A【点评】此题考查了解二元一次方程组，以及非负数的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键6 （3 分）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 的长分别为 6，sin ABD ，则这个菱形的周长是（ ）A20 B24 C14 D32【分析】首先在直角三角形 ABO 中利用锐角三角函数求得 AB 的长，然后求得周长即可【解答】解：四边形 ABCD 为菱形，ACBD，AC6，AO3，sinABD ，ABAO sinABD 5，周长为 20，故选：A【点评】本题考查了菱形的性
13、质及解直角三角形的知识，解题的关键是能够利用解直角三角形的知识求得边长，难度不大7 （3 分）已知O 的直径 CD4，AB 是O 的弦，ABCD，垂足为 M，且 AB2 ，则ACD 等于（ ）A30 B60 C30或 60 D45或 60【分析】画出图形，根据垂径定理求出 AM，根据勾股定理求出 OM，求出OAM ，即可求出答案【解答】解：连接 OA，CD 是O 的直径，AB 是O 的弦，ABCD，AMO90，AMBM AB ，AO CD2，由勾股定理得：OM 1 ，OM OA，OAM30，AOC60，OAOC，AOC 是等边三角形，ACD60；当 C 和 D 互换一下位置，如图，CD 是O
14、的直径，CAD90，此时ACD180906030；所以ACD30或 60，故选：C【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，垂径定理等知识点，能求出OAB30是解此题的关键8 （3 分）如图，直线 y x+1 分别交 x 轴、y 轴于点 A、C，点 B 是点 A 关于 y 的对称点，点 D 是线段 BC 上一点，把ABD 沿 AD 翻折使 AB 落在射线 AC 上，得ABD ，则ABC 与AB D 重叠部分的面积为（ ）A B C D【分析】首先过点 D 作 DEAB于点 E，由直线的解析式和轴对称的性质求得CABB 30，AB 2 ，利用勾股定理即可求得 AC 的长，又由折叠的性质，易得CDB
15、90，B30，BC ABAC2 2，继而求得 CD 与BD 的长，然后求得高 DE 的长，继而求得答案【解答】解：过点 D 作 DEAB于点 E，直线 y x+1 分别交 x 轴、 y 轴于点 A、C，OA ，OC1，OAC 30，AC 2，点 B 是点 A 关于 y 的对称点，OAOB ，ACBC2，AB2 ，OBCOAC30，由折叠的性质得：ABAB2 ，BABC30，BCDCAB+ABC60，CDB90，BCAB AC2 2，CD BC 1，B DBCcosB（2 2） 3 ，DE ，S 重叠 ACDE 2 故选：A【点评】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，折叠的性质，轴对称的性质、
16、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系二、填空题（每小题 3 分，共 24 分）9 （3 分）函数 y 中自变量 x 的取值范围是 4x3 【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案【解答】解：由题意，得3x0，x+4 0，解得：4x3，故答案为：4x3【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式是解题关键10 （3 分）若一个等腰三角形的顶角等于 40，则它的底角等于 70 【分析】已知给出了等腰三角形的顶角等于 40，利用等腰三角形的性质及三角形内角
17、和定理直接刻求得答案【解答】解：等腰三角形的顶角等于 40，又等腰三角形的底角相等，底角等于（18040） 70故答案为：70【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键11 （3 分）若点（2，3）在反比例数 的图象上，则 k 的值是 6 【分析】把（2，3）代入反比例函数 y 得到关于 k 的一元一次方程，解之即可【解答】解：把（2，3）代入反比例函数 y 得：3，解得：k6，故答案为：6【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键12 （3 分）分解因式：3x 26xy+3y 2 3（xy ） 2 【分析】先提取公因
