1、2019 年黑龙江省齐齐哈尔市克东县中考数学二模试卷一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分） 的绝对值是（ ）A B3.14 C D2 （3 分）下列由年份组成的各项图形中，是中心对称图形的是（ ）A BC D3 （3 分）下列计算或运算中，正确的是（ ）Aa 6a2a 3 B （2a 2） 38a 3C （ab） 2a 2b 2 D （a3） （ 3+a）a 294 （3 分）某车间需加工一批零件，车间 20 名工人每天加工零件数如表所示：每天加工零件数4 5 6 7 8人数 3 6 5 4 2每天加工零件数的中位数和众数为（ ）A6，5 B6，6 C5，5 D5，65
2、（3 分）如图，点 A 是反比例函数 图象上一点，过点 A 作 ACx 轴于点 C，交反比例函数 的图象于点 B，连接 OA、OB ，若OAB 的面积为 3，则 k 的值为（ ）A8 B4 C5 D86 （3 分）某宾馆有单人间、双人间和三人间三种客房供游客租住，某旅行团有 18 人准备同时租用这三种客房共 9 间，且每个房间都住满，则租房方案共有（ ）种A3 B4 C5 D67 （3 分）如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上一点，且 BE：CE1：3，DE 交 AC于点 F，若 DE10，则 CF 等于（ ）A B C D8 （3 分）由一些大小相等的小正方体组成的几何体的主视图
3、与左视图相同如图所示，设组成这个几何体的小正方体个数最少为 m，最多为 n，若以 m，n 的值分别为某个等腰三角形的两条边长，则该等腰三角形的周长为（ ）A11 或 13 B13 或 14C13 D12 或 13 或 14 或 159 （3 分）如果关于 x 的不等式3x+2a0 的解能中仅含有两个正整数解，且关于 x 的分式方程 有非负数解，则整数 a 的值（ ）A2 或 3 或 4 B3 C3 或 4 D2 或 310 （3 分）如图，在二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：b 24ac 0；abc0； ； b24a（c1） ； 关于 x 的一元二
4、次方程 ax2+bx+c3 无实数很，共中信息错误的个数为（ ）A4 B3 C2 D1二、填空题（每小题 3 分，共 21 分）11 （3 分）已知 1 纳米0.000000001 米，则 2019 纳米用科学记数法表示为 米12 （3 分）如图，AB 是O 的直径，AB10，AC 6，则 cosADC 13 （3 分）有以下六个命题，同旁内角互补； 若 x24，则x2； ；平分弦的直径垂直于弦；等弧所对的圆心角相等；相等的圆心角所对的弧相等从这六个命题中随机任意抽取一个命题是真命题的概率为 14 （3 分）已知 xy2，x+y3，则 x2y 2 15 （3 分）如图，OAB 中，OAOB 1
5、2，A 30，AB 与O 相切于点 C，则以图中阴影部分扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 16 （3 分）整数 m 满足 ，若以 m 值为直角三角形的斜边长，则该直角三角形外接圆半径为 17 （3 分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为 1 的正方形 OABC，边 OA，OC 分别在x 轴，y 轴上，如果以对角线 OB 为边作第二个正方形 OBB1C1，再以对角线 OB1 为边作第三个正方形 OB1B2C2，照此规律作下去，则点 B2019 的坐标为 三、解答题（共 69 分）18 （10 分） （1）计算：（2）因式分解：4（x2y ） 216y 219 （6 分）先化简： +（1
6、） ，然后在 0，tan45，sin30中选取一个合适的 x 的值代入求值20 （8 分）如图，BE 是O 的直径，点 A 和点 D 是O 上的两点，过点 A 作O 的切线交 BE 延长线于点 C，（1）若ADE28，求C 的度数；（2）若 AC6，CE3，求O 半径的长21 （10 分）为增强学生体质，各学校普遍开展了阳光体育活动，某校为了解全校 1000 名学生每周课外体育活动时间的情况，随机调查了其中的 50 名学生，对这 50 名学生每周课外体育活动时间 x（单位：小时）进行了统计根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外体育活动时间在 6x8 小时的学生人数占 24%根据以
