1、课时跟踪检测（六） 函数的奇偶性及周期性 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019南通中学高三测试)已知函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数，且 f(1)2，那么 f(0) f(1)_.解析：因为函数 f(x)是 R 上的奇函数，所以 f( x) f(x)，f(1) f(1)2， f(0)0，所以 f(0) f(1)2.答案：22(2018南京三模)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时， f(x)2 x2，则不等式 f(x1)2 的解集是_解析：偶函数 f(x)在0，)上单调递增，且 f(2)2.所以 f(x1)2，即 f(|x1|) f(2)，即| x1|2，所以1 x3
2、.答案：1,33函数 f(x) x 1， f(a)3，则 f( a)_.1x解析：由题意得 f(a) f( a) a 1( a) 12.1a 1 a所以 f( a)2 f(a)1.答案：14函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x0 时， f(x) 1，则当 x0 时， f(x)x_.解析：因为 f(x)为奇函数， x0 时， f(x) 1，x所以当 x0 时， x0，f(x) f( x)( 1)， x即 x0 时， f(x)( 1) 1. x x答案： 1 x5(2019连云港高三测试)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)x，则 f(2log 35)_.(13
3、)解析：由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，得 f(2log 35) f(2log 35)，由于当 x0 时， f(x) x，(13)故 f(2log 35) f 39log5 .(log395) (13) 59答案：596(2018南通一调)若函数 f(x)Error!( a， bR)为奇函数，则 f(a b)_.解析：法一：因为函数 f(x)为奇函数，所以Error! 即Error!解得Error! 经验证 a1， b2 满足题设条件，所以 f(a b) f(1)1.法二：因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(x)的图象关于原点对称，由题意知，当 x0，二次函数的图象顶点坐标为 ，(b2
4、， b24)当 x0，二次函数的图象顶点坐标为(1， a)，所以Error! 解得 a1， b2，经验证 a1， b2 满足题设条件，所以 f(a b) f(1)1.答案：1 二保高考，全练题型做到高考达标1(2018抚顺期末)设 f(x)是定义在2 b,3 b上的偶函数，且在2 b,0上为增函数，则 f(x1) f(3)的解集为_解析： f(x)是定义在2 b,3 b上的偶函数，2 b3 b0， b3， f(x)是定义在6,6上的偶函数，且在6,0上为增函数， f(x)在0,6上为减函数，由 f(x1) f(3)，得| x1|3，解得2 x4， f(x1) f(3)的解集为 x|2 x4答案
5、： x|2 x42(2019常州一中模拟)设定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x1) f(x)1，且当x1,2时， f(x)2 x，则 f(2 018.5)_.解析：由 f(x1) f(x)1 在 R 上恒成立，得 f(x1) f(x)1，两式相减得f(x1) f(x1)0，即 f(x1) f(x1)恒成立，故函数 f(x)的周期是 2， f(2 018.5) f(0.5) f(1.5)，又当 x1,2时， f(x)2 x， f(2 018.5) f(1.5)21.50.5.答案：0.53已知函数 f(x)是定义在2,2上的奇函数，且在区间0,2上是单调减函数若f(2x1) f(1)0
6、，则 x 的取值范围是_解析：函数 f(x)是定义在2,2上的奇函数，且在区间0,2上是单调减函数，函数 f(x)在区间2,2上是单调减函数 f(2x1) f(1)0，即 f(2x1) f(1)， f(2x1) f(1)则Error! 解得1 x .12 x 的取值范围是 .( 1，12答案： ( 1，124(2018泰州期末)设 f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)2 xln ，记x4an f(n5)，则数列 an的前 8 项和为_解析：数列 an的前 8 项和为 f(4) f(3) f(3) f(4)( f(3) f(3)( f(2) f(2)( f(1) f(1) f(0
7、) f(4) f(4) 16.(24 ln44)答案：165(2018徐州期中)已知函数 f(x)e xe x1(e 为自然对数的底数)，若 f(2x1) f(4 x2)2，则实数 x 的取值范围为_解析：令 g(x) f(x)1e xe x，则 g(x)为奇函数，且在 R 上单调递增因为f(2x1) f(4 x2)2，所以 f(2x1)1 f(4 x2)10，即 g(2x1) g(4 x2)0，所以 g(2x1) g(x24)，即 2x1 x24，解得 x(1,3)答案：(1,3)6(2019镇江中学测试)已知奇函数 f(x)在定义域 R 上是单调减函数，若实数 a 满足 f(2|2a1|
