1、2018-2019 学年福建省厦门一中九年级（下）第一次段测数学试卷一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每小题有且只有一个选项正确）1 （4 分）如果 a 与 3 互为倒数，那么 a 是（ ）A3 B3 C D2 （4 分）下列图形具有稳定性的是（ ）A BC D3 （4 分）下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）A BC D4 （4 分）下列运算正确的是（ ）A （b 2） 3b 5 Bx 3x3xC5y 33y215y 5 Da+a 2a 35 （4 分）在ABC 中，C90，AB2，AC 1，则 sinB 的值是（ ）A B C D26 （4 分）如图，在A
2、BC 中，C90，点 D，E 分别在边 AC，AB 上若B ADE，则下列结论正确的是（ ）AA 和B 互为补角 BB 和ADE 互为补角CA 和ADE 互为余角 DAED 和DEB 互为余角7 （4 分）如图，码头 A 在码头 B 的正西方向，甲、乙两船分别从 A，B 同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东 35，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是（ ）A北偏东 55 B北偏西 55 C北偏东 35 D北偏西 358 （4 分）要说明“若两个单项式的次数相同，则它们是同类项”是假命题，可以举的反例是（ ）A2ab 和 3ab B2a 2b 和 3ab2 C2ab 和 2a2b2
3、 D2a 3 和2a 39 （4 分）用一根长为 a（单位：cm）的铁丝，首尾相接围成一个正方形，要将它按图的方式向外等距扩 1（单位：cm）得到新的正方形，则这根铁丝需增加（ ）A4cm B8cm C （a+4）cm D （a+8）cm10 （4 分）如图，AB 是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端 B 出发，先沿水平方向向右行走 20 米到达点 C，再经过一段坡度（或坡比）为 i1：0.75、坡长为 10米的斜坡 CD 到达点 D，然后再沿水平方向向右行走 40 米到达点 E（A，B，C，D，E均在同一平面内） 在 E 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 24，则建筑物 AB 的高度约
4、为（参考数据：sin240.41，cos240.91，tan240.45） （ ）A21.7 米 B22.4 米 C27.4 米 D28.8 米二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11 （4 分）若分式 有意义，则 x 的取值范围为 12 （4 分）分解因式：a 25a 13 （4 分）某商品原价为 a 元，如果按原价的八折销售，那么售价是 元 （用含字母 a 的代数式表示） 14 （4 分）已知 （a ）0，则 a 的取值范围是 15 （4 分）在等腰三角形 ABC 中，A80，则B 16 （4 分）如图，菱形 ABCD 的边 ADy 轴，垂足为点 E，顶点 A 在
5、第二象限，顶点 B在 y 轴的正半轴上，反比例函数 y （k 0，x0）的图象经过顶点 C、D，若点 C的横坐标为 5，BE3DE ，则 k 的值为 三、解答题（本大题有 9 小题，共 86 分）17 （8 分）计算：（1）4sin45+ （2） 0 ；（2） （a+3） （a2）a（a1） 18 （8 分）如图，已知 ABCF，D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E，若 ABBD +CF，求证：ADE CFE19 （8 分）先化简再求值：（ +b） ，其中 a1+ ，b1 20 （8 分）我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量
6、竿，却比竿子短一托”其大意为：现有一根竿和一根绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5尺求绳索长和竿长21 （8 分）如图，在数轴上，点 A、B 分别表示数 1、2x+3（1）求 x 的取值范围；（2）数轴上表示数x+2 的点应落在 A点 A 的左边 B线段 AB 上 C点 B 的右边22 （10 分）如图，在ABC 中，ACB 90，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交线段 AB 于点 D；以点 A 为圆心， AD 长为半径画弧，交线段 AC 于点 E，连结 CD（1）若A28，求ACD 的度数（2）设 BCa，ACb线段 AD 的长是方程 x2+
7、2axb 20 的一个根吗？说明理由若 ADEC，求 的值23 （10 分）如图，平面直角坐标系中，已知点 B 的坐标为（6，4） （1）请用直尺（不带刻度）和圆规作一条直线 AC，它与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于点 A 和点 C，且ABC 与AOC 关于直线 AC 对称 （左图不必写作法，但要保留作图痕迹）（2）请求出（1）中作出的直线 AC 的函数表达式24 （12 分）如图，在 RtABC 中，C90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，O 为 AB上一点，经过点 A，D 的 O 分别交 AB，AC 于点 E，F，连接 OF 交 AD 于点 G（1）求证：BC 是O 的切线；（2
