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天津市南开区育红中学2019年中考数学三轮冲刺:图形的变换 冲刺练习(含答案)

1、第 1 页 共 19 页2019 年 九年级中考数学三轮冲刺 图形的变换 冲刺练习考点一:折叠问题:1.如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8.将矩形 ABCD 沿 CE 折叠后,使点 D 恰好落在对角线 AC上的点 F 处.(1)求 EF 的长;(2)求四边形 ABCE 的面积.2.如图,将矩形 ABCD 沿 DE 折叠使点 A 落在点 A处,然后将矩形展平,如图沿 EF 折叠使点 A 落在折痕 DE 上的点 G 处,再将矩形 ABCD 沿 CE 折叠,此时顶点 B 恰好落在 DE 上的点 H 处.(1)求证:EG=CH;(2)已知 AF= 2,求 AD 和 AB 的长.第 2 页

2、共 19 页3.在正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,AE 与 BF 相交于点 G(1)如图 1,求证:AEBF;(2)如图 2,将BCF 沿 BF 折叠,得到BPF,延长 FP 交 BA 的延长线于点 Q,若 AB=4,求 QF 的值.4.如图,四边形 ABCD 表示一张矩形纸片,AB=10,AD=8E 是 BC 上一点,将ABE 沿折痕 AE向上翻折,点 B 恰好落在 CD 边上的点 F 处,O 内切于四边形 ABEF求:(1)折痕 AE 的长;(2)O 的半径5.准备一张矩形纸片,按如图操作:将ABE 沿 BE 翻折,使点 A 落在对角线 BD 上的 M 点,将CD

3、F 沿 DF 翻折,使点 C 落在对角线 BD 上的 N 点(1)求证:四边形 BFDE 是平行四边形;(2)若四边形 BFDE 是菱形,AB=2,求菱形 BFDE 的面积6.阅读材料,在平面直角坐标系中,已知 x 轴上两点 A(x 1,0) ,B(x 2,0)的距离记作AB=|x1x 2|;若 A,B 是平面上任意两点,我们可以通过构造直角三角形来求 AB 间的距离,如图,过A,B 分别向 x 轴、y 轴作垂线 AM1、AN 1和 BM2、BN 2,垂足分别是 M1、N 1、M 2、N 2,直线 AN1交BM2于点 Q,在 RtABQ 中,AQ=|x1x 2|,BQ=|y 1y 2|,AB

4、2=AQ2+BQ2=|x1x 2|+|y1y 2|2=(x1x 2)2+(y1y 2)2,由此得到第 3 页 共 19 页平面直角坐标系内任意两点 A(x 1,y 1) ,B(x 2,y 2)间的距离公式为:(1)AB= (2)直接应用平面内两点间距离公式计算点 A(1,3) ,B(2,1)之间的距离为 ;(3)根据阅读材料并利用平面内两点间的距离公式,求代数式 + 的最小值7.矩形 ABCD 中,AB=10,BC=6,点 E 在线段 AB 上.点 F 在线段 AD 上.(1)沿 EF 折叠,使 A 落在 CD 边上的 G 处(如图) ,若 DG=3, 求 AF 的长; 求 AE 的长; (2

5、)若按 EF 折叠后,点 A 落在矩形 ABCD 的 CD 边上,请直接写出 AF 的范围.考点二:旋转问题:1.如图 1,分别以矩形 OABC 的两边 OA 和 OC 所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,A点的坐标为第 4 页 共 19 页(3,0) ,C 点的坐标为(0,4) ,将矩形 OABC 绕 O 点逆时针旋转,使 B 点落在 y 轴的正半轴上,旋转后的矩形为 OA1B1C1,BC、A 1B1相交于点 M.(1)求点 B1的坐标与线段 B1C 的长;(2)将图 1 的矩形 OA1B1C1沿 y 轴向上平移,如图 2,矩形 PA2B2C2是平移过程中的某一位置,BC,A 2

6、B2相交于点 M1,点 P 运动到 C 点停止。设点 P 运动的距离为 x,矩形 PA2B2C2与圆矩形OABC 重叠部分的面积为 y,求 y 关于 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围.2.已知,等腰RtABC中,点O是斜边的中点,MPN是直角三角形,固定ABC,滑动MPN,在滑动过程中始终保持点P在AC上,且PMAB,PNBC,垂足分别为E、F(1)如图 1,当点P与点O重合时,OE、OF的数量和位置关系分别是 _(2)当MPN移动到图 2 的位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由 (3)如图 3,等腰RtABC的腰长为 6,点P在AC的延长线上时,RtMPN的边 PM 与AB的延

