1、2019 年广西北部湾经济区中考数学模拟试卷（一）一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）1 （3 分）2019 的倒数是（ ）A2019 B2019 C D2 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D3 （3 分）2019 年春节以来，5G （第五代移动通信网络）概念再度引发市场聚焦，2019年 5G 预计将需要 150000 个宏基站，其中数据 150000 用科学记数法表示为（ ）A1.510 5 B0.1510 6 C1.510 4 D1510
2、 44 （3 分）已知正比例函数 y2x 的图象经过点（a，2） ，则 a 的值为（ ）A B1 C D45 （3 分）某公司要招聘职员，竟聘者需通过计算机、语言表达和写作能力测试，李美丽的三项成绩百分制依次是 70 分，90 分，80 分，其中计算机成绩占 50%，语言表达成绩占 30%，写作能力成绩占 20%，则李美丽最终的成绩是（ ）A76 分 B78 分 C80 分 D82 分6 （3 分）如图，ABC 是等腰三角形（ABAC ，B30） ，AD 是底边 BC 上的高BC12 米，则 AD 的长是（ ）A2 米 B2 米 C6 米 D4 米7 （3 分）下列运算正确的是（ ）Aa+ a
3、a 2 B2x+2y2xy C （x 2） 4x 8 Dy 3y2y 68 （3 分）下列各曲线中哪个不能表示 y 是 x 的函数的是（ ）A BC D9 （3 分）如图，在O 中，OCAB，ADC35，则 OBA 的度数是（ ）A35 B30 C25 D2010 （3 分）有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 90 场，每两队之间都比赛 2 场，则下列方程中符合题意的是（ ）A x（x1）90 B x（x+1）90Cx（ x1）90 Dx（x+1）9011 （3 分）在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，则CBE 的度数为（ ）A80 B75 C70 D6512 （3 分）如图，
4、坐标平面上，二次函数 yx 2+4xk 的图形与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其顶点为 D，且 k0若ABC 与ABD 的面积比为 1：3，则 k 值为（ ）A1 B C D二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13 （3 分）要使 在实数范围内有意义，x 应满足的条件是 14 （3 分）如图，平行线 AB，CD 被直线 EF 所截，AMF65，则DNF 15 （3 分）分解因式：4a 216 16 （3 分）在1，0，1，2 这四个数中任取两个数 m，n，则二次函数 y（xm ） 2+n 的顶点在坐标轴上的概率为 17 （3 分）如图，O 是坐标
5、原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（3，4） ，顶点 C 在 x轴的负半轴上，函数 y （x0）的图象经过顶点 B，则 k 的值为 18 （3 分）直线 yx +1 与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 A1，把正方形A1B1C1O1、A 2B2C2C1 和 A3B3C3C2 按如图所示方式放置，点 A2、A 3 在直线 yx+1 上，点 C1、C 2、C 3 在 x 轴上，按照这样的规律，则正方形 A2019B019C2019C2018 中的点 B2019的坐标为 三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）19 （6 分）计算：（3）+| 2|2sin60 +20 （6 分）解
6、方程： 121 （8 分）如图，ABC 三个顶点坐标分别为 A（1，3） ，B（1，1） ，C（3，2） （1）将ABC 向右平移 4 个单位，请画出平移后的A 1B1C1；（2）以原点 O 为位似中心，将 A 1B1C1 放大为原来的 2 倍，得到A 2B2C2，请在网格内画出A 2B2C2；（3）请在 x 轴上找出点 P，使得点 P 到 B 与点 A1 距离之和最小，请直接写出 P 点的坐标 22 （8 分）校园安全受到全社会的广泛关注，某市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了尚不完整的统计图请你根据统计图中所提供的信息解答下