18、式 3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解【解答】解：3x 26xy+3y 2，3（x 22xy+y 2） ，3（xy） 2故答案为：3（xy ） 2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止13 （3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2+kx60 有一个根为 ，则方程的另一个根为 12 【分析】设方程的另一个根为 m，由根与系数的关系可得出关于 m 的一元一次方程，解之即可得出结论【解答】解：设方程的另一个根为 m，依题意，得： m6，解得：m12故答案为：12【点评】本题
19、考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及一元一次方程的应用，牢记“两根之积等于 ”是解题的关键14 （3 分）如图，1 是五边形 ABCDE 的一个外角若160，则A+B+ C+ D 的度数为 420 【分析】根据补角 的定义得到AED120，根据五边形的内角和即可得到结论【解答】解：160，AED120，A+B+C +D540AED420故答案为：420【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键15 （3 分）如图，直线 L：y x，点 A 坐标为（0，1） ，过点 A 作 y 轴的垂线交直线 L于点 B1 以 OB1 为边作等边三角形 OA1B1，再过点 A1 作 y
20、 轴的垂线交直线 L 于点 B2，以OB2 为边作等边三角形 OA2B2，按此做法进行下去，点 A2019 的坐标为 （0，2 2018） 【分析】先根据一次函数方程式求出 B1 点的坐标，在根据 B1 点的坐标求出 A2 点的坐标，由此得到点 A4 的坐标，以此类推总结规律便可求出点 An 的坐标，进而求得 A2019的坐标【解答】解：直线 y x，点 A 坐标为（0，1） ，过点 A1 作 y 轴的垂线交直线 L 于点B1，可知 B1 点的坐标为（ ，1） ，以 OB1 为边作等边三角形 OA2B1，再过点 A2 作 y 轴的垂线交直线 L 于点B2，OA 2OB 12OA 12，点 A2
21、 的坐标为（0，2） ，这种方法可求得 B2 的坐标为（2 ，2） ，故点 A3 的坐标为（0，4） ，B 3 的坐标为（4 ，4） ，点 A4 的坐标为（0，8） ，B 4 的坐标为（8 ，8） ，此类推便可求出点 An 的坐标为（0，2 n1 ） 所以点 A2019 的坐标为（0，2 2018） 故答案为：（0，2 2018） 【点评】本题主要考查了一次函数的应用，做题时要注意数形结合思想的运用，是各地的中考热点，学生在平常要多加训练，属于中档题16 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，ABBC，点 E 为 CD 边的中点，连接 AE 并延长与BC 的延长线交于点 F，过点 E 作 EM
22、AF 交 BC 于点 M，连接 AM 与 BD 交于点 N，现有下列结论：AM MF；ME 2MCAM； （sinDAE） 2；点 N 是四边形 ABME 的外接圆的圆心，其中正确结论的序号是 【分析】 正确利用全等三角形的性质证明 AEEF 即可解决问题正确证明MECMFE 即可解决问题错误证明ADEECM，可得 （ ） 2（ ） 2（tanDAE） 2错误说明点 N 不是线段 AM 的中点，即可判断【解答】解：四边形 ABC 都是正方形，ADBF，DAEF，AEDFEC，DEEC，ADEFCE（AAS） ，AEEF，MEAF，MANF，故 正确，EMCEMF，ECMMEF，MECMFE，M
23、E：MFMC：ME ，ME 2MCMFMCAM ，故 正确，AEM 90 ，ADE ECM90，AED+MEC90，MEC+EMC90，AEDEMC，ADEECM， （ ） 2（ ） 2（tanDAE） 2，故错误，ABM AEM90，A，B，M ，E 四点共圆，四边形的外接圆的圆心是线段 AM 的中点，显然点 N 不是 AM 的中点，故错误故答案为 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题三、 （每题 8 分，共 16 分）17 （8 分）化简 并求当 x 的值【分析】先根
