1、2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）第卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题。参考公式：如果事件 、 互斥，那么 .AB()()PABP如果事件 、 相互独立，那么 .圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高.VShh棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高.13一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 ，则 （ ）1,25,2,4|13ABCxR()ACBA. B. C. D. 23,21,23
2、4【答案】D【解析】【分析】先求 ，再求 。AB()CB【详解】因为 ，1,2所以 .()34故选 D。【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算2.设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为（ ）,xy20,1,xy4zxyA. 2 B. 3 C. 5 D. 6【答案】C【解析】【分析】画出可行域，用截距模型求最值。【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距，4yxzy故目标函数在点 处取得最大值。A由 ，得 ，20,1xy(1,)所以 。max4)5z故选
3、 C。【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围即：一画，二移，三求3.设 ，则 “ ”是“ ”的( )xR250x|1|xA. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定.【详解】 ，即 ，250x5x等价于 ，故 推不出 ；11x由 能推出 。x05x故“ ”是“ ”的必要不充分条件。25|1|故选 B。【
4、点睛】充要条件的三种判断方法：(1)定义法：根据 pq， qp 进行判断；(2)集合法：根据由 p， q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断这个方法特别适合以否定形式给出的问题4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为（ ）SA. 5 B. 8 C. 24 D. 29【答案】B【解析】【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果。【详解】详解： ，1,2Si1,25,3jSi8,4Si结束循环，故输出 。8故选 B。【点睛】解决此类型问题时要注意：要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根
5、据各自的特点执行循环体；要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体5.已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，若 与双曲线 的两条渐近线分别交24yxFl21(0,)xyabab于点 和点 ，且 （ 为原点） ，则双曲线的离心率为( ）AB|OA. B. C. D. 2325【答案】D【解析】【分析】只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。4ABOF,abc【详解】 的方程为 ，双曲线的渐近线方程为 ，l1xbyxa故得 ，(1,)(,)bABa所以 ， ， ，242ba所以 。25cae
6、故选 D。【点睛】双曲线 的离心率 。21(0,)xyab21cbea6.已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）5log2a0.5l20.2c,bcA. B. cb aC. D. a cb【答案】A【解析】【分析】利用利用 等中间值区分各个数值的大小。10,2【详解】 ，551logl2a，0.50.5l2lb，故 ，11c所以 。acb故选 A。【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与 的大小区别对待。17.已知函数 是奇函数，将 的图像上所有点的横坐标伸()sin()0,|)fxxAyfx长到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，所得图像对应的函数为 .若 的最小正周期为 ，且gx2
7、，则 （ ）4g38fA. B. C. D. 2222【答案】A【解析】【分析】只需根据函数性质逐步得出 值即可。,A【详解】 为奇函数，可知 ，()fx(0)sin0f由 可得 ；0把其图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍，得 ，21()sin2gxAx由 的最小正周期为 可得 ，()gx2由 ，可得 ，4A所以 ， 。()2sinfx3()2sin84f故选 C。【点睛】在 处有定义的奇函数必有 。0x(0)f8.已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的aR2,1()ln,xaxfx()0fxRa取值范围为（ ）A. B. C. D. 0,10,20,e1,e【答案】C【解析】
8、【分析】先判断 时， 在 上恒成立；若 在 上恒成立，转化为0a20xa(,1ln0xa(1,)在 上恒成立。ln(1,)【详解】首先 ，即 ，f0a当 时， ，0a2222()()()0xxaaa当 时， ，1f故当 时， 在 上恒成立；0a20xa(,1若 在 上恒成立，即 在 上恒成立，ln(1,)lnxa(,)令 ，则 ，()lxg2ln1()xg易知 为函数 在 唯一的极小值点、也是最小值点，e),故 ，所以 。max()(gae综上可知， 的取值范围是 。0,故选 C。【点睛】 在 上恒成立，等价于 ； 在 上恒成立，等价于()afxDmin(),afxD()afx。ma,f第卷二
9、.填空题：本大题共 6 小题.9. 是虚数单位，则 的值为_.i51i【答案】 3【解析】【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。【详解】解法一： 。5()12311iii解法二： 。26ii【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a bi(a， bR)的形式，再根据题意求解10. 是展开式中的常数项为_.8312x【答案】【解析】【分析】根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出 的值，再求出其常数项。r【详解】 ，884131(2)(2rrrrrrTCxCx由 ，得 ，840=故所求的常数项为 .28()【点睛】二项式中含有负号时，