7、列问题：（1）在这次活动中抽查了多少名中学生？（2）若该中学共有学生 1600 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数（3）若从对校园安全知识达到“了解程度的 2 个女生和 2 个男生中随机抽取 2 人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率23 （8 分）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点（1）求证：ABECDF；（2）当四边形 AECF 为菱形且 BC24B8 时，求出该菱形的面积24 （10 分）某学校需要购买 A、B 两种品牌的篮球，购买 A 种品牌的篮球 30 个，B 种品牌的
8、篮球 20 个，共花费 5400 元，已知购买一个 B 种品牌的篮球比购买一个 A 钟品牌的篮球多花 20 元（1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的篮球各需多少元？（2）学校为了响应习“篮球进校园”的号召，决定再次购进 A、B 两种品牌球共 45 个，正好是上商场对商品的促销活动，A 品牌篮球售价比第一次购买时降低 19 元，B 品牌篮球按第一次购买时售价的 9 折出售，如果学校此次购买 A、B 两种品牌篮球的总费用不超过第一次花费的 80%，且保证这次购买的 B 种品牌篮球不少于 15 个，则这次学校有几种购买方案？（3）学校在第二次购买活动中至少需要多少资金？25 （10 分）如
9、图，在ABC 中，ABAC 10，以 AB 为直径的 OO 与 BC 相交于点 D，与 AC 相交于点 E，DFAC，垂足为 F，连接 DE，过点 A 作 AGDE，垂足为 G，AG与 O 交于点 H（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若CAG25，求弧 AH 的长；（3）若 tanCDF ，求 AE 的长；26 （10 分）如图，已知抛物线 yax 22ax 8a（a0） ，与 x 轴从左至右依次相交于A，B 两点，与 y 轴相交于点（0，3） ，连接 BC（1）求抛物线的函数解析式；（2）若在直线 BC 上有点 D，使得以点 O、B、D 为顶点的三角形与 ABC 相似，则求线段 BD 的
10、长；（3）在第一象限的抛物线上是否存在点 E，使得点 E 到直线 BC 的距离最长？若存在，请求出最长距离和点 E 的坐标，若不存在，请说明理由2019 年广西北部湾经济区中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）1 （3 分）2019 的倒数是（ ）A2019 B2019 C D【分析】直接利用倒数的定义：乘积是 1 的两数互为倒数，进而得出答案【解答】解：2019 的倒数是： 故选：C【点评】此题主要考查了倒数，正确把握相关定义是解题关键2 （
11、3 分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A BC D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合3 （3 分）2019 年春节以来，5G （第五代移动通信网络）概念再度引发市场聚焦，20
12、19年 5G 预计将需要 150000 个宏基站，其中数据 150000 用科学记数法表示为（ ）A1.510 5 B0.1510 6 C1.510 4 D1510 4【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值1 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：数据 150000 用科学记数法表示为 1.5105，故选：A【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示
13、时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值4 （3 分）已知正比例函数 y2x 的图象经过点（a，2） ，则 a 的值为（ ）A B1 C D4【分析】把点（a，2）代入 y2x 得到关于 a 的一元一次方程，解之即可【解答】解：把点（a，2）代入 y2x 得：22a，解得：a1，故选：B【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键5 （3 分）某公司要招聘职员，竟聘者需通过计算机、语言表达和写作能力测试，李美丽的三项成绩百分制依次是 70 分，90 分，80 分，其中计算机成绩占 50%，语言表达成绩占 30%，写作能力成绩占 20%，则李美丽最终的成绩是（ ）A7
14、6 分 B78 分 C80 分 D82 分【分析】直接利用加权平均数的求法进而得出答案【解答】解：由题意可得：7050%+9030%+8020%78（分） 故选：B【点评】此题主要考查了加权平均数，正确平均数的求法是解题关键6 （3 分）如图，ABC 是等腰三角形（ABAC ，B30） ，AD 是底边 BC 上的高BC12 米，则 AD 的长是（ ）A2 米 B2 米 C6 米 D4 米【分析】根据等腰三角形的性质得到，解直角三角形即可得到结论【解答】解：ABAC，B30，AD 是底边 BC 上的高，BDCD BC6，AD BD2 ，故选：A【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，熟
