1、课时跟踪检测（十二） 函数模型及其应用 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1某种商品进价为 4 元/件，当日均零售价为 6 元/件，日均销售 100 件，当单价每增加 1 元，日均销量减少 10 件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为 20 元，则预计单价为_元/件时，利润最大解析：设单价为 6 x，日均销售量为 10010 x，则日利润 y(6 x4)(10010 x)2010 x280 x18010( x4) 2340(0 x10)所以当 x4 时， ymax340.即单价为 10 元/件，利润最大答案：102(2018盐城中学检测)“好酒也怕巷子深” ，许多著名品牌是通过广告宣传进入
2、消费者视线的已知某品牌商品靠广告销售的收入 R 与广告费 A 之间满足关系 R a (a 为常A数)，广告效应为 D R A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为_(用常数 a 表示)解析： D R A a A，令 t (t0)，则 A t2，A A所以 D at t2 2 a2.所以当 t a，即 A a2时， D 取得最大值(t12a) 14 12 14答案： a2143某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费)；超过 3 km 但不超过 8 km 时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 km 时，超过部分按每千
3、米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此次出租车行驶了_km.解析：设出租车行驶 x km 时，付费 y 元，则 yError!由 y22.6，解得 x9.答案：94(2019盐城调研)一批货物随 17 列货车从 A 市以 v km/h 匀速直达 B 市，已知两地铁路线长 400 km，为了安全，两列货车间距离不得小于 2 km，那么这批物资全部运到(v20)B 市，最快需要_ h(不计货车的身长)解析：设这批物资全部运到 B 市用的时间为 y，因为不计货车的身长，所以设列车为一个点，可知最前的点与最后的点之间距离最小值为 16 2时，
4、时间最快(v20)则 y 2 8，(v20)216 400v v25 400v v25400v当且仅当 ，即 v100 时等号成立， ymin8.v25 400v答案：85(2019南通模拟)用长度为 24 的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_解析：设矩形场地的宽(即隔墙的长度)为 x，则长为 ，其面积 S 24 4x2 24 4x2x12 x2 x22( x3) 218，当 x3 时， S 有最大值 18，所以隔墙的长度为 3.答案：36有一位商人，从北京向上海的家中打电话，通话 m 分钟的电话费由函数 f(m)1.06(0.5 m1)(元)决定，其中
5、 m0， m是大于或等于 m 的最小整数则从北京到上海通话时间为 5.5 分钟的电话费为_元解析：因为 m5.5，所以5.56.代入函数解析式，得 f(5.5)1.06(0.561)4.24.答案：4.24 二保高考，全练题型做到高考达标1某电信公司推出两种手机收费方式： A 种方式是月租 20 元，B 种方式是月租 0 元一个月的本地网内通话时间 t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话 150 分钟时，这两种方式电话费相差_元解析：依题意可设 sA(t)20 kt， sB(t) mt，又 sA(100) sB(100)，所以 100k20100 m，得 k m0.2，于是 sA
6、(150) sB(150)20150 k150 m20150(0.2)10，即两种方式电话费相差 10 元答案：102某商店已按每件 80 元的成本购进某商品 1 000 件，根据市场预测，销售价为每件100 元时可全部售完，定价每提高 1 元时销售量就减少 5 件，若要获得最大利润，销售价应定为每件_元解析：设售价提高 x 元，利润为 y 元，则依题意得 y(1 0005 x)(100 x)801 0005 x2500 x20 0005( x50) 232 500，故当 x50 时， ymax32 500，此时售价为每件 150 元答案：1503(2019海安中学检测)某公司为激励创新，计划
7、逐年加大研发资金投入若该公司2017 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是_(参考数据：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg 20.30)解析：设 2017 年后的第 n 年，该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元，由130(112%) n200，得 1.12n ，两边取常用对数，得2013n 3.8，所以 n4，所以从 2021 年开始，该公司全年投入lg 2 lg 1.3lg 1.12 0.30 0.110.05的研发资金开始超过 200 万元答案：2021 年4(
8、2019启东中学检测)某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费 y2与仓库到车站的距离成正比据测算，如果在距离车站 10 千米处建仓库，这两项费用 y1， y2分别是 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处解析：由题意设仓库在离车站 x 千米处，则 y1 ， y2 k2x，其中 x0，k1x由Error! 得Error!，即 y1 y2 x2 8，20x 45 20x45x当且仅当 x，即 x5 时等号成立20x 45答案：55将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中， t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y