24、据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得【解答】解：原式 ，当 x 时，原式3+2 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则18 （8 分）如图，AE 和 BD 相交于点 C，ABED，ACEC求证：ABDE【分析】依据 AAS 证明两个三角形全等，进而利用全等三角形的性质解答【解答】证明：ABBE ，AE ，B D，在ABC 与EDC 中，ABCEDC（AAS）ABDE 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是依据 AAS 证明两个三角形全等四、 （每题 10 分，共 20 分）19 （10 分）初三上学期期末考试后
25、，数学老师将九年一班的数学成绩制成如图所示的统计图（满分 150 分，每组含最低分，不含最高分） ，并给出如下信息：第二组频率是0.15； 第二、四组的频率和是 0.4； 自左至右第三，四，五，六，七组的频数比9：10：7：3：3请你结合统计图解答下列问题：（1）九年一班学生共有 40 人；（2）求九年一班在 110120 分数段的人数；（3）如果成绩不少于 120 分为优秀，那么全年级 800 人中成绩达到优秀的大约多少人？【分析】 （1）由第二组频数及其频率可得总人数；（2）先由二、四组的频率和求得对应频数和，从而求得第四组频数，再由自左至右第三，四，五，六，七组的频数比 9：10：7：3
26、：3，即可得出答案；（3）根据频数和为总数求得最后一组频数，用总人数乘以样本中后三组人数和所占比例即可得【解答】解：（1）第二组频率是 0.15，第二组的频数为 6，九年一班学生共有：60.1540（人） ；故答案为：40；（2） 第二组频率是 0.15； 第二、四组的频率和是 0.4；第四组频率是 0.25，第四组频数是：400.2510，自左至右第三，四，五，六，七组的频数比 9：10：7：3：3，九年一班在 110120 分数段的人数为：7（3）第三，四，五，六，七组的频数比 9：10：7：3：3，第四组频数是 10，第三，四，五，六，七组的频数分别为：9，10，7，3，3，第一、二组的
27、频数分别为：1，6，第八组的频数为：40169107331，成绩不少于 120 分的有：3+3+17（人） ，全年级 800 人中成绩达到优秀的大约：800 140（人） 【点评】此题主要考查了读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力以及样本估计总体，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于 120 （10 分）如图，在一不规则区域内，有一边长为 3 米的正方形，向区域内随机地撒4000 颗黄豆，数得落在正方形区域内（含边界）的黄豆有 1350 颗，以此实验数据为依据，可以估计出该不规则图形的面积（
28、1）随机向不规则区域内掷一粒黄豆，求黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率；（2）请你估计出该不规则图形的面积；【分析】 （1）根据概率公式即可得到结论；（2）根据概率公式即可得到结论【解答】解：（1）记“黄豆落在正方形区域内”为事件 AP（A） ，答：黄豆落在正方形区域内（含边界）的概率为 ；（2）P ，正方形面积等于 27，不规则图形面积为 80 平方米【点评】本题考查了几何概率，正方形的面积，正确的理解题意是解题的关键五、 （每题 10 分，共 20 分）21 （10 分）如图，小明在热气球从 A 点测得正前方河流两岸 B，C 的俯角分别为 75，30，河流 BC 的宽度为 120（ 1）
29、m 求热气球距地面 AD 的高度【分析】作 BHAC 于点 H，根据构建直角三角形后，利用直角三角形解答即可【解答】解：作 BHAC 于点 H，在 RtBCH 中，由已知可得C30，BC120（ 1）m，BH60（ 1）m，CH60（3 ）在 Rt BCH 中，由已知可得BAC45，AHBH 60（ 1）m，ACAH+ CH120，在 Rt BCH 中，因为 C 30 ，AD AC 60答：热气球距地面 AD 的高度为 60 米【点评】此题考查解直角三角形的问题，关键是构建直角三角形后，利用直角三角形解答22 （10 分）如图，直线 yx+4 分别交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，P 是反比
