1、2019 年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷一、选择题（本题有 12 小题每小题 4 分共 48 分每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不得分）1 （4 分）16 的算术平方根为（ ）A4 B4 C4 D82 （4 分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个A4 B3 C2 D13 （4 分）从棱长为 2a 的正方体零件的一角，挖去一个棱长为 a 的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（ ）A B C D4 （4 分）不等式组 的解集中，整数解有（ ）个A5 B8 C6 D75 （4 分）如图，直线 mn ，170，230，则A 等于（ ）A3
2、0 B35 C40 D506 （4 分）小明调查了班级里 20 位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图的统计图在这 20 位同学中，本学期购买课外书的花费的众数和中位数分别是（ ）A50，50 B50，30 C80，50 D30，507 （4 分）在同一坐标系下，抛物线 y1x 2+4x 和直线 y22x 的图象如图所示，那么不等式x 2+4x2x 的解集是（ ）Ax0 B0x2 Cx2 Dx 0 或 x28 （4 分） 九章算术是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出 8
3、 钱，会多 3 钱；每人出 7 钱，又会差 4 钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为 x 人，物价为 y 钱，以下列出的方程组正确的是（ ）A BC D9 （4 分）如图，直径为 10 的A 经过点 C 和点 O，点 B 是 y 轴右侧 A 优弧上一点，OBC30，则点 C 的坐标为（ ）A （0，5） B （0，5 ） C （0， ） D （0， ）10 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且BAE22.5，EFAB，垂足为 F，则 EF 的长为（ ）A1 B C42 D3 411 （4 分）如图，已知顶点为（3，6）的抛物线 yax 2+bx+c
4、经过点（1，4） ，则下列结论中错误的是（ ）Ab 24acBax 2+bx+c 6C关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c4 的两根分别为5 和1D若点（2，m） ， （5，n）在抛物线上，则 mn12 （4 分）如图，RtABC 中C90，BAC30，AB8，以 2 为边长的正方形 DEFG 的一边 GD 在直线 AB 上，且点 D 与点 A 重合，现将正方形 DEFG 沿 AB 的方向以每秒 1 个单位的速度匀速运动，当点 D 与点 B 重合时停止，则在这个运动过程中，正方形 DEFG 与ABC 的重合部分的面积 S 与运动时间 t 之间的函数关系图象大致是（ ）A BC D二、填空
5、题（共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）13 （4 分）分解因式：2x 36x 2+4x 14 （4 分）已知 ， 是方程 x23x 40 的两个实数根，则 2+3 的值为 15 （4 分）运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如下：则计算器显示的结果是 16 （4 分）对于实数 p、q，我们用符号 minp，q 表示 p、q 两数中较小的数，如min1，21，若 min（x 1） 2，x 21，则 x 17 （4 分）如图，正方形 OA1B1C1 的边长为 1，以 O 为圆心，OA 1 为半径作扇形 OA1C1，弧 A1C1 与 OB1 相交于点 B2，设正方形
6、 OA1B1C1 与扇形 OA1C1 之间的阴影部分的面积为 S1；然后以 OB2 为对角线作正方形 OA2B2C2，又以 O 为圆心，OA 2 为半径作扇形OA2C2，弧 A2C2 与 OB1 相交于点 B3，设正方形 OA2B2C2 与扇形 OA2C2 之间的阴影部分面积为 S2；按此规律继续作下去，设正方形 OA2018B2018C2018 与扇形 OA2018C2018 之间的阴影部分面积为 S2018，则 S2018 三、解答题（共 7 小题，共 52 分）18解方程： + 319如图，ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足ACDABC，若 AC ，AD1，求DB 的长202018
7、 年某市学业水平体育测试即将举行，某校为了解同学们的训练情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行了体育测试（把成绩分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格） ，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）求本次抽测的学生人数；（2）求扇形图中 的度数，并把条形统计图补充完整；（3）在测试中甲乙、丙、丁四名同学表现非常优秀，现决定从这四名同学中任选两名给大家介绍训练经验，求恰好选中甲、乙两名同学的概率（用树状图或列表法解答） 21如图，O 是ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，BAC 的平分线交O 于点 D，连接 BD、 C