10、要把负号与其后面的字母看作一个整体，计算中要特别注意符号。11.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧25棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_.【答案】4【解析】【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。【详解】四棱锥的高为 ，512故圆柱 的 高为 ，圆柱的底面半径为 ，故其体积为 。214【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。12.设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为_.aR20axy2cos,1inxya【答案】34【解析】【分析】根据圆的参数方程确定圆
11、的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出 满足的方程，解之解得。a【详解】圆心坐标为 ，圆的半径为 ，(2,1)2所以 ，2a即 ，2414解得 。3a【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出判断。13.设 ，则 的最小值为_.0,25xyxy(1)2xy【答案】 43【解析】【分析】把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值。26xy【详解】 ，26(1)2143xyxyx等号当且仅当 ，即 时成立。3xy,故所求的最小值为 。4【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。14.在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上，A
12、BCD,23,5,30BADA ECB且 ，则 _.EE【答案】 1【解析】【分析】可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。【详解】解法一：如图，过点 作 的平行线交 于 ，BAEDF因为 ，故四边形 为菱形。AEBF因为 ， ，所以 ，即 .30D2325A因为 ，5AEFBABD所以 .222773()() 51205ABAD解法二：建立如图所示的直角坐标系，则 ， 。(23,0)B5(,)2D因为 ， ，所以 ，ADBC30ACE因为 ，所以 ，EE所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，33(2)yx直线 的斜率为 ，其方程为 。AE3由 得 ， ，3(2),yx3x1
13、y所以 。(3,1)E所以 。5,(3,1)2BDAA【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在 中，内角 所对 的 边分别为 .已知 ， .VABC,ABC,abc2a3sin4icBaC（）求 的值；cos（）求 的值.in26【答案】 （） （）1cos4B357sin261B【解析】【分析】()由题意结合正弦定理得到 的比例关系，然后利用余弦定理可得 的值,abc cosB()利用二倍角公式首先求得 的值，然后利用两角和的正弦公式可得 的值.sin2oB 2a【详解】 （
14、）解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由VACsinibcCsinibcB，得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余3sin4icBa3sin4iba34ba2a43ba2c弦定理可得 .222 169os3c（）解：由（）可得 ，从而 ，215sin1cos4B 15sin2sico8B，故227cosi8B15371357insincosin666826B 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理 余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.16.设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影
15、23响，且任一同学每天到校情况相互独立.（）用 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望；X X（）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的M天数恰好多 2”，求事件 发生的概率.【答案】 （）见解析；（）2043【解析】【分析】()由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公式求解数学期望即可；()由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值.【详解】()因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7:30 之前到校的概率均为 ，23
16、故 ，从面 .23,XB33210,23kkPXkC所以，随机变量 的分布列为：0 1 2 3P12749827随机变量 的数学期望 .X2()3EX()设乙同学上学期间的三天中 7:30 之前到校的天数为 ，则 .Y23,B且 .3,12,0MYY由题意知事件 与 互斥，X,X且事件 与 ，事件 与 均相互独立，从而由()知： ()3,12,0PMXYXY,P()()().824120793【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.17.如图， 平面 ， ， .AEBCD,FAEDBC ,1,
17、2ABADEBC（）求证： 平面 ；BF ADE（）求直线 与平面 所成角的正弦值；C（）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长.13CF【答案】 （）见证明；（） （）4987【解析】【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系()利用直线 BF 的方向向量和平面 ADE 的法向量的关系即可证明线面平行；()分别求得直线 CE 的方向向量和平面 BDE 的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；()首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于 CF 长度的方程，解方程可得 CF 的长度.【详解】依题意，可以建立以 A 为原点，分别以 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方