8、）设 ABx，AFy，试用含 x，y 的代数式表示线段 AD 的长；（3）若 BE8，sinB ，求 DG 的长，25 （14 分）若三个非零实数 x，y，z 满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 x，y，z 构成“和谐三组数” （1）实数 1，2，3 可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若 M（t，y 1） ，N （t+1，y 2） ，R（t +3，y 3）三点均在函数 y （k 为常数，k0）的图象上，且这三点的纵坐标 y1，y 2，y 3 构成“和谐三组数” ，求实数 t 的值；（3）若直线 y2bx +2c（bc0）与 x 轴交于点 A（x 1，0
9、 ） ，与抛物线yax 2+3bx+3c（a0）交于 B（x 2，y 2） ，C （x 3，y 3）两点求证： A，B，C 三点的横坐标 x1，x 2，x 3 构成“和谐三组数” ；若 a 2b3 c，x 21，求点 P（ ， ）与原点 O 的距离 OP 的取值范围2018-2019 学年福建省厦门一中九年级（下）第一次段测数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每小题有且只有一个选项正确）1 【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，可得答案【解答】解：由 a 与 3 互为倒数，得a 是 ，故选：D【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求
10、一个数的倒数的关键2 【分析】根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行判断【解答】解：三角形具有稳定性故选：A【点评】此题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确掌握三角形的性质是解题关键3 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得图形的主视图【解答】解：A、C、D 主视图是矩形，故 A、C、D 不符合题意；B、主视图是三角形，故 B 正确；故选：B【点评】本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形4 【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的除法运算法则、单项式乘以单项式和合并同类项法则【解答】解：A、 （b 2） 3b 6，故此选项错误；B、x 3x31，故此选项错
11、误；C、5y 33y215y 5，正确；D、a+ a2，无法计算，故此选项错误故选：C【点评】此题主要考查了幂的乘方运算以及同底数幂的除法运算、单项式乘以单项式和合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键5 【分析】根据三角函数的定义解答即可【解答】解：在ABC 中，C90，AB2，AC 1，sinB 故选：A【点评】本题考查了在三角形中角的正弦值等于对边比斜边的概念6 【分析】根据余角的定义，即可解答【解答】解：C90，A+B90，BADE ，A+ADE90，A 和ADE 互为余角故选：C【点评】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是熟记余角的定义7 【分析】根据已知条件即可得到结论【解答】
12、解：甲的航向是北偏东 35，为避免行进中甲、乙相撞，乙的航向不能是北偏西 35，故选：D【点评】本题主要考查的是方向角问题，理解方向角的定义是解决本题的关键8 【分析】所举反例满足两个单项式的次数相同，但它们不是同类项【解答】解：说明“若两个单项式的次数相同，则它们是同类项”是假命题，可以举的反例是 2a2b 和 3ab2故选：B【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理 要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，
13、而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可9 【分析】根据题意得出原正方形的边长，再得出新正方形的边长，继而得出答案【解答】解：原正方形的周长为 acm，原正方形的边长为 cm，将它按图的方式向外等距扩 1cm，新正方形的边长为（ +2）cm，则新正方形的周长为 4（ +2）a+8（cm ） ，因此需要增加的长度为 a+8A8cm故选：B【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是根据题意表示出新正方形的边长及代数式的书写规范10 【分析】作 BMED 交 ED 的延长线于 M，CNDM 于 N首先解直角三角形 RtCDN，求出 CN，DN，再根据 tan24 ，构建方程即可解决问题；【解答】
14、解：作 BMED 交 ED 的延长线于 M，CNDM 于 N在 Rt CDN 中， ，设 CN4k ，DN 3k，CD10，（3k） 2+（4k ） 2100，k2，CN8，DN6，四边形 BMNC 是矩形，BMCN8，BCMN20，EMMN+DN+DE 66，在 Rt AEM 中， tan24 ，0.45 ，AB21.7（米） ，故选：A【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）11 【分析】分式有意义，分母不等于零【解答】解：依题意得 x10，即 x1 时，分式 有意
15、义故答案是：x1【点评】本题考查了分式有意义的条件从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义分母为零；（2）分式有意义分母不为零；（3）分式值为零分子为零且分母不为零12 【分析】提取公因式 a 进行分解即可【解答】解：a 25aa（a5） 故答案是：a（a5） 【点评】考查了因式分解提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法13 【分析】根据实际售价原价 即可得【解答】解：根据题意知售价为 0.8a 元，故答案为：0.8a【点评】本题主要考查列代数式，解题的关键是掌握代数式书写规范与数量间的关