7、上信息及统计图解答下列问题：（1）本次调查属于 调查，样本容量是 ；（2）请补全频数分布直方图中空缺的部分；（3）求这 50 名学生每周课外体育活动时间的平均数；（4）估计全校学生每周课外体育活动时间不少于 6 小时的人数22 （10 分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度 y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟 米，乙在 A 地时距地面的高度 b 为 米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的 3 倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分）之间的函数关系式；（3）
8、登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为 70 米？23 （12 分）综合与实践一、问题情境在综合与实践课上，老师组织同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展数学活动如图 1，矩形 ABCD 中，AD 2AB，连接 AC，将ABC 绕点 A 旋转到某一位置，观察图形，提出问题并加以解决二、实践操作，解决问题（1）如图 2，慎思组的间学将图 1 中的ABC 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转，得到ABC ，此时 BC过点 D，则ADB 度（2）博学组的同学在图 2 的基础上继续旋转到图 3，此时点 C 落在 CD 的延长线上，连接 BB，该组提出下面两个问题，并请你解决该组提出的这两个问题C
9、D 和 AB 有何数量关系？并说明理由BB和 AC有何位置关系？并说明理由（3）精英组的同学在图 3 的基础上按逆时针方向旋转至 AB与对角线 AC 重合时，BC 与 AD 交于点 M，如图 4，则 S ：S ABC 24 （13 分）如图 1，已知抛物线 yax 2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点B（3 ，0） ，与 y 轴交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得Q
10、AC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由（4）如图 2，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标2019 年黑龙江省齐齐哈尔市克东县中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（每小题 3 分，共 30 分）1 （3 分） 的绝对值是（ ）A B3.14 C D【分析】根据绝对值的定义，即可解答【解答】解：| |，故选：C【点评】本题考查了绝对值的定义，解决本题的关键是明确负数的绝对值等于它的相反数2 （3 分）下列由年份组成的各项图形中，是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据中心对称
11、图形的概念和各图的特点解答即可求解【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：B【点评】此题主要考查了中心对称图形，注意把握：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合3 （3 分）下列计算或运算中，正确的是（ ）Aa 6a2a 3 B （2a 2） 38a 3C （ab） 2a 2b 2 D （a3） （ 3+a）a 29【分析】各项计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、原式a 4，不符合题意；B、原式8a 6，不符合题意；C、原式a 22ab+ b2，不符
12、合题意；D、原式a 29，符合题意，故选：D【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键4 （3 分）某车间需加工一批零件，车间 20 名工人每天加工零件数如表所示：每天加工零件数4 5 6 7 8人数 3 6 5 4 2每天加工零件数的中位数和众数为（ ）A6，5 B6，6 C5，5 D5，6【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可【解答】解：由表知数据 5 出现了 6 次，次数最多，所以众数为 5；因为共有 20 个数据，所以中位数为第 10、11 个数据的平均数，即中位数为 6，故选：A【点评】本题考查了众数和中位数的定义用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数
13、据叫做这组数据的众数将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数5 （3 分）如图，点 A 是反比例函数 图象上一点，过点 A 作 ACx 轴于点 C，交反比例函数 的图象于点 B，连接 OA、OB ，若OAB 的面积为 3，则 k 的值为（ ）A8 B4 C5 D8【分析】根据反比例函数 k 的几何意义，即可得到 SBOC |2| 1，再根据反比例函数 k 的几何意义，即可得出 k 的值【解答】解：反比例函数 的图象经过点 B，BCx 轴，S BOC | 2|