8、D，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若 AB3，AC4，求线段 PB 的长22如图，菱形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴正半轴上，边 BC 在 x 轴上，且BC5，sinABC ，反比例函数 y （x0）的图象分别与 AD，CD 交于点 M、点 N，点 N 的坐标是（3， n） ，连接 OM，MC（1）求反比例函数的解析式；（2）求证：OMC 是等腰三角形23若抛物线 L：yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，abc0 ）与直线 l 都经过 y 轴上的同一点，且抛物线 L 的顶点在直线 l 上，则称次抛物线 L 与直线 l
9、 具有“一带一路”关系，并且将直线 l 叫做抛物线 L 的“ 路线” ，抛物线 L 叫做直线 l 的“带线” （1）若“路线”l 的表达式为 y2x4，它的“带线”L 的顶点的横坐标为1，求“带线”L 的表达式；（2）如果抛物线 ymx 22mx+m1 与直线 ynx +1 具有“一带一路”关系，求 m，n的值；（3）设（2）中的“带线”L 与它的“路线”l 在 y 轴上的交点为 A已知点 P 为“带线”L 上的点，当以点 P 为圆心的圆与“路线”l 相切于点 A 时，求出点 P 的坐标24有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90后得到矩形AMEF（如图 1） ，连接 B
10、D，MF，若 BD16cm，ADB 30（1）试探究线段 BD 与线段 MF 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）把BCD 与MEF 剪去，将ABD 绕点 A 顺时针旋转得AB 1D1，边 AD1 交FM 于点 K（如图 2） ，设旋转角为 （0 90） ，当AFK 为等腰三角形时，求的度数；（3）若将AFM 沿 AB 方向平移得到 A 2F2M2（如图 3） ，F 2M2 与 AD 交于点P，A 2M2 与 BD 交于点 N，当 NPAB 时，求平移的距离2019 年山东省淄博市高青县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有 12 小题每小题 4 分共 48 分每小题只有一个
11、选项是正确的，不选、多选、错选均不得分）1 （4 分）16 的算术平方根为（ ）A4 B4 C4 D8【分析】依据算术平方根的性质求解即可【解答】解：16 的算术平方根为 4故选：B【点评】本题主要考查的是算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键2 （4 分）下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）个A4 B3 C2 D1【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解【解答】解：第 1 个，是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；第 2 个，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；第 3 个，既是轴对称图形，也是中心对称图形
12、，故本选项正确；第 4 个，不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误故选：C【点评】本题考查了轴对称图形与中心对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合3 （4 分）从棱长为 2a 的正方体零件的一角，挖去一个棱长为 a 的小正方体，得到一个如图所示的零件，则这个零件的俯视图是（ ）A B C D【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案【解答】解：从上面看是一个正方形，正方形的左下角是一个小正方形，故选：B【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图
13、形是俯视图4 （4 分）不等式组 的解集中，整数解有（ ）个A5 B8 C6 D7【分析】分别解出两个不等式的解集，再表示出其公共部分即可【解答】解：解不等式 x1，得：x2，解不等式 5x0，得：x 5，则不等式组的解集为2x5，所以不等式组的整数解为1、0、1、2、3、4、5，故选：D【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断还可以观察不等式的解，若 x较小的数、较大的数，那么解集为 x 介于两数之间5 （4 分）如图，直线 mn ，170，230，则A 等于（ ）A30 B35 C40 D50【分析】首先根据平行线的性质求出3 的度数，然后根据三角形的外角的