16、系14 【分析】根据两数相乘异号得负法则判断即可确定出 a 的范围【解答】解： 0， （a ）0，a 0，a0，解得：0a ，故答案为：0a【点评】此题考查了算术平方根，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键15 【分析】分A 是顶角，B 是顶角，C 是顶角三种情况，根据等腰三角形的性质和内角和定理求解【解答】解：已知等腰ABC 中A80，若A 是顶角，则BC，所以B （18080）50；若B 是顶角，则AC80，所以B180808020；若C 是顶角，则BA80故答案为：50或 20或 80【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数
17、，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键16 【分析】过点 D 作 DFBC 于点 F，由菱形的性质可得 BCCD，ADBC，可证四边形 DEBF 是矩形，可得 DFBE，DEBF，在 RtDFC 中，由勾股定理可求DE1， DF 3，由反比例函数的性质可求 k 的值【解答】解：如图，过点 D 作 DFBC 于点 F，四边形 ABCD 是菱形，BCCD，ADBCDEB90，AD BCEBC90，且DEB90，DF BC四边形 DEBF 是矩形DFBE，DEBF，点 C 的横坐标为 5，BE3DE ，BCCD5，DF3DE， CF5DECD 2DF 2+CF2，259DE
18、 2+（5DE） 2，DE1DFBE3，设点 C（5，m） ，点 D（1，m+3）反比例函数 y 图象过点 C，D5m1（m+3）m点 C（5， ）k5 故答案为：【点评】本题考查了反比例函数图象点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，求出 DE的长度是本题的关键三、解答题（本大题有 9 小题，共 86 分）17 【分析】 （1）代入特殊锐角三角函数值、计算零指数幂、化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减可得；（2）先根据多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可得【解答】解：（1）原式4 +132 +131 ；（2）原式a 22a+3a6a 2+a2a6【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解题的关
19、键是熟练掌握多项式乘多项式法则、合并同类项法则及特殊锐角三角函数值、零指数幂等知识点18 【分析】根据全等三角形的判定解答即可【解答】证明：ABBD +CF，又ABBD +AD，CFADABCF，AACF，ADFF在ADE 与CFE 中，ADECFE（ASA） 【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA 、AAS 、HL添加时注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键19 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 和 b 的值代入计算可得【解答】解：原式（
20、+ ） ，当 a1+ ，b1 时，原式 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则20 【分析】设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论【解答】解：设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，依题意，得： ，解得： 答：绳索长 20 尺，竿长 15 尺【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键21 【分析】 （1）根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得不等式，根据
21、解不等式，可得答案；（2）根据不等式的性质，可得点在 A 点的右边，根据作差法，可得点在 B 点的左边【解答】解：（1）由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得2x+31，解得 x1；（2）由 x1，得x1x+21+2，解得x+21数轴上表示数x+2 的点在 A 点的右边；作差，得2x+3（x +2）x +1，由 x1，得x1，x+10，2x+3（x +2）0，2x+3x +2，数轴上表示数x+2 的点在 B 点的左边故选：B【点评】本题考查了一元一次不等式，解（1）的关键是利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大得出不等式；解（2）的关键是利用不等式的性质22 【分析】 （1）根据三角形内
22、角和定理求出B，根据等腰三角形的性质求出BCD，计算即可；（2） 根据勾股定理求出 AD，利用求根公式解方程，比较即可；根据勾股定理列出算式，计算即可【解答】解：（1）ACB90，A28，B62，BDBC，BCDBDC59，ACD90BCD31；（2） 由勾股定理得， AB ，AD a，解方程 x2+2ax b20 得，x a，线段 AD 的长是方程 x2+2axb 20 的一个根；ADAE，AEEC ，由勾股定理得，a 2+b2（ b+a） 2，整理得， 【点评】本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法，掌握一元二次方程的求根公式、勾股定理是解题的关键23 【分析】 （1）作线段 OB 的垂