9、aent.假设过 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过 m 分钟甲桶中的水只有 ，则a8m_.解析：根据题意知 e 5n，12令 a aent，即 e nt，18 18因为 e 5n，故 e 15n，12 18比较知 t15， m15510.答案：106一艘轮船在匀速行驶过程中每小时的燃料费与速度 v 的平方成正比，且比例系数为k，除燃料费外其他费用为每小时 96 元当速度为 10 海里/小时时，每小时的燃料费是 6元若匀速行驶 10 海里，当这艘轮船的速度为_海里/小时时，总费用最小解析：设每小时的总费用为 y 元，则 y kv296，又当 v10 时， k1026，解得 k0.06，所以
10、每小时的总费用 y0.06 v296，匀速行驶 10 海里所用的时间为 小时，故总费10v用为 W y (0.06v296)0.6 v 2 48，当且仅当 0.6v ，10v 10v 960v 0.6v960v 960v即 v40 时等号成立故总费用最小时轮船的速度为 40 海里/小时答案：407某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为_解析：依题意知： ，即 x (24 y)，20 x20 y 824 8 54所以阴影部分的面积 S xy (24 y)y ( y224 y) (y12)
11、2180.54 54 54所以当 y12 时， S 有最大值为 180.答案：1808某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额 x 为 8 万元时，奖励 1 万元销售额 x 为 64 万元时，奖励 4 万元若公司拟定的奖励模型为y alog4x b.某业务员要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为_(万元)解析：依题意得Error!即Error! 解得 a2， b2.所以 y2log 4x2，当 y8 时，即 2log4x28.x1 024(万元)答案：1 0249某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量 w(单位：百千克)与肥料费用 x(单位：百元)满足如下关系： w4 ，且
12、投入的肥料费用不超过 5 百元，此外，还需要投入其3x 1他成本(如施肥的人工费等)2 x 百元已知这种水蜜桃的市场售价为 16 元/千克(即 16 百元/百千克)，且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为 L(x)(单位：百元)(1)求 L(x)的函数关系式，并写出定义域；(2)当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1) L(x)16 x2 x64 3 x， x(0,5(43x 1) 48x 1(2)法一： L(x)64 3 x67 672 43，当且仅当48x 1 48x 1 3 x 1 48x 13 x 13( x1)，即 x3 时取等号48x
13、 1故 L(x)max43.答：当投入的肥料费用为 300 元时，该水密桃树获得的利润最大，为 4 300 元法二： L( x) 3，令 L( x)0，得 x3.48 x 1 2故当 x(0,3)时， L( x)0， L(x)在(0,3)上单调递增；当 x(3,5时， L( x)0， L(x)在(3,5上单调递减故 L(x)max L(3)43.答：当投入的肥料费用为 300 元时，该水蜜桃树获得的利润最大，为 4 300 元10(2019镇江调研)如图，政府有一个边长为 400 m 的正方形公园 ABCD，在以四个角的顶点为圆心，以 150 m 为半径的四分之一圆内都种植了花卉现在中间修建一
14、块长方形的活动广场 PQMN，其中 P，Q， M， N 四点都在相应的圆弧上，并且活动广场边界与公园边界对应平行，记Q BC ，长方形活动广场的面积为 S.(1)请把 S 表示成关于 的函数关系式；(2)求 S 的最小值解：(1)过 Q 作 QE BC 于 E，连结 BQ(图略)在 Rt BQE 中， BE150cos ，Q E150sin ，0 ， 2可得矩形 PQMN 的 PQ400300sin ，Q M400300cos ，则 S PQQM(400300sin )(400300cos )10 000(43sin )(43cos )， .0， 2(2)由(1)知， S10 0001612(
15、sin cos )9sin cos ，设 tsin cos sin ，则 ，2 ( 4) 4 4 34可得 1 t ，sin cos ，2t2 12 S10 000 16 12t92 t2 1 5 000 .9(t43)2 7当 t 时， S 取得最小值 5 000735 000 m 2.43 三上台阶，自主选做志在冲刺名校某辆汽车以 x 千米/时的速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60 x120)时，每小时的耗油量(所需要的汽油量)为 升，其中 k 为常数，15(x k 4 500x )且 60 k100.(1)若汽车以 120 千米/时的速度行驶时，每小时的耗油量为 11
16、.5 升，欲使每小时的耗油量不超过 9 升，求 x 的取值范围；(2)求该汽车行驶 100 千米的耗油量的最小值解：(1)由题意知，当 x120 时，11.5， k100，15(x k 4 500x )由 9，15(x 100 4 500x )得 x2145 x4 5000，45 x100.又 60 x120，60 x100.故 x 的取值范围为60,100(2)设该汽车行驶 100 千米的耗油量为 y 升，则y 20 (60 x120)100x 15(x k 4 500x ) 20kx 90 000x2令 t ，则 t ，1x 1120， 160 y90 000 t220 kt2090 000 220 ，(tk9 000) k2900该函数图象的对称轴为直线 t .k9 00060 k100， .k9 000 1150， 190若 ，即 75 k100，k9 000 1120则当 t ，即 x 时， ymin20 .k9 000 9 000k k2900若 ，即 60 k75，k9 000 1120则当 t ，即 x120 时， ymin .1120 1054 k6答：当 75 k100 时，该汽车行驶 100 千米的耗油量的最小值为 升；当(20k2900)60 k75 时，该汽车行驶 100 千米的耗油量的最小值为 升(1054 k6)