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天津市南开区育红中学2019年中考数学三轮冲刺:解直角三角形实际问题(含答案)

1、第 1 页 共 14 页2019 年中考数学三轮冲刺 解直角三角形实际问题冲刺练习考点一:解直角三角形应用仰角俯角问题1.如图,某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼 CD的高度.该楼底层为车库,高 2.5米;上面五层居住,每层高度相等.测角仪支架离地 1.5米,在 A处测得五楼顶部点 D的仰角为 60,在 B处测得四楼顶部点 E的仰角为 30,AB=14 米.求居民楼的高度(精确到 0.1米,参考数据:1.73).32.如图,大楼 AB右侧有一障碍物,在障碍物的旁边有一幢小楼 DE,在小楼的顶端 D处测得障碍物边缘点 C的俯角为 30,测得大楼顶端 A的仰角为 45(点 B,C,E 在同一水平直

2、线上) ,已知 AB=80m,DE=10m,求障碍物 B,C 两点间的距离(结果精确到 0.1m) (参考数据:1.414, 1.732)3.如图,在小山的西侧 A处有一热气球,以 25米/分钟的速度沿着与垂直方向所成夹角为 15的方向升空,40 分钟后到达 B处,这时热气球上的人发现,在 A处的正东方向有一处着火点 C,在 B处测得着火点 C的俯角为 30,求热气球升空点 A与着火点 C的距离.(结果保留根号)第 2 页 共 14 页4.如图,某翼装飞行员从离水平地面高 AC=500m的 A处出发,沿着俯角为 15的方向,直线滑行1600米到达 D点,然后打开降落伞以 75的俯角降落到地面上

3、的 B点.求他飞行的水平距离BC(结果精确到 1m)5.某校九年级数学兴趣小组为了测得该校地下停车场的限高 CD(CDAE),在课外活动时间测得下列数据:如图,从地面 E点测得地下停车场的俯角为 30,斜坡 AE的长为 16米,地面 B点(与 E点在同一水平线)距停车场顶部 C点(A、C、B 在同一条直线上且与水平线垂直)1.2米,试求该校地下停车场的高度 AC及限高 CD( 1.73,结果精确到 0.1米)6.如图 1,某超市从底楼到二楼有一自动扶梯,图 2是侧面示意图已知自动扶梯 AB的坡度为1:2.4,AB 的长度是 13米,MN 是二楼楼顶,MNPQ,C 是 MN上处在自动扶梯顶端 B

4、点正上方的一点,BCMN,在自动扶梯底端 A处测得 C点的仰角为 42,求二楼的层高 BC(精确到 0.1米) (参考数据:sin420.67,cos420.74,tan420.90)第 3 页 共 14 页7.如图,某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后.选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度.他们先在斜坡上的 D处,测得建筑物顶的仰角为 30.且 D离地面的高度 DE=5m.坡底EA=10m,然后在 A处测得建筑物顶 B的仰角是 50,点 E,A,C在同一水平线上,求建筑物 BC的高 (结果保留整数)考点二:解直角三角形应用坡度问题1.如图,水库大坝的横断面为四边形 ABCD,其中

5、 ADBC,坝顶 BC=10米,坝高 20米,斜坡 AB的坡度 i=1:2.5,斜坡 CD的坡角为 30(1)求坝底 AD的长度(结果精确到 1米) ;(2)若坝长 100米,求建筑这个大坝需要的土石料(参考数据: )2.如图,初三一班数学兴趣小组的同学欲测量公园内一棵树 DE的高度,他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上 A点处测得树顶端 D的仰角为 30朝着这棵树的方向走到台阶下的点 C处,测得树顶端 D的仰角为 60,已知 A点的高度 AB为 2米,台阶 AC的坡度为 1: (即AB:BC=1: ),且 B,C,E 三点在同一条直线上,请根据以上条件求出树 DE的高度(测量器的高度忽略不计

6、)第 4 页 共 14 页3.如图山坡上有一根旗杆 AB,旗杆底部 B点到山脚 C点的距离 BC为 6 米,斜坡 BC的坡度i=1: 小明在山脚的平地 F处测量旗杆的高,点 C到测角仪 EF的水平距离 CF=1米,从 E处测得旗杆顶部 A的仰角为 45,旗杆底部 B的仰角为 20(1)求坡角BCD;(2)求旗杆 AB的高度(参考数值:sin200.34,cos200.94,tan200.36)4.如图,已知斜坡 AP的坡度为 1:2.4,坡长 AP为 26米,在坡顶 A处的同一水平面上有一座古塔 BC,在斜坡底 P处测得该塔的塔顶 B的仰角为 45,在坡顶 A处测得该塔的塔顶 B的仰角为 76