14、1，又OAB 的面积为 3，AOC 的面积为 4，又反比例函数 图象经过点 A，ACx 轴， | k|4，解得 k8，又k0，k0，k8，故选：A【点评】此题考查了反比例函数 k 的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是 |k|，且保持不变熟练掌握反比例函数 k 的几何意义是解本题的关键6 （3 分）某宾馆有单人间、双人间和三人间三种客房供游客租住，某旅行团有 18 人准备同时租用这三种客房共 9 间，且每个房间都住满，则租房方案共有（ ）种A3 B4 C5 D6【分析】首先设宾馆有客房：单人间 x 间、二人间 y 间、三人间 z
15、间，根据题意可得方程组： ，解此方程组可得 y+2z9，又由 x，y，z 是非负整数，即可求得答案【解答】解：设宾馆有客房：单人间 x 间、二人间 y 间、三人间 z 间，根据题意可得，解得：y+2z9，y92z，x，y，z 都是小于 9 的正整数，当 z1 时，y7，x 1；当 z2 时，y5，x 2；当 z3 时，y3，x 3当 z4 时，y1，x 4当 z5 时，y1（不合题意，舍去）租房方案有 4 种故选：B【点评】此题考查了三元一次不定方程组的应用此题难度较大，解题的关键是理解题意，根据题意列方程组，然后根据 x，y，z 是整数求解，注意分类讨论思想的应用7 （3 分）如图，在正方形
16、 ABCD 中，E 是边 BC 上一点，且 BE：CE1：3，DE 交 AC于点 F，若 DE10，则 CF 等于（ ）A B C D【分析】由 BE：CE1：3，即可找到 EC：BC 3：4，从而可求得 EC、DC 的长，则可以求得 AC，易证得FECFDA，则可求 AF 与 CF 的比例关系，最后求得 FC【解答】解：四边形 ABCD 为正方形，BCDCBE：CE1： 3，EC：BC3：4DE10设 EC3x，则 BC4x在 Rt DCE 中，有 100（ 3x） 2+（4x ） 2，解得 x2则 EC6，DC8同理得，AC8易证FECFDA FA FCACAF+FC8 FC+ FC，得
17、FC故选：A【点评】本题主要考查对正方形的性质，相似三角形的性质和判定，比例的性质，本题关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解8 （3 分）由一些大小相等的小正方体组成的几何体的主视图与左视图相同如图所示，设组成这个几何体的小正方体个数最少为 m，最多为 n，若以 m，n 的值分别为某个等腰三角形的两条边长，则该等腰三角形的周长为（ ）A11 或 13 B13 或 14C13 D12 或 13 或 14 或 15【分析】根据题意确定 m 和 n 的值，然后利用等腰三角形的性质求得周长即可【解答】解：底层正方体最少的个数应是 3 个，第二层正方体最少的个数应该是 1 个，因此这个几何
18、体最少有 4 个小正方体组成，即 m4；易得第一层最多有 4 个正方体，第二层最多有 1 个正方体，所以此几何体最多共有n5 个正方体即 m4、n5，以 m，n 的值分别为某个等腰三角形的两条边长的等腰三角形的周长为 4+4+513 或45+514，故选：B【点评】本题考查了由三视图判断几何体的知识，解决本题的关键是利用“主视图疯狂盖，左视图拆违章”找到所需正方体的个数9 （3 分）如果关于 x 的不等式3x+2a0 的解能中仅含有两个正整数解，且关于 x 的分式方程 有非负数解，则整数 a 的值（ ）A2 或 3 或 4 B3 C3 或 4 D2 或 3【分析】先解不等式3x+2a0，得 x
19、 ，因为仅含有两个正整数解，所以x1，2，即 2 3，于是 3a ，然后解分式方程 ，得 xa2，所以a20，a2，因此 a2，3，4【解答】解：解不等式3x+2a0，得x ，仅含有两个正整数解，x1，2，2 3，3a ，解分式方程 ，得xa2，a20，a2，2aa2，3，4，故选：A【点评】本题考查了分式方程与不等式，熟练掌握解法是解题的关键10 （3 分）如图，在二次函数 yax 2+bx+c（a0）的图象中，小明同学观察得出了下面几条信息：b 24ac 0；abc0； ； b24a（c1） ； 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c3 无实数很，共中信息错误的个数为（ ）A4 B3
20、C2 D1【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案【解答】解：根据图象可知：0，b 24ac0，故 正确；由图象可知：a0，c0，由对称轴可知： 0，b0，abc0，故错误；由图象可知：1 0，2ab0，当 x1 时，y0，a+b+c0， 0，故正确；由图象可知：当 x 时，y1， 1，4acb 24a，b 24a（c1） ，故 正确；由于二次函数 yax 2+bx+c（a0）的最大值为 1，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c3 无实数很，故 正确；故选：D【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型二、填空题（每小题 3 分，共
