1、第 1 页 共 19 页2019 年 九年级中考数学三轮冲刺 图形的变换 冲刺练习考点一：折叠问题：1.如图，在矩形 ABCD 中，AB=6，BC=8.将矩形 ABCD 沿 CE 折叠后，使点 D 恰好落在对角线 AC上的点 F 处.(1)求 EF 的长；(2)求四边形 ABCE 的面积.2.如图，将矩形 ABCD 沿 DE 折叠使点 A 落在点 A处，然后将矩形展平，如图沿 EF 折叠使点 A 落在折痕 DE 上的点 G 处，再将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，此时顶点 B 恰好落在 DE 上的点 H 处.(1)求证：EG=CH；(2)已知 AF= 2，求 AD 和 AB 的长.第 2 页
2、共 19 页3.在正方形 ABCD 中,E、F 分别为 BC、CD 的中点,AE 与 BF 相交于点 G（1）如图 1,求证：AEBF；（2）如图 2,将BCF 沿 BF 折叠,得到BPF,延长 FP 交 BA 的延长线于点 Q,若 AB=4,求 QF 的值.4.如图，四边形 ABCD 表示一张矩形纸片，AB=10，AD=8E 是 BC 上一点，将ABE 沿折痕 AE向上翻折，点 B 恰好落在 CD 边上的点 F 处，O 内切于四边形 ABEF求：（1）折痕 AE 的长；（2）O 的半径5.准备一张矩形纸片，按如图操作：将ABE 沿 BE 翻折，使点 A 落在对角线 BD 上的 M 点，将CD
3、F 沿 DF 翻折，使点 C 落在对角线 BD 上的 N 点（1）求证：四边形 BFDE 是平行四边形；（2）若四边形 BFDE 是菱形，AB=2，求菱形 BFDE 的面积6.阅读材料,在平面直角坐标系中,已知 x 轴上两点 A（x 1，0） ，B（x 2，0）的距离记作AB=|x1x 2|；若 A,B 是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求 AB 间的距离,如图,过A，B 分别向 x 轴、y 轴作垂线 AM1、AN 1和 BM2、BN 2，垂足分别是 M1、N 1、M 2、N 2，直线 AN1交BM2于点 Q，在 RtABQ 中，AQ=|x1x 2|，BQ=|y 1y 2|,AB
4、2=AQ2+BQ2=|x1x 2|+|y1y 2|2=(x1x 2)2+(y1y 2)2，由此得到第 3 页 共 19 页平面直角坐标系内任意两点 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2）间的距离公式为：（1）AB= （2）直接应用平面内两点间距离公式计算点 A（1,3） ，B（2,1）之间的距离为 ；（3）根据阅读材料并利用平面内两点间的距离公式，求代数式 + 的最小值7.矩形 ABCD 中，AB=10，BC=6，点 E 在线段 AB 上.点 F 在线段 AD 上.(1)沿 EF 折叠，使 A 落在 CD 边上的 G 处（如图） ，若 DG=3， 求 AF 的长； 求 AE 的长； (2
5、)若按 EF 折叠后，点 A 落在矩形 ABCD 的 CD 边上，请直接写出 AF 的范围.考点二：旋转问题：1.如图 1，分别以矩形 OABC 的两边 OA 和 OC 所在的直线为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为第 4 页 共 19 页（3,0） ，C 点的坐标为（0,4） ，将矩形 OABC 绕 O 点逆时针旋转，使 B 点落在 y 轴的正半轴上，旋转后的矩形为 OA1B1C1，BC、A 1B1相交于点 M.（1）求点 B1的坐标与线段 B1C 的长；（2）将图 1 的矩形 OA1B1C1沿 y 轴向上平移，如图 2，矩形 PA2B2C2是平移过程中的某一位置，BC，A 2
6、B2相交于点 M1，点 P 运动到 C 点停止。设点 P 运动的距离为 x，矩形 PA2B2C2与圆矩形OABC 重叠部分的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围.2.已知，等腰RtABC中，点O是斜边的中点，MPN是直角三角形，固定ABC，滑动MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PMAB，PNBC，垂足分别为E、F（1）如图 1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是 _（2）当MPN移动到图 2 的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由 （3）如图 3，等腰RtABC的腰长为 6，点P在AC的延长线上时，RtMPN的边 PM 与AB的延
