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2019年数学中考考前冲刺提分专项训练:二次函数(含答案解析)

1、2019 年数学中考考前冲刺提分专项训练:二次函数1如图,在平面直角坐标系中,抛物线 y ax2+bx+c( a0)交 x 轴于点 A(2,0) ,B(3,0) ,交 y 轴于点 C,且经过点 D(6,6) ,连接 AD, BD(1)求该抛物线的函数关系式;(2)若点 M 为 X 轴上方的抛物线上一点,能否在点 A 左侧的 x 轴上找到另一点 N,使得 AMN 与 ABD 相似?若相似,请求出此时点 M、点 N 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)若点 P 是直线 AD 上方的抛物线上一动点(不与 A, D 重合) ,过点 P 作 PQ y 轴交直线 AD 于点 Q,以 PQ 为直径作 E,则

2、 E 在直线 AD 上所截得的线段长度的最大值等于 (直接写出答案)解:(1)用交点式函数表达式得: y a( x2) ( x+3) ,将点 D 坐标代入上式并解得: a ,故函数的表达式为: y x2 x+ ,则点 C(0, ) ;(2)由题意得: AB5, AD10, BD3 ,当 MAB BAD 时,当 NMA ABD 时, AMN ABD,则 tan MABtan BAD ,则直线 MA 的表达式为: y x+b,将点 A 的坐标代入上式并解得: b ,则直线 AM 的表达式为: y x+ ,联立并解得: x0 或 2(舍去 2) ,则点 M(0,2) ,则 AM2 , AMN ABD

3、, ,解得: AN4 ,故点 N(24 ,0) ;当 MN A ABD 时, ANM ABD,同理可得:点 N(2 ,0) ,即点 M(0, ) ,点 N(24 ,0)或(2 ,0) ;当 MAB BDA 时,同理可得:点 M(1, ) ,点 N(3,0)或( ,0) ;故:点 M(0, )或(1, ) ,点 N(24 ,0)或(2 ,0)或(3,0)或( ,0) ;(3)如图所示,连接 PH,由题意得:tan PQH ,则 cos PQH ,则直线 AD 的表达式为: y x ,设点 P( x, x2 x+ ) ,则点 H( x, x ) ,则 QH PHcos PQH PH ( x2 x+

4、 x+ ) x2 x+ , 0,故 QH 有最大值,当 x2 时,其最大值为 2如图,直线 y x+2 与抛物线 y ax2+bx+6( a0)相交于 A( , )和 B(4, m) ,点P 是线段 AB 上异于 A、 B 的动点,过点 P 作 PC x 轴于点 D,交抛物线于点 C(1)求抛物线的解析式;(2)是否存在这样的 P 点,使线段 PC 的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)求 PAC 为直角三角形时点 P 的坐标解:(1) B(4, m)在直线 y x+2 上, m4+26, B(4,6) , A( , ) 、 B(4,6)在抛物线 y ax2+bx+

5、6 上, ,解得 ,抛物线的解析式为 y2 x28 x+6(2)设动点 P 的坐标为( n, n+2) ,则 C 点的坐标为( n,2 n28 n+6) , PC( n+2)(2 n28 n+6) ,2 n2+9n4,2( n ) 2+ , PC0,当 n 时,线段 PC 最大且为 (3) PAC 为直角三角形,i)若点 P 为直角顶点,则 APC90由题意易知, PC y 轴, APC45,因此这种情形不存在;ii)若点 A 为直角顶点,则 PAC90如答图 31,过点 A( , )作 AN x 轴于点 N,则 ON , AN 过点 A 作 AM直线 AB,交 x 轴于点 M,则由题意易知,

6、 AMN 为等腰直角三角形, MN AN , OM ON+MN + 3, M(3,0) 设直线 AM 的解析式为: y kx+b,则: ,解得 ,直 线 AM 的解析式为: y x+3 又抛物线的解析式为: y2 x28 x+6 联立式,解得: x3 或 x (与点 A 重合,舍去) C(3,0) ,即点 C、 M 点重合当 x3 时, y x+25, P1(3,5) ;iii)若点 C 为直角顶点,则 ACP90 y2 x28 x+6 2( x2) 22,抛物线的对称轴为直线 x2如答图 32,作点 A( , )关于对称轴 x2 的对称点 C,则点 C 在抛物线上,且 C( , ) 当 x