8、) f(2 )0，则 a 的取值范围是_2解析：由 f(2|2a1| ) f(2 )0，可得 f(2|2a1| ) f(2 )因为 f(x)为奇函2 2数，所以 f(2|2a1| ) f(2 )因为 f(x)在定义域 R 上是单调减函数，所以 2|2a1| 2 ，2 2即|2 a1| ，解得 a .32 14 54答案： (14， 54)7(2019苏州调研)已知奇函数 f(x)在(，0)上单调递减，且 f(2)0，则不等式 0 的解集为_f xx 1解析：由 0，可得Error!或Error!因为奇函数 f(x)在(，0)上单调递减，f xx 1所以 f(x)在(0，)上单调递减，且 f(2
9、) f(2)0，所以当 x1 时， f(x)0 的解集为(1,2)；当 x1 时， f(x)0 的解集为(2,0)所以不等式 0 的解集为(2,0)(1,2)f xx 1答案：(2,0)(1,2)8函数 f(x)在 R 上满足 f( x) f(x)，当 x0 时， f(x)e x1 mcos( x)，记 a f()， b f ， ce f(e)，则 a， b， c 的大小关系为_134 ( 134)解析：函数 f(x)为 R 上的奇函数，且当 x0 时， f(x)e x1 mcos( x)， f(0)11 m0，即 m0， f(x)e x1( x0)令 g(x) xf(x)，有 g( x)(
10、x)f( x) xf(x) g(x)，函数 g(x)为偶函数，当 x0 时， g(x) xf(x) x(1e x)， g( x) f(x) xf( x)1(1 x)ex0，函数 g(x)在0，)上为减函数， a f() g() g()， b f g g ， ce f(e)134 ( 134) ( 134) (134) g(e)，又 e ， b a c.134答案： b a c9已知函数 f(x)Error!是奇函数(1)求实数 m 的值；(2)若函数 f(x)在区间1， a2上单调递增，求实数 a 的取值范围解：(1)设 x0，则 x0，所以 f( x)( x)22( x) x22 x.又 f
11、(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)，于是 x0 时， f(x) x22 x x2 mx，所以 m2.(2)要使 f(x)在1， a2上单调递增，结合 f(x)的图象(如图所示)知Error!所以 1 a3，故实数 a 的取值范围是(1,310(2018大同期末)已知函数 f(x)log a(x1)， g(x)log a(1 x)，其中a0， a1.(1)求函数 F(x) f(x) g(x)的定义域；(2)判断 F(x) f(x) g(x)的奇偶性，并说明理由；(3)当 a1 时，求使 F(x)0 成立的 x 的取值范围解：(1) F(x) f(x) g(x)log a(x1)log a
12、(1 x)，Error! 解得1 x1，函数 F(x)的定义域为(1,1)(2)F(x)为(1,1)上的奇函数理由如下：由(1)知 F(x)的定义域为(1,1)，关于原点对称， F( x)log a( x1)log a(1 x)log a(x1)log a(1 x) F(x)，函数 F(x)为(1,1)上的奇函数(3)根据题意， F(x)log a(x1)log a(1 x)，当 a1 时，由 F(x)0，得 loga(x1)log a(1 x)，即Error!解得 0 x1，故 x 的取值范围为(0,1) 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019南通模拟)已知定义在 R 上的奇函数 y f
13、(x)满足 f(2 x) f(2 x)，当2 x0 时， f(x)2 x，若 an f(n)(nN *)，则 a2 018_.解析： f(2 x) f(2 x)，以 2 x 代替上式中的 x，得 f(4 x) f( x)，又函数 y f(x)是定义在 R 上的奇函数， f( x) f(x)， f(4 x) f( x) f(x)，再以 4 x 代替上式中的 x，得 f(8 x) f(4 x) f(x)，函数 f(x)的周期为 8. a2 018 f(2 018) f(25282) f(2)，而 f(2) f(2) ，14 a2 018 .14答案：142设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，
14、对任意实数 x 有 f f 成立(32 x) (32 x)(1)证明 y f(x)是周期函数，并指出其周期；(2)若 f(1)2，求 f(2) f(3)的值；(3)若 g(x) x2 ax3，且 y| f(x)|g(x)是偶函数，求实数 a 的值解：(1)由 f f ，(32 x) (32 x)且 f( x) f(x)，知 f(3 x) f 32 (32 x) f f( x) f(x)，32 (32 x)所以 y f(x)是周期函数，且 T3 是其一个周期(2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0，且 f(1) f(1)2，又 T3 是 y f(x)的一个周期，所以 f(2) f(3) f(1) f(0)202.(3)因为 y| f(x)|g(x)是偶函数，且| f( x)| f(x)| f(x)|，所以| f(x)|为偶函数故 g(x) x2 ax3 为偶函数，即 g( x) g(x)恒成立，于是( x)2 a( x)3 x2 ax3 恒成立于是 2ax0 恒成立，所以 a0.