7、长线交于点E,直线B C与直线NP交于点F,OE交BC于点H,且 EH:HO=2:5,则BE的长是多少? 3.阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图 1,ABO和CDO均为等腰直角三角形, AOB=COD =90若BOC的面积为 1, 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积 第 5 页 共 19 页小明是这样思考的:要解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可他利用图形变换解决了这个问题,其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证OBEOAD, 从而得到的BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形(如图

8、2)请你回答:图 2 中BCE的面积等于 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法,解决下列问题:如图 3,已知ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID(1)在图 3 中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);(2)若ABC的面积为 1,则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于 4.(1)如图 1,点P是正方形ABCD内的一点,把ABP绕点B顺时针方向旋转,使点A与点C重合,点P的对应点是Q若PA=3,PB=2 ,PC=5,求BQC的度数(2)点P是等边三角形ABC内的一点,若PA=12

9、,PB=5,PC=13,求BPA的度数5.如图,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为 1, , ADP沿第 6 页 共 19 页点A旋转至ABP /,连结PP /,并延长AP与BC相交于点Q(1)求证:APP是等腰直角三角形;(2)求BPQ的大小;(3)求CQ的长 6.将两块全等的三角板如图摆放,其中ACB=DCE=90,A=D=45,将图中的DCE顺时针旋转得图 ,点P是AB与CE的交点,点Q是DE 与BC的交点,在DC上取 一点F,连接BE、FP,设BC=1,当BFAB时,求PBF面积的最大值。7.(1)如图 1,在 RtABC 中,ABC=90,以点 B 为中心,把

10、ABC 逆时针旋转 90,得到A1BC1;再以点 C 为中心,把ABC 顺时针旋转 90,得到A 2B1C,连接 C1B1,则 C1B1与 BC 的位置关系为 ;第 7 页 共 19 页(2)如图 2,当ABC 是锐角三角形,ABC=(60)时,将ABC 按照(1)中的方式旋转 ,连接 C1B1,探究 C1B1与 BC 的位置关系,写出你的探究结论,并加以证明;(3)如图 3,在图 2 的基础上,连接 B1B,若 C1B1= BC,C 1BB1的面积为 4,则B 1BC 的面积为 8.在平面直角坐标系中,己知 O 为坐标原点,点 A(3,0) ,B(0,4) ,以点 A 为旋转中心,把ABO

11、顺时针旋转,得ACD记旋转角为 ABO 为 ()如图,当旋转后点 D 恰好落在 AB 边上时,求点 D 的坐标;()如图,当旋转后满足 BCx 轴时,求 与 之间的数量关系:()当旋转后满足AOD= 时,求直线 CD 的解析式(直接写出结果即可) 考点三:动点问题:1.如图,A,B,C,D为矩形ABCD的四个顶点,AB=25 cm,AD=8 cm,动点P,Q分别从点A,C同时出发,点P以 3 cm/s的速度向点B移动,运动到点B为止,点Q以 2 cm/s的速度向点D移动(1)P,Q两点从出发开始到第几秒时,PQAD?(2)试问:P,Q两点从出发开始到第几秒时,四边形PBCQ的面积为 84 平方

12、厘米第 8 页 共 19 页2.如图,已知在ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,点P在AB上(不与A、B重合),过P作PEAC,PFBC,垂足分别是E、F,连接EF,M为EF的中点(1)请判断四边形PECF的形状,并说明理由;(2)随着P点在边AB上位置的改变,CM的长度是否也会改变?若不变,请你求CM的长度;若有变化,请你求CM的变化范围3.如图,ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MNBC.设MN交ACB的平分线于 点E,交ACB的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)若CE=12,CF=5,求OC的长 ;(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?

13、并说明理由4.如图,长方形ABCD,AB=9,AD=4.E为CD边上一点,CE=6. (1)求AE的长(2)点P从点B出发,以每秒 1 个单位的速度沿着边BA向终点A运动,连接PE设点P运动的时间为t秒,则当t为何值时,PAE为等腰三角形?第 9 页 共 19 页5.已知O 上两个定点 A,B 和两个动点 C,D,AC 与 BD 交于点 E(1)如图 1,求证:EAEC=EBED;(2)如图 2,若弧 AB=弧 BC,AD 是O 的直径,求证:ADAC=2BDBC;(3)如图 3,若 ACBD,点 O 到 AD 的距离为 2,求 BC 的长6.如图 1,水平放置一个三角板和一个量角器,三角板的

14、边AB和量角器的直径DE在一条直线上,AB=BC=6cm,OD=3cm.开始的时候BD=1cm,现在三角板以 2cm/s的速度向右移动.(1)当B与O重合的时候,求三角板运动的时间;(2)如图 2,当AC与半圆相切时,求AD;(3)如图 3,当AB和DE重合时,求证:CF 2=CGCE.7.如图 1,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点P、Q分别是AB边和CD边上的动点,点P从点A向点B运动,点Q从点C向点D运动,且保持AP=CQ设AP=x(1)当PQAD时, x的值等于 ;(2)如图 2,线段PQ的垂直平分线EF与BC边相交于点E,连接EP、EQ,设BE= y,求y关于x的函第 10 页