14、知识求出A 的度数【解答】解：如图，直线 mn，13，170，370，32+A，230，A40，故选：C【点评】本题考查了平行线的性质和三角形的外角性质，关键是求出3 的度数，此题难度不大6 （4 分）小明调查了班级里 20 位同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成了如图的统计图在这 20 位同学中，本学期购买课外书的花费的众数和中位数分别是（ ）A50，50 B50，30 C80，50 D30，50【分析】根据扇形统计图分别求出购买课外书花费分别为 100、80、50、30、20 元的同学人数，再根据众数、中位数的定义即可求解【解答】解：由扇形统计图可知，购买课外书花费为 100 元
15、的同学有：2010%2（人） ，购买课外书花费为 80 元的同学有：2025%5（人） ，购买课外书花费为 50 元的同学有：2040%8（人） ，购买课外书花费为 30 元的同学有：2020%4（人） ，购买课外书花费为 20 元的同学有：205%1（人） ，20 个数据为100，100，80，80，80，80，80，50，50，50，50，50，50，50，50，30，30，30，30，20，在这 20 位同学中，本学期计划购买课外书的花费的众数为 50 元，中位数为（50+50）250（元） ；故选：A【点评】本题考查了扇形统计图，中位数与众数，注意掌握通过扇形统计图可以很清楚地表示出各
16、部分数量同总数之间的关系7 （4 分）在同一坐标系下，抛物线 y1x 2+4x 和直线 y22x 的图象如图所示，那么不等式x 2+4x2x 的解集是（ ）Ax0 B0x2 Cx2 Dx 0 或 x2【分析】根据函数图象写出抛物线在直线上方部分的 x 的取值范围即可【解答】解：由图可知，抛物线 y1x 2+4x 和直线 y22x 的交点坐标为（0，0） ，（2，4） ，所以，不等式x 2+4x2x 的解集是 0x2故选：B【点评】本题考查了二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此8 （4 分） 九章算术是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就其中记载：今有共
17、买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出 8 钱，会多 3 钱；每人出 7 钱，又会差 4 钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为 x 人，物价为 y 钱，以下列出的方程组正确的是（ ）A BC D【分析】设合伙人数为 x 人，物价为 y 钱，根据题意得到相等关系：8人数物品价值3， 物品价值 7人数4，据此可列方程组【解答】解：设合伙人数为 x 人，物价为 y 钱，根据题意，可列方程组： ，故选：C【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系9 （4 分）如图，直径为 10 的A 经过点
18、 C 和点 O，点 B 是 y 轴右侧 A 优弧上一点，OBC30，则点 C 的坐标为（ ）A （0，5） B （0，5 ） C （0， ） D （0， ）【分析】首先设A 与 x 轴另一个的交点为点 D，连接 CD，由COD90，根据90的圆周角所对的弦是直径，即可得 CD 是A 的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得ODC 的度数，继而求得点 C 的坐标【解答】解：设A 与 x 轴另一个的交点为点 D，连接 CD，COD90，CD 是A 的直径，即 CD10，OBC30，ODC30，OC CD5，点 C 的坐标为：（0，5） 故选：A【点评】此题考查了圆周角定理与
19、含 30角的直角三角形的性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用10 （4 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且BAE22.5，EF AB，垂足为 F，则 EF 的长为（ ）A1 B C42 D3 4【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得ABDADB45，再求出DAE的度数，根据三角形的内角和定理求AED，从而得到DAEAED，再根据等角对等边的性质得到 ADDE，然后求出正方形的对角线 BD，再求出 BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的 倍计算即可得解【解答】解：在正方形 ABCD 中，ABDADB 45，
20、BAE 22.5，DAE90BAE9022.567.5，在ADE 中，AED 1804567.567.5，DAEAED，ADDE 4，正方形的边长为 4，BD4 ，BEBD DE4 4，EFAB，ABD 45，BEF 是等腰直角三角形，EF BE （4 4）42 故选：C【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出 DEAD 是解题的关键，也是本题的难点11 （4 分）如图，已知顶点为（3，6）的抛物线 yax 2+bx+c 经过点（1，4） ，则下列结论中
