1、2018 年山东省枣庄实验高中自主招生数学试卷一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处）1如图，数轴上点 A 表示数 a，则|a1| 是（ ）A1 B2 C3 D22若关于 x 的一元二次方程 kx22x10 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是（ ）Ak1 Bk1 且 k0 Ck1 Dk 1 或 k03在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当 n11 时，芍药的数量为（ ）A84 株 B88 株 C92 株
2、 D121 株4某校美术社团为练习素描，他们第一次用 120 元买了若干本资料，第二次用 240 元在同一商家买同样的资料，这次商家每本优惠 4 元，结果比上次多买了 20 本求第一次买了多少本资料？若设第一次买了 x 本资料，列方程正确的是（ ）A 4 B 4C 4 D 45如图，某工厂有甲、乙两个大小相同的蓄水池，且中间有管道连通，现要向甲池中注水，若单位时间内的注水量不变，那么从注水开始，乙水池水面上升的高度 h 与注水时间 t 之间的函数关系图象可能是（ ）A BC D6如图在水平地面上有一幢房屋 BC 与一棵树 DE，在地面观测点 A 处测得屋顶 C 与树稍的仰角分别是 45与 60
3、，DCA90，在屋顶 C 处测得DCA 90，若房屋的高 BC5 米，则高 DE 的长度是（ ）A6 米 B6 米 C5 米 D12 米7某单位组织职工开展植树活动，植树量与人数之间关系如图，下列说法不正确的是（ ）A参加本次植树活动共有 30 人B每人植树量的众数是 4 棵C每人植树量的中位数是 5 棵D每人植树量的平均数是 5 棵8如图，在矩形 ABCD 中，AB4，AD2，分别以点 A、C 为圆心，AD、CB 为半径画弧，交AB 于点 E，交 CD 于点 F，则图中阴影部分的面积是（ ）A42 B8 C82 D849如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的俯视图和左视图则小立方体的个
4、数可能是（ ）A5 或 6 B5 或 7 C4 或 5 或 6 D5 或 6 或 710如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标为 A（1，1）、B（0，2）、C（1.0），点 P（0 ，2）绕点 A 旋转 180 得到点 P1，点 P1 绕点 B 旋转 180得到点 P2，点 P2 绕点 C 旋转180得到点 P3，点 P3 绕点 A 旋转 180得到点 P4，按此作法进行下去，则点 P2018 的坐标为（ ）A（2，4） B（0，4） C（2，2） D（2，2）二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填到二卷答题纸的指定位置处）11若实数 a 满足 a22a
5、10，则 2a37a 2+4a2018 12学校“百变魔方”社团准备购买 A、B 两种魔方已知购买 2 个 A 种魔方和 6 个 B 种魔方共需130 元，购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方所需款数相同，则购买一套魔方（A、B 两种魔方各1 个）需 元13如图，在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的顶点 O 与坐标原点重合，其边长为 2，点 A、点C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上，函数 y2x 的图象与 CB 交于点 D，函数 y （k 为常数，k0）的图象经过点 D，与 AB 交于点 E，与函数 y2x 的图象在第三象限内交于点 F，连接AF、EF，则AEF 的面积为 1
6、4如图，已平行四边形 OABC 的三个顶点 A、B、C 在以 O 为圆心的半圆上，过点 C 作CDAB ，分别交 AB、AO 的延长线于点 D、E ，AE 交半圆于点 F，连接 CF，若半圆 O 的半径为 12，则阴影部分的周长为 15庄子说：“一尺之椎，日取其半，万世不竭”这句话（文字语言）表达了古人将事物无限分割的思想，用图形语言表示为图 1，按此图分割的方法，可得到一个等式（符号语言）：1 + + +图 2 也是一种无限分割：在ABC 中，C90，B30，过点 C 作 CC1AB 于点 C1，再过点 C1 作 C1C2BC 于点 C2，又过点 C2 作 C2C3AB 于点 C3，如此无限