21、 21 分）11 （3 分）已知 1 纳米0.000000001 米，则 2019 纳米用科学记数法表示为 2.109106 米【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：2019 纳米0.000 002019 米2.10910 6 米故答案是：2.10910 6 【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键12 （3 分）如图，AB 是O 的直径，AB10
22、，AC 6，则 cosADC 【分析】根据三角函数得出 cosABC ，再利用圆周角解答即可【解答】解：AB 是O 的直径，ACB90，AB10，AC 6，BC ，cosABC ，cosADCcosABC ，故答案为：【点评】此题考查圆周角定理，关键是根据三角函数得出 cosABC13 （3 分）有以下六个命题，同旁内角互补； 若 x24，则x2； ；平分弦的直径垂直于弦；等弧所对的圆心角相等；相等的圆心角所对的弧相等从这六个命题中随机任意抽取一个命题是真命题的概率为 【分析】分别根据平行线的性质、平方根、二次根式、垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一分析，再由概率公式即
23、可得出结论【解答】解：两直线平行，同旁内角互补，是假命题；若 x24，则 x2，是假命题； （m0，n0）是假命题；平分弦的直径垂直于弦，是真命题；在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等，是假命题；在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等是假命题；故从这六个命题中随机任意抽取一个命题是真命题的概率为 故答案为：【点评】本题考查了命题与定理，熟悉平行线的性质、平方根、二次根式、垂径定理，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系是解题关键14 （3 分）已知 xy2，x+y3，则 x2y 2 3 【分析】根据（xy ） 2（x +y） 24xy，求出 xy 的值，再运用平方差公式即可解答【解答】解：（xy
24、） 2（x +y） 24xy3 2421，xy1，x 2y 2（x+y） （xy）3（1）3；故答案为：3【点评】本题考查了完全平分公式、平方差公式，解决本题的关键是熟记（xy）2（x+y） 2 4xy15 （3 分）如图，OAB 中，OAOB 12，A 30，AB 与O 相切于点 C，则以图中阴影部分扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为 4 【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据 30角所对的直角边与斜边的关系，求出扇形的半径，然后根据扇形与它围成的圆锥的关系，即可求得圆锥的高，本题得意解决【解答】解：连接 OC，则OCA90，A30，OAOB 12 ，OC6，AB30，AOC120
25、，图中阴影部分扇形围成一个圆锥的底面半径是 2，圆锥的母线长是 6，则这个圆锥的高为： ，故答案为：4 【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、圆锥的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答16 （3 分）整数 m 满足 ，若以 m 值为直角三角形的斜边长，则该直角三角形外接圆半径为 1 或 【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂列出不等式，解不等式求出 m 的范围，求出 m，根据三角形的外接圆的性质解答【解答】解：由题意得，m 20，5m 0，m30，m40，解得，2m5，m3，m4，则整数 m2 或 5，该直角三角形外接圆的直径为 2 或 5，该直
26、角三角形外接圆半径为 1 或 ，故答案为：1 或 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、零指数幂，掌握直角三角形的外接圆的直径是这个直角三角形的斜边长是解题的关键17 （3 分）如图，在平面直角坐标系中有一边长为 1 的正方形 OABC，边 OA，OC 分别在x 轴，y 轴上，如果以对角线 OB 为边作第二个正方形 OBB1C1，再以对角线 OB1 为边作第三个正方形 OB1B2C2，照此规律作下去，则点 B2019 的坐标为 （0，2 1010） 【分析】首先求出 B1、B 2、B 3、B 4、B 5、B 6、B 7、B 8、B 9 的坐标，找出这