21、错误的是（ ）Ab 24acBax 2+bx+c 6C关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c4 的两根分别为5 和1D若点（2，m） ， （5，n）在抛物线上，则 mn【分析】根据抛物线与 x 轴有两个交点判断出 A 选项结论正确，二次函数的顶点的意义判断出 B 选项结论正确；根据顶点坐标求出抛物线的对称轴，然后根据二次函数的对称性求解即可判断出 C 选项结论正确；根据两点与对称轴的距离以及二次函数的增减性判断出 D 选项结论错误【解答】解：A、抛物线与 x 轴有两个交点，b 24ac0，b 24ac，结论正确，故本选项错误；B、抛物线顶点坐标为（3，6） ，开口向上，ax 2+bx+c
22、6，结论正确，故本选项错误；C、抛物线 yax 2+bx+c 经过点（1，4） ，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c4 的一个根为1，抛物线对称轴为直线 x3，另一个根为 2（3）（1）6+15，结论正确，故本选项错误；D、2（3）1， （ 3）（5）2，点（5，n）到对称轴的距离比点（2，m ）到对称轴的距离大，mn，本选项结论错误，故本选项正确故选：D【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的顶点坐，二次函数的对称性，抛物线与 x 轴的交点问题，熟练掌握二次函数的各种性质是解题的关键12 （4 分）如图，RtABC 中C90，BAC30，AB8，以 2 为边
23、长的正方形 DEFG 的一边 GD 在直线 AB 上，且点 D 与点 A 重合，现将正方形 DEFG 沿 AB 的方向以每秒 1 个单位的速度匀速运动，当点 D 与点 B 重合时停止，则在这个运动过程中，正方形 DEFG 与ABC 的重合部分的面积 S 与运动时间 t 之间的函数关系图象大致是（ ）A BC D【分析】首先根据 RtABC 中C90，BAC30，AB8，分别求出AC、BC，以及 AB 边上的高各是多少；然后根据图示，分三种情况：（1）当 0t 2时；（2）当 2 时；（3）当 6t8 时；分别求出正方形 DEFG 与ABC的重合部分的面积 S 的表达式，进而判断出正方形 DEF
24、G 与ABC 的重合部分的面积S 与运动时间 t 之间的函数关系图象大致是哪个即可【解答】解：如图 1，CH 是 AB 边上的高，与 AB 相交于点 H，C90，BAC30，AB8，ACABcos308 4 ，BCABsin308 4，CHAC ，AH ，（1）当 0t2 时，S t2；（2）当 2 时，S t2 t24 t+122t2（3）当 6t8 时，S （t2 ）tan30 6（t2 ） （8t）tan60 （t6） t+2 +6 t （t6） t2+2t+4 t2 30 t2 26综上，可得S正方形 DEFG 与ABC 的重合部分的面积 S 与运动时间 t 之间的函数关系图象大致是A
25、 图象故选：A【点评】 （1）此题主要考查了动点问题的函数图象，解答此类问题的关键是通过看图获取信息，并能解决生活中的实际问题，用图象解决问题时，要理清图象的含义即学会识图（2）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及三角形、梯形的面积的求法，要熟练掌握二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，满分 20 分）13 （4 分）分解因式：2x 36x 2+4x 2x（x1） （x2 ） 【分析】首先提取公因式 2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案【解答】解：2x 36x 2+4x2x（x 23x+2）2x（x1） （x 2） 故答案为：2x（x 1） （x 2 ） 【点评】此题主要考查了提取公
26、因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键14 （4 分）已知 ， 是方程 x23x 40 的两个实数根，则 2+3 的值为 0 【分析】利用 是方程 x23x40 的实数根得到 23 4，再根据根与系数的关系得到得 4，然后利用整体代入的方法计算即可【解答】解： 是方程 x23x40 的实数根， 2340，即 234， 4，原式440故答案为 0【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x 2 是一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的两根时，x 1+x2 ，x 1x2 15 （4 分）运用科学计算器（如图是其面板的部分截图）进行计算，按键顺序如下：则计算器显示的结果是 7
27、【分析】根据计算器的按键顺序，写出计算的式子然后求值【解答】解：根据题意得：（3.54.5）3 2+ 7，故答案为：7【点评】本题目考查了计算器的应用，根据按键顺序正确写出计算式子是关键16 （4 分）对于实数 p、q，我们用符号 minp，q 表示 p、q 两数中较小的数，如min1，21，若 min（x 1） 2，x 21，则 x 2 或1 【分析】首先理解题意，进而可得 min（x1） 2，x 21 时分情况讨论，当 x0.5 时，x0.5 时和 x0.5 时，进而可得答案【解答】解：min（x1） 2，x 21，当 x0.5 时，x 2（x 1） 2，不可能得出最小值为 1，当 x0.