7、继续下去，则可将利ABC 分割成ACC 1、CC 1C2、C 1C2C3、C 2C3C4、C n2 Cn1 n、假设AC2，这些三角形的面积和可以得到一个等式是 三、解答题（共 7 道题，合计 65 分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，并把答案写在二卷答题纸的指定位置处）16（7 分）先简化，再求值：（ ） ，其中 x2 ，y 17（8 分）从共享单车，共享汽车等共享出行到共享充电宝，共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，越来越多的企业与个人成为参与者与受益者根据国家信息中心发布的中国分享经济发展报告 2017显示，2016 年我国共享经济市场交易额约为34
8、520 亿元，比上年增长 103%；超 6 亿人参与共享经济活动，比上年增加约 1 亿人如图是源于该报告中的中国共享经济重点领域市场规模统计图：（1）请根据统计图解答下列问题：图中涉及的七个重点领域中，2016 年交易额的中位数是 亿元请分别计算图中的“知识技能”和“资金”两个重点领域从 2015 年到 2016 年交易额的增长率（精确到 1%），并就这两个重点领域中的一个分别从交易额和增长率两个方面，谈谈你的认识（2）小宇和小强分别对共享经济中的“共享出行”和“共享知识”最感兴趣，他们上网查阅了相关资料，顺便收集到四个共享经济领域的图标，并将其制成编号为 A，B，C，D 的四张卡片（除编号和
9、内容外，其余完全相同）他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（这四张卡片分别用它们的编号 A，B，C，D 表示）18（9 分）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是 50 元/个，根据市场调研发现售价是 80 元/个时，每周可卖出 160 个，若销售单价每个降低 2 元，则每周可多卖出 20 个设销售价格每个降低 x 元（x 为偶数），每周销售量为 y 个（1）直接写出销售量 y 个与降价 x 元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为 W 元，当销售单价定为多少元
10、时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？（3）若商户计划下周利润不低于 5200 元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？19（9 分）在四边形 ABCD 中，B+D 180，对角线 AC 平分BAD（1）如图 1，若DAB120，且B90，试探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由（2）如图 2，若将（1）中的条件“B90”去掉，（1）中的结论是否成立？请说明理由（3）如图 3，若DAB90，探究边 AD、AB 与对角线 AC 的数量关系并说明理由20（10 分）服装店准备购进甲乙两种服装，甲种每件进价 80 元，售价 120 元；乙种每件进价 60元，售价 90 元，计划购
11、进两种服装共 100 件，其中甲种服装不少于 65 件（1）若购进这 100 件服装的费用不得超过 7500，则甲种服装最多购进多少件？（2）在（1）条件下，该服装店在 5 月 1 日当天对甲种服装以每件优惠 a（0a20）元的价格进行优惠促销活动，乙种服装价格不变，那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润？21（10 分）（1）阅读理解：如图 ，在 ABC 中，若 AB10，AC 6，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围解决此问题可以用如下方法：延长 AD 到点 E 使 DEAD，再连接 BE（或将ACD 绕着点 D 逆时针旋转 180得到EBD），把 AB、AC，2AD 集中在 A