7、求:(1)坡顶 A到地面 PQ的距离;(2)古塔 BC的高度(结果精确到 1米) (参考数据:sin760.97,cos760.24,tan764.01)5.某地的一座人行天桥如图所示,天桥高为 6米,坡面 BC的坡度为 1:1,为了方便行人推车过天桥,有关部门决定降低坡度,使新坡面的坡度为 1: (1)求新坡面的坡角 a;(2)原天桥底部正前方 8米处(PB 的长)的文化墙 PM是否需要拆桥?请说明理由第 5 页 共 14 页考点三:解直角三角形应用方位角问题1.如 图 , “中 国 海 监 50”正 在 南 海 海 域 A 处 巡 逻 , 岛 礁 B 上 的 中 国 海 军 发 现 点 A

8、在 点 B 的 正 西 方 向 上 , 岛 礁 C 上 的 中 国 海 军 发 现 点 A 在 点 C 的 南 偏 东 30方 向上 , 已 知 点 C 在 点 B 的 北 偏 西 60方 向 上 , 且 B、 C 两 地 相 距 120 海 里 ( 1) 求 出 此 时 点 A 到 岛 礁 C 的 距 离 ;( 2) 若 “中 海 监 50”从 A 处 沿 AC 方 向 向 岛 礁 C 驶 去 , 当 到 达 点 A 时 , 测 得 点B 在 A 的 南 偏 东 75的 方 向 上 , 求 此 时 “中 国 海 监 50”的 航 行 距 离 ( 注 : 结果 保 留 根 号 )2.如图,禁止

9、捕鱼期间,某海上稽查队在某海域巡逻,上午某一时刻在 A处接到指挥部通知,在他们东北方向距离 12海里的 B处有一艘捕鱼船,正在沿南偏东 75方向以每小时 10海里的速度航行,稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时 14海里的速度沿北偏东某一方向出发,在 C处成功拦截捕鱼船,求巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间.3.如图,在一条笔直的东西向海岸线 l上有一长为 1.5km的码头 MN和灯塔 C,灯塔 C距码头的东端 N有 20km以轮船以 36km/h的速度航行,上午 10:00 在 A处测得灯塔 C位于轮船的北偏西 30方向,上午 10:40 在 B处测得灯塔 C位于轮船的北偏东 60方向,且与灯

10、塔 C相距12km(1)若轮船照此速度与航向航向,何时到达海岸线?(2)若轮船不改变航向,该轮船能否停靠在码头?请说明理由 (参考数据:1.4, 1.7)第 6 页 共 14 页4.钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土(如图 1) ,A、B、C 分别是钓鱼岛、南小岛、黄尾屿上的点(如图 2) ,点 C在点 A的北偏东 47方向,点 B在点 A的南偏东 79方向,且 A、B 两点的距离约为 5.5km;同时,点 B在点 C的南偏西 36方向若一艘中国渔船以 30km/h的速度从点 A驶向点 C捕鱼,需要多长时间到达(结果保留小数点后两位)?(参考数据:sin540.81,cos540.59,tan4

11、71.07,tan360.73,tan110.19)5.如图,大海中某岛 C的周围 25km范围内有暗礁一艘海轮向正东方向航行,在 A处望见 C在北偏东 60处,前进 20km后到达点 B,测得 C在北偏东 45处如果该海轮继续向正东方向航行,有无触礁危险?请说明理由 (参考数据: 1.41, 1.73)6.某市开展一项自行车旅游活动,线路需经A、B、C、D四地,如图,其中A、B、C三地在同一直线上,D地在A地北偏东 30方向,在C地北偏西 45方向,C地在A地北偏东 75方向.且BC=CD=20km,问沿上述线路从A地到D地的路程大约是多少?(最后结果保留整数,参考数据:sin150.25,