15、练掌握等腰三角形的性质是解题的关键7 （3 分）下列运算正确的是（ ）Aa+ aa 2 B2x+2y2xy C （x 2） 4x 8 Dy 3y2y 6【分析】根据合并同类项的法则、幂的乘方、同底数幂的乘法进行计算即可【解答】解：A、a+a2a，故 A 错误；B、2x 与 2y 不是同类项，并能合并，故 B 错误；C、 （x 2） 4x 8，故 C 正确；D、y 3y2y 5，故 D 错误；故选：C【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题的关键8 （3 分）下列各曲线中哪个不能表示 y 是 x 的函数的是（ ）A BC D【分析】在坐标系中，对于 x 的取值范
16、围内的任意一点，通过这点作 x 轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点根据定义即可判断【解答】解：显然 A、B、C 三选项中，对于自变量 x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，y 是 x 的函数；D、对于 x0 的部分值，y 都有二个或三个值与之相对应，则 y 不是 x 的函数；故选：D【点评】本题主要考查了函数的定义，在定义中特别要注意，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的值与其对应9 （3 分）如图，在O 中，OCAB，ADC35，则 OBA 的度数是（ ）A35 B30 C25 D20【分析】根据垂径定理，可得 ，OEB90，根据圆周角定理，可得3，根据直角三角形的性质，可得答案【解答】
17、解：连接 AO，如图：由 OCAB ，得，OEB902322123570370，在 Rt OBE 中，OEB90，B903907020，故选：D【点评】本题考查了圆周角定理，利用垂径定理得出 ，OEB90是解题关键，又利用了圆周角定理10 （3 分）有 x 支球队参加篮球比赛，共比赛了 90 场，每两队之间都比赛 2 场，则下列方程中符合题意的是（ ）A x（x1）90 B x（x+1）90Cx（ x1）90 Dx（x+1）90【分析】根据题意，可以明确列出相应的一元二次方程，本题得以解决【解答】解：由题意可得，x（x1）90，故选：C【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，本题是一道典
18、型的双循环问题，解题的关键是明确题意，列出相应的方程11 （3 分）在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，则CBE 的度数为（ ）A80 B75 C70 D65【分析】根据正方形的性质得到BADABC90，ABAD，根据等边三角形的性质得到EAD60，AE AD，求得BAE150，AB AE，根据等腰三角形的性质得到ABEAEB 15，于是得到结论【解答】解：四边形 ABCD 是正方形，BADABC90，ABAD，ADE 是等边三角形，EAD60，AE AD，BAE 150，ABAE，ABE AEB15，CBE901575，故选：B【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，
19、三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出AEB 的度数，难度适中12 （3 分）如图，坐标平面上，二次函数 yx 2+4xk 的图形与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点，其顶点为 D，且 k0若ABC 与ABD 的面积比为 1：3，则 k 值为（ ）A1 B C D【分析】求出二次函数的顶点坐标和点 C，根据已知面积的关系得到 即可求k；【解答】解：二次函数 yx 2+4xk 顶点坐标为（2，4k ） ，C （0，k） ，ABC 与ABD 的面积比为 1：3， ，k0， ，k1；故选：A【点评】本题考查二次函数图象及性质，三角形的面积与坐标的关系；熟
20、练掌握二次函数顶点和与坐标轴上点的求法，将三角形面积转化为点坐标的关系是解题的关键二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）13 （3 分）要使 在实数范围内有意义，x 应满足的条件是 x2 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于 0，列不等式求解【解答】解：要使 在实数范围内有意义，x 应满足的条件 x20，即 x2【点评】主要考查了二次根式的意义和性质概念：式子 （a0）叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义14 （3 分）如图，平行线 AB，CD 被直线 EF 所截，AMF65，则DNF 115 【分析】利用平行线的性质以及平角的