27、些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点 B2019 的坐标【解答】解：正方形 OABC 边长为 1，OB ，正方形 OBB1C1 是正方形 OABC 的对角线 OB 为边，OB 12，B 1 点坐标为（2，0） ，同理可知 OB22 ，B 2 点坐标为（ 2，2） ，同理可知 OB34，B 3 点坐标为（ 0，4） ，B4 点坐标为（4，4） ，B 5 点坐标为（8，0） ，B6（8，8） ，B 7（0，16）B8（16，16） ，B 9（32，0） ，由规律可以发现，每经过 8 次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的 倍，201982523，B 2019 的
28、横坐标，与点 B3 的相同为 0，横纵坐标都是负值，B 2013 的坐标为（0，2 1010） 故答案为：（0，2 1010） 【点评】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过 8 次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的 倍，此题难度较大三、解答题（共 69 分）18 （10 分） （1）计算：（2）因式分解：4（x2y ） 216y 2【分析】 （1）根据负整数指数幂、零指数幂可以解答本题；（2）根据平方差公式可以解答本题【解答】解：（1）3+（8）1+26+2 ；（2）4（x2y） 216y 22（x 2y
29、）+4y2（x2y）4y （2x4y+4y） （2x4y4y）2x（2x8y）4x（x4y） 【点评】本题考查负整数指数幂、零指数幂、二次根式的混合运算、分解因式，解答本题的关键是明确它们各自的解答方法19 （6 分）先化简： +（1 ） ，然后在 0，tan45，sin30中选取一个合适的 x 的值代入求值【分析】根据分式的运算法则即可求出答案【解答】解：原式 + + ，由分式有意义的条件可知：x 不能取 0，当 xtan45，x1，原式0【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型20 （8 分）如图，BE 是O 的直径，点 A 和点 D 是O 上的两点
30、，过点 A 作O 的切线交 BE 延长线于点 C，（1）若ADE28，求C 的度数；（2）若 AC6，CE3，求O 半径的长【分析】 （1）连接 OA，根据圆周角定理求出 AOC，根据切线的性质求出OAC，根据三角形内角和定理求出即可；（2）设 OAOEr，根据勾股定理得出方程，求出方程的解即可【解答】解：（1）如图，连接 OA，ADE28，由圆周角定理得：AOC2ADE56，AC 切O 于 A，OAC90，C180AOCOAC 180569034；（2）设 OAOEr，在 Rt OAC 中，由勾股定理得：OA 2+AC2OC 2，即 r2+62（r +3） 2，解得：r ，答： O 半径的长
31、是 【点评】本题考查了圆周角定理、切线的性质和勾股定理等知识点，能求出OAC 和AOC 的度数是解此题的关键21 （10 分）为增强学生体质，各学校普遍开展了阳光体育活动，某校为了解全校 1000 名学生每周课外体育活动时间的情况，随机调查了其中的 50 名学生，对这 50 名学生每周课外体育活动时间 x（单位：小时）进行了统计根据所得数据绘制了一幅不完整的统计图，并知道每周课外体育活动时间在 6x8 小时的学生人数占 24%根据以上信息及统计图解答下列问题：（1）本次调查属于 抽样 调查，样本容量是 50 ；（2）请补全频数分布直方图中空缺的部分；（3）求这 50 名学生每周课外体育活动时间
32、的平均数；（4）估计全校学生每周课外体育活动时间不少于 6 小时的人数【分析】 （1）根据题目中的信息可知本次调查为抽样调查，也可以得到样本容量；（2）根据每周课外体育活动时间在 6x8 小时的学生人数占 24%，可以求得每周课外体育活动时间在 6x8 小时的学生人数，从而可以求得 2x4 的学生数，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据条形统计图可以得到这 50 名学生每周课外体育活动时间的平均数；（4）根据条形统计图，可以估计全校学生每周课外体育活动时间不少于 6 小时的人数【解答】解：（1）由题意可得，本次调查属于抽样调查，样本容量是 50，故答案为：抽样，50；（2）由题意可得，每周