7、时, y x+2 P2( , ) 点 P1(3,5) 、 P2( , )均在线段 AB 上,综上所述, PAC 为直角三角形时,点 P 的坐标为(3,5)或( , ) 3如图,已知抛物线 y ax2+bx+c( a0)的对称轴为直线 x1,且抛物线经过A(1,0) , C(0,3)两点,与 x 轴交于点 B(1)若直线 y mx+n 经过 B、 C 两点,求直线 BC 和抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴 x1 上找一点 M,使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小,求出点 M 的坐标;(3)设点 P 为抛物线的对称轴 x1 上的一个动点,求使 BPC 为直角三角形的点 P的坐

8、标解:(1)依题意得: ,解之得: ,抛物线解析式为 y x22 x+3对称轴为 x1,且抛物线经过 A(1,0) ,把 B(3,0) 、 C(0,3)分别代入直线 y mx+n,得 ,解之得: ,直线 y mx+n 的解析式为 y x+3;(2)设直线 BC 与对称轴 x1 的交点为 M,则此时 MA+MC 的值最小把 x1 代入直线 y x+3 得, y2, M(1,2) ,即当点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小时 M 的坐标为(1,2) ;(3)设 P(1, t) ,又 B(3,0) , C(0,3) , BC218, PB2(1+3) 2+t24+ t2, PC2(1)

9、 2+( t3) 2 t26 t+10,若点 B 为直角顶点,则 BC2+PB2 PC2即:18+4+ t2 t26 t+10 解之得: t2;若点 C 为直角顶点,则 BC2+PC2 PB2即:18+ t26 t+104+ t2解之得: t4,若点 P 为直角顶点,则 PB2+PC2 BC2即:4+ t2+t26 t+1018 解之得:t1 , t2 ;综上所述 P 的坐标为(1,2)或(1,4)或(1, ) 或(1,) 4如图,在直角坐标系中,抛物线经过点 A(0,4) , B(1,0) , C(5,0) ,其对称轴与x 轴相交于点 M(1)求抛物线的解析式和对称轴;(2)在抛物线的对称轴

10、上是否存在一点 P,使 PAB 的周长最小?若存在,请求出点 P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接 AC,在直线 AC 的下方的抛物线上,是否存在一点 N,使 NAC 的面积最大?若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由解:(1)根据已知条件可设抛物线的解析式为 y a( x1) ( x5) ,把点 A(0,4)代入上式得: a , y ( x1) ( x5) x2 x+4 ( x3) 2 ,抛物线的对称轴是:直线 x3;(2) P 点坐标为(3, ) 理由如下:点 A(0,4) ,抛物线的对称轴是直线 x3,点 A 关于对称轴的对称点 A的坐标为(6,4)如图 1,连接 BA

11、交对称轴于点 P,连接 AP,此时 PAB 的周长最小设直线 BA的解析式为 y kx+b,把 A(6,4) , B(1,0)代入得 ,解得 , y x ,点 P 的横坐标为 3, y 3 , P(3, ) (3)在直线 AC 的下方的抛物线上存在点 N,使 NAC 面积最大设 N 点的横坐标为 t,此时点 N( t, t2 t+4) (0 t5) ,如图 2,过点 N 作 NG y 轴交 AC 于 G;作 AD NG 于 D,由点 A(0,4)和点 C(5,0)可求出直线 AC 的解析式为: y x+4,把 x t 代入得: y t+4,则 G( t, t+4) ,此时: NG t+4( t

12、2 t+4) t2+4t, AD+CF CO5, S ACN S ANG+S CGN ADNG+ NGCF NGOC ( t2+4t)52 t2+10t2( t ) 2+ ,当 t 时, CAN 面积的最大值为 ,由 t ,得: y t2 t+43, N( ,3) 5如图所示,抛物线 y x2+bx+c 经过 A、 B 两点, A、 B 两点的坐标分别为(1,0) 、(0,3) (1)求抛物线的函数解析式;(2)点 E 为抛物线的顶点,点 C 为抛物线与 x 轴的另一交点,点 D 为 y 轴上一点,且DC DE,求出点 D 的坐标;(3)在第二问的条件下,在直线 DE 上存在点 P,使得以 C