30、例函数y （x 0） ，图象上位于直线 yx+4 下方的一点，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 M，交 AB 于点 E，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为点 N，交 AB 于点 F，并且AFBE4（1）求 k 的值；（2）若反比例函数 y 与一次函数 yx +4 交于 C、D 两点，求三角形 OCD 的面积【分析】 （1）由直线 yx +4 交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，即可得出OABOBA45，进而即可得出 OMBEsin OBA 、ONAF sinOAB，再结合 AFBE4 即可得出 OMON2，此题得解；（2）求出点 C、D 的坐标，然后连接 OC、OD，根据 SOCD S A
31、OB S AOC S BOD，根据三角形的面积公式列式计算即可得解；【解答】解：（1）直线 yx+4 交 x 轴、y 轴于 A、B 两点，OABOBA45，OM BEsinOBA ，ONAF sinOABAFBE4，OM ON BE AF2，kOMON 2（2）直线 yx +4 交 x 轴、 y 轴于 A、B 两点，A（4，0） ，B（0，4） ，解 得 或 ，C（2 ，2+ ） ，D（2+ ，2 ） ，S OCD S AOB S AOC S BOD ， 44 4（2 ） 4（2 ） ，4 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，三角形的面积以及反比例函数系数 k 的几何意义，根据
32、AFBE4 找出 OMON2 是解题的关键六、 （每题 10 分，共 20 分）23 （10 分）如图，ABC 内接于O，AB AC，ABC72，过点 A 作 BC 的平行线与ABC 的平分线交于点 D，BD 交 AC 于点 E，交O 于点 F，连接 AF（1）求证：AD 是O 的切线；（2）已知 BC2，求 EF 的长【分析】 （1）连接 AO，OB，求出OAD90即可；（2）证得AEFBCE，得出 EFCE ，设 EFEC x ，则 AC2+x，证得ABCBEC ，根据相似三角形的性质得出关于 x 的方程，解方程即可【解答】 （1）证明：连接 AO、BO 、CO，ABAC， ABC72，A
33、BCACB72，BAC36，在ABO 和ACO 中ABOACO（SSS） ，OAC BAC18，ADBC，DACACB72，OAD OAC +DAC18+7290，AD 是 O 的切线；（2）解：BACABD36，AEBE，DBC36ACB72，BEC72，BEBC2，AEBC，在BCE 和AFE 中AEF BCE（AAS ） ，EFCE，设 EFECx，则 AC2+ x，ABCBEC72，ACBBCE ，ABCBEC， ，即 ，解得 x 1 或1 （舍去） ，EF 1【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键24
34、 （10 分）一辆轿车从甲城驶往乙城，同时一辆卡车从乙城驶往甲城，两车沿相同路线匀速行驶，轿车到达乙城停留一段时间后按原路返回：卡车到达甲城比轿车返回甲城早0.5 小时，两车到达甲城后均停止行驶，两车距离甲城的路程 y（km）与出发时间t（h）之间的关系如图 1 所示，请结合图象提供的信息解答下列问题：（1）求轿车和卡车的速度；（2）求 CD 段的函数解析式；（3）若设在行驶过程中，轿车与卡车之间的距离为 S（km）行驶的时间为 t（h） ，请你在图 2 中画出 S（km）关于 t（h）函数的图象，并标出每段函数图象端点的坐标【分析】 （1）轿车的速度为 1801.5120（kmh） ，卡车的
35、速度为（180120）160（kmh） ；（2）D（3.5，0） ，C（2，180） ，代入解析式即可；（3）0t1，S180180t；1t1.5，S180t 180；1.5t2，S60t ；2t3，S24060t；3t3.5，S420120t；【解答】解：（1）轿车的速度为 1801.5120（kmh） ，A（1，120） ，卡车的速度为（180120）160（kmh） ；（2）卡车到达甲城比轿车返回甲城早 0.5 小时，D（3.5，0） ，C（2，180） ，设直线 CD 的解析式为 ykx+b， ，CD 段函数解析式为：y120x+420（2x3.5） ；（3）如图：0t1，S180 1
36、80t ；1t1.5，S180t180；1.5t2，S60t；2t3，S24060t；3t3.5，S420120t；【点评】本题考查一次函数的图象及应用；掌握用待定系数法求解析式，能够结合问题情境求出两车的速度，分析出运动过程中的几个转折点是解题的关键七、 （本题 12 分）25 （12 分）在四边形 ABCD 中，点 E 是线段 AC 上一点，BECD，BECBAD（1）如图 1 已知 ABAD ；找出图中与DAC 相等的角，并给出证明；求证： AECD ；（2）如图 2，若 BCED， ，BEC45，求 tanABE 的值【分析】 （1）证明ABE DAF，关键全等三角形的性质证明；根据全