12、cos150.97,tan150.27, )第 7 页 共 14 页第 8 页 共 14 页参考答案考点一:1.解:2.解:如图,过点 D作 DFAB 于点 F,过点 C作 CHDF 于点 H则 DE=BF=CH=10m,在直角ADF 中,AF=80m10m=70m,ADF=45,DF=AF=70m在直角CDE 中,DE=10m,DCE=30,CE= = =10 (m) ,BC=BECE=7010 7017.3252.7(m) 答:障碍物 B,C 两点间的距离约为 52.7m3.解:作 ADBC 垂足为 D,AB=4025=1000,BEAC,C=EBC=30,ABD=903015=45,在

13、RtABD 中,sinABD= ,AD=ABsinABD=1000sin45=1000 =500 ,AC=2AD=1000 ,答:热气球升空点 A与着火点 C的距离是 1000 米4.解:过点 D作 DEAC 于点 E,过点 D作 DFBC 于点 F,由题意可得:ADE=15,BDF=15,AD=1600m,AC=500m,cosADE=cos15= 0.97, 0.97,解得:DE=1552(m),sin15= 0.26, 0.26,解得;AE=416(m),第 9 页 共 14 页DF=500416=84(m),tanBDF=tan15= 0.27, 0.27,解得:BF=22.68(m)

14、,BC=CF+BF=1552+22.68=1574.681575(m),答:他飞行的水平距离为 1575m5.解:连接 AC,ABE=90,E=30,AB=0.5AE=8,AC=81.2=6.8,CD=ACsinEAB=6.8 5.9,答:地下停车场的高度 AC为 6.8米,限高 CD约为 5.9米6.7.解:过点 D作 DMBC 于点 M,DNAC 于点 N,如图所示:则四边形 DMCN是矩形,DH=EC,DE=HC,设建筑物 BC的高度为 xm,则 BH=(x5)m,在 RtDHB 中,BDH=30,DH= (x5) ,AC=ECEA= (x5)10,在 RtACB 中,BAC=50,ta

15、nBAC= ,x=tan50 (x5),解得:x21,答:建筑物 BC的高约为 21m第 10 页 共 14 页考点二:1.解:(1)作 BEAD 于 E,CFAD 于 F,则四边形 BEFC 是矩形,EF=BC=10 米,BE=20 米,斜坡 AB 的坡度 i=1:2.5 ,AE=50 米,CF=20 米,斜坡 CD 的坡角为 30,DF= =20 35 米,AD=AE+EF+FD=95 米;(2)建筑这个大坝需要的土石料: (95+10)20100=105000 米 32.3.4.解:(1)过点 A作 AHPQ,垂足为点 H斜坡 AP的坡度为 1:2.4,AH:PH=5:12,设 AH=5

16、km,则 PH=12km,由勾股定理,得 AP=13km13k=26m 解得 k=2AH=10m答:坡顶 A到地面 PQ的距离为 10m(2)延长 BC交 PQ于点 DBCAC,ACPQ,BDPQ四边形 AHDC是矩形,CD=AH=10,AC=DHBPD=45,PD=BD 第 11 页 共 14 页设 BC=x,则 x+10=24+DHAC=DH=x14在 RtABC 中,tan76=BC:AC,即 x:(x-14)4.0,解得 x19,答:古塔 BC的高度约为 19米5.解:(1)新坡面的坡度为 1: ,tan=tanCAB= = ,=30答:新坡面的坡角 a为 30;(2)文化墙 PM不需

17、要拆除过点 C作 CDAB 于点 D,则 CD=6,坡面 BC的坡度为 1:1,新坡面的坡度为 1: ,BD=CD=6,AD=6 ,AB=ADBD=6 68,文化墙 PM不需要拆除考点三:1.解 :2.解:设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 小时.如图所示,由题得 ,第 12 页 共 14 页, ,过点 作 的延长线于点 ,在 中, , . .在 中,由勾股定理得:解此方程得 (不合题意舍去).答:巡逻船从出发到成功拦截所用时间为 2小时。3.解:第 13 页 共 14 页4.5.6.解:由题意可知DCA=1807545=60,BC=CD,BCD是等边三角形过点B作BEAD,垂足为E,如图所示:由题意可知DAC=7530=45,BCD是等边三角形,DBC=60 BD=BC=CD=20km,ADB=DBCDAC=15,BE=sin15BD0.25205m,AB= = 7m,AB+BC+CD7+20+2047m答:从A地跑到D地的路程约为 47m第 14 页 共 14 页