13、、 D、 P 为顶点的三角形与DOC 相似,请你直接写出所有满足条件的点 P 的坐标解:(1)抛物线 y x2+bx+c 经过 A(1,0) 、 B(0,3) , ,解得 ,故抛物线的函数解析式为 y x22 x3;(2)令 x22 x30,解得 x11, x23,则点 C 的坐标为(3,0) , y x22 x3( x1) 24,点 E 坐标为(1,4) ,设点 D 的坐标为(0, m) ,作 EF y 轴于点 F, DC2 OD2+OC2 m2+32, DE2 DF2+EF2( m+4) 2+12, DC DE, m2+9 m2+8m+16+1,解得 m1,点 D 的坐标为(0,1) ;(

14、3)点 C(3,0) , D(0,1) , E(1,4) , CO DF3, DO EF1,根据勾股定理, CD ,在 COD 和 DFE 中, , COD DFE( SAS) , EDF DCO,又 DCO+ CDO90, EDF+ CDO90, CDE1809090, CD DE,分 OC 与 CD 是对应边时, DOC PDC, ,即 ,解得 DP ,过点 P 作 PG y 轴于点 G,则 ,即 ,解得 DG1, PG ,当点 P 在点 D 的左边时, OG DG DO110,所以点 P( ,0) ,当点 P 在点 D 的右边时, OG DO+DG1+12,所以,点 P( ,2) ; O

15、C 与 DP 是对应边时, DOC CDP, ,即 ,解得 DP3 ,过点 P 作 PG y 轴于点 G,则 ,即 ,解得 DG9, PG3,当点 P 在点 D 的左边时, OG DG OD918,所以,点 P 的坐标是(3,8) ,当点 P 在点 D 的右边时, OG OD+DG1+910,所以,点 P 的坐标是(3,10) ,综上所述,满足条件的点 P 共有 4 个,其坐标分别为( ,0) 、 ( ,2) 、(3,8) 、 (3,10) 6如图,关于 x 的二次函数 y x2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A(1,0)和点 B,与 y 轴交于点 C(0,3) ,抛物线的对称轴与 x 轴

16、交于点 D(1)求二次函数的表达式;(2)在 y 轴上是否存在一点 P,使 PBC 为等腰三角形?若存在请求出点 P 的坐标;(3)有一个点 M 从点 A 出发,以每秒 1 个单位的速度在 AB 上向点 B 运动,另一个点 N从 点 D 与点 M 同时出发,以每秒 2 个单位的速度在抛物线的对称轴上运动,当点 M 到达点 B 时,点 M、 N 同时停止运动,问点 M、 N 运动到何处时, MNB 面积最大,试求出最大面积解:(1)把 A(1,0)和 C(0,3)代入 y x2+bx+c,解得: b4, c3,二次函数的表达式为: y x24 x+3;(2)令 y0,则 x24 x+30,解得:

17、 x1 或 x3, B(3,0) , BC3 ,点 P 在 y 轴上,当 PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论:如图 1,当 CP CB 时, PC3 , OP OC+PC3+3 或 OP PC OC3 3 P1(0,3+3 ) , P2(0,33 ) ;当 BP BC 时, OP OB3, P3(0,3) ;当 PB PC 时, OC OB3此时 P 与 O 重合, P4(0,0) ;综上所述,点 P 的坐标为:(0,3+3 )或(0,33 )或(0,3)或(0,0) ;(3)如图 2,设 A 运动时间为 t,由 AB2,得 BM2 t,则 DN2 t, S MNB (2 t)2 t t

18、2+2t( t1) 2+1,即当 M(2,0) 、 N(2,2)或(2,2)时 MNB 面积最大,最大面积是 17如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线 y x+2 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 C抛物线 y ax2+bx+c 的对称轴是 x 且经过 A、 C 两点,与 x 轴的另一交点为点 B(1)直接写出点 B 的坐标;求抛物线解析式(2)若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点,连接 PA, PC求 PAC 的面积的最大值,并求出此时点 P 的坐标(3)抛物线上是否存在点 M,过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N,使得以点 A、 M、 N 为顶点的三角形与 ABC 相

19、似?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请说明理由解:(1) y 当 x0 时, y2,当 y0 时, x4, C(0,2) , A(4,0) ,由抛物线的对称性可知:点 A 与点 B 关于 x 对称,点 B 的坐标为(1,0) 抛物线 y ax2+bx+c 过 A(4,0) , B(1,0) ,可设抛物线解析式为 y a( x+4) ( x1) ,又抛物线过点 C(0,2) ,24 a a y x2 x+2(2)设 P( m, m2 m+2) 过点 P 作 PQ x 轴交 AC 于点 Q, Q( m, m+2) , PQ m2 m+2( m+2) m22 m, S PAC PQ4,2 PQ

