1、2019 年河南省安阳市中考数学一模试卷一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）下列各数中最小的数是（ ）A B1 C D02（3 分）2019 年春节联欢晚会在某网站取得了同时在线人数超 34200000 惊人成绩创下了全球单平台网络直招记录，将数 34200000 科学记数法表示为（ ）A0.34210 8 B3.4210 7 C3.4210 8 D34.210 63（3 分）下列运算正确的是（ ）A3a+4b7ab Ba 3a2a 6C2a 3a22a D（3a） 39a 34（3 分）不等式组 的解集在数轴上表示为（ ）A BC D5（3 分）某中学为了解同学们平均每月阅
2、读课外书籍的情况，在某年级随机抽查了 20名同学，结果如表所示：平均每月阅读本数 4 5 6 7 8人数 2 6 5 4 3这些同学平均每月阅读课外书籍本数的中位数和众数为（ ）A5，5 B6，6 C5，6 D6，56（3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB7，BC4，按以下步骤作图：以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，交 AB，BC 于点 E，F；再分别以点 E，F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧在ABC 内部相交于点 H，作射线 BH，交 DC 于点 G，则 DG 的长为（ ）A2 B3 C4 D57（3 分）有大小、形状、颜色完全相同的四个乒乓球，球上分别标有数字 2，3，5，
3、6四个球放入不透明的袋中搅匀，不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之积为奇数的概率是（ ）A B C D8（3 分）如图，ABD 是 O 的内接三角形，AB 是直径，点 C 在 O 上，且ABD56，则 BCD 等于（ ）A32 B34 C56 D669（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2x a+ 0 有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数 a 的值为（ ）A1 B0 C2 D110（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC ，DCBC，DC4cm，BC6cm ，AD3cm，动点 P，Q 同时从点 B 出发，点P 以 2cm/s 的速度沿折线 BAADDC 运动到
4、点 C，点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 运动到点 C，设 P，Q 同时出发 xs 时， BPQ 的面积为 ycm2则 y 与 x 的函数图象大致是（ ）A B C D二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）计算 12（3 分）一元二次方程 x2+2x40 的解是 13（3 分）如图，DE 为 ABC 的中位线，点 F 在 DE 上，且AFC 为直角，若AC6cm ，BC 8cm，则 DF 的长为 14（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AD3，将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90得到线段 BE，将线段 AC 绕点 C 逆时针旋转 90得到线段 CF，连接 EF，
5、则图中阴影部分的面积是 15（3 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC4 ，BC4，点 D 是 AC 的中点，点 F 是边 AB 上一动点，沿 DF 所在直线把ADF 翻折到 ADF 的位置，若线段AD 交 AB 于点 E，且 BAE 为直角三角形，则 BF 的长为 三、解答题（本题共 8 个题目，满分 75 分）16（8 分）先化简代数式（ ） ，再从 0x3 的范围内选择一个合适的整数代入求值17（9 分）为了解学生对博鳌论坛会的了解情况，某中学的机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果记作“A 非常了解，B 了解C 了解较少，D 不了解”四类分别统计，并绘制了下列两统计图（不完整）
6、请根据图中信息，解答下列问题（1）此次共调查了 名学生：扇形统计图中 D 所在的扇形的圆心角度数为 ；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校共有 1600 名学生，请你估计对博鳌论坛会的了解情况为“非常了解”的学生约有多少人？18（9 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y （k0）与一次函数yax+ b（a0）交于第二、四象限的 A，B 两点，过点 A 作 ADy 轴于点D，OD3，S AOD 3，点 B 的坐标为（n，1）（1）求反比例函数和一次函数的解析式（2）请根据图象直接写出 ax+b 的自变量 x 的取值范围19（9 分）如图，在ABC 中，ABAC 4，以 AB 为直径的
