1、绝密启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设 ，则 =3i2zzA2 B C D1322已知集合 ，则1,45,672,45,367UAB， ， UBAA B C D,61 ,
2、673已知 ，则0.20.32log.,abcA cB abC cabD bca4古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（ 0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头512顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为512105cm，头顶至脖子下端的长度为 26 cm，则其身高可能是A165 cm B175 cm C185 cm D190 cm5函数 f(x)= 在，的图像大致为2sincoA BC D6某学校为了解 1 000 名新生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，1 000，从这
3、些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46 号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是A8 号学生 B200 号学生 C616 号学生 D815 号学生7tan255=A2 B2+ C2 D2+33338已知非零向量 a，b 满足 =2 ，且（a b） b， 则 a 与 b 的夹角为A B C D 633569如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入12AA= BA= CA= DA=1212121210双曲线 C： 的一条渐近线的倾斜角为 130，则 C 的离心率为2(0,)xyabA2sin40 B2cos40 C D1sin501cos5011ABC 的内角 A
4、，B ，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinAbsinB=4csinC，cosA= ，则 =4bcA6 B5 C4 D312已知椭圆 C 的焦点为 ，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点.若 ，12(,0)(,F 22|FB，则 C 的方程为1|BA B C D2xy213xy2143xy2154xy二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线 在点 处的切线方程为_2)3(exy(0,)14记 Sn 为等比数列a n的前 n 项和.若 ，则 S4=_13a，15函数 的最小值为_3()si2)cosfxx16已知ACB=90，P 为平面 ABC 外一点，
5、PC =2，点 P 到ACB 两边 AC，BC 的距离均为 ，那么3P 到平面 ABC 的距离为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60 分。17（12 分）某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意 不满意男顾客 40 10女顾客 30 20（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附： 2
6、()(nadbcKP（K 2k）0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.82818（12 分）记 Sn 为等差数列a n的前 n 项和，已知 S9=a 5（1）若 a3=4，求a n的通项公式；（2）若 a10，求使得 Snan 的 n 的取值范围19（12 分）如图，直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面是菱形，AA 1=4，AB=2，BAD=60，E，M，N 分别是BC，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN平面 C1DE；（2）求点 C 到平面 C1DE 的距离20（12 分）已知函数 f（x） =2sinxx cosxx，f （x）为 f（x）的导
7、数（1）证明：f （x ）在区间（0， ）存在唯一零点；（2）若 x0 ，时，f（x）ax，求 a 的取值范围21.（12 分）已知点 A，B 关于坐标原点 O 对称，AB =4，M 过点 A，B 且与直线 x+2=0 相切（1）若 A 在直线 x+y=0 上，求M 的半径；（2）是否存在定点 P，使得当 A 运动时，MAMP 为定值？并说明理由（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点 O 为极点，x 轴的2214
8、txy，正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos3in10（1）求 C 和 l 的直角坐标方程；（2）求 C 上的点到 l 距离的最小值23选修 45：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1） ；221abcc（2） 333()()()42019年普通高等学校招生全国统一考试文科数学参考答案一、选择题1C 2C 3B 4B 5D 6C7D 8B 9A 10D 11A 12B二、填空题13y=3x 14 154 1652三、解答题17解：（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 ，因此男顾客对该商场服务满意的40.85概率的估计值
9、为0.8女顾客中对该商场服务满意的比率为 ，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为30.650.6（2） 2210(41)4.75730K由于 ，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异763.818解：（1）设 的公差为dna由 得 95S140由a 3=4得 2于是 18,d因此 的通项公式为 n102na（2）由（1）得 ，故 .14(9)(5),2nddS由 知 ，故 等价于 ，解得1n100adnS210所以n的取值范围是 |0,N19解：（1）连结 .因为M， E分别为 的中点，所以 ，且 .又因为N1,BC1,BC1 MEBC 12B为 的中点，所以 .AD12
10、AD由题设知 ，可得 ，故 ，因此四边形MNDE为平行四边形，1= = =ND.又 平面 ，所以MN平面 .NE 1CE1CE（2）过C作C 1E的垂线，垂足为H .由已知可得 ， ，所以DE平面 ，故DE CH.DB11从而CH平面 ，故CH的长即为C到平面 的距离，1 CDE由已知可得CE=1，C 1C=4，所以 ，故 .17471H从而点C到平面 的距离为 .1DE41720解：（1）设 ，则 .()gxf()cosin1,()cosgxxgx当 时， ；当 时， ，所以 在 单调递增，在0,20,20()0,2单调递减.,又 ，故 在 存在唯一零点.(0),0,()22gg()gx0,
11、所以 在 存在唯一零点.fx,（2）由题设知 ，可得a0.(),()0ff由（1）知， 在 只有一个零点，设为 ，且当 时， ；当x 0x0,x()0f时， ，所以 在 单调递增，在 单调递减.0,x()f()fx, 又 ，所以，当 时， .()0f()fx又当 时，ax0，故 .,ax()fxa因此，a的取值范围是 .(,21解：（1）因为 过点 ，所以圆心 M 在 AB 的垂直平分线上.由已知 A 在直线 上，且MA,B +=0xy关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 上，故可设 .,Byx(, )a因为 与直线x+2=0 相切，所以 的半径为 .A|2|r由已知得 ，又 ，故可得 ，
12、解得 或 .|=2A24()a=0a4故 的半径 或 .Mr6（2）存在定点 ，使得 为定值.(1,0)P|MAP理由如下：设 ，由已知得 的半径为 .(, )xy=|+2,|rxO由于 ，故可得 ，化简得M的轨迹方程为 .MOA24()xy24yx因为曲线 是以点 为焦点，以直线 为准线的抛物线，所以 .2:4Cy1,0)P1x|=+1MP因为 ，所以存在满足条件的定点P.|=|+2(=rx22解：（1）因为 ，且 ，所以C的直角坐标方程为21t222411ytt.2()4yx的直角坐标方程为 .l 310xy（2）由（1）可设C的参数方程为 （ 为参数， ）.cos,2inxC上的点到 的距离为 .l4cs1|2cos3i1|377当 时， 取得最小值7，故C上的点到 距离的最小值为 .34s l723解：（1）因为 ，又 ，故有222,abcbac1ab.2 1aabc所以 .221abcc（2）因为 为正数且 ，故有, 133333()()()()()ababca=+ca3(2)()(2)bc=24.所以 . 333()()()4aa