37、等三角形的性质证明结论；（2）过点 D 作 DGCD 交 AC 于点 G，证明ABEDAG，得到 ，根据正切的定义计算，得到答案【解答】解：（1）ABECAD，理由如下：以 D 为圆心，DC 为半径画圆，交 AC 于 F，连接 DF，则 CDDF，DFCDCF，BECD，BECFCD，BECDFC，AEB AFD，BECBAE+ ABE，BADBAE+DAF，BECBAD，ABE DAF，在ABE 和DAF 中，ABE DAF（AAS ） ，ABE CAD， ABEDAF ，AEDF ，CDDF，AECD；（3）过点 D 作 DGCD 交 AC 于点 G，BECD，DCABEC45，AEB D
38、GA135，DG DC ，AEB DGA，ABEDAG，ABE DAG， ，BCDE，BE CD ，四边形 BCDE 为平行四边形，BECD，过点 A 作 AH 垂直于 BE 交 BE 的延长线于点 H，设 AHEH m ，则 AE m， DGCDBE2 m，BHBE+EH2 m+m，tanABE 【点评】本题考查的是平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键八、 （本题 14 分）26 （14 分）如图，已知抛物线 yax 2+ x+4 的对称轴是直线 x3，且与 x 轴交于 A、B两点（点 B 在点
39、A 的右侧） ，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）以 BC 为边作正方形 CBDE，求对角线 BE 所在直线的解析式；（3）点 P 是抛物线上一点，若APB45，求出点 P 的坐标【分析】 （1）利用对称轴公式列式即求出 a 的值，进而得抛物线解析式（2）由于边 DE 所在位置不同，故需对点 E 所在位置分类讨论过点 E 作 y 轴垂线，根据BCE90构造三垂直全等模型，即求得点 E 坐标，进而求直线 BE 解析式（3）由点 P 运动过程中APB45联想到圆周上的圆周角，只要构造出APB 为圆周角，其所对圆心角等于 90即可故以 AB 为斜边作等腰直角三角形 ABG若 G 在第
40、一象限，则圆与抛物线无除 A、B 外的交点，故点 G 需在第四象限求出点 G 坐标，设 P 坐标，以 PG 的长等于半径 5 为等量关系列方程，即求得 p 的值进而得点 P 坐标【解答】解：（1）抛物线的对称轴是直线 x3 3，解得：a抛物线的解析式为 y x2+ x+4（2）当 y x2+ x+40 时，解得：x 12，x 28A（2，0） ，B（8，0）AB10，OB8当 x0 时，y x2+ x+44C（0，4） ，OC4如图 1，若点 E 在第一象限，过点 E 作 EFy 轴于点 FCFEBOC90四边形 CBDE 是正方形BCE90，BCCEBCO+OBCBCO+ FCE 90OBC
41、FCE在FCE 与OBC 中FCEOBC（AAS）FCOB8，EF OC 4OFOC+FC12E（4，12）设直线 BE 解析式为：y kx+b 解得：直线 BE 解析式为 y3x+24 如图 2，若点 E 在第三象限，过点 E 作 EFy 轴于点 F同理可证：FCEOBC（AAS）FCOB8，EF OC 4OFFCOC844E（4，4）设直线 BE 解析式为：y k x+b 解得：直线 BE 解析式为 y x综上所述，直线 BE 解析式为 y3x +24 或 y x（3）以 AB 为斜边作等腰 RtAGB，则 AGBG，AGB90以点 G 为圆心、AG 长为半径画圆，则点 P 在优弧 AB
42、上时总有 APB45如图 3，若点 G 在第一象限， G 与抛物线交点只有 A、B，即没有满足条件的点 P 使APB 45如图 4，若点 G 在第四象限，过点 G 作 GMx 轴于点 MAMBMGM AB5，G（3，5）设 P（p， p2+ p+4）PGAG AB5PG 250 可得方程：（p 3） 2+（ p2+ p+4+5） 250解得：p 14，p 210，p 32（即点 A，舍去） ，p 48（即点 B，舍去） p2+ p+46点 P 坐标为（4，6）或（10，6）【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，求一次函数解析式，圆周角定理，两点间距离公式解题关键是：第（2）题由正方形构造全等；第（3）题由 P 为动点而APB 为定值联想到圆周角定理