23、直平分线交 x 轴于点 A，交 y 轴于 C，连接AB， BC，ABC 与AOC 关于直线 AC 对称（2）构建方程求出 A，C 两点坐标，利用待定系数法即可解决问题【解答】解：（1）如图ABC 与AOC 关于直线 AC 对称（2）作 BFx 轴于 F，BE OC 于 EAC 垂直平分线段 OB，OAAB，COCB，设 OAABx，COCB y，B（6，4） ，OFEB6，OEBF4，则有：x 24 2+（6x ） 2，y 26 2+（y 4） 2，解得 x ，y ，A（ ，0） ，C（0， ） ，设直线 AC 的解析式为 ykx +b，则 ，解得 ，直线 AC 的解析式为 y x+ 【点评】
24、本题考查作图复杂作图，一次函数的应用，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型24 【分析】 （1）连接 OD，由 AD 为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到 OD 与 AC 平行，得到 OD 与 BC 垂直，即可得证；（2）连接 DF，由（1）得到 BC 为圆 O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到三角形 ABD 与三角形 ADF 相似，由相似得比例，即可表示出 AD；（3）连接 EF，设圆的半径为 r，由 sinB 的值，利用锐角三角函数定义求出 r 的值，由直径所对的圆周角为直角，得到
25、EF 与 BC 平行，得到 sinAEF sinB，进而求出 DG的长即可【解答】 （1）证明：如图，连接 OD，AD 为BAC 的角平分线，BADCAD，OAOD ，ODA OAD，ODA CAD ，ODAC，C90，ODC90，ODBC，BC 为圆 O 的切线；（2）解：连接 DF，由（1）知 BC 为圆 O 的切线，FDCDAF，CDACFD，AFDADB，BADDAF，ABDADF， ，即 AD2AB AFxy，则 AD ；（3）解：连接 EF，在 RtBOD 中，sin B ，设圆的半径为 r，可得 ，解得：r5，AE10，AB18，AE 是直径，AFE C90，EFBC，AEF B
26、，sinAEF ，AFAEsinAEF 10 ，AFOD， ，即 DG AD，AD ，则 DG 【点评】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，勾股定理，以及平行线的判定与性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键25 【分析】 （1）由和谐三组数的定义进行验证即可；（2）把 M、N、R 三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用 t 和 k 分别表示出y1、y 2、y 3，再由和谐三组数的定义可得到关于 t 的方程，可求得 t 的值；（3） 由直线解析式可求得 x1 ，联立直线和抛物线解析式消去 y，利用一元二次方程根与系数的关系可求得 x2+
27、x3 ，x 2x3 ，再利用和谐三数组的定义证明即可； 由条件可得到 a+b+c0，可得 c（a+b） ，由 a2b3c 可求得 的取值范围，令 m ，利用两点间距离公式可得到 OP2 关于 m 的二次函数，利用二次函数的性质可求得 OP2 的取值范围，从而可求得 OP 的取值范围【解答】解：（1）不能，理由如下：1、2、3 的倒数分别为 1、 、 ， + 1，1+ ，1+ 实数 1，2，3 不可以构成“和谐三组数” ；（2）M（t，y 1） ，N （t+1，y 2） ，R（t +3，y 3）三点均在函数 （k 为常数，k0）的图象上，y 1、y 2、y 3 均不为 0，且 y1 ，y 2 ，
28、y 3 ， ， ， ，y 1，y 2，y 3 构成 “和谐三组数 ”，有以下三种情况：当 + 时，则 + ，即 tt +1+t+3，解得 t4；当 + 时，则 + ，即 t+1t+t +3，解得 t2；当 + 时，则 + ，即 t+3t+t +1，解得 t2；t 的值为4、2 或 2；（3） a、 b、c 均不为 0，x 1，x 2，x 3 都不为 0，直线 y2bx+2c （bc0）与 x 轴交于点 A（x 1，0） ，02bx 1+2c，解得 x1 ，联立直线与抛物线解析式，消去 y 可得 2bx+2cax 2+3bx+3c，即 ax2+bx+c0，直线与抛物线交与 B（x 2，y 2）
29、，C（x 3，y 3）两点，x 2、x 3 是方程 ax2+bx+c0 的两根，x 2+x3 ，x 2x3 ， + ，x 1，x 2，x 3 构成 “和谐三组数 ”；x 21，a+b+c0，cab，a2b3c，a2b3（ab） ，且 a0，整理可得 ，解得 ，P（ ， ）OP 2（ ） 2+（ ） 2（ ） 2+（ ） 22（ ） 2+2 +12（ + ） 2+ ，令 m ，则 m 且 m0，且 OP22（m + ） 2+ ，20，当 m 时，OP 2 随 m 的增大而减小，当 m 时，OP 2 有最大临界值 ，当 m 时，OP 2 有最小临界值 ，当 m 时，OP 2 随 m 的增大而增大，当 m 时，OP 2 有最小临界值 ，当m 时，OP 2 有最大临界值 ， OP 2 且 OP21，P 到原点的距离为非负数， OP 且 OP1【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识在（1）中注意利用和谐三数组的定义，在（2）中由和谐三数组得到关于 t 的方程是解题的关键，在（3）中用 a、b、c 分别表示出 x1，x 2，x 3 是解题的关键，在（3）中把 OP2 表示成二次函数的形式是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大