7、O 交 BC 于点 D，交 AC于点 E，点 P 是 AB 的延长线上一点，且PDB A ，连接 DE、OE（1）求证：PD 是O 的切线；（2）填空：当P 的度数 为时，四边形 OBDE 是菱形；当 BAC45时，CDE 的面积为 20（9 分）某校数学兴趣小组的同学测量一架无入飞机 P 的高度，如图 A，B 两个观测点相距 300m，在 A 处测得 P 在北偏东 71方向上，同时在 B 处测得 P 在北偏东 35方向上求无人飞机 P 离地面的高度（结果精确到 1 米）（参考数据：sin350.57， tan350.70，smn710.95，tan712.90）21（10 分）某校计划购进甲
8、、乙两种规格的书架，经市场调查发现有线上和线下两种购买方式，具体情况如表：线下 线上规格单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个）运费（元/个）甲 240 0 210 20乙 300 0 250 30（1）如果在线下购买甲、乙两种书架 30 个，共花费 8280 元，求甲、乙两种书架各购买了多少个？（2）如果在线上购买甲、乙两种书架 30 个，且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的3 倍，请求出花费最少的购买方案及花费22（10 分）（1）问题发现：如图 1，在等边ABC 中，点 D 为 BC 边上一动点，DEAB 交 AC 于点 E，将 AD 绕点 D 顺时针旋转 60得到 DF，连接 C
9、F则 AE 与 FC的数量关系是 ；ACF 的度数为 （2）拓展探究：如图 2，在 RtABC 中，ABC90，ACB60，点 D 为 BC边上一动点，DEAB 交 AC 于点 E，当ADF ACF 90时，求 的值（3）解决问题：如图 3，在ABC 中，BC ：ABm，点 D 为 BC 的延长线上一点过点D 作 DEAB 交 AC 的延长线于点 E，直接写出当ADFACF ABC 时， 的值23（11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴交于点A（2 ，0），B（4，0），与直线 y x3 交于点 C（0，3），直线 y x3 与x 轴交于点 D（1）
10、求该抛物线的解析式（2）点 P 是抛物线上第四象限上的一个动点连接 PC，PD，当PCD 的面积最大时，求点 P 的坐标；（3）将抛物线的对称轴向左平移 3 个长度单位得到直线 l，点 E 是直线 l 上一点，连接OE，BE，若直线 l 上存在使 sinBEO 最大的点 E，请直接写出满足条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由2019 年河南省安阳市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）1（3 分）下列各数中最小的数是（ ）A B1 C D0【分析】先比较各个数的大小，再求出各数中最小的数即可【解答】解： 1 0，最小的数是 故选：A【点评】本题考查了
11、有理数的大小比较的应用，注意：正数都大于 0，负数都小于 0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小2（3 分）2019 年春节联欢晚会在某网站取得了同时在线人数超 34200000 惊人成绩创下了全球单平台网络直招记录，将数 34200000 科学记数法表示为（ ）A0.34210 8 B3.4210 7 C3.4210 8 D34.210 6【分析】科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数确定 n的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：
12、将 34200000 用科学记数法表示为：3.4210 7故选：B【点评】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10 ，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）下列运算正确的是（ ）A3a+4b7ab Ba 3a2a 6C2a 3a22a D（3a） 39a 3【分析】各项计算得到结果，即可作出判断【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式a 5，不符合题意；C、原式2a，符合题意；D、原式27a 3，不符合题意，故选：C【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键4（3 分）不等式组 的解集在
13、数轴上表示为（ ）A BC D【分析】先解不等式组，然后根据不等式组的解集判断即可【解答】解：由，得 x1，由，得 x2，不等式组的解集为 1x2，故选：C【点评】本题考查了不等式的解集，熟练掌握解不等式组是解题的关键5（3 分）某中学为了解同学们平均每月阅读课外书籍的情况，在某年级随机抽查了 20名同学，结果如表所示：平均每月阅读本数 4 5 6 7 8人数 2 6 5 4 3这些同学平均每月阅读课外书籍本数的中位数和众数为（ ）A5，5 B6，6 C5，6 D6，5【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可【解答】解：把这组数据从小到大排列中间的两个数都是 6，则这组数据的中位数是6；