18、向的空间直,ABDE角坐标系(如图)，可得 .0,1,0,20,1,2ABCDE设 ，则 .CFhFh()依题意， 是平面 ADE 的法向量，1,0又 ，可得 ，,2BhBA又因为直线 平面 ，所以 平面 .FDEF ADE()依题意， ，(1,0)(1,02)(1,2)C设 为平面 BDE 的法向量，,nxyz则 ，即 ，0BE20xyz不妨令 z=1，可得 ，,1n因此有 .4cos,9|CE所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 .BD()设 为平面 BDF 的法向量，则 ，即 .,mxyz 0mBDF02xyhz不妨令 y=1，可得 .21,h由题意，有 ，解得 .241cos, 3nm
19、h87h经检验，符合题意所以，线段 的长为 .CF87【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.18.设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为 4，离心率为 .21(0)xyabFB5（）求椭圆的方程；（）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半PMPxNy轴上.若 （ 为原点） ，且 ，求直线 的斜率.|ONFOPNB【答案】 （） （） 或 .2305【解析】【分析】()由题意得到关于 a,b,c 的方程，解方程可得椭圆方
20、程；()联立直线方程与椭圆方程确定点 P 的值，从而可得 OP 的斜率，然后利用斜率公式可得 MN 的斜率表达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率.【详解】() 设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ，c524,cba22bc5ab=2， c=1.所以，椭圆方程为.()由题意，设 .设直线 的 斜率为 ，,0,PMxyxPB0k又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 ，02,BB2ykx2154yx整理得 ，可得 ，2450kx2045Pk代入 得 ，y28145Pky进而直线 的斜率 ，O20Pxk在 中，令 ，得 .2ykxyM由题意得 ，所以
21、直线 的斜率为 .0,1NN2k由 ，得 ，OPM2451k化简得 ，从而 .25k305k所以，直线 的斜率为 或 .PB2【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.19.设 是等差数列， 是等比数列.已知 .nanb1234,6,24abab，（）求 和 的通项公式；（）设数列 满足 其中 .nc11,2,kkncb*N（i）求数列 的通项公式；21nac（ii）求 .*1iN【答案】 （） ； （） （i） （ii）3na2nnb2194nnac2*211*175nic N【解析】【分
22、析】()由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；()结合()中的结论可得数列 的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进21nac行等价变形，结合等比数列前 n 项和公式可得 的值.21niac【详解】()设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 .adnbq依题意得 ，解得 ，2646214qd 32q故 ， .(1)3nan1nnnb所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .an3nnb()( i) .22132194nnc所以，数列 的通项公式为 .n 2nnc(ii)22111niiiiacac21iiia432nn194nii21135nnn.*72N【点睛
23、】本题主要考查等差数列等比数列的通项公式及其前 n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.20.设函数 为 的导函数.()ecos,()xfgfx（）求 的单调区间；（）当 时，证明 ；,42x()02fxgx（）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明nx()1uf,42mnN.2002siconnex【答案】 （）单调递增区间为 的单调递减区间为3,2(),(4kkfxZ.（）见证明；（）见证明52,()4kZ【解析】【分析 】()由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数 的单调区间；fx()构造函数 ，结合()的结果和导函数的符号求
24、解函数 的最小值即2hxfgx hx可证得题中的结论；()令 ，结合()，()的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的2nyx结果.【详解】()由已知，有 .ecosinxfx当 时，有 ，得 ，则 单调递减;52,4xkkZsico0fxfx当 时，有 ，得 ，则 单调递增.32,4xkkZsincox0fxfx所以， 的单调递增区间为 ，f32,4kZ的单调递减区间为 .fx5,k()记 .依题意及()有： ，2hfxgxcosinxgex从而 .当 时， ，故()2sinxge,40x.()()1()2hxf gx因此， 在区间 上单调递减，进而 .,42()0hxf所以，当 时， .,x()02fxg()依题意， ，即 .10nnufecos1nx记 ，则 .2nyx,42ny且 .ecosnyf2cosenx nnN由 及()得 .201nf0y由()知，当 时， ，所以 在 上为减函数，,4xgxgx,42因此 .0ngy又由()知 ，故：02nnnfgy.2e2nnnfyg0222000sincosinconyeegyx所以 .200siconnxx【点睛】本题主要考查导数的运算不等式证明 运用导数研究函数的性质等基础知识和方法 .考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力综合分析问题和解决问题的能力.