1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：若事件 互斥，则 ,AB()()PBAP若事件 相互独立，则 ,若事件 在一次试验中发生的概率是 ,则 次pn独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率Ak()(1)(0,12,)knknnPCp台体的体积公式其中 分别表示台体的上、下底面积， 表12,Sh示台体的高柱体的体积公式 VSh其中 表示柱体的底面积， 表示柱体的高S锥体的体积公式13其中 表示锥体的底面积， 表示锥体的高Sh球的表面积公式 24R球的体积公式3V其中 表示球的半径R选择题部分（共 40 分）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分,在
2、每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）1,023U0,12A10B,UABA. B. ,C. D. 1,23 1,03【答案】A【解析】【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】 ，则=1,3UCA1UCAB【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误.2.渐近线方程为 的双曲线的离心率是（ ）0xyA. B. 12C. D. 2【答案】C【解析】【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得 ，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基1ab本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为 ，所
3、以 ，则 ，双曲线的离心率0xy=2cab.2cea【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数 满足约束条件 ，则 的最大值是（ ）,xy340xy32zxyA. B. 11C. 10 D. 12【答案】C【解析】【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以 为顶点的三角形(-1,),(2)区域（包含边界） ，由图易得当目标函数 经过平面区域的点 时， 取最大值=3+2zxy2,=3+zxy.max3210z
4、【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式 ，其中 是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则VSh柱 体该柱体的体积是（ ）A. 158 B. 162C. 182 D. 32【答案】B【解析】【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为 6，底
5、面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为 4，下底为 6，高为 3，另一个的上底为 2，下底为 6，高为 3，则该棱柱的体积为.241【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.5.若 ，则“ ”是 “ ”的（ ）0,ab4ab4abA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法” ，通过特取 的 值，推出矛盾，,ab确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解
6、】当 时， ，则当 时，有 ，解得 ，充分0, ab2ab4ab24ab4性成立；当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，综上所述， “ ”是“=144=5+ab”的充分不必要条件.4b【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法” ，通过特取 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.,a6.在同一直角坐标系中，函数 且 的图象可能是（ ）11,log(02axyx)aA. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题通过讨论 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确a结论.题目不难，注重重要知识、基础知识
7、、逻辑推理能力的考查.【详解】当 时，函数 过定点 且单调递减，则函数 过定点 且单调递增，01axya(0,1)1xya(0,)函数 过定点 且单调递减，D 选项符合；当 时，函数 过定点 且单调1log2ayx(,0) 1axya(0,1)递增，则函数 过定点 且单调递减，函数 过定点 且单调递增，各选项x(,1)log2ayx(,）均不符合.综上，选 D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论 的不同取值范围，认识函数的单调性.a7.设 ，则随机变量 的分布列是：01X则当 在 内增大时（ ）a0,1A. 增大 B. 减小DX
8、DXC. 先增大后减小 D. 先减小后增大【答案】D【解析】【分析】研究方差随 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数 表示，应用函数知识求解.本题根据方a a差与期望的关系，将方差表示为 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要a知识、基础知识、运算求解能力的考查.【详解】方法 1：由分布列得 ，则1()3EX，则当 在 内增大222211()03 396aaaDX aa(0,1)时， 先减小后增大.方法 2：则 22221()213()()03994aaDXEXa故选 D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计
9、算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥 的底面是正三角形，侧棱长均相等， 是棱 上的点（不含端点） ，记直线 与VABC PVAPB直线 所成角为 ，直线 与平面 所成角为 ，二面角 的平面角为 ，则（ ）PABCCBA. B. , ,C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法 1：如图 为 中点， 在底面 的投影为 ，则 在底面投影 在线段 上，过GACVABCOPDAO作
10、垂直 ，易得 ，过 作 交 于 ，过 作 ，交 于 ，DE/PE/PFVGF/HCBGH则 ，则 ，即 ，,BFDcoscosEB，即 ，综上所述，答案为 B.tantanPEy方法 2：由最小角定理 ，记 的平面角为 （显然 ）VABC由最大角定理 ，故选 B.法 2：（特殊位置）取 为正四面体， 为 中点，易得VABCPVA，故选 B.3322cossin,si,sin663【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法” ，寻求简便解法.9.已知 ，函数 ，若函数 恰有三个零点，则,abR32,0()1(),0xfax ()yfxab（ ）A. B.