7、长线交于点E，直线B C与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且 EH：HO=2：5，则BE的长是多少？ 3.阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图 1，ABO和CDO均为等腰直角三角形, AOB=COD =90若BOC的面积为 1， 试求以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形的面积 第 5 页 共 19 页小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO到E, 使得OE=CO, 连接BE, 可证OBEOAD, 从而得到的BCE即是以AD、BC、OC+OD的长度为三边长的三角形（如图
8、2）请你回答：图 2 中BCE的面积等于 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题：如图 3，已知ABC, 分别以AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE、AGFC、BCHI, 连接EG、FH、ID（1）在图 3 中利用图形变换画出并指明以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；（2）若ABC的面积为 1，则以EG、FH、ID的长度为三边长的三角形的面积等于 4.（1）如图 1，点P是正方形ABCD内的一点，把ABP绕点B顺时针方向旋转，使点A与点C重合，点P的对应点是Q若PA=3，PB=2 ，PC=5，求BQC的度数（2）点P是等边三角形ABC内的一点，若PA=12
9、，PB=5，PC=13，求BPA的度数5.如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为 1， ， ADP沿第 6 页 共 19 页点A旋转至ABP /，连结PP /，并延长AP与BC相交于点Q（1）求证：APP是等腰直角三角形；（2）求BPQ的大小；（3）求CQ的长 6.将两块全等的三角板如图摆放，其中ACB=DCE=90，A=D=45，将图中的DCE顺时针旋转得图 ，点P是AB与CE的交点，点Q是DE 与BC的交点，在DC上取 一点F，连接BE、FP，设BC=1，当BFAB时，求PBF面积的最大值。7.（1）如图 1,在 RtABC 中,ABC=90,以点 B 为中心,把
10、ABC 逆时针旋转 90,得到A1BC1；再以点 C 为中心，把ABC 顺时针旋转 90,得到A 2B1C,连接 C1B1，则 C1B1与 BC 的位置关系为 ；第 7 页 共 19 页（2）如图 2,当ABC 是锐角三角形,ABC=（60）时,将ABC 按照（1）中的方式旋转 ,连接 C1B1，探究 C1B1与 BC 的位置关系,写出你的探究结论，并加以证明；（3）如图 3,在图 2 的基础上,连接 B1B,若 C1B1= BC，C 1BB1的面积为 4,则B 1BC 的面积为 8.在平面直角坐标系中，己知 O 为坐标原点，点 A（3，0） ，B（0，4） ，以点 A 为旋转中心，把ABO
11、顺时针旋转，得ACD记旋转角为 ABO 为 （）如图，当旋转后点 D 恰好落在 AB 边上时，求点 D 的坐标；（）如图，当旋转后满足 BCx 轴时，求 与 之间的数量关系：（）当旋转后满足AOD= 时，求直线 CD 的解析式（直接写出结果即可） 考点三：动点问题：1.如图，A，B，C，D为矩形ABCD的四个顶点，AB=25 cm，AD=8 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以 3 cm/s的速度向点B移动，运动到点B为止，点Q以 2 cm/s的速度向点D移动(1)P，Q两点从出发开始到第几秒时，PQAD?(2)试问：P，Q两点从出发开始到第几秒时，四边形PBCQ的面积为 84 平方
12、厘米第 8 页 共 19 页2.如图，已知在ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，点P在AB上(不与A、B重合)，过P作PEAC，PFBC，垂足分别是E、F，连接EF，M为EF的中点(1)请判断四边形PECF的形状，并说明理由；(2)随着P点在边AB上位置的改变，CM的长度是否也会改变？若不变，请你求CM的长度；若有变化，请你求CM的变化范围3.如图，ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MNBC.设MN交ACB的平分线于 点E，交ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE=OF；(2)若CE=12，CF=5，求OC的长 ；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？