15、 共 19 页数关系式;(3)在问题(2)中,设EPQ的面积为S,求S关于x的函数关系式,并求当x取何值时,S的值最小,最小值是多少? 8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以 1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以 2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,AMN的面积等于矩形ABCD面积的九分之一?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与ACD相似?若存在,求t的值;若不存在,请说明理由9.如图,已知在RtABC中,ABC=90,C=30,AC=12cm,点E从点A出发沿AB以每

16、秒 1cm的速度向点B运动,同时点D从点C出发沿CA以每秒 2cm的速度向点A运动,运动时间为t秒(0t6),过点D作DFBC于点F (1)试用含t的式子表示AE、AD的长; 第 11 页 共 19 页(2)如图,在D、E运动的过程中,四边形AEFD是平行四边形,请说明理由; (3)连接DE,当t为何值时,DEF为直角三角形? (4)如图,将ADE沿DE翻折得到ADE,试问当t为何值时,四边形 AEAD为菱形?参考答案专题一:1.解:(1)设 EF=x 依题意知:CDECFE,DE=EF=x,CF=CD=6.在 RtACD 中,AC= =10,AF=ACCF=4,AE=ADDE=8x.在 Rt

17、AEF 中,有 AE2=AF2+EF2即(8x) 2=42+x2解得 x=3,即:EF=3.(2)由(1)知:AE=83=5,S 梯形 ABCE= =(5+8)62=39.2.解:(1)证明:由折叠知AEFGEF,BCEHCE,AE=AE=BC,AEF=BCE,AEFBCE,第 12 页 共 19 页GEFHCE,EG=CH;(2)AF=FG= 2,FDG=45,FD=2,AD=2 2;AF=FG=HE=EB= ,AE=AD=2 ,AB=AEEB=2 =22 .3.(1)证明:E,F 分别是正方形 ABCD 边 BC,CD 的中点,CF=BE,在ABE 和BCF 中, RtABERtBCF(S

18、AS) ,BAE=CBF,又BAE+BEA=90,CBF+BEA=90,BGE=90,AEBF;(2)解:将BCF 沿 BF 折叠,得到BPF,FP=FC,PFB=BFC,FPB=90,CDAB,CFB=ABF,ABF=PFB,QF=QB,设 QF=x,PB=BC=AB=4,CF=PF=2,QB=x,PQ=x2,在 RtBPQ 中,x 2=(x2) 2+42,解得:x=5,即 QF=54.5.6.解:(1)AB 2=AQ2+BQ2=|x1x 2|2+|y1y 2|2=(x 1x 2) 2+(y 1y 2) 2,第 13 页 共 19 页AB= 故答案为 (2)A(1,3) ,B(2,1) ,A

19、B= =5故答案为 5(3)代数式 + 的最小值表示在 x 轴上找一点 P(x,0) ,到 A(0,2) ,B(3,1)的距离之和最小如图,作 A 关于 x 轴的对称点 A,连接 BA与 x 轴的交点即为所求的点 P此时 PA+PB 最小,A(0,2) ,B(3,1) ,PA+PB=PA+PB=BA= =3 代数式 + 的最小值为 3 7.解:(1)解:(1)设 AF=x,则 FG=x,在 RtDFG 中,x 2=(6x) 2+32解得 x=3.75,所以 AF=3.75.过 G 作 GHAB 于 H,设 AE=y,则 GE=y3.在 RtEHG 中,y 2=62+(y3) 2,解得 y=7.

20、5,AE=7.5.(2) 30AF6.专题二:1.(1)如图 1,因为 OB1=OB=5,所以点 B1的坐标为(0,5) 因为 C(0,4) ,所以 OC=4,则 B1C=OB1-OC=5-4=1(2)在矩形 OA1B1C1沿 y 轴向上平移到 P 点与 C 点重合的过程中,点 A1运动到矩形 OABC 的边BC 上时,重叠部分的面积为PA 2C 的面积,A 2C= ,又 A2P=3,根据勾股定理得:CP= ,即 4-x= .求得 P 点移动的距离 x= .当自变量 x 的取值范围为 0x 时,如图 2,由B 2CM1B 2A2P,得 CM1= ,此时,y=S B2A2P -SB2CM1 =

21、34- (1+x),即 y=- (x+1)2+6.当自变量 x 的取值范围为 x4 时,求得 y=SPCM1 = (x-4)22.已知,等腰RtABC中,点O是斜边的中点,MPN是直角三角形,固定ABC,滑动MPN,在滑动过程中始终保持点P在AC上,且PMAB,PNBC,垂足分别为E、F(1)如图 1,当点P与点O重合时,OE、OF的数量和位置关系分别是 _(2)当MPN移动到图 2 的位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由 第 14 页 共 19 页(3)如图 3,等腰RtABC的腰长为 6,点P在AC的延长线上时,RtMPN的边 PM 与AB的延长线交于点E,直线B C与直线NP交于点