11、1,0 1,abC. D. ,ab 0【答案】D【解析】【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活，通常需要结合函数的图象加以分析.【详解】原题可转化为 与 ，有三个交点.()yfxab当 时， ，且 ，则BCAP21()1f x(0),()ffa（1）当 时，如图 与 不可能有三个交点（实际上有一个） ，排除 A，Ba()yfx（2）当 时，分三种情况，如图 与 若有三个交点，则 ，答案选 D1a()yfxab0b下面证明： 时，1a时 ， ，则BCAP 321()()Fxfaxbaxb2()(1)(1)Fxax
12、a，才能保证至少有两个零点，即 ，若另一零点在(0) ,+1a31060【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及 两个参数，故按“一元化”想法，逐步,ab分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底10.设 ，数列 中， ， ,则（ ）,abRna21,nnabNA. 当 B. 当10,2 10,4aC. 当 D. 当10,ba 10,b【答案】A【解析】【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项 B：不动点满足 时，如图，若 ，22104xx110,2naa排除如图，若 为不动点 则a
13、12na选项 C：不动点满足 ，不动点为 ，令 ，则 ，21904xxax12210na排除选项 D：不动点满足 ，不动点为 ，令 ，则2217404xx172x72a，排除.1702na选项 A：证明：当 时， ，12b2221343117,6aaa处理一：可依次迭代到 ；10处理二：当 时， ，则则4n2211nnaa，则 .1217()6na626410 2763147101 故选 A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论的可能取值，利用“排除法”求解.a非选择题部分（共 110 分）二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分
14、，单空题每题 4 分，共 36 分11.复数 （ 为虚数单位） ，则 _.1zi|z【答案】2【解析】【分析】本题先计算 ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.z【详解】 .12|zi【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 .若直线 与圆相切于点 ，则C(0,)mr230xy(2,1)A_， _.mr【答案】 (1). (2). 25r【解析】【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线 的斜率，进一步得到其方程，将AC代入后求得 ，计算得解.(0,)m【详解】可知 ，把 代入得 ，此
15、时11:(2)2ACkyx(0,)m2.|45r【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式 的展开式中，常数项是_；系数为有理数的项的个数是_.9(2)x【答案】 (1). (2). 165【解析】【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察 的幂指数，使问题得解.x【详解】 的通项为9(2)91(2)(0,129)rrrTCx可得常数项为 ，091(6因系数为有理数， ，有 共 5 个项,357r=246810, T, 【点睛】此类问题解法比较明确，
16、首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14.在 中， ， ， ，点 在线段 上，若 ，则VABC904AB3CDAC45BD_； _.Dcos【答案】 (1). (2). 1257210【解析】【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入，在 、 中应用正弦定理，建立方程，进而得解CDxBAD【详解】在 中，正弦定理有： ，而 ,sinsiABDC34,ABD， ，所以 .2ACB53si,co55C1257cosc()ssin4410DBABABAC【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形
17、特征.15.已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方，若线段 的中点在以原点 为2195xyFPxPFO圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是_.OF【答案】 1【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法 1：由题意可知 ，|=|2OFMc由中位线定理可得 ，设 可得 ，2|4P(,)Pxy2()16y联立方程2195xy可解得 （舍） ，点 在椭圆上且在 轴的上方，3,2Px求得 ，所以315,2P152PFk方法 2：焦半径公式应用解析 1：由题意可知