33、课外体育活动时间在 6x8 小时的学生有：5024%12（人） ，则每周课外体育活动时间在 2x4 小时的学生有：505221238（人） ，补全的频数分布直方图如右图所示，（3）由题意可得，5，即这 50 名学生每周课外体育活动时间的平均数是 5；（4）由题意可得，全校学生每周课外体育活动时间不少于 6 小时的学生有：1000 （人） ，即全校学生每周课外体育活动时间不少于 6 小时的学生有 300 人【点评】本题考查频数分布直方图、样本、总体、样本容量、用样本估计总体、加权平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件22 （10 分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高
34、度 y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟 10 米，乙在 A 地时距地面的高度 b 为 30 米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的 3 倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分）之间的函数关系式；（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为 70 米？【分析】 （1）根据速度高度时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度速度时间即可算出乙在 A 地时距地面的高度 b 的值；（2）分 0x2 和 x2 两种情况，根据高度初始高度+速度时间即可得出 y 关于x 的函数关系；（3
35、）当乙未到终点时，找出甲登山全程中 y 关于 x 的函数关系式，令二者做差等于 70得出关于 x 的一元一次方程，解之即可求出 x 值；当乙到达终点时，用终点的高度甲登山全程中 y 关于 x 的函数关系式70，得出关于 x 的一元一次方程，解之可求出 x值综上即可得出结论【解答】解：（1）甲登山上升的速度是：（300100）2010（米/分钟） ，b151230故答案为：10；30；（2）当 0x2 时，y 15x；当 x2 时，y30+10 3（x2）30x30当 y30x30300 时，x 11乙登山全程中，距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分）之间的函数关系式为 y；（3）甲登山全程
36、中，距地面的高度 y（米）与登山时间 x（分）之间的函数关系式为y10x+100（0 x 20） 当 10x+100（30x 30）70 时，解得：x 3；当 30x30（10x +100）70 时，解得：x 10；当 300（10x+100）70 时，解得：x13答：登山 3 分钟、10 分钟或 13 分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为 70 米【点评】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）根据数量关系列式计算；（2）根据高度初始高度+速度时间找出 y 关于 x 的函数关系式；（3）将两函数关系式做差找出关于 x 的一元一次方程23 （12 分）综合与实践一、问题情
37、境在综合与实践课上，老师组织同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展数学活动如图 1，矩形 ABCD 中，AD 2AB，连接 AC，将ABC 绕点 A 旋转到某一位置，观察图形，提出问题并加以解决二、实践操作，解决问题（1）如图 2，慎思组的间学将图 1 中的ABC 以点 A 为旋转中心，按逆时针方向旋转，得到ABC ，此时 BC过点 D，则ADB 30 度（2）博学组的同学在图 2 的基础上继续旋转到图 3，此时点 C 落在 CD 的延长线上，连接 BB，该组提出下面两个问题，并请你解决该组提出的这两个问题CD 和 AB 有何数量关系？并说明理由BB和 AC有何位置关系？并说明理由（3）精英组
38、的同学在图 3 的基础上按逆时针方向旋转至 AB与对角线 AC 重合时，BC 与 AD 交于点 M，如图 4，则 S ：S ABC 3：4 【分析】 （1）由旋转性质知 ABAB、BB 90，结合 ADBC 2AB 可得AD2AB，根据直角三角形的性质可得答案；（2） 利用“ HL”证 RtADCRtABC 即可得；过点 C作 CH 垂直于 BA延长线于点 H，证CHA CBA 得HACCAB，由 ABAB知ABB ABB，据此根据HABABB+ABB 可得2CAB 2AB B，即可得证；（3）设 ABa，则 BC2a，求出 MC：BC的值即可解决问题【解答】解：（1）由题意知ABCABC，A
39、BAB、BB 90，ADBC2AB ，在 RtABD 中，AD2 AB，则ADB30，故答案为：30；（2） CDAB，理由如下：四边形 ABCD 是矩形，ADBC、ABCADCADC90，由旋转知 ACAC，在 Rt ADC 和 RtABC 中， ，RtADC RtABC （HL） ，CDAB ；结论： ACBB ；理由：如图 a，过点 C作 CH 垂直于 BA 延长线于点 H，则四边形 HADC是矩形，CHAD、AHCDAB，在CHA 和CBA 中， ，CHACBA（SSS） ，HACCAB，又ABAB，ABB ABB，在ABB 中，HABABB+ABB，即HAC+CAB ABB+ABB，