14、5 出现了 6 次，出现的次数最多，则众数是 5故选：D【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数6（3 分）如图，矩形 ABCD 中，AB7，BC4，按以下步骤作图：以点 B 为圆心，适当长为半径画弧，交 AB，BC 于点 E，F；再分别以点 E，F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧在ABC 内部相交于点 H，作射线 BH，交 DC 于点 G，则 DG 的长为（ ）A2 B3 C4 D5【分析】利用基本作图得到 BG 平分ABC ，再证明BCG 为等腰直角三
15、角形得到GCCB4，从而计算 CD CG 即可得到 DG 的长【解答】解：由作法得 BG 平分 ABC ，四边形 ABCD 为矩形，CDAB7，ABCB90，CBG45，BCG 为等腰直角三角形，GCCB4，DGCDCG743故选：B【点评】本题考查了作图基本作图：熟练掌握 5 种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）7（3 分）有大小、形状、颜色完全相同的四个乒乓球，球上分别标有数字 2，3，5，6四个球放入不透明的袋中搅匀，不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之积为奇数的概率是（ ）A B C
16、D【分析】根据题意先画出树状图，得出所有等可能的情况数和两个球上的数字之积为奇数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案【解答】解：根据题意画树状图如下：一共有 12 种等可能的情况数，这两个球上的数字之积为奇数的有 2 种情况，这两个球上的数字之积为奇数的概率是 故选：A【点评】此题考查的是树状图法求概率；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是不放回实验用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比8（3 分）如图，ABD 是 O 的内接三角形，AB 是直径，点 C 在 O 上，且ABD56，则 BCD 等于（ ）A32 B34 C56 D66【分析】根据圆周角定理得到ADB9
17、0，利用互余计算出A34，然后根据圆周角定理得到BCD 的度数【解答】解：AB 是直径，ADB90，A90ABD 905634，BCDA34故选：B【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心也考查了圆周角定理9（3 分）已知关于 x 的一元二次方程 x2x a+ 0 有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数 a 的值为（ ）A1 B0 C2 D1【分析】根据根的判别式即可求出 a 的范围【解答】解：由题意可知：0，14（a+ ）0，解得：a故满足条件的最小整数 a 的值是 1，故选：D【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练
18、运用根的判别式，本题属于基础题型10（3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC ，DCBC，DC4cm，BC6cm ，AD3cm，动点 P，Q 同时从点 B 出发，点P 以 2cm/s 的速度沿折线 BAADDC 运动到点 C，点 Q 以 1cm/s 的速度沿 BC 运动到点 C，设 P，Q 同时出发 xs 时， BPQ 的面积为 ycm2则 y 与 x 的函数图象大致是（ ）A B C D【分析】根据 y 随 x 的变化而变化的趋势，即可得出图中能正确表示整个运动中 y 关于t 的函数关系的大致图象【解答】解：作 AEBC 于 E，根据已知可得，AB24 2+（63） 2，解得，AB5
19、cm当 0x2.5 时：P 点由 B 到 A，BPQ 的面积从小到大，且达到最大此时面积 2.545cm 2当 2.5x4 时，即 P 点在 AD 上时， ，且增大值为：；当 4x6 时，即 P 点从 D 到 C 时，y x 2+6x故符合 y 与 x 的函数图象大致是 B故选：B【点评】此题考查了函数的图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）11（3 分）计算 2 【分析】本题涉及零指数幂、绝对值、二次根式化简 3 个考点在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计
20、算结果【解答】解：原式1+322，故答案为：2【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算12（3 分）一元二次方程 x2+2x40 的解是 1 【分析】配方法求解可得【解答】解：x 2+2x4，x 2+2x+14+1，即（x+1） 25，则 x+1 ，即 x1 ，故答案为：1 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键13（3 分）如图，DE 为 ABC 的中位线