20、 m24 m( m+2) 2+4,当 m2 时, PAC 的面积有最大值是 4,此时 P(2,3) (3)方法一:在 Rt AOC 中,tan CAO 在 Rt BOC 中,tan BCO , CAO BCO, BCO+ OBC90, CAO+ OBC90, ACB90, ABC ACO CBO,如下图:当 M 点与 C 点重合,即 M(0,2)时, MAN BAC;根据抛物线的对称性,当 M(3,2)时, MAN ABC;当点 M 在第四象限时,设 M( n, n2 n+2) ,则 N( n,0) MN n2+ n2, AN n+4当 时, MN AN,即 n2+ n2 ( n+4)整理得:

21、 n2+2n80解得: n14(舍) , n22 M(2,3) ;当 时, MN2 AN,即 n2+ n22( n+4) ,整理得: n2 n200解得: n14(舍) , n25, M(5,18) 综上所述:存在 M1(0,2) , M2(3,2) , M3(2,3) , M4(5,18) ,使得以点A、 M、 N 为顶点的三角形与 ABC 相似方法二: A(4,0) , B(1,0) , C(0,2) , KACKBC1, AC BC, MN x 轴,若以点 A、 M、 N 为顶点的三角形与 ABC 相似,则 , ,设 M(2 t,2 t23 t+2) , N(2 t,0) ,| | ,|

22、 | ,2 t10,2 t22,| | ,| |2,2 t15,2 t23,综上所述:存在 M1(0,2) , M2(3,2) , M3(2,3) , M4(5,18) ,使得以点A、 M、 N 为顶点的三角形与 ABC 相似8如图,二次函数 y x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A(3,0) , B(1,0) ,与 y 轴交于点 C若点 P, Q 同时从 A 点出发,都以每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB, AC 边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动(1)求该二次函数的解析式及点 C 的坐标;(2)当点 P 运动到 B 点时,点 Q 停止运动,这时,在 x 轴上是否存在点

23、 E,使得以A, E, Q 为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出 E 点坐标;若不存在,请说明理由(3)当 P, Q 运动到 t 秒时, APQ 沿 PQ 翻折,点 A 恰好落在抛物线上 D 点处,请判定此时四边形 APDQ 的形状,并求出 D 点坐标方法(1):解:(1)二次函数 y x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A(3,0) , B(1,0) , ,解得 , y x2 x4 C(0,4) (2)存在如图 1,过点 Q 作 QD OA 于 D,此时 QD OC, A(3,0) , B(1,0) , C(0,4) , O(0,0) , AB4, OA3, OC4, AC 5,当点

24、 P 运动到 B 点时,点 Q 停止运动, AB4, AQ4 QD OC, , , QD , AD 作 AQ 的垂直平分线,交 AO 于 E,此时 AE EQ,即 AEQ 为等腰 三角形,设 AE x,则 EQ x, DE AD AE| x|,在 Rt EDQ 中, ( x) 2+( ) 2 x2,解得 x , OA AE3 , E( ,0) ,说明点 E 在 x 轴的负半轴上;以 Q 为圆心, AQ 长半径画圆,交 x 轴于 E,此时 QE QA4, ED AD , AE , OA AE3 , E( ,0) 当 AE AQ4 时,1当 E 在 A 点左边时, OA AE341, E(1,0)

25、 2当 E 在 A 点右边时, OA+AE3+47, E(7 ,0) 综上所述,存在满足条件的点 E,点 E 的坐标为( ,0)或( ,0)或(1,0)或(7,0) (3)四边形 APDQ 为菱形, D 点坐标为( , ) 理由如下:如图 2, D 点关于 PQ 与 A 点对称,过点 Q 作, FQ AP 于 F, AP AQ t, AP DP, AQ DQ, AP AQ QD DP,四边形 AQDP 为菱形, FQ OC, , , AF , FQ , Q(3 , ) , DQ AP t, D(3 t, ) , D 在二次函数 y x2 x4 上, (3 t) 2 (3 t)4, t ,或 t