28、5 时， （x 1） 2x 2，则（x1） 21，x11，x11，x11，解得：x 12，x 20（不合题意，舍去） ，当 x0.5 时， （x 1） 2x 2，则 x21，解得：x 11（不合题意，舍去） ，x 21，综上所述：x 的值为：2 或1故答案为：2 或1【点评】此题主要考查了解一元二次方程直接开平方法，实数的比较大小，以及分类思想的运用，关键是正确理解题意17 （4 分）如图，正方形 OA1B1C1 的边长为 1，以 O 为圆心，OA 1 为半径作扇形 OA1C1，弧 A1C1 与 OB1 相交于点 B2，设正方形 OA1B1C1 与扇形 OA1C1 之间的阴影部分的面积为 S1
29、；然后以 OB2 为对角线作正方形 OA2B2C2，又以 O 为圆心，OA 2 为半径作扇形OA2C2，弧 A2C2 与 OB1 相交于点 B3，设正方形 OA2B2C2 与扇形 OA2C2 之间的阴影部分面积为 S2；按此规律继续作下去，设正方形 OA2018B2018C2018 与扇形 OA2018C2018 之间的阴影部分面积为 S2018，则 S2018 【分析】正方形 OA1B1C1 的边长为 1，则 S 正方形 OA1B1C11，OB 1 ，以 O 为圆心，OA 为半径作扇形 OA1C1，得到 S11S 扇形 OA1C11 ；以 OB2 为对角线作正方形OA2B2C2，又以 O 为
30、圆心，OA 2 为半径作扇形 OA2C2，得到 S2 S 扇形 OA2C2 ；依此类推得到 Sn 进而可将 n2018 代入求解【解答】解：S 2018 故答案为： 【点评】本题考查了扇形面积的计算以及正方形的性质，要先从简单的例子入手得出一般化的结论，然后根据得出的规律去求特定的值三、解答题（共 7 小题，共 52 分）18解方程： + 3【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：方程变形得： 3方程两边同乘以 2（x1）得：2x16（x 1）解得：x经验：把 x 代入 2（x 1）0所以：原分式方程的解 x 【点评】此题考查
31、了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验19如图，ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足ACDABC，若 AC ，AD1，求DB 的长【分析】由ACDABC、AA，即可得出ABCACD，根据相似三角形的性质可得出 ，代入 AC、AD 的值可求出 AB 的长，再根据 BDAB AD 即可求出结论【解答】解：ACDABC，AA，ABCACD， AC ，AD1， ，AB3，BDABAD312【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的判定定理是解题的关键202018 年某市学业水平体育测试即将举行，某校为了解同学们的训练情况，从九年级学生中随机抽取部分学生进行了体育测试
32、（把成绩分为四个等级：A 级：优秀；B 级：良好；C 级：及格；D 级：不及格） ，并将测试结果绘成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：（1）求本次抽测的学生人数；（2）求扇形图中 的度数，并把条形统计图补充完整；（3）在测试中甲乙、丙、丁四名同学表现非常优秀，现决定从这四名同学中任选两名给大家介绍训练经验，求恰好选中甲、乙两名同学的概率（用树状图或列表法解答） 【分析】 （1）根据 B 级的频数和百分比求出学生人数；（2）求出 A 级的百分比，360乘百分比即为 的度数，根据各组人数之和等于总数求得 C 级人数即可补全图形；（3）根据列表法或树状图，运用概率计算公式即
33、可得到恰好选中甲、乙两名同学的概率【解答】解：（1）16040%400，答：本次抽样测试的学生人数是 400 人；（2） 360108，答：扇形图中 的度数是 108；C 等级人数为：400120160 4080（人） ，补全条形图如图：（3）画树状图如下：或列表如下：甲 乙 丙 丁甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙）丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙）丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） 共有 12 种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两位同学的结果有 2 种，所以 P（恰好选中甲、乙两位同学） 【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图以及概率计算