21、，点 F 在 DE 上，且AFC 为直角，若AC6cm ，BC 8cm，则 DF 的长为 1cm 【分析】根据三角形中位线定理求出 DE，根据直角三角形的性质求出 EF，结合图形计算即可【解答】解：DE 为ABC 的中位线，DE BC4（cm ），AFC 为直角，E 为 AC 的中点，FE AC3（cm），DFDE FE1（cm），故答案为：1cm【点评】本题考查的是三角形中位线定理，直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键14（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AD3，将线段 AB 绕点 B 逆时针旋转 90得到线段 BE，将线段 AC 绕点 C
22、逆时针旋转 90得到线段 CF，连接 EF，则图中阴影部分的面积是 【分析】根据勾股定理求出 AC，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算分别求出BCD、BEF、扇形 DBF、扇形 DCE 的面积，即可得出答案【解答】解：在 RtABC 中， ，图中阴影部分的面积ABC 的面积+ 扇形 ABE 的面积+ CEF 的面积扇形 ACF 的面积 ， ，故答案为： 【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，扇形的面积计算等知识点，能求出各个部分的面积是解此题的关键15（3 分）如图，在 RtABC 中，C90，AC4 ，BC4，点 D 是 AC 的中点，点 F 是边 AB 上一动点，沿
23、 DF 所在直线把ADF 翻折到 ADF 的位置，若线段AD 交 AB 于点 E，且 BAE 为直角三角形，则 BF 的长为 6 或 【分析】由三角函数得出A30，由直角三角形的性质得出 AB2BC8，由折叠的性质得出 DADC2 ， FAFA，DA FA30，设 BFx，则AF8x，FA8x，当BEA 90时，由三角函数得出 AE3，得出EF3（8x ）x 5，由直角三角形的性质得出方程，解方程即可；当 BAE90时，作 FHBA ，交 BA的延长线于 H，连接 BD，证明 RtBDA RtBDC，得出 BABC 4，求出FAH60，在 RtBFH 中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】
24、解：C90， AC4 ，BC 4，tanA ，A30，AB2BC8 ，点 D 是 AC 的中点，沿 DF 所在直线把ADF 翻折到 ADF 的位置，线段 AD交 AB 于点 E，DADC2 ，FAFA，DA FA30，设 BFx，则 AF8x，FA8x，当 BEA90时，在 RtADE 中，cosA ，AE2 cos303，EF3（8x ）x 5，在 Rt AFE 中，FAE30，FA2FE，即 8x 2（x5），解得 x6，即 BF6；当 BAE90时，作 FHBA ，交 BA的延长线于 H，连接 BD，如图所示：在 Rt BDA和BDC 中， ，RtBDARtBDC（HL），BABC 4，
25、BA FBAE+ FA E90+30120，FA H60，在 Rt FHA中，AH AF （8x），FH AH （8x ），在 Rt BFH 中，FH 2+BH2BF 2， （8x） 2+ （8x）+4 2x 2，解得：x ，即 BF 综上所述，BF 的长为 6 或 故答案为：6 或 【点评】本题考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考常考题型三、解答题（本题共 8 个题目，满分 75 分）16（8 分）先化简代数式（ ） ，再从 0x3 的范围内选择一个合适的整数代入求值【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化
26、简原式，再选取使分式有意义的 x 的值代入计算可得【解答】解：原式 ，x3 且 x1，在 0x3 可取 x0 或 x 2，当 x0 时，原式1当 x2 时，原式1【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件17（9 分）为了解学生对博鳌论坛会的了解情况，某中学的机抽取了部分学生进行问卷调查，将调查结果记作“A 非常了解，B 了解C 了解较少，D 不了解”四类分别统计，并绘制了下列两统计图（不完整）请根据图中信息，解答下列问题（1）此次共调查了 120 名学生：扇形统计图中 D 所在的扇形的圆心角度数为 54 ；（2）将条形统计图补充完整；（
27、3）若该校共有 1600 名学生，请你估计对博鳌论坛会的了解情况为“非常了解”的学生约有多少人？【分析】（1）由 B 类别人数及其所占百分比可得；用总人数乘以 D 类别人数占总人数的比例即可得；（2）先用总人数乘以 C 类别的百分比求得其人数，再根据各类别百分比之和等于总人数求得 A 的人数即可补全图形；（3）用总人数乘以样本中 A 类别的人数所占比例即可得【解答】解：（1）本次调查的总人数为 4840%120（名），扇形统计图中 D 所在的扇形的圆心角为 360 54 ，故答案为：120；54；（2）C 类别人数为 12020%24（人），则 A 类别人数为 120（48+24+18）30（