13、并说明理由4.如图，长方形ABCD，AB=9，AD=4.E为CD边上一点，CE=6. （1）求AE的长（2）点P从点B出发，以每秒 1 个单位的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE设点P运动的时间为t秒，则当t为何值时，PAE为等腰三角形？第 9 页 共 19 页5.已知O 上两个定点 A，B 和两个动点 C，D，AC 与 BD 交于点 E（1）如图 1，求证：EAEC=EBED；（2）如图 2，若弧 AB=弧 BC，AD 是O 的直径，求证：ADAC=2BDBC；（3）如图 3，若 ACBD，点 O 到 AD 的距离为 2，求 BC 的长6.如图 1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的
14、边AB和量角器的直径DE在一条直线上，AB=BC=6cm,OD=3cm.开始的时候BD=1cm,现在三角板以 2cm/s的速度向右移动.（1）当B与O重合的时候，求三角板运动的时间；（2）如图 2，当AC与半圆相切时，求AD；（3）如图 3，当AB和DE重合时，求证:CF 2=CGCE.7.如图 1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ设AP=x（1）当PQAD时， x的值等于 ；（2）如图 2，线段PQ的垂直平分线EF与BC边相交于点E，连接EP、EQ，设BE= y，求y关于x的函第 10 页
15、 共 19 页数关系式；（3）在问题（2）中，设EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求当x取何值时，S的值最小，最小值是多少？ 8.如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以 1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以 2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN的面积等于矩形ABCD面积的九分之一？（2）是否存在时刻t，使以A,M,N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由9.如图,已知在RtABC中,ABC=90,C=30,AC=12cm,点E从点A出发沿AB以每
16、秒 1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒 2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0t6）,过点D作DFBC于点F （1）试用含t的式子表示AE、AD的长； 第 11 页 共 19 页（2）如图，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由； （3）连接DE，当t为何值时，DEF为直角三角形？ （4）如图，将ADE沿DE翻折得到ADE，试问当t为何值时，四边形 AEAD为菱形？参考答案专题一：1.解：(1)设 EF=x 依题意知：CDECFE，DE=EF=x，CF=CD=6.在 RtACD 中，AC= =10，AF=ACCF=4，AE=ADDE=8x.在 Rt
17、AEF 中，有 AE2=AF2+EF2即(8x) 2=42+x2解得 x=3，即：EF=3.(2)由(1)知：AE=83=5，S 梯形 ABCE= =(5+8)62=39.2.解：(1)证明：由折叠知AEFGEF，BCEHCE，AE=AE=BC，AEF=BCE，AEFBCE，第 12 页 共 19 页GEFHCE，EG=CH；(2)AF=FG= 2，FDG=45，FD=2，AD=2 2；AF=FG=HE=EB= ，AE=AD=2 ，AB=AEEB=2 =22 .3.（1）证明：E，F 分别是正方形 ABCD 边 BC，CD 的中点，CF=BE，在ABE 和BCF 中， RtABERtBCF（S
18、AS） ，BAE=CBF，又BAE+BEA=90，CBF+BEA=90，BGE=90，AEBF；（2）解：将BCF 沿 BF 折叠，得到BPF，FP=FC，PFB=BFC，FPB=90，CDAB，CFB=ABF，ABF=PFB，QF=QB，设 QF=x，PB=BC=AB=4，CF=PF=2，QB=x，PQ=x2，在 RtBPQ 中，x 2=（x2） 2+42，解得：x=5，即 QF=54.5.6.解：（1）AB 2=AQ2+BQ2=|x1x 2|2+|y1y 2|2=（x 1x 2） 2+（y 1y 2） 2，第 13 页 共 19 页AB= 故答案为 （2）A（1，3） ，B（2，1） ，A
19、B= =5故答案为 5（3）代数式 + 的最小值表示在 x 轴上找一点 P（x，0） ，到 A（0，2） ，B（3，1）的距离之和最小如图，作 A 关于 x 轴的对称点 A，连接 BA与 x 轴的交点即为所求的点 P此时 PA+PB 最小，A（0，2） ，B（3，1） ，PA+PB=PA+PB=BA= =3 代数式 + 的最小值为 3 7.解：（1）解：（1）设 AF=x，则 FG=x，在 RtDFG 中，x 2=（6x） 2+32解得 x=3.75，所以 AF=3.75.过 G 作 GHAB 于 H，设 AE=y，则 GE=y3.在 RtEHG 中，y 2=62+（y3） 2，解得 y=7.