12、BE 中，利用三角形三边的关系即可判断中线 AD 的取值范围是 ；（2）问题解决：如图 ，在 ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DEDF 于点 D，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF，求证：BE+CFEF；（3）问题拓展：如图 ，在四边形 ABCD 中，B+D180，CBCD，BCD140，以 C 为顶点作一个 70角，角的两边分别交 AB，AD 于 E、F 两点，连接 EF，探索线段 BE，DF，EF 之间的数量关系，并加以证明22（12 分）如图，抛物线 y （x3） 21 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C，顶点为
13、 D（1）求点 A，B，D 的坐标；（2）连接 CD，过原点 O 作 OECD，垂足为 H，OE 与抛物线的对称轴交于点 E，连接AE，AD ，求证：AEOADC；（3）以（2）中的点 E 为圆心，1 为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点 P，过点 P 作E 的切线，切点为 Q，当 PQ 的长最小时，求点 P 的坐标，并直接写出点 Q 的坐标2018 年山东省枣庄实验高中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的选项填到二卷答题纸的指定位置处）1【分析】根据数轴上 A
14、 点的位置得出 a 表示的数，利用绝对值的意义计算【解答】解：根据数轴得：a2，|a 1|21| 3|3，故选：C【点评】此题考查了数轴，以及绝对值，熟练掌握绝对值的意义是解本题的关键2【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k0 且（2） 24k（1）0，然后其出两个不等式的公共部分即可【解答】解：根据题意得 k0 且（2） 24k（1）0，解得 k1 且 k0故选：B【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）的根与b 24ac 有如下关系：当0 时，方程有两个不相等的实数根；当0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根3【分析】根据题目中的
15、图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当 n11 时的芍药的数量【解答】解：由图可得，芍药的数量为：4+（2n1）4，当 n11 时，芍药的数量为：4+（2111）44+（221）44+2144+8488，故选：B【点评】本题考查规律型：图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中图形的变化规律4【分析】由设第一次买了 x 本资料，则设第二次买了（x+20）本资料，由等量关系：第二次比第一次每本优惠 4 元，即可得到方程【解答】解：设他上月买了 x 本笔记本，则这次买了（x+20）本，根据题意得： 4故选：D【点评】此题考查了由实际问题抽象出分式方程找到关键描述语，找到合适的等量关系是解
16、决问题的关键5【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案【解答】解：因为该做水池就是一个连通器开始时注入甲池，乙池无水，当甲池中水位到达与乙池的连接处时，乙池才开始注水，所以 A、B 不正确，此时甲池水位不变，所有水注入乙池，所以水位上升快当乙池水位到达连接处时，所注入的水使甲乙两个水池同时升高，所以升高速度变慢在乙池水位超过连通部分，甲和乙部分同时升高，但蓄水池底变小，此时比连通部分快故选：D【点评】主要考查了函数图象的读图能力要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论6【分析】首先解直角三角形求得表示出 AC，AD 的长，进而利用直角三角
17、函数，求出答案【解答】解：如图，在 Rt ABC 中，CAB45，BC6m，AC 5 （m）；在 Rt ACD 中， CAD60 ，AD 10 （m ）；在 Rt DEA 中，EAD60，DE ADsin605 ，答：树 DE 的高为 5 米故选：C【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键7【分析】A、将人数进行相加，即可得出结论 A 正确；B、由种植 4 棵的人数最多，可得出结论B 正确； C、由 4+1014，可得出每人植树量数列中第 15、16 个数为 5，即结论 C 正确；D 、利用加权平均数的计算公式，即可求出每人植树量的平均数约是 4.73 棵，