21、定义即可解决问题【解答】解：ABCD，AMF CNF65，DNF18065115，故答案为 115【点评】本题考查平行线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型15 （3 分）分解因式：4a 216 4（a+2） （a2） 【分析】首先提取公因式 4，进而利用平方差公式进行分解即可【解答】解：4a 2164（a 24）4（a+2） （a2） 故答案为：4（a+2） （a2） 【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键16 （3 分）在1，0，1，2 这四个数中任取两个数 m，n，则二次函数 y（xm ） 2+n 的顶点在坐标轴上的概率为 【分析
22、】画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，根据二次函数的性质确定顶点在坐标轴上的结果数，然后利用概率公式求解【解答】解：画树状图为：共有 12 种等可能的结果数，其中二次函数 y（xm ） 2+n 的顶点在坐标轴上的结果数为 6，所以二次函数 y（x m） 2+n 的顶点在坐标轴上的概率 故答案为 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率也考查了二次函数的性质17 （3 分）如图，O 是坐标原点，菱形 OABC 的顶点 A 的坐标为（3，4） ，顶点 C 在
23、x轴的负半轴上，函数 y （x0）的图象经过顶点 B，则 k 的值为 32 【分析】根据点 C 的坐标以及菱形的性质求出点 B 的坐标，然后利用待定系数法求出 k的值即可【解答】解：A（3，4） ，OC 5，CBOC5，则点 B 的横坐标为358，故 B 的坐标为：（8，4） ，将点 B 的坐标代入 y 得，4 ，解得：k32故答案是：32【点评】本题考查了菱形的性质以及反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点 B 的坐标18 （3 分）直线 yx +1 与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 A1，把正方形A1B1C1O1、A 2B2C2C1 和 A3B3C3C2
24、按如图所示方式放置，点 A2、A 3 在直线 yx+1 上，点 C1、C 2、C 3 在 x 轴上，按照这样的规律，则正方形 A2019B019C2019C2018 中的点 B2019的坐标为 （2 20191，2 2018） 【分析】根据题意可以写出点 B1，点 B2，点 B3，点 B4 的坐标，从而可以发现各点坐标的变化规律，从而可以写出点 B2019 的坐标，本题得以解决【解答】解：由题意可得，点 B1 的坐标为（1，1） ，点 B2 的坐标为（3，2） ，点 B3 的坐标为（7，4） ，点 B4 的坐标为（15，8） ，则点 B2019 的坐标为（2 20191，2 2018） ，故答
25、案为：（2 20191，2 2018） 【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律性，解答本题的关键是明确题意，发现各点坐标的变化规律，写出所求点的坐标三、解答题（本大题共 8 小题，共 66 分）19 （6 分）计算：（3）+| 2|2sin60 +【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质和二次根式的性质分别化简得出答案【解答】解：原式3+2 2 +25【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键20 （6 分）解方程： 1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：去分母得：x（x2）2x 24，解得
26、：x1，经检验 x1 是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想” ，把分式方程转化为整式方程求解解分式方程一定注意要验根21 （8 分）如图，ABC 三个顶点坐标分别为 A（1，3） ，B（1，1） ，C（3，2） （1）将ABC 向右平移 4 个单位，请画出平移后的A 1B1C1；（2）以原点 O 为位似中心，将 A 1B1C1 放大为原来的 2 倍，得到A 2B2C2，请在网格内画出A 2B2C2；（3）请在 x 轴上找出点 P，使得点 P 到 B 与点 A1 距离之和最小，请直接写出 P 点的坐标 （0，0） 【分析】 （1）直接利用平移的性质得出各点