18、 ，| 2OF=M|c由中位线定理可得 ，即12|4P342ppaex求得 ，所以 .35,2512PFk【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知 ，函数 ，若存在 ，使得 ，则实数 的最大值是aR3()fxatR2|()(|3ftfta_.【答案】 max43【解析】【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究入手，令 ，从而使问题加以转化，通过绘2(2)(364ftftat23641,)mt制函数图象，观察得解.【详解】使得 ，222()()()364ftf
19、ttttat使得令 ，则原不等式转化为存在 ，由折线函数，如图23641,)mt11,|m只需 ，即 ，即 的最大值是13a4a43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形 的边长为 1，当每个 取遍 时，ABCD(1,2345,6)i的最小值是_；最大值是_.123456| |ACBD【答案】 (1). 0 (2). 2【解析】【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化.【详解】 12345613562456ABCDACBDABAD要使 的最小，只需要，此时只需要取13
20、5562460123456,1,1此时 356min0ABCDACBD等号成立当且仅当 均非负或者均非正，并且 均非负或者均非正。1356,2456,比如 12456, ,1则 .3 max0ABCDACBD点睛：对于此题需充分利用转化与化归思想，从“基向量”入手，最后求不等式最值，是一道向量和不等式的综合题。【点睛】对于平面向量的应用问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.设函数 .()sin,fxR（1）已知 函数 是偶函数，求 的值；02()fx（2）求函数 的值域.22()()14yfxf
21、x【答案】 （1） ；（2） .3,3,1【解析】【分析】(1)由函数的解析式结合偶函数的性质即可确定 的值；(2)首先整理函数的解析式为 的形式，然后确定其值域即可 .sinyaxb【详解】(1)由题意结合函数的解析式可得： ，sinfx函数为偶函数，则当 时， ，即 ，结合 可取0x2kZ2kZ0,2，相应的 值为 .0,1k3,2(2)由函数的解析式可得：22sinsin14yxx1cos21co62xcscs2xx131oin2icsi2x.31in6据此可得函数 的 值域为： .31,2【点睛】本题主要考查由三角函数的奇偶性确定参数值，三角函数值域的求解，三角函数式的整理变形等知识，
22、意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图，已知三棱柱 ，平面 平面 , ，1ABC1ACB90AC分别是 的中点.130,BACEF1,（1）证明： ；EFBC（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.1A【答案】 （1）证明见解析；（2） .35【解析】【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义即可证得线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后结合线面角的正弦值和同角三角函数基本关系可得线面角的余弦值.【详解】(1)如图所示，连结 ，1,AEB等边 中， ，则 ，1AC E3sin0si2BA，平面 ABC平面 ，且平面 ABC平面
23、，1 1C由面面垂直的性质定理可得： 平面 ，故 ，1A1AEB由三棱柱的性质可知 ，而 ，故 ，且 ，1B 11AE由线面垂直的判定定理可得： 平面 ，C1结合 平面 ，故 .EF1AEF(2)在底面 ABC 内作 EHAC，以点 E 为坐标原点，EH ,EC, 方向分别为 x,y,z 轴正方向建立空间直角坐1EA标系 .xyz设 ，则 ， , ，1EH3AEC123A,3BCA据此可得： ，10,0,0,2B由 可得点 的坐标为 ，1AB113,利用中点坐标公式可得： ，由于 ，,4F0,E故直线 EF 的方向向量为：3,E设平面 的法向量为 ，则：1ABC,mxyz，133, 022,0
24、mxyzyzBx据此可得平面 的一个法向量为 ，1AC1,3m3,4EF此时 ，64cos, 52EFm设直线 EF 与平面 所成角为 ，则 .1ABC43sinco,cos5EFm【点睛】本题考查了立体几何中的线线垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.设等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足：对每nanS34a3Snb成等比数列.12,nSbbN（1）求数列 的