26、0(与 A 重合,舍去) , D( , ) 方法二:(1)略(2)点 P、 Q 同时从 A 点出发,都已每秒 1 个单位长度的速度分别沿 AB, AC 运动过点 Q 作 x 轴垂线,垂足为 H A(3,0) , C(0,4) , lAC: y x4,点 P 运动到 B 点时,点 Q 停止运动, AP AQ4, QH , Qy ,代入 LAC: y x4 得, Qx ,则 Q( , ) ,点 E 在 x 轴上,设 E( a,0) , A(3,0) , Q( , ) , AEQ 为等腰三角形, AE EQ, AE AQ, EQ AQ,( a3)2( a )2+(0+ )2, a ,( a3)2(3

27、 )2+(0+ )2, a17, a21,( a )2+(0+ )2(3 )2+(0+ )2, a1 , a23(舍)点 E 的坐标为( ,0)或( ,0)或(1,0)或(7,0) (3) P, Q 运动到 t 秒,设 P(3 t,0) , Q(3 t, t) , KPQ , KPQ2, AD PQ, KPQKAD1, KAD , A(3,0) , lAD: y x , y , x13(舍) , x2 , D( , ) , DY QY,即 t , t , DQ AP, DQ AQ AP,此时四边形 APDQ 的形状为菱形9如图,抛物线 y x2+mx+n 与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y

28、 轴交于点 C,抛物线的对称轴交 x 轴于点 D,已知 A(1,0) , C(0,2) (1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点 P,使 PCD 是以 CD 为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出 P 点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点 E 是线段 BC 上的一个动点,过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F,当点 E运动到什么位置时,四边形 CDBF 的面积最大?求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标解:(1)抛物线 y x2+mx+n 经过 A(1,0) , C(0,2) 解得: ,抛物线的解析式为: y x2+ x+2;(2) y x2+ x+

29、2, y ( x ) 2+ ,抛物线的对称轴是 x OD C(0,2) , OC2在 Rt OCD 中,由勾股定理,得CD CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形, CP1 DP2 DP3 CD作 CM x 对称轴于 M, MP1 MD2, DP14 P1( ,4) , P2( , ) , P3( , ) ;(3)当 y0 时,0 x2+ x+2 x11, x24, B(4,0) 设直线 BC 的解析式为 y kx+b,由图象,得,解得: ,直线 BC 的解析式为: y x+2如图 2,过点 C 作 CM EF 于 M,设 E( a, a+2) , F( a, a2+ a+2) , EF a2+

30、 a+2( a+2) a2+2a(0 a4) S 四边形 CDBF S BCD+S CEF+S BEF BDOC+ EFCM+ EFBN, + a( a2+2a)+ (4 a) ( a2+2a) , a2+4a+ (0 a4) ( a2) 2+ a2 时, S 四边形 CDBF 的面积最大 , E(2,1) 10如图,在矩形 OABC 中, OA5, AB4,点 D 为边 AB 上一点,将 BCD 沿直线 CD 折叠,使点 B 恰好落在边 OA 上的点 E 处,分别以 OC, OA 所在的直线为 x 轴, y 轴建立平面直角坐标系(1)求 OE 的长及经过 O, D, C 三点抛物线的解析式;

31、(2)一动点 P 从点 C 出发,沿 CB 以每秒 2 个单位长度的速度向点 B 运动,同时动点 Q从 E 点出发,沿 EC 以每秒 1 个单位长度的速度向点 C 运动,当点 P 到达点 B 时,两点同时停止运动,设运动时间为 t 秒,当 t 为何值时, DP DQ;(3)若点 N 在(1)中抛物线的对称轴上,点 M 在抛物线上,是否存在这样的点 M 与点N,使 M, N, C, E 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出 M 点坐标;若不存在,请说明理由解:(1) CE CB5, CO AB4,在 Rt COE 中, OE 3,设 AD m,则 DE BD4 m, OE3, AE532,

32、在 Rt ADE 中,由勾股定理可得 AD2+AE2 DE2,即 m2+22(4 m) 2,解得 m , D( ,5) , C(4,0) , O(0,0) ,设过 O、 D 、 C 三点的抛物线为 y ax( x+4) ,5 a( +4) ,解得 a ,抛物线解析式为 y x( x+4) x2+ x;(2) CP2 t, BP52 t, BD , DE , BD DE,在 Rt DBP 和 Rt DEQ 中,Rt DBPRt DEQ( HL) , BP EQ,52 t t, t ;(3)抛物线的对称轴为直线 x2,设 N(2, n) ,又由题意可知 C(4,0) , E(0,3) ,设 M(