34、公式的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小21如图，O 是ABC 的外接圆，O 点在 BC 边上，BAC 的平分线交O 于点 D，连接 BD、 CD，过点 D 作 BC 的平行线，与 AB 的延长线相交于点 P（1）求证：PD 是O 的切线；（2）若 AB3，AC4，求线段 PB 的长【分析】 （1）由直径所对的圆周角为直角得到BAC 为直角，再由 AD 为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍及等量代换确定出DOC 为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条
35、也垂直得到 OD 与 PD 垂直，即可得证；（2）由 PD 与 BC 平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到PACD，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似；由三角形 ABC 为直角三角形，利用勾股定理求出 BC 的长，再由 OD 垂直平分BC，得到 DBDC，相似三角形的性质，得比例，求出所求即可【解答】 （1）证明：圆心 O 在 BC 上，BC 是圆 O 的直径，BAC90，连接 OD，AD 平分BAC，BAC2DAC，DOC2DAC，DOCBAC90，即 ODBC ，PDBC，ODPD ，OD 为圆 O 的半径，PD 是圆 O 的切线；（2
36、）PDBC，PABC，ABCADC，PADC，PBD+ABD 180，ACD+ABD180，PBDACD，PBDDCA；ABC 为直角三角形，BC 2AB 2+AC23 2+4225，BC5，OD 垂直平分 BC，DBDC，BC 为圆 O 的直径，BDC90，在 Rt DBC 中， DB2+DC2BC 2，即 2DC2BC 225，DCDB ，PBDDCA， ，则 PB 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键22如图，菱形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴正半轴上，边 BC 在 x 轴上，且BC5，sinABC ，反比例函数 y （x
37、0）的图象分别与 AD，CD 交于点 M、点 N，点 N 的坐标是（3， n） ，连接 OM，MC（1）求反比例函数的解析式；（2）求证：OMC 是等腰三角形【分析】 （1）先根据菱形的性质求出 ADAB5，再根据三角函数求出 OA，进而利用勾股定理求出 OB，求出点 C，D 坐标，利用待定系数法求出直线 CD 解析式，进而求出点 N 坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先求出点 M 坐标，再用两点间的距离公式求出 OM 和 CM，即可得出结论【解答】解：（1）四边形 ABCD 是菱形，ADBC，AB ADBC5，在 Rt AOB 中，sinABC ，OA4，根据勾股定理得，OB3，OC
38、BCOB2，C（2，0） ，AD5，OA4，D（5，4） ，直线 CD 的解析式为 y x ，点 N 的坐标是（3，n） ，n 3 ，N（3， ） ，点 N 在反比例函数 y （x0）图形上，k3 4，反比例函数的解析式为 y ；（2）由（1）知，反比例函数的解析式为 y ，点 M 在 AD 上，M 点的纵坐标为 4，点 M 的横坐标为 1，M（1，4） ，C（2，0） ，OM ，CM ，OM CM，OMC 是等腰三角形【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的判定，待定系数法，两点间的距离公式，求出直线 CD 的解析式是解本题的关键23若抛物线
39、 L：yax 2+bx+c（a，b，c 是常数，abc0 ）与直线 l 都经过 y 轴上的同一点，且抛物线 L 的顶点在直线 l 上，则称次抛物线 L 与直线 l 具有“一带一路”关系，并且将直线 l 叫做抛物线 L 的“ 路线” ，抛物线 L 叫做直线 l 的“带线” （1）若“路线”l 的表达式为 y2x4，它的“带线”L 的顶点的横坐标为1，求“带线”L 的表达式；（2）如果抛物线 ymx 22mx+m1 与直线 ynx +1 具有“一带一路”关系，求 m，n的值；（3）设（2）中的“带线”L 与它的“路线”l 在 y 轴上的交点为 A已知点 P 为“带线”L 上的点，当以点 P 为圆心