18、结论 D 错误此题得解【解答】解：A、4+10+8+6+230（人），参加本次植树活动共有 30 人，结论 A 正确；B、108642，每人植树量的众数是 4 棵，结论 B 正确；C、共有 30 个数，第 15、 16 个数为 5，每人植树量的中位数是 5 棵，结论 C 正确；D、（34+4 10+58+66+72）304.73（棵），每人植树量的平均数约是 4.73 棵，结论 D 不正确故选：D【点评】本题考查了条形统计图、中位数、众数以及加权平均数，逐一分析四个选项的正误是解题的关键8【分析】用矩形的面积减去半圆的面积即可求得阴影部分的面积【解答】解：矩形 ABCD，ADCB2，S 阴影
19、S 矩形 S 半圆 24 2282 ，故选：C【点评】本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，能够了解两个扇形构成半圆是解答本题的关键，难度不大9【分析】易得这个几何体共有 2 层，由俯视图可得第一层立方体的个数，由左视图可得第二层最多和最少小立方体的个数，相加即可【解答】解：由俯视图易得最底层有 4 个小立方体，由左视图易得第二层最多有 3 个小立方体和最少有 1 个小立方体，那么小立方体的个数可能是 5 个或 6 个或 7 个故选：D【点评】本题考查了由三视图判断几何体，也体现了对空间想象能力方面的考查如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案注意俯视图中有几
20、个正方形，底层就有几个小立方体10【分析】画出 P1P 6，寻找规律后即可解决问题【解答】解：如图所示，P 1（2，0），P 2（2，4），P 3（0，4），P 4（2，2），P5（2，2），P 6（0，2），发现 6 次一个循环，201863362，点 P2018 的坐标与 P2 的坐标相同，即 P2018（2，4），故选：A【点评】本题考查坐标与图形的性质、点的坐标等知识，解题的关键是循环探究问题的方法，属于中考常考题型二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，把答案填到二卷答题纸的指定位置处）11【分析】由题意可得 a22a+1，代入代数式可求值【解答】解：a 22a
21、10a 22a+12a 37a 2+4a20182a（2a+1）7（2a+1 ）+4a20184a 2+2a14a7+4a20184（2a+1）8a20252021故答案为：2021【点评】本题考查了代数式求值，个体代入是本题的关键12【分析】设 A 种魔方的单价为 x 元/ 个，B 种魔方的单价为 y 元/个，根据“购买 2 个 A 种魔方和 6 个 B 种魔方共需 130 元，购买 3 个 A 种魔方和 4 个 B 种魔方所需款数相同”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论【解答】解：设 A 种魔方的单价为 x 元/ 个，B 种魔方的单价为 y 元/个，根据题意得： ，
22、解得： 答：购买一套魔方（A、B 两种魔方各 1 个）需 35 元故答案为：35【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，列出关于 x、y 的二元一次方程组13【分析】根据正方形的性质，以及函数上点的坐标特征可求点 D 的坐标为（1，2），根据待定系数法可求反比例函数表达式，进一步得到 E、F 两点的坐标，过点 F 作 FGAB ，与 AB 的延长线交于点 G，根据两点间的距离公式可求 AE1， FG3，再根据三角形面积公式可求AEF 的面积【解答】解：正方形 OABC 的边长为 2，点 D 的纵坐标为 2，即 y2，将 y2 代入 y2x ，得 x1，点 D 的坐标为
23、（1，2），函数 y 的图象经过点 D，2 ，解得 k2，反比例函数的表达式为 y ，E（2，1），F（1，2）；过点 F 作 FG AB，与 BA 的延长线交于点 G，E（2，1），F（1，2），AE1，FG2（1）3，AEF 的面积为： AEFG 13 ，故答案为 【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及正方形的性质，解题的关键是求得D、E、F 点的坐标14【分析】根据菱形的判定定理得到四边形 OABC 为菱形，得到COF 为等边三角形，求出OCF60，根据弧长公式求出 的长，根据直角三角形的性质求出 EF、CE，得到答案【解答】解：四边形 OABC 为平行四边形，OAOC，四边