22、F,OE交BC于点H,且 EH:HO=2:5,则BE的长是多少? 3.解:BCE的面积等于 2 . (1)如图:以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形是EGM .(2) 以 EG、FH、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于 3 4.解:(1)连接PQ由旋转可知: ,QC=PA=3又ABCD是正方形,ABP绕点B顺时针方向旋转了 90,才使点A与C重合,即PBQ=90,PQB=45,PQ=4则在PQC中,PQ=4,QC=3,PC=5,PC 2=PQ2+QC2即PQC=90故BQC=90+45=135(2)将此时点P的对应点是点P由旋转知,APBCPB,即BPA=BPC,PB=PB=5,P

23、C=PA=12又ABC是正三角形,ABP绕点B顺时针方向旋转 60,才使点A与C重合,得PBP=60,又PB=PB=5,PBP也是正三角形,即PPB=60,PP=5因此,在PPC中,PC=13,PP=5,PC=12,PC 2=PP 2+PC 2即PPC=90故BPA=BPC=60+90=1505.证明略;45;6.解:ACB =90,A=45,A=ABC=45,AC=BC=1.BFAB,CBF=45.A=CBF.由旋转的性质可得:BCF=ACP,BCF ACP(ASA).BF=AP。第 15 页 共 19 页ACB =90,A=45,AC =1,AB= 。设BP=x ,则BF=AP = , 。

24、 ,当x= 时,S (max) = 。7.解:(1)平行,把ABC 逆时针旋转 90,得到A 1BC1;再以点 C 为中心,把ABC 顺时针旋转 90,得到A 2B1C,C 1BC=B 1BC=90,BC 1=BC=CB1,BC 1CB 1,四边形 BCB1C1是平行四边形,C 1B1BC,故答案为:平行;(2)证明:如图,过 C1作 C1EB 1C,交 BC 于 E,则C 1EB=B 1CB,由旋转的性质知,BC 1=BC=B1C,C 1BC=B 1CB,C 1BC=C 1EB,C 1B=C1E,C 1E=B1C,四边形 C1ECB1是平行四边形,C 1B1BC;(3)由(2)知 C1B1B

25、C,设 C1B1与 BC 之间的距离为 h,C 1B1= BC, = ,S = B1C1h,S = BCh, = = = ,C 1BB1的面积为 4,B 1BC 的面积为 6,故答案为:68.解:第 16 页 共 19 页专题三:1. (1)设P,Q两点从出发开始到第x 秒时,PQAD,四边形ABCD是平行四边形,ABCD,即APDQ.PQAD,四边形APQD是平行四边形AP=DQ.3x=252x.解得x=5.答:P,Q两点从出发开始到第 5 秒时,PQAD.(2)设P,Q两点从出发开始到第a秒时,四边形PBCQ的面积为 84 平方厘米,BP=25-3a,CQ=2a,根据梯形面积公式得:0.5

26、(25-3a2a)8=84.解得a=4.答:P,Q两点从 出发开始到第 4 秒时,四边形PBCQ的面积为 84 平方厘米 第 17 页 共 19 页2. (1)四边形PECF是矩形理由如下:在ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,AC 2BC 2=324 2=52=AB2.ACB=90.PEAC,PFBC,PEC=ACB=CFP=90.四边形PECF是矩形(2)CM的长度会改 变理由:连接PC,由(1)证得四边形PECF是矩形,M是EF的中点,M在PC上且EF=PC,CM=0.5PC.过点C作CDAB,当CD=PC时PC最小,此时PC=2.4.点P在斜边AB上(不与A、B重合),PCBC=4

27、.PC的范围是 2.4PC4,即EF的范围是 2.4EF4.CM的范围是 1.2CM2. 3.(1)证明:CF平分ACD,且MNBD,ACF=FCD=CFO.OF=OC.同理:OC=OE.OE=OF.(2)由(1)知:OF=OC,OC=OE,OCF=OFC,OCE=OEC.OCFOCE=OFCOEC.而OCFOCEOFCOEC=180,ECF=OCFOCE=90.EF=13.OC=0.5EF=6.5.(3)连接AE、AF. 当点O移动到AC中点时,四边形AECF为矩形理由如下:由(1)知OE=OF,当点O移动到AC中点时,有OA=OC,四边形AECF为平行四边形又ECF=90,四边形AECF为矩形4.解:(1)5;(2)t=29/6 或t=4 或t=3.5.第 18 页 共 19 页6.7.8.第 19 页 共 19 页9.略