28、人），补全条形图如下：（3）估计对文明城市的了解情况为“非常了解”的学生的人数为1600 400（人）答：该校对博鳌论坛会的了解情况为“非常了解”的学生约有 400 人【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小18（9 分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y （k0）与一次函数yax+ b（a0）交于第二、四象限的 A，B 两点，过点 A 作 ADy 轴于点D，OD3，S AOD 3，点 B 的坐标为（n，1）（1）求反比例函数和一次函数的解析式（
29、2）请根据图象直接写出 ax+b 的自变量 x 的取值范围【分析】（1）根据 SAOD 3 可得 AD2，根据反比例函数的特点 kxy 为定值，列出方程，求出 k 的值，便可求出反比例函数的解析式；根据 k 的值求出 B 点的坐标，用待定系数法便可求出一次函数的解析式（2）根据函数图象可直接解答【解答】解：（1）ADy 轴于点 D，OD3，S AOD OD3，AD2即 A（2，3），将 A 点坐标代入 y （k 0 ），得 k236反比例函数的解析式为 y 将 B 点坐标代入 y 中，得1 ，解得 n6即 B（6，1），将 A、B 两点坐标代入 yax+ b，得 ，解得 所以一次函数的解析式为
30、 y x+2（2）ax+b 的自变量 x 的取值范围是 x2 或 0x 6【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，比较简单19（9 分）如图，在ABC 中，ABAC 4，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D，交 AC于点 E，点 P 是 AB 的延长线上一点，且PDB A ，连接 DE、OE（1）求证：PD 是O 的切线；（2）填空：当P 的度数 30 为时，四边形 OBDE 是菱形；当 BAC45时，CDE 的面积为 【分析】（1）按照切线定理和已知的 2 倍角关系，证明ODP 为直角（2）当四边形 OBDE 为菱形时，OBD 为等边
31、三角形，则 P 为 30（3）连接 AD，过点 E 作 BC 的垂线，通过平行相似得到 a、b 的第一种关系，根据勾股定理得到 a、b 的第二种关系，用 a、b 表示出CDE 的面积，再代入 a 与 b 的关系，获得面积值【解答】解：（1）如图，连接 ODOBOD ， PDB AODB ABD90 A90PDBODB +PDB 90ODP 90又OD 是O 的半径PD 是 O 的切线（2） 30若四边形 OBDE 为菱形，则 OBBDDEEO ODOBD 为等边三角形ABDA60PDB30P30即当P 为 30时，四边形 OBDE 为菱形如图所示AOOE 2，AOE 90AEEC4BAC45E
32、DB135EDC45设 DFEFb，FCaEFCADCa 2+b2（4 ） 2解得 a（ ）b，b 242SCDE b2【点评】本题考查了圆的基本性质，菱形的性质，（3）是本题的难点，需要以相似和勾股的关系建立方程并表示出关于面积的代数式20（9 分）某校数学兴趣小组的同学测量一架无入飞机 P 的高度，如图 A，B 两个观测点相距 300m，在 A 处测得 P 在北偏东 71方向上，同时在 B 处测得 P 在北偏东 35方向上求无人飞机 P 离地面的高度（结果精确到 1 米）（参考数据：sin350.57， tan350.70，smn710.95，tan712.90）【分析】过点 P 作 PC
33、AB 交 AB 的延长线于点 C，根据直角三角形的三角函数解答即可【解答】解：过点 P 作 PCAB 交 AB 的延长线于点 C，根据题意，得 AB300m， APC71，BPC35，设 PCxm，在 Rt PBC 中，BCCPtan350.70x（m ），在 Rt PAC 中，ACCPtan712.90x（m ），300+0.70x2.90x ，x ，答：无人飞机 P 离地面的高度约为 136 米【点评】此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个直角三角形，再利用三角函数值解答21（10 分）某校计划购进甲、乙两种规格的书架，经市场调查发现有线上和线下两种购买方式，具体情况如表
34、：规格 线下 线上单价（元/个） 运费（元/个） 单价（元/个）运费（元/个）甲 240 0 210 20乙 300 0 250 30（1）如果在线下购买甲、乙两种书架 30 个，共花费 8280 元，求甲、乙两种书架各购买了多少个？（2）如果在线上购买甲、乙两种书架 30 个，且购买乙种书架的数量不少于甲种书架的3 倍，请求出花费最少的购买方案及花费【分析】（1）设线下购买甲种书架 x 个，购买乙种书架 y 个，根据在线下购买甲、乙两种书架 30 个共花费 8280 元，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设线上购买总花费为 w 元，购买甲种书架 m 个，则购买乙