24、形 OABC 为菱形，BABC，CFA COA，BCAF，ACFA，A COA，又A+COA180，A60，COF60，COF 为等边三角形，OCF60， 的长 4，CDAB ，BDC60，BCD30，ECO90，又COE60，E30，OE2OC24，EF12，EC 12 ，阴影部分的周长12+12 +4，故答案为：12+12 +4【点评】本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l 是解题的关键15【分析】先根据 AC2， B 30，CC 1AB，求得 SACC 1 ；进而得到 ， （ ） 2， （ ） 3，根据规律可知 （ ） n1 ，再根据 SABC ACBC 22 2 ，即可得到等式【解答
25、】解：如图 2，AC 2，B 30，CC 1AB，RtACC 1 中， ACC 130，且 BC2 ，AC 1 AC1，CC 1 AC1 ，S ACC1 AC1CC1 1 ；C 1C2BC，CC 1C2 ACC130，CC 2 CC1 ，C 1C2 CC2 ， CC2C1C2 ，同理可得， （ ） 2， （ ） 3， （ ） n1 ，又S ABC ACBC 22 2 ，2 + + （ ） 2+ （ ） 3+ （ ） n1 +2 故答案为：2 【点评】本题主要考查了图形的变化类问题，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解探
26、寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题三、解答题（共 7 道题，合计 65 分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤，并把答案写在二卷答题纸的指定位置处）16【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x、y 的值代入计算可得【解答】解：原式 （ ） ，当 x2 ，y 时，原式 【点评】本题主要考查分式的混合运算化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则17【分析】（1）根据图表将 2016 年七个重点领域的交易额从小到大罗列出来，根据中位数的定义即可得；（2）将（2016 年的资金2015 年的资金）2015 年的资金可分别求得两领域的增长率，结合增长
27、率提出合理的认识即可；（3）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得【解答】解：（1）由图可知，2016 年七个重点领域的交易额分别为70、245、610、2038、3300、7233、20863，2016 年交易额的中位数是 2038 亿元，故答案为：2038；（2）“知识技能”的增长率为： 100%205%，“资金”的增长率为： 109% ，由此可知，“知识技能”领域交易额较小，其增长率最高，达到 200%以上，其发展速度惊人（3）画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中抽到“共享出行”和“共享知识”的结果数为 2，所以抽到“共享出行”和“共享知识”的概率 【点评】本题主要考
28、查条形统计图、折线统计图和列表法与树状图法求概率，根据条形图得出解题所需数据及画树状图列出所有等可能结果是解题的关键18【分析】（1）根据题意，由售价是 80 元/个时，每周可卖出 160 个，若销售单价每个降低 2元，则每周可多卖出 20 个，可得销售量 y 个与降价 x 元之间的函数关系式；（2）根据题意结合每周获得的利润 W销量每个的利润，进而利用二次函数增减性求出答案；（3）根据题意，由利润不低于 5200 元列出不等式，进一步得到销售量的取值范围，从而求出答案【解答】解：（1）依题意有：y10x+160；（2）依题意有：W（8050x）（10x+160）10（x7） 2+5290，因
29、为 x 为偶数，所以当销售单价定为 80674 元或 80872 时，每周销售利润最大，最大利润是 5280 元；（3）依题意有：10（x7） 2+52905200，解得 4x10，则 200y260，2005010000（元）答：他至少要准备 10000 元进货成本【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用等知识，正确利用销量每个的利润W 得出函数关系式是解题关键19【分析】（1）结论：AC AD+AB，只要证明 AD AC，AB AC 即可解决问题；（2）（1）中的结论成立以 C 为顶点，AC 为一边作 ACE60，ACE 的另一边交 AB 延长线于点 E，只要证明DACB