27、坐标，进而得出答案；（2）连接 A1O 并延长至 A2，使 A2O2A 1O，连接 B1O 并延长至 B2，使 B2O2B 1O，连接 C1O 并延长至 C2，使 C2O2C 1O，然后顺次连接即可；（3）利用最短路径问题解决，首先作 A1 点关于 x 轴的对称点 A3，再连接 A2A3 与 x 轴的交点即为所求【解答】解：（1）如图所示A 1B1C1 所求（2）如图所示A 2B2C2 为所求（3）如图所示点 P 为所求，P（0，0） 故答案是：（0，0） 【点评】本题考查了利用位似变换作图，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键22 （8 分）校园安全受到全社
28、会的广泛关注，某市某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了尚不完整的统计图请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）在这次活动中抽查了多少名中学生？（2）若该中学共有学生 1600 人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数（3）若从对校园安全知识达到“了解程度的 2 个女生和 2 个男生中随机抽取 2 人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的概率【分析】 （1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；（2）计算出样本中“了解”程度的人数
29、，然后用 1600 乘以基本中“了解”程度的人数的百分比可估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数（3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出恰好抽到 1 个男生和 1 个女生的结果数，然后利用概率公式求解【解答】解：（1）3240%80（名） ，所以在这次活动中抽查了 80 名中学生；（2） “了解”的人数为 8032181020，1600 400，所以估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”程度的人数为 400 人；（3）由题意列树状图：由树状图可知，在 4 名同学中随机抽取 2 名同学的所有等可能的结果有 12 种，恰好抽到一男一女（记为事件 A）的结果有 8 种，
30、所以 P（A ） 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B的概率也考查了统计图23 （8 分）如图，在ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点（1）求证：ABECDF；（2）当四边形 AECF 为菱形且 BC24B8 时，求出该菱形的面积【分析】 （1）根据平行四边形的性质和全等三角形的判定解答即可；（2）根据菱形的性质和菱形的面积解答即可【解答】证明：（1）在ABCD 中BD，ADBC，AB DC，点 E、F 分别是 BC、AD 的中点BE BC， DF
31、 ADBEDF ，ABE CDF（SSS）（2）四边形 AECF 是菱形CEAE（ 5 分）BECEAE 4AB4ABBEAE4，过点 A 作 AH BC 于 HAH2S 菱形 AECFCE AH42 8【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质和全等三角形的判定解答是解题的关键24 （10 分）某学校需要购买 A、B 两种品牌的篮球，购买 A 种品牌的篮球 30 个，B 种品牌的篮球 20 个，共花费 5400 元，已知购买一个 B 种品牌的篮球比购买一个 A 钟品牌的篮球多花 20 元（1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的篮球各需多少元？（2）学校
32、为了响应习“篮球进校园”的号召，决定再次购进 A、B 两种品牌球共 45 个，正好是上商场对商品的促销活动，A 品牌篮球售价比第一次购买时降低 19 元，B 品牌篮球按第一次购买时售价的 9 折出售，如果学校此次购买 A、B 两种品牌篮球的总费用不超过第一次花费的 80%，且保证这次购买的 B 种品牌篮球不少于 15 个，则这次学校有几种购买方案？（3）学校在第二次购买活动中至少需要多少资金？【分析】 （1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以列出相应的不等式组，本题得以解决；（3）根据题意可以得到花费与购买 A 种品牌的函数关系式，然后根据一次函数的性质