20、5，AE=7.5.（2） 30AF6.专题二：1.（1）如图 1，因为 OB1=OB=5，所以点 B1的坐标为（0，5） 因为 C（0，4） ，所以 OC=4，则 B1C=OB1-OC=5-4=1（2）在矩形 OA1B1C1沿 y 轴向上平移到 P 点与 C 点重合的过程中，点 A1运动到矩形 OABC 的边BC 上时，重叠部分的面积为PA 2C 的面积，A 2C= ,又 A2P=3，根据勾股定理得：CP= ,即 4-x= .求得 P 点移动的距离 x= .当自变量 x 的取值范围为 0x 时，如图 2，由B 2CM1B 2A2P，得 CM1= ,此时，y=S B2A2P -SB2CM1 =
21、34- (1+x),即 y=- (x+1)2+6.当自变量 x 的取值范围为 x4 时，求得 y=SPCM1 = (x-4)22.已知，等腰RtABC中，点O是斜边的中点，MPN是直角三角形，固定ABC，滑动MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PMAB，PNBC，垂足分别为E、F（1）如图 1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是 _（2）当MPN移动到图 2 的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由 第 14 页 共 19 页（3）如图 3，等腰RtABC的腰长为 6，点P在AC的延长线上时，RtMPN的边 PM 与AB的延长线交于点E，直线B C与直线NP交于点
22、F，OE交BC于点H，且 EH：HO=2：5，则BE的长是多少？ 3.解：BCE的面积等于 2 . （1）如图：以EG、FH、ID的长度为三边长的一个三角形是EGM .（2） 以 EG、FH、ID 的长度为三边长的三角形的面积等于 3 4.解：（1）连接PQ由旋转可知： ，QC=PA=3又ABCD是正方形，ABP绕点B顺时针方向旋转了 90，才使点A与C重合，即PBQ=90，PQB=45，PQ=4则在PQC中，PQ=4，QC=3，PC=5，PC 2=PQ2+QC2即PQC=90故BQC=90+45=135（2）将此时点P的对应点是点P由旋转知，APBCPB，即BPA=BPC，PB=PB=5，P
23、C=PA=12又ABC是正三角形，ABP绕点B顺时针方向旋转 60，才使点A与C重合，得PBP=60，又PB=PB=5，PBP也是正三角形，即PPB=60，PP=5因此，在PPC中，PC=13，PP=5，PC=12，PC 2=PP 2+PC 2即PPC=90故BPA=BPC=60+90=1505.证明略；45；6.解：ACB =90，A=45，A=ABC=45,AC=BC=1.BFAB，CBF=45.A=CBF.由旋转的性质可得：BCF=ACP，BCF ACP(ASA).BF=AP。第 15 页 共 19 页ACB =90，A=45，AC =1，AB= 。设BP=x ，则BF=AP = ， 。
24、 ，当x= 时，S （max） = 。7.解：（1）平行,把ABC 逆时针旋转 90，得到A 1BC1；再以点 C 为中心，把ABC 顺时针旋转 90，得到A 2B1C，C 1BC=B 1BC=90，BC 1=BC=CB1，BC 1CB 1，四边形 BCB1C1是平行四边形，C 1B1BC，故答案为：平行；（2）证明：如图，过 C1作 C1EB 1C，交 BC 于 E，则C 1EB=B 1CB，由旋转的性质知，BC 1=BC=B1C，C 1BC=B 1CB，C 1BC=C 1EB，C 1B=C1E，C 1E=B1C，四边形 C1ECB1是平行四边形，C 1B1BC；（3）由（2）知 C1B1B
25、C，设 C1B1与 BC 之间的距离为 h，C 1B1= BC， = ，S = B1C1h，S = BCh， = = = ，C 1BB1的面积为 4，B 1BC 的面积为 6，故答案为：68.解：第 16 页 共 19 页专题三：1. (1)设P，Q两点从出发开始到第x 秒时，PQAD，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，即APDQ.PQAD，四边形APQD是平行四边形AP=DQ.3x=252x.解得x=5.答：P，Q两点从出发开始到第 5 秒时，PQAD.(2)设P，Q两点从出发开始到第a秒时，四边形PBCQ的面积为 84 平方厘米，BP=25-3a，CQ=2a，根据梯形面积公式得：0.5
26、(25-3a2a)8=84.解得a=4.答：P，Q两点从 出发开始到第 4 秒时，四边形PBCQ的面积为 84 平方厘米 第 17 页 共 19 页2. (1)四边形PECF是矩形理由如下：在ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，AC 2BC 2=324 2=52=AB2.ACB=90.PEAC，PFBC，PEC=ACB=CFP=90.四边形PECF是矩形（2）CM的长度会改 变理由：连接PC，由(1)证得四边形PECF是矩形，M是EF的中点，M在PC上且EF=PC，CM=0.5PC.过点C作CDAB，当CD=PC时PC最小，此时PC=2.4.点P在斜边AB上(不与A、B重合)，PCBC=4
27、.PC的范围是 2.4PC4，即EF的范围是 2.4EF4.CM的范围是 1.2CM2. 3.（1）证明：CF平分ACD，且MNBD，ACF=FCD=CFO.OF=OC.同理：OC=OE.OE=OF.（2）由(1)知：OF=OC，OC=OE，OCF=OFC，OCE=OEC.OCFOCE=OFCOEC.而OCFOCEOFCOEC=180，ECF=OCFOCE=90.EF=13.OC=0.5EF=6.5.（3）连接AE、AF. 当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形理由如下：由(1)知OE=OF，当点O移动到AC中点时，有OA=OC，四边形AECF为平行四边形又ECF=90，四边形AECF为矩形4.解：（1）5;（2）t=29/6 或t=4 或t=3.5.第 18 页 共 19 页6.7.8.第 19 页 共 19 页9.略