25、通项公式；,na（2）记 证明：,2nCbN12+,.nCN【答案】 （1） ， ；（2）证明见解析.nan【解析】【分析】(1)首先求得数列 的首项和公差确定数列 的通项公式，然后结合三项成等比数列的充分必要条件nana整理计算即可确定数列 的通项公式；nb(2)结合(1)的结果对数列 的通项公式进行放缩，然后利用不等式的性质和裂项求和的方法即可证得题c中的不等式.【详解】(1)由题意可得： ，解得： ，1243ad102ad则数列 的通项公式为.na其前 n 项和 .021nnS则 成等比数列，即：1,2nnnbb，211b据此有：， 22 21 2121n nnnnnbb故 .21()(
26、)()nb(2)结合(1)中的通项公式可得：，221211naC nbnn则 .120n 【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解， ，裂项求和的方法，数列中用放缩法证明不等式的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.如图，已知点 为抛物线 ，点 为焦点，过点 的直线交抛物线于 两点，点(10)F，2(0)ypxF,AB在抛物线上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴于点 ，且 在点 右侧.记CVABCGACxQF的面积为 .,AGQ 12,S（1）求 的值及抛物线的标准方程；p（2）求 的最小值及此时点 的坐标.12SG【答案】 （1）1， ；（2） ， .x312,0【解析】
27、【分析】(1)由焦点坐标确定 p 的值和准线方程即可；(2)设出直线方程，联立直线方程和抛物线方程，结合韦达定理求得面积的表达式，最后结合均值不等式的结论即可求得 的最小值和点 G 的坐标.12S【详解】(1)由题意可得 ，则 ，抛物线方程为 ，准线方程为 .p2,4p24yx1x(2)设 ，12,AxyB设直线 AB 的方程为 ，与抛物线方程 联立可得：1,0kx24yx，故： ，2224kx22,1k，121211,4yxyxk设点 C 的坐标为 ，由重心坐标公式可得：3， ，12Gx32xk123Gy34yk令 可得： ，则 .即 ，0Gy34yk234yxk22141338Gkxk由斜
28、率公式可得： ，13132134ACy直线 AC 的方程为： ，331yxy令 可得： ，0y2333131344Qyyx故 ，11 122882GFSy kk且 ，32 2134Qyx由于 ，代入上式可得： ，34yk1228Skk由 可得 ，则 ，1212,y14y124y则211122834Syykk 2121486y.212143286y当且仅当 ，即 ， 时等号成立 .21212143y162y此时 ， ，则点 G 的坐标为 .214yk28Gxk,0【点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系，本题主要考查了抛物线准线方程的求解，直线与
29、抛物线的位置关系，三角形重心公式的应用，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.已知实数 ，设函数 0a()=ln1,0.fxax（1）当 时，求函数 的单调区间；34()f（2）对任意 均有 求 的取值范围.21,ex,2xfa注： 为自然对数的底数.e.78【答案】 （1） 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 ；（2） .fx30,324a【解析】【分析】(1)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的解析式确定函数的单调区间即可.(2)由题意首先由函数在特殊点的函数值得到 a 的取值范围，然后证明所得的范围满足题意即可 .【详解】(1)当 时， ，函数的定义
30、域为 ，且：34a3ln14fxx0,， 341122 2fx xx因此函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是 .f 30,(2)构造函数 ，ln12xaxga注意到： ，2 210ee注意到 时 恒成立，满足 ；0a21a2 2110gaee当 时， ，不合题意，2 210gee且 ，解得： ，故 .120ga24a204a下面证明 刚好是满足题意的实数 a 的取值范围.4分类讨论：(a)当 时， ，1x2ln1ln124xaxxag令 ，则：2l2411xx2()12312()xxx，322485112()31xxx易知 ，则函数 单调递减， ，满足题意.00g(b)当 时， 等价于 ，
31、21xe0gx2ln12axax左侧是关于 a 的开口向下的二次函数 ,其判别式 ， 112ln4lxxx令 ，注意到当 时, ，txte21l 0tt于是 在 上单调递增,而 ，215ln4于是当 时命题成立,214xe而当 时,此时 的对称轴为 随着 递增,a12lnxa于是对称轴在 的右侧,而 成立，(不等式等价于 ).58ln258l45ln28因此 .104au综上可得：实数 a 的取值范围是 .24a【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值) 最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系 (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题 (4)考查数形结合思想的应用