35、种书架（30m）个，根据总价单价数量可得出 w 关于 m 的函数关系式，由购买乙种书架的数量不少于甲种书架的 3 倍可得出关于 m 的一元一次不等式，解之即可得出 m 的取值范围，再利用一次函数的性质结合 m 为整数即可解决最值问题【解答】解：（1）设线下购买甲种书架 x 个，购买乙种书架 y 个，依题意，得： ，解得： 答：甲种书架购买了 12 个，乙种书架购买了 18 个（2）设线上购买总花费为 w 元，购买甲种书架 m 个，则购买乙种书架（30m）个，依题意，得：w（210+20）m+（250+30 ）（30m）50a+8400买乙种书架的数量不少于甲种书架的 3 倍，30m3m，解得：
36、m7 m 为整数，m7500，w 值随 m 值的增大而减小，当 m7 时，总花费最小，最少费用为 8050，此时 30m 23答：当线上购买 7 个甲种书架、23 个乙种书架时总花费最少，最少费用为 8050 元【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的最值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）由总价单价数量，找出 w 关于 m 的函数关系式22（10 分）（1）问题发现：如图 1，在等边ABC 中，点 D 为 BC 边上一动点，DEAB 交 AC 于点 E，将 AD 绕点 D 顺时针旋转 60得到 DF，连接 CF则 AE 与 FC
37、的数量关系是 AECF ； ACF 的度数为 60 （2）拓展探究：如图 2，在 RtABC 中，ABC90，ACB60，点 D 为 BC边上一动点，DEAB 交 AC 于点 E，当ADF ACF 90时，求 的值（3）解决问题：如图 3，在ABC 中，BC ：ABm，点 D 为 BC 的延长线上一点过点D 作 DEAB 交 AC 的延长线于点 E，直接写出当ADFACF ABC 时， 的值【分析】（1）由题意可证DEC 是等边三角形，AED120，可得 DEDC，由旋转性质可得ADF60EDC，ADDF ，由“SAS ”可证ADEFDC，可得AECF，AEDDCF120，可得ACF60；（2
38、）通过证明DAEDFC，可得 ，通过证明EDCABC ，可得，即可求求 的值；（3）通过证明DAEDFC，可得 ，通过证明EDCABC ，可得，即可求求 的值；【解答】解：（1）DEABABCEDC60，BAC DEC60DEC 是等边三角形，AED120DEDC，将 AD 绕点 D 顺时针旋转 60得到 DF，ADF60EDC，ADDFADEFDC，且 CDDE，AD DFADEFDC（SAS ）AECF， AEDDCF120ACF60，故答案为：AECF，60（2）ABC90，ACB60，BAC30tanBAC DEABEDCABC90ADF90，ADEFDCACF90，AEDEDC+AC
39、B ，FCDACF+ACBAEDFCD，且ADEFDCDAEDFCDEABEDCABC（3）ABDEABCBDEADF，BACEBDE+ADB ADF +ADBADECDF，ACDABC+BACACF+ DCF，且ACFABCBACDCFE，且ADECDFADEFDCABDEABCEDC ，且 BC：ABm，【点评】本题是相似形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明ADEFDC 是本题的关键23（11 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yax 2+bx+c（a0）与 x 轴交于点A（2 ，0），B（4，0），与直线 y x3 交于点 C（0，3），直
40、线 y x3 与x 轴交于点 D（1）求该抛物线的解析式（2）点 P 是抛物线上第四象限上的一个动点连接 PC，PD，当PCD 的面积最大时，求点 P 的坐标；（3）将抛物线的对称轴向左平移 3 个长度单位得到直线 l，点 E 是直线 l 上一点，连接OE，BE，若直线 l 上存在使 sinBEO 最大的点 E，请直接写出满足条件的点 E 的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）用交点式函数表达式得：ya（x+2）（x4）a（x 22x 8），即可求解；（2）由 SPCD S PDO +SPCO S OCD ，即可求解；（3）如图，经过点 O、B 的圆 F 与直线 l 相切于点 E，此时，s
41、inBEO 最大，即可求解【解答】解：（1）用交点式函数表达式得：ya（x+2）（x4）a（x 22x 8），即8a3，解得：a ，则函数的表达式为：y x2 x3；（2）y x 3，令 y0，则 x2，即点 D（2，0），连接 OP，设点 P（x， x2 x3），SPCD S PDO +SPCO S OCD 2（ x2+ x+3）+ 3x （ x3） 2+ ， 0，S PCD 有最大值，此时点 P（3， ）；（3）如图，经过点 O、B 的圆 F 与直线 l 相切于点 E，此时，sinBEO 最大，过圆心 F 作 HFx 轴于点 H，则 OH OB2OA ，OF EF4，HF2 ，过点 E 的坐标为（2，2 ）；同样当点 E 在 x 轴的上方时，其坐标为（2，2 ）；故点 E 的坐标为（2，2 ）或（2，2 ）【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、圆的基本知识，三角函数等，其中（3），正确确定点 E 的位置，是本题的难点