40、的圆与“路线”l 相切于点 A 时，求出点 P 的坐标【分析】 （1）找出直线与抛物线的交点坐标，由此设出抛物线的解析式，再由直线的解析式找出直线与 x 轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出结论；（2）找出直线 ynx +1 与 y 轴的交点坐标，将其代入抛物线解析式中即可求出 m 的值；再根据抛物线的解析式找出顶点坐标，将其代入直线解析式中即可得出结论；（3）设抛物线的顶点为 B，则点 B 坐标为（1，1） ，过点 B 作 BCy 轴于点 C，根据点 A 坐标为（0，1）得到 AO1，BC1，AC2然后根据“路线”l 是经过点 A、B的直线且P 与“路线”l 相切于点 A，连接 PA
41、 交 x 轴于点 D，则 PAAB，然后求解交点坐标即可【解答】解：（1）“带线”L 的顶点横坐标是1，且它的“路线”l 的表达式为y2x4y2（1）46，“带线”L 的顶点坐标为（1，6） 设 L 的表达式为 ya（x+1） 26，“路线”y2x 4 与 y 轴的交点坐标为（ 0，4）“带线”L 也经过点（0，4） ，将（0，4）代入 L 的表达式，解得 a2“带线”L 的表达式为 y2（x+1） 262x 2+4x4；（2）直线 ynx +1 与 y 轴的交点坐标为（ 0，1） ，抛物线 ymx 22mx +m1 与 y 轴的交点坐标也为（0，1） ，得 m2，抛物线表达式为 y2x 24
42、x +1，其顶点坐标为（1， 1）直线 ynx+1 经过点（1，1） ，解得 n2，“带线”L 的表达式为 y2x 24x+1“路线”l 的表达式为 y2 x+1；（3）设抛物线的顶点为 B，则点 B 坐标为（1，1） ，过点 B 作 BCy 轴于点 C，又点 A 坐标为（0，1） ，AO1，BC1，AC2“路线”l 是经过点 A、B 的直线且 P 与“路线”l 相切于点 A，连接 PA 交 x 轴于点 D，则 PAAB，显然 RtAODRtBCA，ODAC 2，D 点坐标为（2，0）则经过点 D、A、P 的直线表达式为 y x+1，点 P 为直线 y x+1 与抛物线 L：y2x 24x+1
43、 的交点，解方程组 得 （即点 A 舍去） ， 即点 P 的坐标为（ ，） 【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题已经二次函数的应用，解题的关键是：（1）设出抛物线的顶点式解析式；（2）根据“一带一路”关系找出两函数的交点坐标24有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90后得到矩形AMEF（如图 1） ，连接 BD，MF，若 BD16cm，ADB 30（1）试探究线段 BD 与线段 MF 的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）把BCD 与MEF 剪去，将ABD 绕点 A 顺时针旋转得AB 1D1，边 AD1 交FM 于点 K（如图 2） ，设旋转角为 （0 90
44、） ，当AFK 为等腰三角形时，求的度数；（3）若将AFM 沿 AB 方向平移得到 A 2F2M2（如图 3） ，F 2M2 与 AD 交于点P，A 2M2 与 BD 交于点 N，当 NPAB 时，求平移的距离【分析】 （1）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点 A 顺时针旋转 90后得到矩形 AMEF（如图 1） ，得 BDMF，BAD MAF，推出BDMF ，ADBAFM 30，进而可得DNM 的大小（2）分两种情形讨论当 AKFK 时， 当 AFFK 时，根据旋转的性质得出结论（3）求平移的距离是 A2A 的长度在矩形 PNA2A 中，A 2APN，只要求出 PN 的长度就行用DPN
45、DAB 得出对应线段成比例，即可得到 A2A 的大小【解答】解：（1）结论：BDMF，BD MF 理由：如图 1，延长 FM 交 BD 于点 N，由题意得：BADMAFBDMF，ADBAFM又DMNAMF，ADB+DMNAFM+AMF90，DNM90，BDMF（2）如图 2，当 AKFK 时，KAFF30，则BAB 1180B 1AD1KAF 180903060，即 60 ；当 AFFK 时，FAK （180F）75，BAB 190FAK15 ，即 15 ；综上所述， 的度数为 60或 15；（3）如图 3，由题意得矩形 PNA2A设 A2Ax，则 PNx，在 Rt A2M2F2 中，F 2M2FM16，FADB30，