30、EC 即可解决问题；（3）结论： 过点 C 作 CEAC 交 AB 的延长线于点 E，只要证明ACE 是等腰直角三角形，DACBEC 即可解决问题；【解答】解：（1）ACAD+AB理由如下：如图 1 中，在四边形 ABCD 中，D+B 180，B90，D90，DAB120，AC 平分DAB，DACBAC60，B90， ，同理 ACAD+ AB（2）（1）中的结论成立，理由如下：以 C 为顶点，AC 为一边作ACE60，ACE 的另一边交 AB 延长线于点 E，BAC60，AEC 为等边三角形，ACAECE，D+ABC180，DAB120，DCB60，DCABCE，D+ABC180，ABC +E
31、BC180，DCBE，CACE，DACBEC，ADBE，ACAD+ AB（3）结论： 理由如下：过点 C 作 CEAC 交 AB 的延长线于点 E，D +B180，DAB90，DCB90，ACE90，DCABCE，又AC 平分DAB ，CAB45，E45ACCE又D+ABC180，DCBE，CDACBE，ADBE，AD+ ABAE 在 Rt ACE 中，CAB45 ， ， 【点评】本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型20【分析】（1）设甲种服装购进 x 件，则乙
32、种服装购进（100x）件，然后根据购进这 100 件服装的费用不得超过 7500 元，列出不等式解答即可；（2）首先求出总利润 W 的表达式，然后针对 a 的不同取值范围进行讨论，分别确定其进货方案【解答】解：（1）设购进甲种服装 x 件，由题意可知：80x+60（100x ）7500 解得：x 75答：甲种服装最多购进 75 件（2）设总利润为 w 元，因为甲种服装不少于 65 件，所以 65x75，W（40a）x+30 （100x）（10a）x+3000方案 1：当 0a10 时，10a0，w 随 x 的增大而增大，所以当 x75 时，w 有最大值，则购进甲种服装 75 件，乙种服装 25
33、 件；方案 2：当 a10 时，所有方案获利相同，所以按哪种方案进货都可以；方案 3：10a20 时，10a0，w 随 x 的增大而减小，所以当 x65 时，w 有最大值，则购进甲种服装 65 件，乙种服装 35 件【点评】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，以及一次函数的性质，正确利用x 表示出利润是关键21【分析】（1）延长 AD 至 E，使 DEAD，由 SAS 证明ACDEBD，得出 BEAC6，在ABE 中，由三角形的三边关系求出 AE 的取值范围，即可得出 AD 的取值范围；（2）延长 FD 至点 M，使 DMDF ，连接 BM、EM，同（1）得BMD CFD，得出BMC
34、F，由线段垂直平分线的性质得出 EMEF，在BME 中，由三角形的三边关系得出BE+BMEM 即可得出结论；（3）延长 AB 至点 N，使 BNDF，连接 CN，证出NBCD，由 SAS 证明NBCFDC，得出 CNCF，NCBFCD，证出ECN70ECF，再由 SAS 证明NCE FCE，得出 ENEF ，即可得出结论【解答】（1）解：延长 AD 至 E，使 DEAD，连接 BE，如图所示：AD 是 BC 边上的中线，BDCD，在BDE 和CDA 中， ，BDECDA（SAS ），BEAC6，在ABE 中，由三角形的三边关系得：ABBEAEAB+BE，106AE10+6，即 4AE16，2A
35、D8；故答案为：2AD8；（2）证明：延长 FD 至点 M，使 DMDF ，连接 BM、EM ，如图所示：同（1）得：BMDCFD（SAS），BMCF，DEDF ，DMDF，EMEF，在BME 中，由三角形的三边关系得：BE +BMEM，BE+CFEF；（3）解：BE+DFEF ；理由如下：延长 AB 至点 N，使 BNDF，连接 CN，如图 3 所示：ABC+ D180，NBC+ABC180，NBC D，在NBC 和 FDC 中， ，NBC FDC （SAS），CNCF， NCBFCD，BCD140，ECF70，BCE+ FCD70，ECN 70 ECF，在NCE 和 FCE 中， ，NCE