33、即可解答本题【解答】解：（1）设 A 种品牌篮球的单价为 x 元，B 种品牌篮球的单价为 y 元，依题意得： ，解得： ，答：购买一个 A 种品牌的篮球需要 100 元，购买一个 B 种品牌的篮球需要 120 元；（2）设第二次购买 A 种篮球 a 个，则购买 B 种篮球（45a）个，依题意得： ，解得：20a30答：这次学校购买篮球有 11 种方案；（3）设第二次购买 45 个篮球总共需要 w 元，W81a+120 0.9（45a）27a+4860270，w 随 a 的增大而减小，当 a30 时，w 最小 4050答：至少需要 4050 元【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用
34、、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和不等式的性质解答25 （10 分）如图，在ABC 中，ABAC 10，以 AB 为直径的 OO 与 BC 相交于点 D，与 AC 相交于点 E，DFAC，垂足为 F，连接 DE，过点 A 作 AGDE，垂足为 G，AG与O 交于点 H（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若CAG25，求弧 AH 的长；（3）若 tanCDF ，求 AE 的长；【分析】 （1）连接 OD、AD，根据圆周角定理得到ADB90，求得 ODAC，根据平行线的性质得到 ODDF，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连接 OH，
35、根据三角形的内角和得到AEG65，求得BAEG65，求得AOH 30 ，根据弧长公式即可得到结论；（3）根据余角的性质得到CADCDF，求出 tanCADtanCDF ，根据勾股定理得到 CD2 ，根据相似三角形的性质得到 CF2，于是得到结论【解答】 （1）证明：连接 OD、AD，AB 是O 的半径，ADB90，ABAC，点 D 是 BC 的中点，O 是 AB 的中点，ODAC，DFAC，ODDF ，OD 是O 的半径，DF 是O 的切线；（2）解：连接 OH，AGDG ， G90，CAG25，AEG65，BAEG 65，BAC180656550，OAH 75 ，AOH 30 ，l 弧 AH
36、 ；（3）解：CAD+C 90，CDF+C90，CADCDF，tanCADtan CDF ，AD2CD，DC 2+（2CD） 210 2，CD2 ，CDFCAD，DC 2CFAC，CF2，CDDE，OFAC，EFCF2，AE10226【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，弧长的计算，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键26 （10 分）如图，已知抛物线 yax 22ax 8a（a0） ，与 x 轴从左至右依次相交于A，B 两点，与 y 轴相交于点（0，3） ，连接 BC（1）求抛物线的函数解析式；（2）若在直线 BC 上有点 D，使得以点 O、B、D 为顶点的三角形与 A
37、BC 相似，则求线段 BD 的长；（3）在第一象限的抛物线上是否存在点 E，使得点 E 到直线 BC 的距离最长？若存在，请求出最长距离和点 E 的坐标，若不存在，请说明理由【分析】 （1）将 C 点坐标代入抛物线解析式确定 a 的值；（2）由于没有明确说明相似三角形的对应顶点，因此需要分情况讨论：ABCOBD； ABCDBO；由比例线段可求出 BD 长；（3）过点 E 作 EFy 轴交 BC 于点 F，过点 E 作 EGBC 于点 G，证明EGF BOC，表示 EG 长，则可求出最长距离【解答】解：（1）把点 C（ 0，3）代入抛物线 yax 22ax8a（a0）得8a3，a ，抛物线的解析
38、式为：y x2+ x+3，（2）点 A，B 在函数 y x2+ x+3 的图象上，且与 x 轴相交，A（2，0） ，B（4，0） ，OB4，AB6，BC5，假设存在以点 O、B、D 为顶点的三角形与ABC 相似，且OBCABD，ABCOBD 或ABC DBO ， 或 ，即 或 ，BD 或 BD ，（3）存在理由如下：如图，过点 E 作 EFy 轴交 BC 于点 F，过点 E 作 EG BC 于点 G，B（4，0） ，C（0，3）点 E 在抛物线上，点 E 在直线 BC 上，可设 E（x， x2+ x+3） ，F （x， ） ，EF（ x2+ x+3）（ ） x2+ x，EFy 轴，EFGOCB，又EGFCOB90，EGFBOC， ，EG （ x2+ x） ， 0，开口向下，EG 有最大值，当 x2 时，EG 最大为 ，当 x2 时， x2+ x3当点 E 的坐标为（2，3）时，点 E 到 BC 距离最长为 【点评】本题考查的是二次函数知识的综合运用，掌握二次函数的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意分情况讨论讨论，属于中考压轴题