33、m, y) ,当 EN 为对角线,即四边形 ECNM 是平行四边形时,则线段 EN 的中点横坐标为 1,线段 CM 中点横坐标为 , EN, CM 互相平分, 1,解得 m2,又 M 点在抛物线上, y 22+ 216, M(2,16) ;当 EM 为对角线,即四边形 ECMN 是平行四边形时,则线段 EM 的中点横坐标为 ,线段 CN 中点横坐标为 3, EM, CN 互相平分, 3,解得 m6,又 M 点在抛物线上, y (6) 2+ (6)16, M(6,16) ;当 CE 为对角线,即四边形 EMCN 是平行四边形时,则 M 为抛物线的顶点,即 M(2, ) 综上可知,存在满足条件的点

34、 M,其坐标为(2,16)或(6,16)或(2, ) 11如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1)的抛物线交 y 轴于 A 点,交 x 轴于B, C 两点(点 B 在点 C 的左侧) ,已知 A 点坐标为(0,3) (1)求此抛物线的解析式;(2)过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D,如果以点 C 为圆心的圆与直线 BD 相切,请判断抛物线的对称轴 l 与 C 有怎样的位置关系,并给出证明;(3)已知点 P 是抛物线上的一个动点,且位于 A, C 两点之间,问:当点 P 运动到什么位置时, PAC 的面积最大?并求出此时 P 点的坐标和 PAC 的最大面积解:(1)设抛物线为 y

35、a( x4) 21,抛物线经过点 A(0,3) ,3 a(04) 21, ;抛物线为 ;(2)相交证明:连接 CE,则 CE BD,当 时, x12, x26A(0,3) , B(2,0) , C(6,0) ,对称轴 x4, OB2, AB , BC4, AB BD, OAB+ OBA90, OBA+ EBC90, AOB BEC, ,即 ,解得 CE , 2,故抛物线的对称轴 l 与 C 相交(3)如图,过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点 Q;可求出 AC 的解析式为 ;设 P 点的坐标为( m, ) ,则 Q 点的坐标为( m, ) ; PQ m+3( m22 m+3) m2+

36、 m S PAC S PAQ+S PCQ ( m2+ m)6 ( m3) 2+ ;当 m3 时, PAC 的面积最大为 ;此时, P 点的坐标为(3, ) 12如图,在平面直角坐标系中,直线 y3 x3 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 C抛物线 y x2+bx+c 经过 A, C 两点,且与 x 轴交于另一点 B(点 B 在点 A 右侧) (1)求抛物线的解析式及点 B 坐标;(2)若点 M 是线段 BC 上一动点,过点 M 的直线 EF 平行 y 轴交 x 轴于点 F,交抛物线于点 E求 ME 长的最大值;(3)试探究当 ME 取最大值时,在 x 轴下方抛物线上是否存在点 P,使以

37、M, F, B, P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,试说明理由解:(1)当 y0 时,3 x30, x1 A(1,0)当 x0 时, y3, C(0,3) , ,抛物线的解析式是: y x22 x3当 y0 时, x22 x30,解得: x11, x23 B(3,0) (2)由(1)知 B(3,0) , C(0,3)直线 BC 的解析式是: y x3,设 M( x, x3) (0 x3) ,则 E( x, x22 x3) ME( x3)( x22 x3) x2+3x( x ) 2+ ;当 x 时, ME 的最大值为 (3)答:不存在由(2)知 ME 取最大

38、值时 ME , E( , ) , M( , ) MF , BF OB OF 设在抛物线 x 轴下方存在点 P,使以 P、 M、 F、 B 为顶点的四边形是平行四边形,则 BP MF, BF PM P1(0, )或 P2(3, )当 P1(0, )时,由(1)知 y x22 x33 P1不在抛物线上当 P2(3, )时,由(1)知 y x22 x30 P2不在抛物线上综上所述:在 x 轴下方抛物线上不存在点 P,使以 P、 M、 F、 B 为顶点的四边形是平行四边形13如图,已知抛物线 y x2+bx+c 与 x 轴交于 A(1,0) 、 B(3,0)两点,与 y 轴交于点 C,抛物线的对称轴与抛物线交于点 P、与直线 BC 相交于点 M,连接 PB(1)求该抛物线的解析式;(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点 D,使得 BCD 的面积最大?若存在,求出 D 点坐标及 BCD 面积的最大值;若不存在,请说明理由(3)在(1)中的抛物线上是否存在点 Q,使得 QMB 与 PMB 的面积相等?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由