40、2CAB 2AB B，CAB AB B，ACBB ；（3）如图 4 中，设 ABa，则 BC2a，ADBC，MAB ACB，ABM B90，ABM CBA，BM：ABAB：BC，BM：aa ：2a，BM a，BC2a，MC a，MC：BC3：4，S ：S ABC 3：4，故答案为：3：4【点评】本题属于四边形的综合问题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点24 （13 分）如图 1，已知抛物线 yax 2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点B（3 ，0） ，与 y 轴
41、交于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 M，问在对称轴上是否存在点 P，使CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得QAC 的周长最小？若存在，求出 Q 点的坐标；若不存在，请说明理由（4）如图 2，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标【分析】 （1）已知抛物线过 A、B 两点，可将两点的坐标代入抛物线的解析式中，用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）可根据（1）的函数解析式得出抛物
42、线的对称轴，也就得出了 M 点的坐标，由于C 是抛物线与 y 轴的交点，因此 C 的坐标为（0，3） ，根据 M、C 的坐标可求出 CM 的距离然后分三种情况进行讨论：当 CPPM 时，P 位于 CM 的垂直平分线上求 P 点坐标关键是求 P 的纵坐标，过P 作 PQy 轴于 Q，如果设 PMCP x，那么直角三角形 CPQ 中 CPx ，OM 的长，可根据 M 的坐标得出，CQ 3x，因此可根据勾股定理求出 x 的值，P 点的横坐标与M 的横坐标相同，纵坐标为 x，由此可得出 P 的坐标当 CMMP 时，根据 CM 的长即可求出 P 的纵坐标，也就得出了 P 的坐标（要注意分上下两点） 当
43、CMCP 时，因为 C 的坐标为（ 0，3） ，那么直线 y3 必垂直平分 PM，因此 P的纵坐标是 6，由此可得出 P 的坐标；（3）根据轴对称最短路径问题解答；（4）由于四边形 BOCE 不是规则的四边形，因此可将四边形 BOCE 分割成规则的图形进行计算，过 E 作 EFx 轴于 F，S 四边形 BOCES BFE +S 梯形 FOCE直角梯形 FOCE 中，FO 为 E 的横坐标的绝对值，EF 为 E 的纵坐标，已知 C 的纵坐标，就知道了 OC 的长在BFE 中，BFBO OF，因此可用 E 的横坐标表示出 BF 的长如果根据抛物线设出 E 的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于
44、四边形 BOCE 的面积与 E 的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形 BOCE 的最大值及对应的 E 的横坐标的值即可求出此时 E 的坐标【解答】解：（1）抛物线 yax 2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点B（3，0） ， ，解得： 所求抛物线解析式为：yx 22x +3；（2）如答图 1，抛物线解析式为：yx 22x +3，其对称轴为 x 1，设 P 点坐标为（1，a） ，当 x0 时，y 3，C（0，3） ，M（1，0）当 CPPM 时， （1） 2+（3a） 2a 2，解得 a ，P 点坐标为：P 1（1， ） ；当 CMPM 时， （1） 2+32a
45、2，解得 a ，P 点坐标为：P 2（1， ）或 P3（1， ） ；当 CMCP 时，由勾股定理得：（ 1） 2+32（1） 2+（3a） 2，解得 a6，P 点坐标为：P 4（1，6） 综上所述存在符合条件的点 P，其坐标为 P（1， ）或 P（1， ）或P（1，6）或 P（1， ） ；（3）存在，Q（1，2） ，理由如下：如答图 2，点 C（0，3）关于对称轴 x1 的对称点 C 的坐标是（2，3） ，连接AC，直线 AC与对称轴的交点即为点 Q设直线 AC函数关系式为： ykx+ t（k0） 将点 A（1，0） ，C（2， 3）代入，得，解得 ，所以，直线 AC函数关系式为： yx+1将 x1 代入，得 y2，即：Q（1，2） ；（4）过点 E 作 EFx 轴于点 F，设 E（a，a 22a+3） （3a0）EFa 22a+3，BFa+3，OFaS 四边形 BOCE BF