36、 FCE（SAS），ENEF，BE+BNEN，BE+DFEF 【点评】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键22【分析】（1）根据二次函数性质，求出点 A、B、D 的坐标；（2）如何证明AEOADC？如答图 1 所示，我们观察到在EFH 与ADF 中：EHF90，有一对对顶角相等；因此只需证明EAD90即可，即ADE 为直角三角形，由此我们联想到勾股定理的逆定理分别求出ADE 三边的长度，再利用勾股定理的逆定理证明它是直角三角形，由此问题解决；（3）依题意画出图形，如答图 2 所示由E 的半径为
37、1，根据切线性质及勾股定理，得PQ2EP 21，要使切线长 PQ 最小，只需 EP 长最小，即 EP2 最小利用二次函数性质求出EP2 最小时点 P 的坐标，并进而求出点 Q 的坐标【解答】方法一：（1）解：顶点 D 的坐标为（ 3，1）令 y0，得 （x 3） 21 0，解得：x 13+ ，x 23 ，点 A 在点 B 的左侧，A（3 ，0），B（3+ ，0）（2）证明：如答图 1，过顶点 D 作 DGy 轴于点 G，则 G（0，1），GD 3令 x0，得 y ，C（0， ）CGOC +OG +1 ，tanDCG 设对称轴交 x 轴于点 M，则 OM3，DM 1，AM3（3 ） 由 OECD
38、，易知EOM DCGtanEOMtanDCG ，解得 EM2，DEEM+ DM3在 Rt AEM 中， AM ， EM2，由勾股定理得：AE ；在 Rt ADM 中，AM ，DM1，由勾股定理得：AD AE 2+AD26+3 9DE 2，ADE 为直角三角形，EAD90设 AE 交 CD 于点 F，AEO+EFH 90，ADC+AFD90，EFHAFD（对顶角相等），AEOADC（3）解：依题意画出图形，如答图 2 所示：由 E 的半径为 1，根据切线性质及勾股定理，得 PQ2EP 21，要使切线长 PQ 最小，只需 EP 长最小，即 EP2 最小设点 P 坐标为（x ，y ），由勾股定理得：
39、 EP2（x3） 2+（y 2） 2y （x3 ） 21，（x3） 22y +2EP 22y+2+（y2） 2（y1） 2+5当 y1 时，EP 2 有最小值，最小值为 5将 y1 代入 y （x 3） 21，得 （x 3） 211，解得：x 11，x 25又点 P 在对称轴右侧的抛物线上，x 11 舍去P（5，1）EQ 2P 为直角三角形，过点 Q2 作 x 轴的平行线，再分别过点 E，P 向其作垂线，垂足分别为 M 点和 N 点由切割线定理得到 Q2PQ 1P2，EQ 21设点 Q2 的坐标为（m，n）则在 RtMQ 2E 和 RtQ 2NP 中建立勾股方程，即（m3） 2+（n2） 21
40、，（5m）2+（n1） 24得 n 2m5将代入到 得到m13（舍，为 Q1）m2再将 m 代入 得 n ，Q 2（ ， ）此时点 Q 坐标为（3，1）或（ ， ）方法二：（1）略（2）C（0， ），D（3， 1），KCD ，OECD，K CDKOE1，K OE ，l OE：y x，把 x3 代入，得 y2，E（3，2），A（3 ，0），D（3， 1），K EA ，K AD ，K EAKAD1，EAAD ，EHDEAD，EFHAFD，AEOADC（3）由E 的半径为 1，得 PQ2EP 21，要使切线长 PQ 最小，只需 EP 长最小，即 EP2 最小，设点 P 坐标为（x ，y ），EP 2
41、（x3） 2+（y2） 2，y （x3 ） 21，（ x3） 22y+2，EP 22y+2+（y2） 2（y1） 2+5，当 y1 时，EP 2 有最小值，将 y1 代入 y （x3） 21 得：x 11，x 25，又点 P 在对称轴右侧的抛物线上，x 11 舍去，P （5，1），显然 Q1（3，1），Q 1Q2 被 EP 垂直平分，垂足为 H，K Q1Q2KEP1，K EP ，K Q1Q22，Q 1（3，1），l Q1Q2：y2x5，l EP： y x+ ，x ，y ，H（ ， ），H 为 Q1Q2 的中点，H x ，HY ，Q 2（x）2 3 ，Q2（Y）2 1 ，Q 2（ ， ）【点评】本题是二次函数压轴题，涉及考点众多，难度较大第（2）问中，注意观察图形，将问题转化为证明ADE 为直角三角形的问题，综合运用勾股定理及其逆定理、三角函数（或相似形）求解；第（3）问中，解题关键是将最值问题转化为求 EP2 最小值的问题，注意解答中求EP2 最小值的具体方法